81 1 SOLENÓDE E NDUTÂNCA 1.1 - O SOLENÓDE Campos magnéticos prouzios por simples conutores, ou por uma única espira são, para efeitos práticos, bastante fracos. Uma forma e se prouzir campos magnéticos com maiores intensiaes é através e um solenóie. Um solenóie é um enrolamento helicoial, conforme é mostrao na figura 1.1. Consiere que o enrolamento possua N voltas igualmente istribuías ao longo o comprimento L o solenóie. A corrente que flui pelo enrolamento é A. Se o espaçamento entre uma espira e outra for muito pequeno em relação ao raio e caa espira, poemos substituir o enrolamento por uma lâmina e corrente e ensiae: N k = ( A / m ) L L (1.1) N S N i figura 1.1 - Um solenóie Para achar ensiae e fluxo no centro o solenóie, consiere uma seção a lâmina e espessura x, como se fosse uma única espira, cuja corrente é: Kx N e = = L x ( A) (1.) De acoro com o exemplo M3.1-, a ensiae e fluxo evio a um anel e corrente, ao longo o eixo este anel em um ponto x é: = µ NR ( Wb / m ) R + x 3 (1.3) ou, para o elemento e espessura x: µ NR = x ( Wb / m ) L R + x 3 (1.4) A ensiae total no centro o solenóie é, portanto:
8 µ NR = L l / l / R x 3 + x ( Wb / m ) (1.5) realizano a integração: = µ N 4R + L ( Wb / m ) (1.6) Se o comprimento o solenóie for muito maior o que o seu raio, a expressão 1.6 se reuz a: µ N = = µ K ( Wb/ m ) L (1.7) one K é a ensiae laminar e corrente em A.m -1. As equações 1.6 e 1.7 ão o valor a inução magnética no centro o solenóie. Muano os limites e integração para 0 e L, teremos, para os extremos o solenóie: µ N µ N µ K = = R + L L ( Wb / m ) (1.8) que é a metae o valor no centro a bobina. Vamos agora encontrar torque máximo que tene a girar o solenóie, se este for imerso em um campo magnético. O torque será máximo se o eixo o solenóie for perpenicular ao campo magnético, conforme é mostrao na figura 1.. O eixo e rotação está no centro o solenóie. Supono que este seja e seção quaraa e largura, a força tangencial num único segmento e espira é: Ft = cos β ( N ) (1.9) β l / r F F t l / figura 1. - Torque no solenóie mas: cosβ = r (1.10) portanto:
83 T= = A ( N. m) (1.11) one A = é a área a seção reta o solenóie. Este torque é inepenente a istância as espiras ao centro o solenóie. Assim, o torque total será: N Tm A NA m = = ' ( N. m ) (1.1) one m' = NA é o momento magnético o solenóie. Exemplo 1.1 Um solenóie uniforme possui 400 mm e comprimento, 100 mm e iâmetro, 100 espiras e uma corrente e 3 A. Encontre a inução magnética no eixo o solenóie: a) - no seu centro, b) - em uma extremiae e c) - a meio caminho entre o centro e a extremiae. Solução a) - = 4R N µ 0 + L ( T) = µ N R + L ( T) 7 4π 10 100 3 = = 0915, ( mt) 4 005, + 04, 7 = 4π 10 3 005, + 04, = 0468, ( mt) b) - c) - Faça-o como exercício. 1. - NDUTORES E NDUTÂNCA Um inutor é um ispositivo capaz e armazenar energia em um campo magnético. Ele eve ser visto como uma contraparte no magnetismo o capacitor, que armazena energia em um campo elétrico. Exemplos e inutores são espiras, solenóies, toróies etc. As linhas e fluxo magnetico prouzias pela corrente que percorre o enrolamento e um solenóie formam caminhos fechaos. Caa linha e fluxo que passa por too o solenóie concatena a corrente N vezes. Se toas as linhas se concatenam com toas as espiras, o fluxo magnético concatenao Λ (lamba maiúsculo) é igual a: Λ=Nψ ( Wb. esp) (1.13) Por efinição, a inutância L é a razão entre o fluxo concatenao total e a corrente. m Nψm Λ L = = ( H ) (1.14) A efinição acima é satisfatória para meios com permeabiliae constante, como o ar. Como será visto mais tare, a permeabiliae e materiais ferromagnéticos não é constante, e nestes casos a inutância é efinia como seno a razão entre a muança infinitesimal no fluxo concatenao, pela muança infinitesimal na corrente. L = Λ ( H) (1.15)
84 nutância tem imensão e fluxo por corrente, e a sua uniae é Henry (H). 1..1 - nutores e Geometria Simples A inutância e iversos tipos e inutores poe ser calculaa a partir e sua geometria. Como exemplos, as inutâncias e um solenóie longo, um toróie, um cabo coaxial e uma linha formaa por ois conutores paralelos serão aqui calculaas. 1..1.1 - nutância e um Solenóie No seção 1.1 euzimos uma expressão para o campo magnético no centro e um solenóie. Como foi visto, a inução era menor nos extremos o solenóie, evio à ispersão o fluxo magnético. Se o solenóie for suficientemente longo, poemos consierar que o valor a inução magnetica é constante em too o interior o solenóie, e igual ao valor em seu centro. A expressão para a inução magnética no centro e um solenóie muito longo é: G N = µ ( Wb / m ) (1.16) Utilizamos a letra ao invés a letra L, para representar o comprimento solenóie, para evitar confusão com a simbologia e inutância (L). O fluxo concatenao o solenoie será então: Λ= µna ( Wb) (1.17) A inutância será então: NA L = µ ( H) (1.18) one: L (H) nutância o solenóie (A) Corrente no solenóie µ (H.m -1 ) permeabiliae magnética o meio A (m ) Seção reta o solenóie (m) Comprimento o solenóie N Número e espiras o solenóie Exemplo 1. Calcule a inutância e um solenóie e 000 espiras, enrolao uniformemente sobre um tubo e papelão e 500 mm e comprimento e 40 mm e iâmetro. O meio é o ar. 1..1. - nutância e um toróie Se um solenóie longo é curvao em forma e círculo, e fechao sobre si mesmo, um toróie é obtio. Quano esse toróie possui um enrolamento uniforme, o campo magnético é praticamente too confinao em seu interior, e é substancialmente zero fora ele. Se a relação R/r for muito grane (figura 1.3), poemos utilizar a expressão para o campo magnético em um solenóie para eterminar Λ :
85 Λ=NA ( H) (1.19) µ Λ= N N = A µ Nr π πr ( H) (1.0) Λ= µnr R ( H) (1.1) R r i i figura 1.3 - toróie A inutância o toróie será: Nr L = µ R ( H) (1.) 1..1.3 - nutância e um cabo coaxial Consiere agora uma linha e transmissão co-axial, muito utilizaa em telecomunicações, conforme mostrao na figura 1.4. A corrente no conutor interno é, e o retorno pelo conutor externo e mesma magnitue. Consieraremos que o fluxo magnético está confinao à região entre os conutores ( ext = 0). Portanto: = µ πr (1.3) O fluxo total concatenao para um comprimento c a linha e transmissão é: A inutância para o comprimento c esse cabo é: b µ b r µ b Λ= r = = Wb a π a r π ln a ( ) (1.4) Λ µ b L = = H π ln a ( ) (1.5) a b c - c b - a
86 1..1.4 - nutância e um cabo bi-filar figura 1.4- Cabo co-axial. Um outro tipo e linha e transmissão utilizaa em telecomunicações é o cabo bi-filar, formao por ois fios paralelos (figura 1.6).O raio e caa um é a, e a istância entre seus centros é D. para um os fios, em qualquer ponto r a inução magnetica é aa por: = µ πr ( Wb / m ) (1.6) e o fluxo concatenao para um comprimento será igual à vezes a integral 1.4. portanto inutância para um comprimento esse cabo é: Λ µ D L = = H π ln a ( ) (1.7) raio o conutor = a - D figura 1.6 - cabo bifilar 1.. - Energia Armazenaa em um nutor Um inutor armazena energia em um campo magnético, analogamente ao capacitor, que armazena energia em um campo elétrico. A armazenagem a energia se á com a variação o campo magnético. Quano a corrente elétrica é alternaa, existe uma permanente troca e energia entre o inutor e a fonte, a meia que o tempo passa. Quano a corrente elétrica é contínua, a energia é armazenaa urante o períoo transitório que ocorre até que o seu valor em regime permanente se estabeleça. Uma vez retiraa a corrente, a energia armazenaa no campo magnético flui o inutor para a fonte externa, urante o transitório que ocorre até a corrente atingir o valor nulo. A potência instantânea entregue pela fonte e alimentação ao inutor é aa por : p = V. i ( V. A) (1.8) one : V (V) Tensão sobre o inutor, que é igual ao prouto L. i t.
87 i (A) Valor instantâneo a corrente p (W) Potência instantânea no inutor A energia entregue pela fonte ao inutor, W m, é aa por: W pt Li i 1 m = = t = L () J 0 t (1.9) EXERCÍCOS 1) - Calcule a inutância por uniae e comprimento e um conutor coaxial com raio interno a = 3 mm, e um conutor externo com raio interno b = 9 mm. Suponha µ r = 1. ) - Um solenóie uniforme e 10 mm e iâmetro, 600 mm e comprimento e 300 espiras é percorrio por uma corrente e 5 A. Uma bobina e 400 mm e iâmetro e 10 espiras é colocao com o seu eixo coinciino com o eixo o solenóie. Qual eve ser a corrente na bobina e tal forma a anular o campo magnético em seu centro se este estiver (a) no centro o solenóie, (b) na extremiae o solenóie e (c) a meio caminho entre o centro e a extremiae o solenóie. 3) - Um toróie com seção transversal quaraa é limitao pelas superfícies r = 3 cm e r = 4 cm, z = - 0.5 cm e z = 0.5 cm.o raio méio o toroie é 10 cm. O toróie é enrolao com uma única camaa e 700 espiras e excitao com,5 A (na ireção a z em r = 3 cm). (a) Encontre a inutância o G H no centro o toróie. (b) Como muará esta resposta se a seção quaraa for reuzia toroie e à metae, manteno o mesmo raio méio o toróie? (c) Que ensiae superficial e corrente fluino na superfície o cilinro interno será necessária para prouzir resultao o ítem (a)?
88