UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Taxas Relacionadas Suponhamos, por exemplo, as variáveis x e y relacionadas pela equação y = x. Se ambas estão variando em relação ao tempo, então suas taxas de variação também estão relacionadas. As taxas de variação de x e y x e y estão relacionadas estão relacionados dy dx y = x = Prof.: Rogério Dias Dalla Riva 4 Taxas Relacionadas 1.Variáveis Relacionadas.Resolução de Problemas Sobre Taxas Relacionadas Neste exemplo simplificado, podemos ver que, como y tem sempre o dobro do valor de x, a taxa de variação de y em relação ao tempo é sempre o dobro da taxa de variação de x. 5 Nesta aula, estudaremos problemas relativos a grandezas que variam em relação ao tempo. Se duas (ou mais) dessas grandezas estão relacionadas entre si, então suas taxas de variação em relação ao tempo também estão relacionadas. Exemplo 1: As variáveis x e y são funções diferenciáveis de t e estão relacionadas pela equação y = x +. Quando x = 1, dx/ =. Ache dy/quando x = 1. 6 1
Solução: Aplique a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os membros da equação em relação a t. y = x + Equação original d d [ y ] = x + dy dx = x Regra da Cadeia Exemplo : Deixa-se cair um seixo em um lago de águas tranquilas, ocasionando ondas na forma de círculos concêntricos, conforme a figura a seguir. O raio r da onda exterior está aumentando à razão constante de 1 pé por segundo. Quando o raio é igual a 4 pés, a que taxa está variando a área total A da água agitada? 7 10 Quando x = 1 e dx/=, temos dy dx = x = (1) () = 4 Solução: As variáveis r e A estão relacionadas pela equação da área de um círculo, A = πr. Para resolver este problema, tenha em mente que a taxa de variação do raio é dada por dr/. Equação: A = π r dr Taxa dada: = 1 quando r = 4 Achar: quando r = 4 8 11 No exemplo anterior, foi dado um modelo matemático. Utilizando este modelo, podemos proceder como no Exemplo 1. Equação dada: y = x + dx Taxa dada: = quando x = 1 dy Achar: quando x = 1 A = π r Equação d d [ A] = πr dr = πr Regra da Cadeia No próximo exemplo, pode-se criar um modelo matemático análogo. 9 1
Quando r = 4 e dr/= 1, temos dr = π r = π(4)(1) = 8 π pés /s 1 Diretrizes para a Resolução de um Problema de Taxas Relacionadas 1. Atribuir símbolos a todas as grandezas dadas e a todas as grandezas a serem determinadas.. Estabelecer uma equação que relacione todas as variáveis cujas taxas de variação são dadas ou devem ser determinadas.. Aplicar a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os membros da equação em relação ao tempo. 4. Levar na equação resultante todos os valores conhecidos das variáveis e de suas taxas de variação. Resolver então em relação à taxa de variação procurada. 16 Nota: No Exemplo, notamos que o raio varia a uma taxa constante (dr/ = 1 para todo t), mas a área varia a uma taxa não-constante. Quando r = 1 pé = π pés /s Quando r = pés = 4 π pés /s Quando r = pés = 6 π pés /s Quando r = 4 pés = 8 π pés /s 14 Nota:Observar a ordem das Etapas e 4 nas Diretrizes. Só substituir as variáveis pelos valores numéricos após ter diferenciado. 17 A solução apresentada no Exemplo ilustra as etapas para a resolução de um problema de taxas relacionadas. A tabela a seguir dá os modelos matemáticos para algumas taxas de variação comuns, que podem ser utilizados na primeira etapa da resolução de um problema de taxas relacionadas. 15 18
Enunciado Verbal A velocidade de um carro, após rodar 1 hora, é de 50 milhas por hora. Está sendo bombeada água para um tanque à razão de 10 pés cúbicos por minuto. Uma população de bactérias está aumentando à razão de.000 por hora. A receita está aumentando à razão de $4.000 por mês. Modelo Matemático x = distância percorrida dx/ = 50 quando t = 1 V = volume de água no tanque dv/ = 10 pés /min x = número na população dx/ =.000 bactérias por hora R = receita dr/ = 4.000 dólares por mês 19 Solução: Sejam V o volume do balão e r o seu raio. Como o volume está aumentando à razão de 4,5 polegadas cúbicas por minuto, temos que dv/ = 4,5. A equação que relaciona V e r é V = 4/ πr. Assim, o problema admite o modelo seguinte: Exemplo : O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico à razão de 4,5 polegadas cúbicas por minuto, conforme indicado na figura seguinte. Ache a taxa de variação do raio quando este é de polegadas. Equação: 4 V = πr Taxa dada: dv = 4,5 Achar: dr quando r = 0 Diferenciando a equação, obtemos: 4 V = π r Equação d d 4 [ V ] = r π dv 4 ( dr = π r ) Regra da Cadeia 1 dv dr = 4π r Resolver em relação a dr/ 1 4 4
Quando r = e dv/ = 4,5, a taxa de variação do raio é dr 1 dv 1 (4,5) 0,09 pol./min = 4π r = 4 π () Exemplo 4: Um avião está voando a uma altitude de 6 milhas segundo uma trajetória que o leva a passar diretamente sobre uma estação de rastreamento por radar. Seja s a distância (em milhas) entre a estação de radar e o avião. A distância s diminui à razão de 400 milhas por hora quando s é 10 milhas. Qual é a velocidadedo avião? 5 8 No Exemplo, note que o volume está aumentando a uma taxa constante, mas a taxa de aumento do raio é variável. Neste exemplo, o aumento do raio é cada vez mais lento na medida em que t cresce. A figura anterior e a tabela seguinte ilustram este fato. Solução: Comecemos traçando uma figura e rotulando as distâncias, conforme a figura abaixo. Com auxílio do Teorema de Pitágoras, podemos escrever uma equação que relacionex e s. 6 9 V = 4,5t r = t V 4π dr 1 5 7 9 11 4,5 1,5,5 1,5 40,5 49,5 1,0 1,48 1,75 1,96,1,8 0,4 0,16 0,1 0,09 0,08 0,07 Equação: x + 6 = s ds Taxa dada: = 400 quando s = 10 dx Achar: quando s = 10 7 0 5
Diferenciando a equação, obtemos: x + 6 = s Equação d d x 6 s + = dx ds x = s Regra da Cadeia dx s ds = x Resolver em relação a dx/ 1 Para achar dx/, devemos achar primeiro x quando s = 10. x + 6 = s x = s 6 x = s 6 x = 10 6 x = 64 x = 8 Com s = 10, ds/ = -400 e x = 8, podemos achar dx/ como segue. dx s ds 10 = = ( 400) = 500 mi/h x 8 Como a velocidade do avião é de -500 milhas por hora, segue-se que o módulo de sua velociadde é de 500 milhas por hora. Nota: No Exemplo 4, a taxa de variação da distância x é negativa porque x está decrescendo. 6