Reaprendendo a contar

Reaprendendo a contar Aula 16 Ricardo Ferreira Paraizo e-tec Brasil Matemática Instrumental Fonte: www.sxc.hu

Meta Apresentar diferentes problemas de análise combinatória. Objetivos Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de resolver problemas: 1. utilizando o princípio multiplicativo; 2. de permutação simples; 3. utilizando a fórmula de arranjos simples; 4. usando a fórmula de combinação; 5. sabendo onde aplicar a fórmula de arranjo ou de combinação.

Reaprendendo a contar 393 Em nosso cotidiano, é comum nos depararmos com situações que envolvam problemas de contagem. Desde as mais simples, em que se é possível determinar por meio, por exemplo, de um diagrama de árvore, a quantidade de maneiras em que dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer, como com situações em que é necessário se utilizar de métodos especiais de contagem. Um motivo tão mundano quanto os jogos de azar é que acabou levando ao desenvolvimento da chamada Análise Combinatória. A necessidade de calcular o número de diferentes possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. A análise visa desenvolver métodos que permitam contar de uma forma indireta o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. Aula 16 Reaprendendo a contar Tartáglia Pascal Fermat Figura 16.1: Grandes matemáticos se ocuparam com o assunto da Análise Combinatória: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). Fonte: http://cesariof.net63.net/rl9/pascal_fermat_tartaglia.gif

394 e-tec Brasil Matemática Instrumental ALGORITMO Seqüência finita de instruções bem definidas e não ambíguas para se fazer uma tarefa, cada uma das quais podendo ser executada mecanicamente, num período de tempo finito e com uma quantidade de esforço finita. A Análise Combinatória tem tido um crescimento explosivo nas últimas décadas. A importância de problemas de enumeração tem crescido enormemente, devido a necessidades em análise de ALGORITMO etc. Muitos problemas importantes podem ser resolvidos matematicamente por meio da Análise Combinatória, como problemas de armazenamento de informações em bancos de dados nos computadores. Primeiro vamos apresentar dois conceitos que são fundamentais para a análise combinatória: fatorial de um número e o princípio fundamental da contagem. Em seguida, veremos os três principais tipos de agrupamentos: permutações, arranjos simples e as combinações simples. Fatorial de um número Considere n um número inteiro não negativo. O fatorial de n, indicado por n!, é definido como sendo a seguinte multiplicação: n! = n. (n-1). (n-2). (n-3)..... 3. 2. 1 Esta definição refere-se a números maiores ou iguais a 2, ou seja, n 2. Se n for igual a zero ou um, temos: 0! = 1; 1! = 1. Exemplos: a. 7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5.040; b. 6! = 6. 5. 4. 3. 2.1 = 720; c. 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120; d. 4! = 4. 3. 2. 1 = 24; e. observe que 6! = 6. 5. 4!. Princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes e se a primeira etapa pode ocorrer de k 1 possibilidades, a segunda de k 2 possibilidades e assim sucessivamente, então o número total T de possibilidades de ocorrer o acontecimento é dado por: T = k 1. k 2. k 3..... kn

A seguir, temos um exemplo: 395 Suponhamos que você é dono de uma Empresa Agropecuária e queira testar 4 tipos de sementes, chamadas M (de Milho), F (de Feijão), S (de Soja) e A (de Arroz), usando 3 tipos de adubos diferentes, chamados 1, 2 e 3, em um campo de prova agrícola. Como você deverá dividir o campo em lotes e distribuir as sementes e os adubos entre eles a fim de saber que testou todas as possibilidades de combinações possíveis das sementes com os adubos? Resposta: Aula 16 Reaprendendo a contar Para sabermos de quantas maneiras essa empresa tem para testar os adubos, podemos montar uma árvore das possibilidades. Os sacos estão representando os adubos. Veja, a seguir, como isso é feito. Experiência Ricardo Ferreira Paraizo Milho(M) Feijão Soja (S) Arroz 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Figura 16.2: Será que na plantação de milho será usado sulfato de cobre? E na de feijão será esterco de curral? E na do arroz será superfosfato?

396 Veja, a seguir, todas as possibilidades: e-tec Brasil Matemática Instrumental M1 O lote com Milho pode ser plantado, usando o adubo 1; M2 O lote com Milho pode ser plantado, usando o adubo 2; M3 O lote com Milho pode ser plantado, usando o adubo 3; etc. Com isso, podemos observar que cada experiência segue um galho da árvore da Figura 16.2 e vemos que, no total, existem 12 possibilidades; logo, devemos dividir o terreno em 12 lotes. Uma outra forma de resolver o problema seria em etapas: Tabela 16.1: Etapas para a divisão do campo de provas agrícola 1º etapa 2º etapa MILHO (M) FEIJÃO (F) SOJA (S) ARROZ (A) ADUBO (1) ADUBO (2) ADUBO (3) 4 tipos de sementes 3 adubos O número total de possibilidades para as etapas poderia ter sido calculado indiretamente: 4.3 = 12. Número de possibilidades da 2ª etapa Número de possibilidades da 1ª etapa Viu como foi simples calcular o número das possibilidades que você tem para dividir o campo em lotes e distribuir as sementes e os adubos entre eles. Bastou multiplicar o número de possibilidades da 1ª etapa pelo número de possibilidades da 2ª etapa (4.3 = 12 possíveis lotes). Este é o princípio multiplicativo (multiplicação das etapas), também chamado de príncipio fundamental da contagem.

397 Atividade 1 Atende ao Objetivo 1 Quatro cavalos (,,, ) são usados para disputar uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares? = Cavalo baio = Cavalo castanho = Cavalo lobeiro = Cavalo alazão Qual seria a classificação desses animais na disputa? Ricardo Ferreira Paraizo Aula 16 Reaprendendo a contar Atividade 2 Atende ao Objetivo 1 As senhas utilizadas pelos usuários dos computadores de uma empresa agropecuária deverão conter 4 algarismos. Determinar o número máximo de senhas que podem ser criadas, sabendo-se que essas não podem começar com zero.

398 e-tec Brasil Matemática Instrumental Ricardo Ferreira Paraizo Será que podemos fazer muitas senhas com 4 números? Permutações simples Permutações simples são os agrupamentos de um determinado número de elementos, variando apenas a sua ordem. Exemplo: XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX O número de agrupamentos de uma permutação simples de n elementos é dado por P n = n!, onde:

P n = n. (n-1). (n-2). (n-3)..... 3. 2. 1. 399 Exemplo: De quantas maneiras podemos agrupar as sete cores do arco-íris? Resposta: P 7 = 7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1= 5.040 Podemos dizer, então, que permutar significa trocar. Nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à idéia de misturar. Veja um novo exemplo, a seguir: De quantas maneiras diferentes podemos plantar 3 mudas de Frutas [ laranja (L), mexerica (M) e Pêssego, (P) ] em áreas com adubações distintas (Superfosfato, Esterco de curral e Salitre do Chile). Aula 16 Reaprendendo a contar Resposta: A Tabela 16.2 apresenta as diferentes possibilidades de se plantar 3 mudas de frutas. Tabela 16.2: As diferentes maneiras de se plantar 3 mudas de frutas [ laranja (L), mexerica (M) e Pêssego, (P) ]. 1ª fruta 2ª fruta 3ª fruta Resultado (3 possibilidades) (2 possibilidades) (1 possibilidade) (6 possibilidades) L M P L MP P M L PM M L P M L P P L MP L P L M P L M M L PM L Se P n = n!., então temos: P 3 = 3! = 3. 2. 1 = 6; Número de possibilidades no 3º terreno Número de possibilidades no 2º terreno Número de possibilidades no 1º terreno Podemos, então, fazer 6 experimentos (plantios) diferentes.

400 e-tec Brasil Matemática Instrumental L M P Superfosfato Esterco de curral Salitre do chile L P M (1º) (2º) Superfosfato Esterco de curral Salitre do chile M L P (3º) Superfosfato Esterco de curral Salitre do chile M P L (4º) Superfosfato Esterco de curral Salitre do chile P L M (5º) Superfosfato Esterco de curral Salitre do chile P M L (6º) Superfosfato Esterco de curral Salitre do chile Figura 16.3: Permutar as mudas significa trocá-las de posição no terreno.

401 Atenção! Para saber quantas permutações são possíveis ao trocar os elementos de um conjunto, usamos a fórmula: P n = n!? Lê-se: Permutação de n; n! = n.(n - 1).(n - 2)(n - 3)... 1. Aula 16 Reaprendendo a contar Atividade 3 Atende ao Objetivo 2 João Carlos esqueceu o segredo de seu cofre, que é constituído de 5 números diferentes (escolhidos de 1 a 5). Qual é o número máximo de tentativas que João Carlos pode fazer para abrir seu cofre? Fonte: www.sxc.hu

402 Arranjos simples (arranjo sem repetição) e-tec Brasil Matemática Instrumental Os agrupamentos formados em problemas de análise combinatória podem ser considerados arranjos simples. Serão assim classificados se levarmos em consideração a ordem de seus elementos (n), ou seja, se os agrupamentos (p) forem diferentes entre si pela ordem de seus elementos. Tendo em conta que os elementos escolhidos não se podem repetir, poderemos formar seqüências constituídas por p elementos, sendo que os p elementos escolhidos não podem ultrapassar os n elementos existentes no conjunto inicial, ou seja, se, por exemplo, tivermos um conjunto com 5 elementos, podemos formar arranjos sem repetição de 5 elementos, tomados 4 a 4, ou mesmo 5 a 5, mas não mais, pois não podemos escolher mais elementos do que aqueles que existem, sem repetirmos nenhum elemento. Indica-se por A n,p o total desses agrupamentos e calculamos da seguinte forma: n! A n,p = (n p)! onde n é igual à quantidade de elementos e p é igual a um número natural menor ou igual a n, que representa a união dos elementos na formação do agrupamento. Vimos, na permutação simples com n elementos, que os agrupamentos são ordenados com todos os elementos, variando apenas a sua ordem. Agora, tendo n elementos, vamos estudar os agrupamentos ordenados com 1 elemento, 2 elementos, 3 elementos,..., e p elementos, com p n. Veja o exemplo a seguir: De quantas maneiras podemos plantar 3 mudas de cítricos distintas, dispostas em 2 terrenos diferentes (com adubações diferentes Superfosfato), sendo que temos Laranja (L), Mexerica (M) e Pêssego, (P). Resposta: Podemos resolver este exemplo usando a fórmula para se calcular o número de arranjos: n! A n,p = ( n p)! Lemos: Arranjo de n elementos, tomados p a p, onde n representa o número de elementos (no exemplo, n = 3, que representa o número de mudas de cítricos). Já p representa o número do agrupamento. Nesse caso, estamos agrupando 2 a 2,ou seja, queremos colocar as mudas em dois solos diferentes (p = 2).

L M 403 Superfosfato L Esterco de curral P (1º) (2º) Aula 16 Reaprendendo a contar Superfosfato Esterco de curral M L (3º) Superfosfato Esterco de curral M P (4º) Superfosfato Esterco de curral P L (5º) Superfosfato Esterco de curral P M (6º) Figura 16.4: Agora, em vez de permutar todas as mudas, vamos tomar parte do todo e ver as possibilidades de plantio nos diversos terrenos.

404 e-tec Brasil Matemática Instrumental Foi feita uma contagem direta e, por contagem direta, temos 6 possibilidades. n! Substituindo a fórmula, temos: A n,p = ( n p)! ; 3! 3! A 3,2 = = = 3 x 2 x1 = 6. (3 2)! 1! Combinação simples O conceito de combinação está intuitivamente associado à noção de subconjuntos. Denominamos combinações simples de n elementos distintos, tomados p a p (taxa p) aos subconjuntos, formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. Exemplo: No conjunto E= (a, b, c, d), podemos considerar: 1. combinações de taxa 2: (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c,d). 2. combinações de taxa 3: (a,b,c), (a,b,d), (a,c,d), (b,c,d). 3. combinações de taxa 4: (a,b,c,d). Representando por C n,p o número total de combinações de n elementos tomados p a p (taxa p), temos a seguinte fórmula: n! C n,p= (n p)!. p! onde n é igual à quantidade de elementos e p é igual a um número natural menor ou igual a n, que representa a união dos elementos na formação do agrupamento. Saiba mais... O subconjunto é a parte de um conjunto. Exemplo: Seja o conjunto A= {1, 2, 3}. Queremos fazer subconjuntos tirados de A, contendo 2 elementos: B 1 = {1, 2} B 2 = {1, 3} B 3 = {2, 3}

Portanto, temos 3 subconjuntos. 405 O número de subconjuntos com dois elementos, tirados do conjunto A, pode ser também calculado usando a fórmula de combinação: n! 3! 3! 3 2! C n,p = 3 (n p)!. p! = (3 2)! 2! = 1! 2! =... 1!. 2! = Como você pode ver, a fórmula comprova o resultado do número de subconjuntos do conjunto A. Aula 16 Reaprendendo a contar Vejamos um outro exemplo: Pretendo fazer uma pesquisa sobre o desenvolvimento de 6 tipos de arroz A, B, C, D, E e F, plantados dois a dois em sacolas de plásticos, isto é, dois em cada sacola. Quais são as possibilidades de plantios que posso realizar? Resposta: A Tabela 16.3 apresenta as diferentes possibilidades de plantio de arroz. Tabela 16.3: As diferentes possibilidades de plantios de arroz plantados 2 a 2 em sacolas de plástico. B {A, B} 1ª sacola C {A, C} 2ª sacola A D {A, D} 3ª sacola E {A, E} 4ª sacola F {A, F} 5ª sacola A {B, A} Igual à 1ª sacola C {B, C} 6ª sacola B D {B, D} 7ª sacola E {B, E} 8ª sacola F {B, F} 9ª sacola A {C, A} Igual à 2ª sacola B {C, B} Igual à 6ª sacola C D {C, D} 10ª sacola E {C, E} 11ª sacola F {C, F} 12ª sacola

406 e-tec Brasil Matemática Instrumental A {D, A} Igual à 3ª sacola B {D, B} Igual à 7ª sacola D C {D, C} Igual à 10ª sacola E {D, E} 13ª sacola F {D, F} 14ª sacola A {E, A} Igual à 4ª sacola e B {E, B} Igual à 8ª sacola E C {E, C} Igual à 11ª sacola D {E, D} Igual à 13ª sacola F {E, F} 15ª sacola A {F, A} Igual à 5ª sacola B {F, B} Igual à 9ª sacola F C {F, C} Igual à 12ª sacola D {F, D} Igual à 14ª sacola E {F, E} Igual à 15ª sacola 1º tipo de arroz do plantio 2º tipo de arroz do plantio n! Se C n, p = C n,p=, então temos: (n p)!. p! 6! 6! 6.5.4! C 6,2 = = = = 15, (lê -se: Combinação de 6 elementos (6 2)!. 2! (4)!. 2! 4!. 2.1 tomados 2 a 2 ). Conclusão: Podemos realizar 15 experimentos diferentes utilizando os 6 tipos de arroz. Atenção! A diferença entre arranjo e combinação é que no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na combinação, mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos o mesmo agrupamento, ou seja, não importa a ordem do agrupamento. Exemplo: {1, 2}= {2,1}

407 Atividade 4 Atende ao Objetivo 4 Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com 5 funcionários de uma empresa: André (A), Benito ( B), Carla (C), Denise (D), Eva (E), para representar os trabalhadores numa reunião com o presidente da empresa citada. Formar simples comissões é um caso de arranjo ou de combinação? Aula 16 Reaprendendo a contar Fonte: www.sxc.hu

408 e-tec Brasil Matemática Instrumental Atividade 5 Atende ao Objetivo 4 O Sr. Carlos comprou, na fruticultura Roda D Água, mudas de Abacate (A), Caqui (C), Figo (F) e Manga (M), uma de cada, para plantar no seu quintal, mas somente 3 dessas mudas sobreviveram. Pergunta-se: quantas são as possibilidades de sobrevivência dessas mudas no pomar do Sr. Carlos? Abacate Caqui Figo Manga Será que foram as mudas de Abacate, Caqui e Manga que sobreviveram ou será um outro conjunto de mudas?

409 Atividade 6 Atende ao Objetivo 3 Quantas comissões de 2 pessoas (um presidente e um vice-presidente) podem ser formadas com 5 funcionários de uma empresa agropecuária: André (A), Benito (B), Carla (C), Denise (D), Eva (E), para desenvolver um projeto de melhoria na produção de tomates? Aula 16 Reaprendendo a contar Será que André vai realizar o sonho de ser presidente? Atividade 7 Atende ao Objetivo 5 Quinze alunos de uma classe participam de uma prova para fazer um estágio numa empresa agropecuária. Se há três vagas para o estágio, de quantas formas poderão ser escolhidos os alunos participantes?

410 e-tec Brasil Matemática Instrumental Ricardo Ferreira Paraizo Atividade 8 Atende ao Objetivo 5 Quinze alunos de uma classe participam de uma prova classificatória para fazer um estágio numa empresa agropecuária. Se há três vagas para o estágio, de quantas formas poderão ser escolhidos os três primeiros lugares?

EMPRESA AGROPECUÁRIA KπVARA 411 Resultado da Avaliação para Estagiários 1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar PEDRO JOÃO CARLOS Aula 16 Reaprendendo a contar Resumindo... PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO ou princípio fundamental da contagem: Multiplicação das etapas: T = k 1. k 2. k 3..... kn. PERMUTAÇÃO SIMPLES Permutar significar trocar. P n = n! Lê-se: Permutação de n n! = n.(n - 1).(n - 2)(n - 3)... 1 ARRANJO SIMPLES: n! A n,p = Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p. ( n p)! COMBINAÇÃO: C n,p= n! (n p)!. p! Lê-se: combinação de n elementos tomados p a p.

412 e-tec Brasil Matemática Instrumental Observação: A diferença entre arranjo e combinação é que no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na combinação, mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos o mesmo agrupamento. Informação sobre a próxima aula Na próxima aula, vamos estudar probabilidade. Respostas das Atividades Atividade 1 1º lugar 2º lugar 3º lugar Ordem de chegada C3 C3 C2

C2 O número de possibilidades para 1º lugar é 4. O número de possibilidades para o 2º lugar é 3. O número de possibilidades para o 3º lugar é 2. Aula 16 Reaprendendo a contar 413 O número Total de possibilidades é 4.3.2 = 24. Atividade 2 Veja como poderiam ser essas senhas: 5 2 3 6 5 0 2 3 2 2 2 2 1º algarismo 2º algarismo 3º algarismo 4º algarismo Resultado (9 possibilidades) (10 possibilidades) (10 possibilidades) (10 possibilidades) 0 0 0 1000 1 1 1 1001 2 2 2 1002 3 3 3 1003 4 4 4 1004 1 5 5 5 1005 6 6 6 1006 7 7 7 1007 8 8 8 1008 9 9 9 1009 Número de possibilidades da 1ª etapa = 9. Número de possibilidades da 2ª etapa = 10. Número de possibilidades da 3ª etapa = 10.

414 Número de possibilidades da 4ª etapa = 10. e-tec Brasil Matemática Instrumental O número máximo de senhas que podem ser criadas equivale a 9.10.10.10 = 9.000. Como podemos ver, são muitas as senhas que podemos criar com 4 números. Atividade 3 Como o segredo do cofre é constituído de 5 números diferentes, escolhidos de 1 a 5, os números que compõem o segredo do cofre vão estar no conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}. Significa que o segredo pode ser encontrado permutando-se esses números. Podemos ter, por exemplo, as seqüências: 1-2 - 3-4 - 5 1-2 - 3-5 - 4 2-1 - 3-4 - 5...... e outras permutações possíveis... Como são 5 algarismos, podemos permutar de P 5 maneiras, ou seja, P 5 = 5! = 5 4 3 2 1= 120 O número máximo de tentativas que João Carlos pode fazer para abrir seu cofre é 120 maneiras. Atividade 4 Observe que {A, B} = {B, A}. Ou seja, a comissão formada por André e Benito é a mesma de Benito e André. Note que as comissões não são alteradas quando mudamos a ordem dos membros. Temos um caso de combinação de 5 elementos, tomados 2 a 2: n! 5! 5! 5 4 3! C 5,2= = = = (n p)! p! (5 2)! 2! 3! 2 3! 2. 1 = 10 Pode-se fazer 10 comissões diferentes.

Atividade 5 415 Aqui o Sr. Carlos comprou mudas de várias frutas, mas morreram duas delas. Não sabemos quais sobreviveram. Poderia ter sobrevivido, por exemplo: Aula 16 Reaprendendo a contar (A C F) (A C M) Observe que (A C F) = (A F C) Observe que mudamos a ordem dos elementos e obtemos o mesmo agrupamento. Por isso, temos um caso de combinação de 4 elementos (4 frutos), tomados 3 a 3. n! 4! 4! 4.3! C4,3 = = = = = 4 (n p)! p! (4 3)! 3! 1! 3 1! 3 São 4 possibilidades de sobrevivência dessas mudas no pomar do Sr. Carlos? Veja todas as possibilidades: (A C J) (A C M) (C J M) (A J M) Atividade 6 Observe que: {A, B} {B, A}. Presidente vice Presidente vice Ou seja, a comissão formada por André (Presidente) e Benito (Vice-presidente) é diferente de Benito (Presidente) e André (Vice-presidente). Note que as comissões são alteradas quando mudamos a ordem dos membros. Temos um caso de arranjo de 5 elementos, tomados 2 a 2: n! 5! 5! 5 4 3! C 5,2= = = = = 20 (n p)! (5 2)! 3! 3! Pode-se fazer 20 comissões diferentes.

416 Atividade 7 e-tec Brasil Matemática Instrumental Arranjo ou combinação? Eis a questão! Nesse problema, primeiro temos de saber se temos um caso de arranjo ou de combinação. Para isso, fazemos a seguinte pergunta: Se mudarmos a ordem dos elementos, obteremos um novo agrupamento? Se positivo, temos um caso de ARRANJO; se negativo, temos um caso de COMBINAÇÃO. Vamos, então, raciocinar: São 15 alunos. Podemos, então, ter como exemplo: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7... a 15 Pedro João José Carlos Maria Joana Pérola... Antônio Como vão ser escolhidos 3 alunos, sem a preocupação com sua classificação, podemos ter, então: PEDRO JOÃO CARLOS PEDRO JOANA PÉROLA Podemos notar que o conjunto {PEDRO JOÃO CARLOS} é o mesmo conjunto {JOÃO PEDRO CARLOS}, quer dizer que mudamos a ordem dos elementos e obtivemos o mesmo conjunto. Isso não é arranjo, e sim uma combinação. Uma combinação de 15 elementos, agrupados três a três, ou seja: 5, 3. C n,p= n! (n p)!. p! 15! C = 15! (15 3)!3! = 15. 14. 13. 12! 15,3 12! 3! = 12!. 3.2.1 = 455 Os alunos poderão ser escolhidos de 455 formas diferentes.

Atividade 8 417 E agora? Está parecendo a mesma questão da Atividade 7, não é? Mas, se você ler com atenção, vai notar uma diferença importante: Reveja o final do texto da Atividade 7:...de quantas formas poderão ser escolhidos os alunos participantes? Você pode notar que na Atividade 7 não está sendo citada a classificação dos alunos. Nesse caso, a empresa deseja contratar 3 estagiários sem se preocupar com a classificação dos mesmos. Aula 16 Reaprendendo a contar Agora, veja o final do texto da Atividade 8:...de quantas formas poderão ser escolhidos os três primeiros lugares? Nesse caso, se mudarmos a ordem dos elementos, obteremos um novo agrupamento. Exemplos de possíveis classificações: 1º lugar 2º lugar 3 lugar Situação I PEDRO JOÃO CARLOS Situação II CARLOS JOÃO PEDRO Situação III PEDRO CARLOS JOÃO Situação IV CARLOS PEDRO JOÃO Situação V JOÃO CARLOS PEDRO Situação VI JOÃO PEDRO CARLOS Situação PEDRO JOANA PÉROLA Podemos notar que a situação I PEDRO JOÃO CARLOS é diferente da situação II? CARLOS JOÃO PEDRO, pois na situação I PEDRO está em 1ª lugar, já na situação II PEDRO está em 3º lugar. Aqui, mudamos a ordem dos elementos e obtivemos resultados diferentes. Temos, então, um caso de arranjo. Um Arranjo de 15 elementos agrupados três a três, ou seja: A 15, 3. n! A fórmula para se calcular ARRANJO é A n,p = ( n p)! 15! 15! 15. 14. 13. 12! C15,3 = = = = 2730 (15 3) 12 12!. 3.2.1 Os alunos poderão ser classificados de 2.730 formas diferentes. Como você pode ver, é muito fácil diferenciar arranjo de combinação, mas precisamos ter muita atenção no texto para acertar essa diferença.

418 Referências bibliográficas e-tec Brasil Matemática Instrumental IEZZI Gelson. et al. Matemática: ciência e aplicação vol. 2. São Paulo. Atual, 2004. 2. Ed. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, Roberto. Uma nova abordagem v.2. São Paulo: FTD, 2000. DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto & Aplicações v.2. São Paulo: Ática, 1999.