CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br
Aula 4 Zeros reais de funções Parte 1
Objetivo Determinar valores aproimados para as soluções (raízes) de equações da forma: f ( ) = 0 sendo f uma função real dada. Cálculo Numérico 3/60
APLICAÇÃO 1 Você compra um computador servidor para sua empresa por R$ 20.000 sem entrada, mas com parcela de R$ 5.000 por ano durante 5 anos. Qual é a taa de juros que você está pagando? A ( 1+ i) = P n ( 1+ i) 1 onde: A são os pagamentos anuais; P é o valor presente, i é a taa de juros, n é o número de anos. i n Cálculo Numérico 4/60
APLICAÇÃO 2 Uma equipe de engenheiros automobilísticos coreanos desenvolveu um sistema de amortecedores para carros de Fórmula-1. Para dar prosseguimento ao projeto, os engenheiros necessitam do valor numérico da raiz da epressão: f ( ) = 4 + cos Cálculo Numérico 5/60
APLICAÇÃO 3 A concentração c de uma bactéria poluente em um lago diminui de acordo com: C = 80e 2t + 20e 0,1t Determine o tempo necessário para reduzir a concentração de bactéria a 10. Cálculo Numérico 6/60
A solução eata de apenas em alguns casos: f ( ) = 0 pode ser encontrada Polinômios de grau menor ou igual a quatro; Algumas funções trigonométricas. Mesmo quando a solução analítica está disponível, sua determinação pode ser complicada. Cálculo Numérico 7/60
Em alguns casos, por eemplo, de equações polinomiais, os valores de que anulam f () podem ser reais ou compleos. Estamos interessados somente nos zeros reais de f (). Graficamente: Os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eio. Cálculo Numérico 8/60
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A ideia central dos métodos que iremos aprender é partir de uma aproimação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproimação através de um processo iterativo. Cálculo Numérico 10/60
Assim, os métodos constam de duas fases: Fase I: Localização ou isolamento das raízes Consiste em obter um intervalo que contém a raiz. Fase II: Refinamento Consiste em, escolhidas aproimações iniciais para o intervalo da Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproimação para a raiz dentro de uma precisão ε pré-estabelecida. Cálculo Numérico 11/60
FASE I: Isolamento das Raízes Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f (). O da Fase II depende fortemente da precisão desta análise. Cálculo Numérico 12/60
Fase I: Isolamento das Raízes Na análise teórica, usa-se: TEOREMA 1 Seja f () uma função contínua em [a, b]. Se f (a) f (b) < 0, então eiste ponto = ξ entre a e b que é zero de f (). Esta é uma consequência do Teorema do Valor Intermediário. Cálculo Numérico 13/60
Fase I: Isolamento das Raízes f () f (b) > 0 TEOREMA 1 f (a). f (b) < 0 f (a) < 0 a ξ b Cálculo Numérico 14/60
Fase I: Isolamento das Raízes f () TEOREMA 1 f (a). f (b) < 0 f (b) > 0 a ξ 1 ξ 2 ξ 3 b f (a) < 0 Cálculo Numérico 15/60
Fase I: Isolamento das Raízes f () TEOREMA 1 f (a). f (b) < 0 f (b) > 0 a ξ 1 ξ 2 b f (a) < 0 Cálculo Numérico 16/60
Fase I: Isolamento das Raízes Sob as hipóteses do Teorema 1, se f () eistir e preservar o sinal em ]a, b[, então este intervalo contém um zero de f (). Cálculo Numérico 17/60
Fase I: Isolamento das Raízes f () f '( ) > 0, [ a, b] a ξ b Cálculo Numérico 18/60
Fase I: Isolamento das Raízes f ' ( ) < 0, a, b [ ] Cálculo Numérico 19/60
Fase I: Isolamento das Raízes Uma forma de isolar as raízes de f () usando os conceitos anteriores é tabelar f () para vários valores de e analisar as mudanças de sinal de f () e o sinal da derivada nos intervalos em que f () mudou de sinal. Cálculo Numérico 20/60
Fase I: Isolamento das Raízes EXEMPLO 1: Seja f () = 3 9 + 3. Vamos analisar o sinal desta função. Construindo uma tabela de valores para f () e considerando apenas os sinais, temos: - -100-10 -5-3 -1 0 1 2 3 f() - - - - + + + - - + Cálculo Numérico 21/60
Fase I: Isolamento das Raízes Sabendo que f () é contínua para qualquer real e observando as variações de sinal, podemos concluir que cada um dos intervalos I 1 = [-5, -3], I 2 = [0, 1], I 3 = [2, 3], contém pelo menos um zero de f (). Como f () é um polinômio de terceiro grau, podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f () e, assim localizamos todas as raízes de f () = 0. Cálculo Numérico 22/60
Fase I: Isolamento das Raízes Se f (a) f (b) > 0: Podemos ter várias situações no intervalo [a, b], conforme mostram os gráficos a seguir. Cálculo Numérico 23/60
Fase I: Isolamento das Raízes f () f (a). f (b) > 0 Nenhuma raiz f (a) < 0 f (b) < 0 a b Cálculo Numérico 24/60
Fase I: Isolamento das Raízes Várias raízes f () f (a). f (b) > 0 a ξ 1 ξ 2 b f (a) < 0 f (b) < 0 Cálculo Numérico 25/60
Fase I: Isolamento das Raízes f () f (a). f (b) > 0 f (a) > 0 Uma única raiz f (b) > 0 a ξ 1 b Cálculo Numérico 26/60
Fase I: Isolamento das Raízes A análise gráfica da função f () ou da equação f () = 0 é fundamental para se obter aproimações para a raiz. Temos três processos de análise de gráficos. Cálculo Numérico 27/60
Processos Gráficos ESBOÇAR O GRÁFICO: Análise do comportamento da função, que envolve: domínio da função, pontos de descontinuidade, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máimo e mínimo, concavidade, ponto de infleão e assíntotas da função. Através da EQUAÇÃO EQUIVALENTE g () = h (): A partir da equação f () = 0, obter a equação equivalente g () = h (), esboçar os gráficos das funções g () e h () no mesmo eio cartesiano e localizar os pontos onde as duas curvas se interceptam, pois neste caso: f ( ξ ) = 0 è g ( ξ ) = h ( ξ ). GRÁFICOS COMPUTACIONAIS: Eemplo: uso do Matlab. Cálculo Numérico 28/60
Equação Equivalente g() = h() EXEMPLO 2: Suponha f () = log 1, então queremos encontrar tal que: log 1 = 0 log = 1 Chamando: e g ( ) = log h ( ) = 1 Cálculo Numérico 29/60
Equação Equivalente g() = h() y h() 2 ξ 3 g() ξ 1 2 3 4 5 6 Verificou-se que ξ [2, 3] Cálculo Numérico 30/60
Fase II: Refinamento Veremos vários métodos de refinamento de raízes. A forma como se efetua o refinamento é que diferencia os métodos. Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são eecutadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. Cálculo Numérico 31/60
Início Dados Iniciais Cálculo Iniciais k = 1 Calcular a nova aproimação Essa aproimação está próima o suficiente da raiz eata? Cálculos Intermediários Sim Cálculos Finais Fim k = k+1 Cálculo Numérico 32/60
Critério de Parada Nos, uma aproimação atual é feita com base em uma aproimação prévia. Esse processo é realizado repetidamente (iterativamente) para se calcular aproimações cada vez melhores. Cálculo Numérico 33/60
Critério de Parada TESTE: k está suficientemente próimo da raiz eata? Eistem duas interpretações para raiz aproimada que nem sempre levam ao mesmo resultado: é raiz aproimada com precisão ε se: i) ξ < ε ou ii) f ( ) < ε Cálculo Numérico 34/60
Aproimação para o erro Nos, a grande preocupação é em saber se o valor absoluto percentual é que uma tolerância percentual pré-estabelecida. ε a < ε s Repete-se, então, os cálculos até que isto ocorra. Cálculo Numérico 35/60
Critério de Parada Como efetuar o teste (i) se não conhecemos o valor eato da raiz ξ? Usamos os conhecimentos de erro absoluto e erro relativo para determinarmos o critério de parada. ERRO ABSOLUTO: k k 1 < ε ERRO RELATIVO: k k 1 k < ε Cálculo Numérico 36/60
Nem sempre é possível ter as eigências (i) e (ii) satisfeitas simultaneamente. Cálculo Numérico 37/60
f () Temos f ( ) < ε Mas ξ >> ε f ( ) ξ ε Cálculo Numérico 38/60
f () Temos ξ < ε Mas f ( ) >> ε f ( ) ε ξ Cálculo Numérico 39/60
f () Temos f ( ) < ε e ξ < ε f ( ) ξ Cálculo Numérico 40/60
Métodos Iterativos Métodos iterativos para a obtenção de zeros reais de funções reais: Bissecção; Falsa posição; Ponto fio; Newton-Raphson; Secante. Cálculo Numérico 41/60
Método da Bissecção Suponha que f () seja uma função contínua definida em [a,b], tal que f (a) f (b) < 0. Então vimos que, eiste pelo menos uma raiz neste intervalo. Vamos supor, para simplificar, que ]a, b[ contenha uma única raiz da equação f () = 0. Cálculo Numérico 42/60
Método da Bissecção O objetivo deste método é a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida usando, para isto, a sucessiva. Cálculo Numérico 43/60
Método da Bissecção Graficamente: 2 = (a 1 + b 1 )/2 f() f (a 0 ). f (b 0 ) < 0 f() a 0 = a 1 ξ 1 = (a 0 + b 0 )/2 2 1 = b 1 a 0 ξ f (a 1 ). f (b 1 ) < 0 1 b 0 Cálculo Numérico 44/60
Método da Bissecção Graficamente: 2 = (a 1 + b 1 )/2 f() f (a 0 ). f (b 0 ) < 0 f() a 0 = a 1 ξ 1 = (a 0 + b 0 )/2 2 1 = b 1 a 0 ξ 3 = (a 2 + b 2 )/2 1 b 0 f() Repete-se o processo até que o valor de atenda às condições de parada. 2 =a 2 3 Cálculo Numérico 45/60 ξ b 1 =b 2
Cálculo Numérico 46/60 Método da Bissecção As iterações são realizadas da seguinte forma: ( ) ( ) ( ) ] [ = = > > < + = 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1, 0 0 0 2 b a a a f b f a f b a ξ ( ) ( ) ( ) ] [ = = < > < + = 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2, 0 0 0 2 b b a b f b f a f b a ξ!!
Método da Bissecção Ao se conseguir um intervalo [a, b] tal que: ξ [ a,b] e então, [ a, b], ξ < ε. b a < ε Portanto, [ a b], pode ser tomado como. Cálculo Numérico 47/60
EXEMPLO 4 Considerando o método da bissecção com ε = 0,002 e adotando [2,3] como intervalo inicial, obtenha uma aproimação para a função: f ( ) = log( ) 1 Cálculo Numérico 48/60
EXEMPLO 4 y h() 2 ξ 3 g() ξ 1 2 3 4 5 6 Verificou-se que ξ [2, 3] Cálculo Numérico 49/60
EXEMPLO 4 k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) 0 2,00000 3,00000-0,39794 0,43136 2,50000-0,00515 1 2,50000 3,00000-0,00515 0,43136 2,75000 0,20816 2 2,50000 2,75000-0,00515 0,20816 2,62500 0,10021 3 2,50000 2,62500-0,00515 0,10021 2,56250 0,04720 4 2,50000 2,56250-0,00515 0,04720 2,53125 0,02094 5 2,50000 2,53125-0,00515 0,02094 2,51563 0,00788 6 2,50000 2,51563-0,00515 0,00788 2,50782 0,00136 b - a = 0,01563 f() < ε = 0,002 > ε = 0,002 = 2, 50782 Cálculo Numérico 50/60
EXEMPLO 4 k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) 0 2,00000 3,00000-0,39794 0,43136 2,50000-0,00515 1 2,50000 3,00000-0,00515 0,43136 2,75000 0,20816 2 2,50000 2,75000-0,00515 0,20816 2,62500 0,10021 3 2,50000 2,62500-0,00515 0,10021 2,56250 0,04720 4 2,50000 2,56250-0,00515 0,04720 2,53125 0,02094 5 2,50000 2,53125-0,00515 0,02094 2,51563 0,00788 6 2,50000 2,51563-0,00515 0,00788 2,50782 0,00136 7 2,5000 2,50782-0,00515 0,00136 2,50391-0,00189 8 2,50391 2,50782-0,00189 0,00136 2,50587-0,00026 9 2,50587 2,50782 - - - - b - a = 0,00195 < ε =0,002 [ 2 50587 2 50782],,, Cálculo Numérico 51/60
Método da Bissecção ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES: Dada uma precisão ε e um intervalo inicial [a, b], vamos determinar quantas iterações serão efetuadas pelo método da bissecção até. Cálculo Numérico 52/60
Cálculo Numérico 53/60 Método da Bissecção a 0 b 0 a 1 b 1 b 2 a 2 2 0 0 1 1 a b a b = 2 0 0 1 1 2 2 2 2 a b a b a b = = 3 0 0 2 2 3 3 2 2 a b a b a b = = b 3 a 3
Método da Bissecção Então temos que: b k a k = b a b k 1 k 1 = 0 k 2 2 a 0 Devemos obter o valor de k tal que seja: b 0 a 0 2 k < ε b k a k < ε, ou Cálculo Numérico 54/60
Método da Bissecção Portanto, se k satisfaz a relação anterior, ao final da iteração k, teremos o intervalo [a, b] que contém a raiz ξ, tal que:, [ a b] ξ b a ε Cálculo Numérico 55/60
Podem ocorrer sequências em que as diferenças convergem para zero, enquanto a própria sequência diverge. Podem ocorrer de f ( ) n for significativamente diferente de. n estar próimo de zero, mesmo quando Sem outras informações sobre f ou, o melhor critério é: n n 1 n < ε n n 1 por ser o que mais se aproima da ideia de testar o. Cálculo Numérico 56/60
Método da Bissecção VANTAGENS: Facilidade de implementação; Estabilidade e convergência para a solução procurada; O número de iterações é dependente da tolerância considerada. Cálculo Numérico 57/60
Método da Bissecção DESVANTAGENS: Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f () em um elevado número de iterações); Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível); Compleidade da etensão do método para problemas multivariáveis. Cálculo Numérico 58/60
Eercício Seja f () = 3 9 + 3; I = [0, 1]; ε = 10-3, use o critério b - a < ε. k a k b k f(a k ) f(b k ) k+1 f( k+1 ) b a 0 0 1 3-5 0,5-1,375 1 1 0 0,5 3-1,375 0,25 0,76563 0,5 2 0,25 0,5 0,76563-1,375 0,375-0,32227 0,25 3 0,25 0,375 0,76563-0,32227 0,3125 0,21802 0,125 4 0,3125 0,375 0,21802-0,32227 0,34375-0,05313 0,0625 5 0,3125 0,34375 0,21802-0,05313 0,32813 0,08216 0,03125 6 0,32813 0,34375 0,08216-0,05313 0,33594 0,01445 0,01562 7 0,33594 0,34375 0,01445-0,05313 0,33985-0,01940 0.00781 8 0,33594 0,33985 0,01445-0,01940 0,33790-0,00252 0,00391 9 0,33594 0,33790 0,01445-0,00252 0,33692 0,00597 0,00196 10 0,33692 0,33790 - - - - 0,00098 Cálculo Numérico 59/60
Referências BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2008. iii, 721 p. ISBN 8522106010. RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, c1997. vi, 406 p. ISBN 8534602042. CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2008. 809 p. ISBN 978-85-86804-87-8. Cálculo Numérico 60/60