Arquitetura e Organização de Computadores Sistemas Numéricos 1
A Notação Posicional Todos os sistemas numéricos usados são posicionais. Exemplo 1 (sistema decimal): 1999 = 1 x 1000 + 9 x 100 + 9 x 10 + 9 x 1 1999 = 1 x 10 3 + 9 x 10 2 + 9 x 10 1 + 9 x 10 0 Exemplo 2 (também sistema decimal): 123.5 = 1 x 10 2 + 2 x 10 1 + 3 x 10 0 + 5 x 10-1 2
Sistema Decimal O formato genérico de um número no sistema decimal é: Parte inteira Ponto decimal Parte fracionária D = d m-1 d m-2...d 2 d 1 d 0. d -1 d -2 d -n = d m-1 10 m-1 + d m-2 10 m-2 + + d 2 10 2 + d 1 10 1 + d 0 10 0 + d -1 10-1 + d -2 10-2 + + d -n 10 -n = m-1 i=-n di 10 i Onde 10 é a base do sistema 3
Sistema Posicional Genérico (base = r) Parte inteira Ponto Parte fracionária D = d m-1 d m-2...d 2 d 1 d 0. d -1 d -2 d -n = d m-1 r m-1 + d m-2 r m-2 + + d 2 r 2 + d 1 r 1 + d 0 r 0 + d -1 r -1 + d -2 r -2 + + d -n r -n = m-1 di r i i=-n 4
Sistema Binário (base r=2) Parte inteira Ponto binário Parte fracionária D = b m-1 b m-2 b 2 b 1 b 0. b -1 b -2 b -n = b m-1 x 2 m-1 + b m-2 x 2 m-2 + + b 2 x 2 2 + b 1 x 2 1 + b 0 x 2 0 + b -1 x 2-1 + b -2 x 2-2 + + b -n x 2 -n = m-1 i=-n di 2 i 5
Números Octais e Hexadecimais Além dos sistemas decimal e binário, dois sistemas são de grande relevância: octal -base 8 hexadecimal - base 16 6
Números em Binário,, Octal, Decimal e Hexa Binário Octal Decimal Hexa 0 0 0 0 1 1 1 1 10 2 2 2 11 3 3 3 100 4 4 4 101 5 5 5 110 6 6 6 111 7 7 7 1000 10 8 8 1001 11 9 9 1010 12 10 A 1011 13 11 B 1100 14 12 C 1101 15 13 D 1110 16 14 E 1111 17 15 F 7
Codificação Binária de Octal, Decimal e Hexa Binário Octal codificado em binário Decimal codificado em binário Hexadecimal codificado em binário 0 000 0000 0000 1 001 0001 0001 10 010 0010 0010 11 011 0011 0011 100 100 0100 0100 101 101 0101 0101 110 110 0110 0110 111 111 0111 0111 1000 001 000 1000 1000 1001 001 001 1001 1001 1010 001 010 0001 0000 1010 1011 001 011 0001 0001 1011 1100 001 100 0001 0010 1100 1101 001 101 0001 0011 1101 1110 001 110 0001 0100 1110 1111 001 111 0001 0101 1111 10000 010 000 0001 0110 0001 0000 10001 010 001 0001 0111 0001 0001 8
Conversão Binário,, Octal e Hexa Conversão (direta) de binário para octal e hexadecimal 1010011100 2 = 001 010 011 100 = 1234 8 1010011100 2 = 0010 1001 1100 = 29C 16 Conversão (direta) de octal e hexadecimal para binário 765 8 = 111 110 101 2 FED 16 = 1111 1110 1101 2 9
Conversão de Base r para Decimal D = m-1 di r i i=-n 12EF 16 = 1 16 3 + 2 16 2 + 14 16 1 + 15 16 0 436.5 8 = 4 8 2 + 3 8 1 + 6 8 0 + 5 8-1 = 286.625 8 10
Conversão de Decimal para Base 2 179 10 =? 2 179 / 2 = 89 resto 1 (dígito menos significativo) 89 / 2 = 44 resto 1 44 / 2 = 22 resto 0 22 / 2 = 11 resto 0 11 / 2 = 5 resto 1 5 / 2 = 2 resto 1 2 / 2 = 1 resto 0 1 / 2 = 0 resto 1 (dígito mais significativo) 179 10 = 10110011 2 11
Soma de Números Binários Soma de números binários é semelhante a soma de números decimais Tabela da Soma: Vem um (carry in) x i + y i + c i s i c i+1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Resultado da soma de x e y Vai um (carry out) 12
Exemplo de Soma Binária Exemplo: 499 + 43 =? Aritmética decimal 11 vai-um 499 + 43 542 Aritmética binária 256 128 64 32 16 8 4 2 1 c 1 1 1 1 0 0 0 1 1 x 1 1 1 1 1 0 0 1 1 y 1 0 1 0 1 1 x + y 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 S 9 S 8 S 7 S 6 S 5 S 4 S 3 S 2 S 1 S 0 13
Subtração de Números Binários A subtração de números binários também é semelhante a subtração de números decimais Tabela da Subtração: x i - y i - b i d i b i+1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 14
Exemplo de Subtração Binária Exemplo: 987-123 =? Aritmética decimal 987-123 864 Aritmética binária 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 x 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 y 1 1 1 1 0 1 1 Borrows 0 0 1 1 0 0 0 0 0 x - y 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 D 9 D 8 D 7 D 6 D 5 D 4 D 3 D 2 D 1 d 0 15
Representação em sinal-magnitude Exemplos: +9 e -9 representados com 8 bits sinal magnitude +9 = 0 0 0 0 1 0 0 1-9 = 1 0 0 0 1 0 0 1 o sinal é representado pelo dígito mais significativo (i.e., o mais da esquerda): + 0-1 16
Representação em complementos Criada para simplificar a operação de subtração e as manipulações lógicas Existem 2 tipos de complementos para um sistema de base r: complemento de r complemento de r-1 17
Complemento de r-1 Seja um número N na base r, representado com n dígitos o complemento de (r-1) de N é dado por: (r n -1) -N 18
Complemento de r-1 Para números binários: r = 2 (r-1) = 1 logo, o complemento de 1 de N será (2 n -1) -N Exemplos: encontrar o complemento de 1 dos seguintes números binários 10111 2 (=23 10 ) (2 5-1) - 23 = (32-1) - 23 = 8 10 = 1000 2 1011001 2 0001111 2 19
Exemplos de representação em complemento de 1 (r-1) +9 e -9 representados com 8 bits complementa-se cada um dos bits do número positivo (incluindo o bit de sinal) sinal magnitude +9 = 0 0 0 0 1 0 0 1-9 = 1 1 1 1 0 1 1 0 o sinal é representado pelo dígito mais significativo (i.e., o mais da esquerda): + 0-1 20
Complemento de r Seja um número N na base r, representado com n dígitos o complemento de r de N é dado por: r n - N se N 0 0 se N = 0 ou seja, o complemento de r é obtido somando-se 1 ao complemento de (r -1) 21
Complemento de r Para números binários: r = 2 e o complemento de 2 de N será 2 n -N Exemplos: encontrar o complemento de 2 dos seguintes números binários 10111 2 (=23 10 ) 2 5-23 = 32-23 = 9 10 = 1001 2 1011001 2 0001111 2 22
Exemplos de representação em complemento de 2 (r) +9 e -9 representados com 8 bits complementa-se cada um dos bits do número positivo (incluindo o bit de sinal) soma-se 1 sinal magnitude +9 = 0 0 0 0 1 0 0 1-9 = 1 1 1 1 0 1 1 1 o sinal é representado pelo dígito mais significativo (i.e., o mais da esquerda): + 0-1 23
Adição de números binários em complemento de 2 Exemplo 1: 2 números positivos + 0 0 0 0 transporte ( carry ) 0 0 1 0 (+2) 0 1 0 0 (+4) 0 1 1 0 (+6) resultado Resultado correto 24
Adição de números binários em complemento de 2 Exemplo 2: 2 números negativos + 1 1 0 0 transporte ( carry ) 1 1 1 0 (-2) 1 1 0 0 (-4) 1 0 1 0 (-6) resultado Resultado correto 25
Adição de números binários em complemento de 2 Exemplo 3: 1 número positivo e 1 número negativo + 0 0 0 1 transporte ( carry ) 1 0 0 1 (-7) 0 0 0 1 (+1) 1 0 1 0 (-6) resultado Resultado correto 26
Adição de números binários em complemento de 2 Exemplo 4: 2 números positivos ocorre overflow quando esses 2 bits são diferentes + 0 1 0 0 transporte ( carry ) 0 1 0 0 (+4) 0 1 0 1 (+5) 1 0 0 1 (-7) Resultado errado o resultado excede o intervalo de representação = overflow 27
Adição de números binários em complemento de 2 Exemplo 5: 2 números negativos ocorre overflow quando esses 2 bits são diferentes + 1 0 0 0 transporte ( carry ) 1 1 0 0 (-4) 1 0 1 1 (-5) 0 1 1 1 (+7) Resultado errado o resultado excede o intervalo de representação = overflow 28