Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

CONCEITO DE FUNÇÃO... 2 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO... 8 IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO... 12 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO... 15 DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO... 15 DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO... 17 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO... 19 FUNÇÃO CONSTANTE... 25 RESPOSTAS... 27 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 30 No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. O fato de apenas alguns exercícios estarem indicados não significa que os demais devam ser ignorados. Ao contrário, quanto mais exercícios você fizer mais hábil você pode ficar. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÕES

CONCEITO DE FUNÇÃO Dados dois conjuntos não vazios A e B *, uma relação f de A em B recebe a denominação de função de A em B se, e somente para todo x A existe um único (x; y) f. f é uma função de A em B ( x A, y B (x; y) f) Vamos considerar os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { -1, 0, 1, 2, 3} e as seguintes relações binárias: R = {(x; y) A x B y = x + 1} S = {(x; y) A x B y 2 = x 2 } T = {(x; y) A x B y = x} V = {(x; y) A x B y = (x -1) 2-1} W = {(x; y) A x B y = s} Começaremos pela relação R: É importante notar que: Todo elemento de A deve ser associado a um elemento de B; Para um dado elemento de A associamos um único elemento de B. Usando o conceito de domínio e imagem que já estudamos em relações, podemos dizer também, que: f : A B é uma função se todo elemento do domínio possui somente uma imagem. Veja, a seguir, alguns exemplos que ilustram relações de A em B. Note que algumas delas expressam função e outras não. Desta forma temos: R = { (0; 1), (1; 2), (2; 3) } Para cada elemento x A com exceção do 3, existe um só elemento y B tal que (x; y) R. Para o elemento 3 A, não existe y B tal que (3; y) R. Neste caso, como existe elemento de A que não possui imagem, R NÃO é uma função de A em B. * Em todo nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e B são conjuntos formados por números reais, ou seja, A e B estão contidos em. CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG CAMPUS OURO PRETO

Vejamos agora a relação S que associa x e y em pares de números que possuem o mesmo quadrado. Veja a relação V agora: S = { (0; 0), (1; -1), (1; 1), (2; 2), (3; 3)} Para cada elemento x A, com exceção do 1, existe um só elemento y B tal que (x; y) S. Para o elemento 1, existem dois elementos de B, o 1 e o -1, tais que (1, -1) S e (1, 1) S. Assim, S NÃO é uma função pois existe elemento do domínio que possui mais de uma imagem. V = { (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 3) } Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) V. B. Então S É UMA FUNÇÃO de A em Vamos encerrar esta série com a relação W.: Agora, a relação T: W = { (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2) } T = { (0; 0), (1; 1), (2; 2), )3; 3) } Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) T. Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) W. Então W É UMA FUNÇÃO de A em B. B. Então T É UMA FUNÇÃO de A em MATEMÁTICA I 3 FUNÇÕES

Estas três últimas relações: T, V e W que apresentam a particularidade: Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) pertence à relação, logo são funções de A em B. Quando analisamos uma relação a partir da representação por diagrama de flechas em dois conjuntos A e B, devemos observar duas condições para que a relação de A em B seja uma função de A em B: 1. Deve sair flecha de TODOS os elementos de A. 2. Deve sair apenas uma flecha de cada elemento de A. Estas duas condições apenas afirmam o que foi dito no início da página 2 desta apostila. Lá está afirmando que f: A B é uma função se todo elemento de A possui uma (condição 1) e somente uma (condição 2) imagem. b) c) d) Função? Justifique: Função? Justifique: Função? Justifique: Vamos identificar, nos diagramas a seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B justificando, quando for o caso. a) Função? e) Função? Justifique: Justifique: CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

f) Função? Justifique: Vamos identificar, nos gráficos a seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B ficando atentos para o domínio determinado e justificando, quando for o caso. a) A = [-1; 2] e B = Função? Justifique: b) A = [-2; 2] e B = Função? Justifique: Podemos verificar também se uma relação é ou não função a partir de sua representação gráfica. Para tal, basta verificarmos se todas as retas paralelas ao eixo das ordenadas que podemos traçar dentro do domínio da relação toca o gráfico em um e somente um ponto, veja nos exemplos que seguem. c) A = [0; 4] e B = Função? Justifique: MATEMÁTICA I 5 FUNÇÕES

c) EXEMPLOS COMPLEMENTARES Ver R.6 e R7 das Páginas 123 e 124 1) Assim como foi feito no exemplo da página 4, identifique cada uma das relações de A em B abaixo, apresentadas sob forma de diagrama, como função ou não e a seguir, justifique. a) d) b) e) CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

f) c) D = [-7; 7] d) D = [-4; 4] 2) Dentre os gráficos abaixo, identifique aquele que apresenta e aquele que não apresenta função justificando sua resposta ficando sempre atento ao domínio apresentado. a)d = [1; 4] e) D = b) D = [-4; 3] MATEMÁTICA I 7 FUNÇÕES

f) D = IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Dada uma função f: A B sendo f = {(x, y) A x B}, assim como vimos nas relações, os valores que a ordenada y admite, formam o conjunto chamado IMAGEM. Veja, nos dois exemplos a seguir, a determinação da imagem de uma função. g) D = Ex.: Dado A = {1, 2, 3, 4}, consideremos a função f: A definida por f(x) = 2x, temos: Para x = 1, f1 21 2 Para x = 2, f2 22 4 Para x = 3, f3 23 6 Para x = 4, f4 2 4 8 h) D = A imagem desta função é Im(f) = {2; 4; 6; 8} CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

Ex.: Determinar a imagem da função f: D definida por f(x) = x 3 x + 10, sendo D = { -2; -1; 0; 1; 2}. Para x = -2 f 2 2 3 210 8 2 10 4 Para x = -1 f 1 1 3 1 10 1110 10 Observe que três elementos do domínio (-1, 0 e 1) possuem a mesma imagem (10). Isto é permitido no conceito de função, pois ele exige que cada elemento do domínio tenha somente uma imagem. Nada impede que um mesmo elemento do contra-domínio tenha mais de uma contra-imagem. Lembre-se que, para que f: A B seja uma função o que não pode ocorrer é um dado elemento de A não ter imagem ou ter mais de uma imagem. Para x = 0 3 f 0 0 0 10 0 0 10 10 Para x = 1 3 f 1 1 1 10 1110 10 3) Determine o conjunto imagem em cada uma das funções a seguir apresentadas sob forma de diagrama de flechas. a) Para x = 2 3 f 2 2 2 10 8 2 10 16 Logo, Im(f) = {4; 10; 16} MATEMÁTICA I 9 FUNÇÕES

b) 5) Seja f: a função definida por 2 fx. Calcule: x 2 1 a) f 1 b) 1 f 2 c) c) f 2 4) Sendo f: A, uma função definida por f(x) = 3x 2 + 1, determine a imagem de f sabendo que 2 A 5; 5; ; 3; 3 1 3 d) f1 2 CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG CAMPUS OURO PRETO

1 1 6) Se fx, qual é o valor de x x 1 f(1) + f(2) + f(3)? x 1 e b) f: D dada por 1 D 2; 1; 0; 1; 2 f x 7) Determine a imagem de cada função: 1 a) f: A dada por fx x e x 1 1 A ; ; 1; 2; 3 3 2 8) Na função f: definida por f(x) = 7x 3, para que valor de x tem-se f(x) = 18? MATEMÁTICA I 11 FUNÇÕES

9) Na função f: definida por f(x) = x 2 2x, para que valor de x tem-se f(x) = 3? E f(x) = 0? 11) Dada fx x 1, calcule o valor de x para o qual se tem f(x) = 2. x 1 10) Uma função definida por fx 2x 1 tem imagem Im(f) = {-3; -1; 1; 3; 5}. Qual o domínio de x? ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 123 Exercícios 17 a 22 IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO Para determinar a imagem de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo vertical que possuem uma contraimagem no eixo OX. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas horizontais. Todas aquelas que tocarem o gráfico em pelo menos um ponto determinam, no eixo OY a imagem. Veja nos exemplos a seguir. Vamos determinar a imagem de cada uma das funções abaixo apresentadas pelos seus gráficos. CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG CAMPUS OURO PRETO

a) e) b) Im = [a; b] Im = {1; 3} c) Im = [a; b] 12) Seguem 12 gráficos montados em uma malha quadriculada. Sabendo que cada quadrinho representa uma unidade, determine a imagem da função em cada caso. a) d) Im = [a; b[ - {0} b) Im = [-2; 0[ ]1; 3[ MATEMÁTICA I 13 FUNÇÕES

c) d) g) e) h) f) CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG CAMPUS OURO PRETO

i) l) j) DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Considerando que toda função de A em B é uma relação binária então f tem uma imagem, como já vimos, e também um domínio. k) Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B tal que (x; y) f. Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedades, temos, nas funções: Domínio = conjunto de partida É importante ressaltar que os elementos que formam o domínio são aqueles assumidos pela abscissa, desta forma, no plano cartesiano, o domínio são os valores neste eixo. DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO Tomemos algumas funções e determinemos o seu domínio: MATEMÁTICA I 15 FUNÇÕES

Ex.: 1 f(x) = 2x Notemos que 2x para todo x, temos, então: D = 13) Determine o domínio de cada uma das funções reais a seguir: a) fx 3x 2 Ex.: 2 f(x) = x 2 Notemos que x 2 para todo x, temos, então: D = b) fx 1 x 2 Ex.: 3 Notemos que 1 x x f 1 x se, e somente se, x é real diferente de zero, temos, então,: D = * c) fx x 1 x 2 4 Ex.: 4 x f x Notemos que x se, e somente se, x é real e não negativo, então: D = + d) fx x 1 Ex.: 5 Notando que temos: x f 3 x 3 x para todo x, D = CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG CAMPUS OURO PRETO

e) fx 1 x 1 i) fx 3 x 2 x 3 f) fx x 2 x 2 g) 3 f x h) fx 3 2x 1 1 2x 3 DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO Para determinar o domínio de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo horizontal que possuem uma imagem no eixo OY. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas verticais. Todas aquelas que tocarem o gráfico determinam, no eixo OX, o domínio. Lembre-se que nenhuma destas retas verticais podem tocar o gráfico em mais de um ponto. Caso isto ocorra, o gráfico não representa uma função. Ex.: 1 Veja nos exemplos a seguir. D = [a; b] MATEMÁTICA I 17 FUNÇÕES

Ex.: 2 14) Todos os gráficos a seguir representam funções. Determine o domínio de cada uma delas. a) D = [a; b] Ex.: 3 b) D = Ex.: 4 c) D = * CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG CAMPUS OURO PRETO

d) y f 0 20 3 3 Para x = 1 y f 1 21 3 1 Para x = 2 y f 2 22 3 1 ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 127 Exercícios 24, 25 e 26 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Quando o domínio e o contradomínio de uma função f são subconjuntos de, dizemos que f é uma função real de variável real. Neste caso, podemos fazer uma representação geométrica da função assinalando num sistema de coordenadas cartesianas os pontos (x; y) com x D e y = f(x). Estes pontos formam o que chamamos de gráfico de f. Para x = 3 y f 3 Para x = 4 y f Para x = 5 y f 5 23 3 3 4 2 4 3 5 25 3 7 O gráfico de f é formado pelos pontos A(0; -3), B(-1; 1), C(2; 1), D(3; 3), E(4; 5) e F(5; 7). Ex.: 1 Fazer o gráfico da função f(x) = definida no domínio D(f) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Resolução: Para cada x D(f), calculamos y = f(x) e obtemos um ponto (x; y) do gráfico. Temos: Para x = 0, MATEMÁTICA I 19 FUNÇÕES

Ex.: 2 Fazer o gráfico da função f(x) = 2x 3 definida no domínio D(f) = {x 0 x 5}. Resolução Neste caso temos a mesma lei do exemplo anterior, y = f(x) = 2x 3, porém o intervalo do domínio é [0; 5]. Assim, além dos pontos A,B C, D, E e F, devemos, também, considerar os pontos situados entre eles, no segmento de reta AF. Veja, por exemplo: Para x = 0,5 y f0,5 20,5 3 2 Para x = 2,25 y f 2,25 22,25 3 1, 5 Ex.: 3 Fazer o gráfico da função f(x) = 2x 3 definida no domínio D(f) =. Resolução Temos, mais uma vez, a mesma lei dos exemplos anteriores, y = f(x) = 2x 3, mas o domínio é formado por todos os números reais. Assim, além do segmento, devemos considerar pontos À direita, com abscissa x > 5 e pontos à esquerda com x < 0. Veja, por exemplo: AF Para x = 6 y f 6 26 3 9 Para x = -1 y f1 21 3 5 O gráfico é, neste caso, a reta AF que não tem fim de um lado nem de outro. CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG CAMPUS OURO PRETO

b) sendo D = {x 1 x 5} c) sendo D = 15) Faça o gráfico da função f(x) = 6 x nos casos: a) sendo o domínio D = {1; 2; 3; 4; 5} 16) Faça o gráfico da função x x f nos 2 casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} MATEMÁTICA I 21 FUNÇÕES

b) sendo D = {x -2 x 2} c) sendo D = b) sendo D = {x -2 x 2} 2 17) Faça o gráfico da função fx x nos casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} Para x = -2, y = Para x = -1, y = Para x = 0, y = Para x = 1, y = Para x = 2, y = CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG CAMPUS OURO PRETO

c) sendo D = x 1 19) Faça o gráfico da função fx 2 com domínio D =. (Obtenha pontos do gráfico escolhendo valores para x e calculando y = f(x)) 18) Faça o gráfico da função nos casos. a) sendo o domínio D = {0; 1; 2; 3; 4} f x x b) sendo D = +. MATEMÁTICA I 23 FUNÇÕES

20) Faça o gráfico de f(x) = 2x + 1 com domínio D = [0; 3[ 21) Faça o gráfico de f: [-1; 5], 5 x definida por fx. 2 CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG CAMPUS OURO PRETO

22) Faça o gráfico de f: [-2; 2], definida por f x 2 x 2. FUNÇÃO CONSTANTE Dado um número real k, podemos considerar uma função que a todo número real x faz corresponder o número k: f:, com f(x) = k ( x ) Esta função é denominada função constante. O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas passado por todos os pontos de ordenada y = k. Observe que o domínio é D(f) = e a imagem é Im(f) = { k }. Ex.: 1 Construir o gráfico da função f: dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), veja: MATEMÁTICA I 25 FUNÇÕES

Ex.: 2 Construir o gráfico da função f: + dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), mas agora há uma restrição no domínio. Veja: 23) Faça o gráfico da função f: dado por f(x) = - 1. 24) Faça o gráfico da função 1, sex 0 f: dado por f x. -1 sex 0 CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG CAMPUS OURO PRETO

RESPOSTAS 1) a) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem. b) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem. c) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem. d) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem. e) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem. f) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem. 2) a) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. b) Função c) Função d) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. e) Função f) Função g) Não é função pois existem elementos do domínio que não possuem imagem. h) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. 3) a) Im = {-1; 0; 1} b) Im = {-1} c) Im = {-1, 2} 4) Im f 7 ; 10; 13 6 3; 76 3 5) a) 1 b) 6) c) 3 4 2 3 7) a) Im f d) 8 5 2 2 2 10 5 ; ; 2 3 2 b) Imf 1; 2; 3; 4 8) Resolução: f x 7x 3 e 7x 3 18 7x 21 x 3 f x 18 9) f(x) = 3 para x = 3 ou x = -1 f(x) = 0 para x = 0 ou x = 2 10) D f 11) x = 3 2 ; 7 12) a) Im = {-2, 0, 2} b) Im = 0; 2; 4 ; 5 2 3 c) Im = [-2; 2] d) Im = {y -4 x -2 ou -1 < x 4} e) Im = {y x -1} f) Im = {y x > 2 ou x = 1} g) Im = {-2; -1; 0; 2; 3; 4} h) Im = [1; 4[ i) Im = [-4; 3[ MATEMÁTICA I 27 FUNÇÕES

j) Im = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} k) Im = [-2; 3] 13) a) D b) D D 2 ou D x x 2 c) Resolução x 1 fx 2 x 4 2 x 4 0 x 2 4 x 2 x x 2 e x 2 d) D x x 1 e) D x x 1 f) D x x 2 e x 2 g) D 3 h) D 2 i) D 3 14) a) [-3; 4[ 15) a) b) [-3; 3] - {-1; 1} c) * d) * b) c) 16) a) b) CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG CAMPUS OURO PRETO

c) 18) a) b) 17) a) 19) b) 20) c) MATEMÁTICA I 29 FUNÇÕES

21) 22) 23) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE, Luiz Roberto; Matemática. São Paulo, Ática, 2004 MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 1988 IEZZI, Gelson e outros; Matemática, Volume único. São Paulo, Atual, 2002 PAIVA, Manoel; Matemática Ensino Médio, Volume 1. 2.ed. São Paulo. Moderna, 2013. 24) CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG CAMPUS OURO PRETO