Teoria espectral de operadores lineares limitados

Capítulo 8 Teoria espectral de operadores lineares limitados A teoria espectral é um dos ramos principais da análise funcional moderna e suas aplicações. Essencialmente consiste no inverso de certos operadores, nas suas propriedades e relação com os operadores originais. Como vimos no Capítulo 5, os operadores inversos surgem naturalmente na resolução de equações, sistemas de equações lineares, equações diferenciais, integrais, etc. A teoria espectral de operadores também ajuda a compreender os próprios operadores, como veremos mais adiante. Vamos começar com a teoria espectral de operadores em dimensão finita, a qual é essencialmente a teoria dos valores próprios de matrizes. Neste capítulo vamos excluir o espaço vectorial trivial {0} e admitiremos que todos os espaços vectoriais são complexos, isto é, o corpo subjacente é C. 8.1 Teoria espectral em espaços de dimensão finita Seja X um espaço normado de dimensão finita n e T : X X um operador linear. Então T pode ser representado por uma matriz n n, a qual, depende da escolha de uma base em X. Veremos que a teoria espectral de T reduz-se à teoria dos valores próprios da matriz associada a T. Assim, vamos investigar em primeiro lugar valores próprios e conceitos relacionados com matrizes n n. Seja A = (a i j ) n i, j=1 uma matriz n n real ou complexa. Os conceitos de valor próprio, vector próprio estão relacionados pela equação Ax = λx, λ C. (8.1) 179

A equação (8.1) pode escrever-se na forma matricial a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n =........................ a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + a nn x n λx 1 λx 2. λx n ou ainda na forma de sistema de n equações a n incógnitas (a 11 λ)x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + (a 22 λ)x 2 +... + a 2n x n = 0................................. a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn λ)x n = 0. Se denotarmos o operador identidade em X por I, então (8.1) escreve-se Recordemos os seguintes factos da álgebra linear: (A λi)x = 0. (8.2) 1. A equação (8.2) tem uma solução x 0 se e só se o determinante da matriz A λi é igual a zero, isto é, det(a λi) = 0. Isto dá a equação característica de A a 11 λ a 12... a 1n a det(a λi) = 21 a 22 λ... a 2n = 0..... a n1 a n2... a nn λ det(a λi) é chamado determinante característico de A. Desenvolvendo obtemos um polinómio em λ de grau n, chamado polinómio característico de A. 2. Por outro lado, se det(a λi) 0, então a equação (8.2) tem apenas a solução trivial x = 0. 3. De acordo com o teorema fundamental da álgebra, um polinómio de grau n tem pelo menos uma raiz complexa e não mais do que n raízes diferentes. Definição 8.1 Seja A = (a i j ) n i, j=1 uma matriz real ou complexa n n dada. Consideremos a equação Ax = λx, λ C. (8.3) 180

1. Um número λ C tal que a equação (8.3) tem solução não trivial x 0 chama-se valor próprio de A. O vector x 0 correspondente chama-se vector próprio associado ao valor próprio λ C. (a) Dado um valor próprio λ de A, o conjunto E(λ) := {x X Ax = λx} forma um subespaço vectorial de X o qual se chama subespaço próprio de A correspondente ao valor próprio λ. 2. O conjunto σ(a) de todos os valores próprios de A é chamado o espectro de A. 3. O complemento ρ(a) := C\σ(A) em C é chamado conjunto resolvente de A. Do que foi dito, concluímos que a matriz A tem pelo menos um valor próprio complexo e não mais do que n valores próprios diferentes. Por exemplo, a matriz A = ( ) 5 4 1 2 tem por vectores próprios x1 = ( ) 4 1 e x2 = ( ) 1 1 os quais correspondem aos valores próprios λ 1 = 6 e λ 2 = 1, respectivamente. Vamos agora aplicar estas noções a operadores T B(X), onde X é um espaço normado de dimensão n <. Seja e = {e 1,..., e n } uma base arbitrária de X e T e = (a i j ) i, j=1 a matriz associada ao operador T relativamente à base e. Então os valores próprios da matriz T e são chamados os valores próprios do operador T o conjunto σ(t e ) o espectro de T e ρ(t e ) o conjunto resolvente de T. Assim definido, podemos pensar que o conjunto dos valores próprios, e o conjunto resolvente dependem da base escolhida. Temos, no entanto, a seguinte proposição. Proposição 8.2 Seja T B(X) um operador linear definido num espaço normado de dimensão finita. Então todas as matrizes representando o operador T nas diferentes bases têm os mesmos valores próprios. Podemos combinar os resultados anteriores para mostrar que um operador T B(X) possui pelo menos um valor próprio. Proposição 8.3 Todo o operador linear definido num espaço normado complexo de dimensão finita X {0} possui pelo menos um valor próprio. A conclusão da proposição anterior não é verdadeira no caso dos espaços de dimensão infinita, ver Exemplo 8.12 mais à frente. Exemplo 8.4 Mostre que os valores próprios de uma matriz A de Hermite 2 2 são reais. Prove que o mesmo resultado é verdadeiro para uma matriz Hermiteana n n qualquer. 181

Prova. Uma matriz A diz-se de Hermite se e só se A = Ā. Assim se A = ( a b c d), então ( ) ( ) a b ā c A = = = Ā c d b d. Portanto, temos a = ā, d = d, pelo que a, d R. Temos ainda b = c, por isso a matriz A pode escrever-se como ( ) a b A =. b d Assim, o polinómio característico de A é dado pelo desenvolvimento de det(a λi) = 0, ou seja, As raízes são (a λ)(d λ) b 2 = 0 λ 2 (a + d)λ + ad b 2 = 0 = 0. λ ± = (a + d) ± (a + d) 2 4(ad b 2 ) 2 = a + d ± 1 (a d)2 + 4 b 2 2 2, como (a d) 2 + 4 b 2 > 0, então as raízes λ ± R. No caso geral, procedemos do seguinte modo Ax = λx x Ax = x λx λ = x Ax x x, onde x x é real e se N denotar x Ax, então assim, N é real e, portanto λ é real. N = N = x Ax = x Ā x = N, Exercícios Exercício 8.1 Encontre os valores e vectores próprios da matriz A = ( a R e b 0. 182 b b a), a, b

Exercício 8.2 Mostre que os valores próprios de uma matriz A anti-hermiteana (isto é, Ā T = A) são imaginários puros ou zero. Exercício 8.3 Mostre que os valores próprios de uma matriz A unitária (isto é, Ā = A 1 ) têm todos valor absoluto 1. 8.2 Teoria espectral dos operadores lineares limitados Nesta secção vamos considerar espaços normados de dimensão arbitrária. A teoria dos operadores lineares limitados nos espaços de dimensão infinita é bem mais complicada quando comparada com a mesma em dimensão finita. Seja T : D(T) X um operador linear, onde D(T) X e T λ, λ C o operador T λ := T λi, onde I é o operador identidade em D(T). Definição 8.5 (Operador resolvente) Se o operador T λ possui inverso, denotado por R λ (T), isto é, se existe R λ (T) := T 1 λ = (T λi) 1, então R λ (T) é chamado operador resolvente de T. É claro que se R λ (T) existe ele é linear. Observação 8.6 O nome resolvente é apropriado, visto que R λ (T) serve para resolver a equação T λ x = y. De facto, se R λ (T) existe, então x = R λ (T)y é solução da equação T λ x = y. Por outro lado, a investigação das propriedades do operador R λ (T) desempenham um papel relevante para compreender o próprio operador T. Definição 8.7 (Valor próprio) Seja T : D(T) X um operador linear com D(T) X. Um número complexo λ chama-se valor próprio do T se existe x 0 em X tal que T λ x = (T λi)x = 0. O vector x 0 chama-se vector próprio de T associado ao valor próprio λ. Note que se λ C é um valor próprio de T, então R λ (T) não existe, pois N(T λ ) {0}. 183

Definição 8.8 (Valor regular) Seja T : D(T) X um operador linear com D(T) X. Um número complexo λ chama-se valor regular de T se (R1) o operador R λ (T) existe e, portanto é um operador linear. (R2) O operador R λ (T) é limitado. (R3) O operador R λ (T) está definido num conjunto M denso em X, isto é, M = X. O conjunto ρ(t) de todos os valores regulares λ C do operador T chama-se conjunto resolvente de T. Definição 8.9 (Espectro) O complemento σ(t) = C\ρ(T) no plano complexo chama-se espectro de T e λ σ(t) diz-se um valor espectral de T. Pode provarse que o espectro σ(t) é a união disjunta dos seguintes conjuntos onde: σ(t) = σ d (T) σ c (T) σ r (T), σ d (T): é o espectro discreto de T, isto é, é o conjunto dos λ C tais que R λ (T) não existe. Portanto, se λ σ p (T), então λ é um valor próprio de T. σ c (T): é o espectro contínuo de T, isto é, é o conjunto dos λ C tais que o operador R λ (T) existe e satisfaz a condição 3. da Definição 8.8 mas não satisfaz a condição 2. da Definição 8.8, ou seja R λ (T) é ilimitado. σ r (T): é o espectro residual de T, isto é, é o conjunto dos λ C tais que R λ (T) existe e não satisfaz a condição 3. da Definição 8.8, ou seja, o domínio de R λ (T) não é denso em X. Neste caso R λ (T) pode ou não ser limitado. Podemos resumir as Definições 8.8 e 8.9 no seguinte quadro Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não (R1) (R2) (R3) λ pertence a: ρ(t) σ d (T) σ c (T) σ r (T) 184

Em dimensão finita, isto é, dim X <, o conjunto σ d (T) e σ c (T) = σ r (T) =. Mas em dimensão infinita, isto é, dim X = pode acontecer que σ d (T) = no entanto o operador tem valores espectrais. O próximo exemplo apresenta um operador com esta propriedade, isto é, T possui valores espectrais que não são valores próprios. Exemplo 8.10 Seja X = l 2 (C) e T : l 2 (C) l 2 (C) definido por Tz := (0, z 1, z 2,...). Então T = 1, R 0 (T) existe e λ = 0 é um valor espectral de T mas λ = 0 não é um valor próprio de T. Prova. É fácil verificar que T = 1, pois Tz 2 = z n 2 = z 2 Tz = z, n=1 de onde resulta T = 1. Por outro lado, R 0 (T) = T 1 0 = (T 0I) 1 = T 1 existe. De facto, o inverso do operador de deslocamento direito é o operador de deslocamento esquerdo, sendo este definido em R(T), isto é, D(R 0 (T)) = R(T). Assim, se w = (0, w 1, w 2,...) R(T), então R 0 (T)w = (w 2, w 3,...) e R 0 (T) é um operador limitado; de facto, temos R 0 (T) = 1. É claro que no domínio D(R 0 (T)) temos T R 0 (T) = I e também R 0 (T) T = I. Mas λ = 0 não é um valor próprio de T, pois Tz = 0z (0, z 1, z 2,...) = 0 z 1 = z 2 =... = 0, logo z = 0 e, assim, λ = 0 não é valor próprio de T. Para ver que λ = 0 é um valor espectral de T basta ter em atenção o facto de D(R 0 (T)) não ser denso em l 2 (C), pois D(R 0 (T)) = { z l 2 (C) z 1 = 0 } e, por exemplo, o vector (1, 0,...) não pertence ao conjunto gerado por D(R 0 (T)). Assim, λ = 0 ρ(t) pelo que λ = 0 σ(t) ou seja, λ = 0 é um valor espectral de T em σ r (T). 185

De seguida vamos analisar com mais pormenor o problema da existência de valores próprios de operadores auto-adjuntos limitados. Seja H é um espaço de Hilbert complexo e T B(H) um operador auto-adjunto, isto é, (T x, y) = (x, Ty), x, y H. Ou seja, T = T e temos ainda que T = T. Por outro lado se T é autoadjunto, então (T x, x) é real, visto que H é complexo e, inversamente, se (T x, x) é real, então T é auto-adjunto, ver Teorema 7.15. Teorema 8.11 Seja T B(H) um operador auto-adjunto em H. Então: 1. Todos os valores próprios de T (se existirem!) são reais. 2. Os vectores próprios correspondentes a valores próprios distintos são ortogonais. 3. Se λ é um valor próprio de T, então λ T. Prova. 1. Seja λ um valor próprio qualquer de T e x o vector próprio correspondente. Então x 0 e T x = λx. Como T é auto-adjunto, temos λ(x, x) = (λx, x) = (T x, x) = (x, T x) = (x, λx) = λ(x, x). Como (x, x) = x 2 Portanto, λ é real. 0 por x 0, então dividindo por (x, x) obtemos λ = λ. 2. Sejam λ,µ dois valores próprios de T distintos e x, y os vectores próprios correspondentes. Então T x = λx e T y = µy. Visto que T é auto-adjunto, temos λ(x, y) = (λx, y) = (T x, y) = (x, Ty) = (x, µy) = µ(x, y). Como por hipótese λ µ, então temos (λ µ)(x, y) = 0, de onde resulta que (x, y) = 0. Logo x y. 3. Tendo em conta a desigualdade e o facto de x 0, então λ T. λx = λ x = T x T x Um operador auto-adjunto pode não ter valores próprios, como mostra o seguinte exemplo. 186

Exemplo 8.12 Seja H = L 2 ([0, 1]) e T B(H) definido por T : L 2 ([0, 1]) L 2 ([0, 1]), x (T x)(t) := tx(t). Então T é linear limitado auto-adjunto sem valores próprios e σ(t) = σ c (T) = [0, 1]. Prova. É claro que T é linear limitado e auto-adjunto, pois, para quaisquer x, y L 2 ([0, 1]) temos (T x, y) = 1 0 (T x)(t)y(t)dt = 1 0 tx(t)y(t)dt = 1 De onde resulta T = T, isto é, T é auto-adjunto. Vamos provar que T não tem valores próprios. Temos (T λ x)(t) = ((T λi)x)(t) = (t λ)x(t). 0 x(t)ty(t)dt = (x, Ty). 1. Suponhamos que λ [0, 1], então (T λ x)(t) = 0 implica x(t) = 0 para t λ, logo x = 0, o elemento nulo em L 2 ([0, 1]). Assim, T λ é invertível e, deste modo, λ [0, 1] não pode ser valor próprio de T. O inverso Tλ 1 é dado por (T 1 λ x)(t) = (t λ) 1 x(t). (8.4) É claro que Tλ 1 não é limitado quando λ [0, 1] (quando t = λ, (Tλ 1x)(t) =!); como D(Tλ 1) é denso em L2 ([0, 1]), então concluímos que [0, 1] σ c (T). 2. Para λ R\[0, 1] o operador T λ também é injectivo e o seu inverso (dado por (8.4)) é limitado sendo o seu domínio denso em L 2 ([0, 1]). Logo R\[0, 1] ρ(t). Em resumo ρ(t) = R\[0, 1] σ(t) = σ c = [0, 1] σ p (T) = σ r (T) =. 187

Teorema 8.13 Seja T B(H) um operador linear limitado auto-adjunto no espaço de Hilbert complexo H. Então T = sup (T x, x). x =1 Prova. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos sup x =1 (T x, x) sup x =1 T x x sup T x = T. x =1 Vamos mostrar a desigualdade contrária. Podemos supor que T x 0 com x = 1, pois, caso contrário se T x = 0 para todos x com x = 1, então T = sup T x = 0 T = 0 x =1 e a desigualdade T sup x =1 (T x, x) é verdadeira neste caso. Assim, T x 0 com x = 1. Definimos v := T x x, w := 1 T x T x. Notemos, desde já que v 2 = w 2 = T x e para y 1 = v + w, y 2 = v w temos (Ty 1, y 1 ) (Ty 2, y 2 ) = 2[(Tv, w) + (Tw, v)] = 2((T x, T x) + (T 2 x, x)) = 4 T x 2. (8.5) Por outro lado, para qualquer y 0 e z = y 1 y y = y z, então (Ty, y) = y 2 (Tz, z) y 2 sup (Tz, z) = K y 2. z =1 Pela desigualdade triangular temos (Ty 1, y 1 ) (Ty 2, y 2 ) (Ty 1, y 1 ) + (Ty 2, y 2 ) sup (Tz, z) ( y 1 2 + y 2 2 ) z =1 = 2K( v 2 + w 2 ) = 4K T x. (8.6) 188

Portanto, de (8.5) e (8.6) resulta 4 T x 2 4K T x T x K. Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1 obtemos a desigualdade desejada, isto é, T K = sup x =1 (T x, x). Teorema 8.14 O espectro residual σ r (T) de um operador T B(H) auto-adjunto é vazio. Prova. Suponhamos, com vista a um absurdo, que existe λ σ r (T). Assim, R λ (T) existe mas D(R λ (T)) não é denso em H. Se denotarmos L := D(R λ (T)), então H pode decompor-se como H = L L. Existe y H tal que y 0 e y D(R λ (T)) = L, ou seja y L. D(R λ (T)) = R(T λ ), então (T λ x, y) = 0, x H. Como Como T é auto-adjunto, então (x, T λ y) = 0, x H. Escolhendo x = T λ y resulta T λ y 2 = 0, ou seja, T λ y = 0 Ty = λy. Como y 0, isto mostra que λ é um valor próprio de T, logo λ não pode ser um elemento em σ r (T), absurdo. Assim, σ r (T) =. Exemplo 8.15 Considere o espaço de Hilbert l 2 (C), e o operador T B(l 2 (C)) definido por ( Tz = z 1, z 2 2,..., z ) n n,.... Mostre que T é auto-adjunto e compacto. Calcule o espectro de T. Prova. Vamos mostrar que T é auto-adjunto. De facto, para quaisquer z, w l 2 (C) temos z n (Tz, w) = n w 1 n = z n n w n = (z, Tw). n=1 n=1 Como por definição (Tz, w) = (z, T w), então (z, T w) = (z, Tw) (z, (T T)w) = 0, z l 2 (C). 189

Escolhendo z = (T T)w, obtemos (T T)w 2 = 0, w l 2 (C). Portanto, as propriedades de norma implicam que (T T)w = 0, w l 2 (C), ou seja T T = 0 e, portanto, T = T. Deste modo T é auto-adjunto. Pelo Exemplo 7.25 o operador T é compacto. Assim, do Teorema 8.14 resulta de imediato que, o espectro residual de T σ r (T) é vazio, isto é, σ r (T) =. Temos, pois σ(t) = σ d (T) σ c (T). Relativamente ao espectro discreto, isto é, o conjunto formado pelos valores próprios de T, temos ( Tz = λz z 1, z 2 2,..., z ) n n,... = (λz 1, λz 2,..., λz n,...), de onde resulta que λ { 1, 1, 1,... 1,...}. Portanto, σ 2 3 n d (T) = { 1, 1, 1,... 1,...}. 2 3 n Falta identificar o conjunto do espectro contínuo, isto é, o conjunto σ c (T) dos valores λ tais que Tλ 1 existe mas não é limitado. Para tal, vamos calcular o operador inverso Tλ 1 := (T λi) 1. Sejam z, w l 2 (C) dados, então T λ z = w z = T 1 λ w. Assim, T λ z = w (T λi)z = w ( z 1 λz 1, z 2 2 λz 2,..., z ) n n λz n,... = (w 1, w 2,..., w n,...), de onde resulta que z 1 = z 2 =.. z n =.. w 1 1 λ, 2w 2 1 2λ,. nw n 1 nλ. O operador inverso T 1 λ é dado por ( Tλ 1 w = w1 1 λ, 2w 2 1 2λ,..., nw n 1 nλ,... 190 ).

É claro que para λ { 1, 1, 1,... 1,...}, o operador está bem definido e D(T 1 2 3 n λ ) = l 2 (C), de onde resulta que D(Tλ 1) é denso em l2 (C). Vamos, agora estudar Tλ 1 quanto à sua limitação: Tλ 1 w 2 = nw n 2 1 nλ = n 2 1 nλ w n 2. n=1 Para λ = 0 e w = e n = (0,... 0, 1, 0,...) (1 na posição n), então n=1 T 1 λ e n = n, lodo, passando ao supremo sobre todos os e n, n N, concluímos que Tλ 1 não é limitado. Isto prova que λ = 0 σ c (T), pois, T 0 é auto-adjunto (σ r (T) = ). Por outro lado, se λ 0, então como a sucessão n é crescente com limite 1, então 1 λn λ obtemos e, deste modo, temos T 1 1 λ σ(t) = λ T 1 λ w 1 λ w, 1, isto é, Tλ {1, 12, 13,... 1n },... é limitado. Portanto, {0}. Exercícios Exercício 8.4 Seja H = l 2 (C) o espaço de Hilbert das sucessões complexas de quadrado somável. Consideremos o operador T definido por ( T : l 2 (C) l 2 (C), x Tz := 0, z 1, z 2 2,..., z ) n n,.... Encontre o espectro do operador T. Exercício 8.5 Seja X = C([0, 1]) o espaço de Banach de todas as funções contínuas no intervalo [0, 1] e T : X X definida por Calcule o espectro de T. (T x)(t) = α(t)x(t), α C([0, 1]). 191

Exercício 8.6 Seja T : X X um operador linear limitado num espaço de Banach X tal que T < λ. Mostre que λ pertence ao conjunto resolvente de T, isto é, λ ρ(t). Conclua que σ(t) D T (C), onde D T (C) é o disco com centro na origem e raio T, isto é, D T (C) := {z C z T }. Exercício 8.7 Sendo X um espaço de Banach, encontre os seguintes objectos para o operador I: σ(i), R λ (I), Exercício 8.8 Seja X = C([0, 1]) o espaço de Banach e T B(X 2 ) o operador definido por ( ) ( ) 1 e (T x)(t) = t + 2 x1 (t) e t. 1 x 2 (t) Calcule o espectro de T. Calcule o operador R λ (T) para λ σ(t). Exercício 8.9 Sejam λ 1,... λ n valores próprios de uma n n-matriz A e p um polinómio de grau n, isto é, p(t) = α k t k. Mostre que p(λ j ), j = 1,..., n são valores próprios da matriz p(a). Exercício 8.10 Seja X = L 2 ([ 1, 1]) e T o operador definido por k=1 T : L 2 ([ 1, 1]) L 2 ([ 1, 1]), x (T x)(t) := 1 [0,1] (t)x(t). Calcule o espectro de T. Exercício 8.11 Seja T : l 1 (C) l 1 (C) o operador definido por Tz = (z 2, z 3,...). 1. Calcule a norma de T e o operador adjunto T. 2. Identifique os conjuntos σ(t) e ρ(t). Exercício 8.12 Sejam λ 1, λ 2 dois valores regulares de um operador T B(X). Mostre que 192

1. A seguinte identidade é verdadeira R λ1 (T) R λ2 (T) = (λ 1 λ 2 )R λ1 (T)R λ2 (T). 2. Os operadores R λ1 (T) e R λ2 (T) comutam, isto é [R λ1 (T), R λ2 (T)] = R λ1 (T)R λ2 (T) R λ2 (T)R λ1 (T) = 0. 3. A aplicação é contínua. ρ(t) λ R λ (T) B(X) Exercício 8.13 Mostre que se T B(X), então a aplicação ρ(t) λ R λ (T) B(X) tem derivada em qualquer ponto de λ ρ(t). 8.3 Teorema espectral Já vimos que os valores próprios de um operador auto-adjunto limitado T é real, cf. Teorema 8.3. Mas podemos mesmo mostrar que todo o espectro de T é real. Teorema 8.16 Seja T : H H um operador linear auto-adjunto limitado no espaço de Hilbert complexo H. 1. Então um número λ pertence ao conjunto resolvente ρ(t) se e só se existe uma constante c > 0 tal que, para todo x H, temos 2. O espectro σ(t) de T é real. T λ x c x, T λ := T λi. Prova. 1. Vamos somente mostrar a condição necessária. Se λ ρ(t), então R λ (T) = Tλ 1 : H H existe e é limitado. Assim, a norma de R λ (T) é, digamos, R λ (T) = k, onde k > 0. É claro que R λ (T)T λ = I e, portanto, para qualquer x H temos x = R λ (T)T λ x R λ (T) T λ x = k T λ x. 193

Deste modo, T λ x c x, onde c = 1/k. 2. Suponhamos, que λ = α+βi, β 0 com vista a provar que λ ρ(t); implicando que σ(t) R. Como T é auto-adjunto, então para qualquer x 0 em H, (T x, x), (x, x) são reais. Por outro lado, temos pelo que (T λ x, x) = (T x, x) λ(x, x), (T λ x, x) (T λ x, x) = (λ λ)(x, x) = 2iβ x 2. O lado esquerdo é igual a 2iIm(T λ x, x). Portanto, dividindo por 2, tomando o valor absoluto e usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos Dividindo por x 0 resulta que β x 2 = Im(T λ x, x) (T λ x, x) T λ x x. T λ x β x, β > 0 e, pela alínea anterior, λ ρ(t). Concluímos, pois, que se λ σ(t), então λ é real. Teorema 8.17 (Espectro) O espectro σ(t) de um operador T : H H limitado auto-adjunto está contido dentro do intervalo [m, M] do eixo real, onde m := inf (T x, x), x =1 M := sup(t x, x). Prova. Já sabemos pelo Teorema 8.16-2. que o espectro σ(t) é real. Vamos mostrar que se λ = M + ε, ε > 0, então λ pertence ao conjunto resolvente ρ(t). Seja x 0 e definimos v := x 1 x de onde resulta x = x v. Assim, (T x, x) = x 2 (Tv, v) x =1 x 2 sup(tṽ, ṽ) ṽ =1 = (x, x)m. Daqui resulta (T x, x) (x, x)m e, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz obtemos T λ x x (T λ x, x) = (T x, x) + λ(x, x) ( M + λ)(x, x) = c x 2, c := M + λ = ε > 0. 194

Portanto, dividindo por x obtemos a desigualdade T λ x c x pelo que λ ρ(t) pelo Teorema 8.16-1. Para λ < m a idea da prova é a mesma. O teorema seguinte mostra que se T = (T x 0, x 0 ) para algum x 0 H com x 0 = 1, então pelo menos um dos números T ou T é um valor próprio de T. Teorema 8.18 Seja T B(H) um operador auto-adjunto em H. 1. Se existe um vector x 0 H com x 0 = 1 e µ := sup (T x, x) = (T x 0, x 0 ), x =1 então µ é um valor próprio de T com vector próprio correspondente x 0. 2. Se existe um vector y 0 H com y 0 = 1 e λ := inf x =1 (T x, x) = (Ty 0, y 0 ), então λ é um valor próprio de T com vector próprio correspondente y 0. Prova. Sem prova. O teorema anterior dá uma condição necessária para existir um valor próprio de um operador auto-adjunto T, mas não dá a condição suficiente, isto é, quando é que (T x, x) tem um máximo ou mínimo no conjunto {x H x = 1}. O próximo teorema responde a esta questão. Teorema 8.19 Seja T B(H) um operador auto-adjunto e compacto. Então pelo menos um dos valores T ou T é um valor próprio de T. Prova. Se T = 0, então λ = 0 é um valor próprio de T, pois T x = λx para qualquer x 0. É claro que λ = T. Assim, suponhamos que T 0 e λ = T 0. Do Teorema 8.13 e definição de supremo, resulta a existência de uma sucessão (x n ) n=1 H com x n = 1 tal que lim n (T x n, x n ) T. (8.7) 195

Como T é compacto, então a sucessão (T x n ) n=1 possui uma subsucessão (Ty k) k=1 convergente. Por sua vez, a sucessão de números reais ((Ty k, y k )) n=1 possui uma subsucessão ((Tz l, z l )) l=1 convergente para um número real λ R com λ T. Vamos provar que lim z l = ϕ, e lim Tz l = λϕ. l l Como (Ty k ) k=1 é convergente, então a subsucessão (Tz l) l=1 também é convergente, digamos lim Tz l = ψ. l Assim, basta mostrar que Temos lim Tz l λz l = 0. (8.8) l Tz l λz l 2 = Tz l 2 λ(tz l, z l ) λ(z l, Tz l ) + λ 2 = Tz l 2 2λ(Tz l, z l ) + λ 2 ψ 2 λ 2. Temos ainda Tz l T = λ o que implica ψ λ. Daqui resulta a igualdade (8.8). Por outro lado, de lim l Tz l = ψ resulta a existência de um elemento ϕ H com ϕ = 1 tal que lim l z l = ϕ. Como T B(H), então lim l Tz l = Tϕ. Agora a igualdade (8.8) implica que Tϕ = λϕ, isto é, λ é um valor próprio de T. Corolário 8.20 Se T B(H) é auto-adjunto e compacto, então max (T x, x) x =1 existe e T = max (T x, x). x =1 196

Prova. Pelo Teorema 8.19, T é um valor próprio de T. Seja x o vector próprio correspondente a T tal que x = 1. Temos, logo (T x, x) = T. Assim, sup y =1 (T x, x) = ( T x, x) = T x 2 = T, (Ty, y) = T = (T x, x) = max (Ty, y). y =1 Observação 8.21 Se T B(H) é um operador auto-adjunto compacto, então a componente do espectro σ d (T) e ainda σ d (T) R, pois os valores próprios são reais. Num espaço euclidiano de dimensão finita, dado qualquer operador linear auto-adjunto, existe uma base ortonormada na qual a matriz associada ao operador é diagonal. Vamos estabelecer este resultado para os operadores auto-adjunto compactos definidos num espaço de Hilbert H. Antes disso, analisamos o caso de dimensão finita. Seja H = C n e T um operador linear auto-adjunto em H. Então T é limitado e podemos escolher uma base na qual T seja representado por uma matriz diagonal. O espectro de T consiste nos valores próprios da matriz de T, os quais são reais. Suponhamos que a matriz de T tem n valores próprios distintos λ 1 < λ 2 <... < λ n. Então os vectores próprios associados x 1, x 2,..., x n formam uma base de H, por estes serem ortogonais. Assim, qualquer x H pode representar-se como x = α i x i. = i=1 (x, x i )x i = i=1 x x i x i. (8.9) i=1 Aplicando T a x e usando o facto de x i ser um vector próprio de T, com valor próprio λ i, obtemos T x = λ i (x, x i )x i. (8.10) i=1 Embora T possa actuar de uma forma complicada em x, em cada parcela da soma (8.9) a sua acção é simples. Isto mostra a vantagem de usar os vectores próprios como base. Podemos ainda escrever a soma (8.10) de uma forma mais conveniente 197

com vista à sua generalização a espaços de Hilbert com dimensão infinita. Para cada vector próprio λ i associamos o subespaço próprio E(λ i ) definido por E(λ i ) = {x H T x = λ i x}. A projecção ortogonal P i := P λi sobre E(λ i ) é definida da seguinte forma P i : H E(λ i ), x P i (x) := α i x i. P i está bem definida, de facto para cada x H, P i (x) E(λ i ), visto que T(P i (x)) = α i T x i = λ i α i x i = λ i P i (x). Portanto, a igualdade (8.9) pode escrever-se como x = P i x = I = e a igualdade (8.10) dá lugar a T x = λ i P i x = T = i=1 i=1 i=1 P i P i. (8.11) Isto é a representação de T em termos de projecções e dos valores próprios. Por outras palavras, o espectro de T é utilizado para obter a representação de T, dada em (8.11), em termos de operadores simples como são as projecções P i. Teorema 8.22 (Espectral) Seja T B(H) um operador auto-adjunto e compacto. Então 1. Existe um sistema ortogonal (e n ) n=1 de vectores próprios de T com valores próprios correspondentes (λ n ) n=1 tal que para qualquer x H temos T x = λ n (x, e n )e n. Se (λ n ) n=1 é uma sucessão infinita, então λ n 0, n. n=1 2. Inversamente, se (e n ) n=1 é um sistema ortogonal em H e (λ n) n=1 é uma sucessão de números reais finita ou infinita tal que λ n 0, então o operador T definido por T x := λ n (x, e n )e n é linear auto-adjunto e compacto. Prova. Sem prova. n=1 i=1 198

Exercícios Exercício 8.14 Seja T um operador compacto auto-adjunto em H cuja representação espectral é dada por (8.11). Mostre que 1. Para qualquer k N temos T k = λ k i P i. i=1 2. Para qualquer z ρ(t) e x H, temos T 1 z x = (λ i z) 1 P i x. i=1 Exercício 8.15 Um subespaço X H diz-se invariante sob a acção de um operador T B(H) se T(X) X, isto é, T x X, para qualquer x X. 1. Mostre que o subespaço próprio E(λ) do operador T associado a λ é invariante. 2. Mostre que se X H é um subespaço invariante do operador T B(H), então X é um subespaço invariante de T. 199