Módulo 4 Ajuste de Curvas 4.1 Intr odução Em matemática e estatística aplicada existem muitas situações onde conhecemos uma tabela de pontos (x; y), com y obtido experimentalmente e deseja se obter uma expressão analítica de uma curva y = f(x) que melhor se ajusta a esse conjunto de pontos. Por exemplo, no departamento de uma empresa podemos obter uma tabela com valores do custo total CT de um produto em função da quantidade q de produção, como mostra a tabela abaixo: Quantidade (q) Custo Total (CT) 1 164 7 3 348 4 416 5 500 Fazendo a representação gráfica dos pontos da tabela abaixo, temos: Custo Total X Quantidade Custo Total em R$ 600 500 400 300 00 100 0 0 1 3 4 5 6 Quantidade em unidades 1
Observe no gráfico acima que não passa uma reta por todos os pontos, então podemos fazer as seguintes perguntas: 1) Qual a curva que melhor se adapta para o conjunto de pontos, isto é, qual expressão analítica ou a função que melhor se ajusta para os pontos (x; y)? ) Qual a previsão do custo total para 10 unidades do produto? Existem vários modelos matemáticos e estatísticos que resolvem este problema, particularmente nesta unidade vamos estudar o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) que descreveremos a seguir. 4. Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) O método dos mínimos quadrados é um dos mais simples e poderoso método da análise de regressão. Utilizamos este método quando temos uma distribuição de pontos e queremos ajustar a melhor curva a este conjunto de dados. 4..1 Regressão linear Inicialmente, vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é uma função linear: y = ax + b, cujo gráfico é uma reta. A equação da reta ou a função que aproxima o conjunto de pontos é dada por: y = Ax + B A = x. y n. x. y x n ( x ) e B = y A x
Onde: n = número de pontos observados x = soma dos valores de x (abcissas) y = soma dos valores de y (ordenadas) x. y = soma dos produtos entre x e y x = soma dos quadrados dos valores de x x = x n e y = y n (Médias Aritméticas) Vamos aplicar o modelo para responder as duas perguntas do problema inicialmente proposto na unidade. Para facilitar os cálculos construímos a tabela e calculamos os elementos da fórmula do Método dos Mínimos Quadrados, onde y representa o custo total CT e x representa a quantidade q. x y x.y x 1 164 164 1 7 544 4 3 348 1044 9 4 416 1664 16 5 500 500 5 Soma= 15 1700 5916 55 3
x = x 15 = = 3 n 5 y = y 1700 = = 340 n 5 A = 5916 5. 3. 340 55 5. 3 = 816 10 = 81, 6 B = 340 81, 6. 3 = 95, 0 Substituindo os valores de A e B, a equação da reta que aproxima os pontos da tabela é: y = 81, 6 x + 95, 0 isto é, CT = 81, 6 q + 95, 0 e a previsão para a quantidade q = 10 unidades é dada por: q = 10 CT = 81,6. 10 + 95,0 = 911,0 Assim, o custo total para 10 unidades é de R$ 911,0. Graficamente, 4
Custo Total em R$ 600 500 400 300 00 100 0 Custo Total X Quantidade y = 81,6x + 95, 0 1 3 4 5 6 Quantidade em unidades Box: O símbolo é a representação de um somatório. 4.. Regressão Quadrática Em muitos problemas de Matemática Aplicada, é comum ocorrerem situações onde a curva de ajuste não é uma reta, podendo os pontos se aproximarem de uma curva cujo gráfico é uma função quadrática, exponencial, logarítmica e outras. Vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é uma função quadrática: y = ax + b.x + c. O modelo de ajuste da regressão quadrática é dado por: y = Ax + Bx + C onde: A, B e C é uma solução do sistema de equações lineares abaixo: A A A 4 x + B 3 x + B x + B 3 x + C x + C x + C. n = x = x = y x y xy Exemplo: A tabela a seguir apresenta os valores da quantidade demandada de um bem e os preços de venda correspondentes em determinado período: Preço de venda 150 185 10 173 145 5
Quantidade vendida 15 38 59 80 100 Ajuste uma parábola para os dados da tabela e projete a quantidade vendida para um preço de venda igual a R$ 10,00. Solução: Inicialmente marcamos os pontos num gráfico para verificar se os pontos tendem mesmo a uma parábola. Quantidade X Preço de venda Quantidade em (unidades) 40 00 160 10 80 40 0 0 15 30 45 60 75 90 105 Preço de Venda (R$) Para facilitar os cálculos construímos uma tabela e calculamos os elementos da fórmula do ajuste da parábola, onde y representa a quantidade e x o preço de venda e na última linha os somatórios das colunas. x y x.y x x 3 x 4 x. y 15 150 50 5 3375 5065 33750 38 185 7030 1444 5487 085136 67140 59 10 1390 3481 05379 1117361 731010 80 173 13840 6400 51000 40960000 110700 100 145 14500 10000 1000000 100000000 1450000 9 863 50010 1550 177566 155131 3589100 Substituindo os valores obtidos da tabela acima no sistema de equações e resolvendo, obtemos: A = 0,098 B = 3,3416 e C = 105,95 6
A equação que aproxima os pontos da tabela é: y = 0,098x + 3,3416x + 105,95 isto é, q = 0,098 p + 3,3416 p + 105,95 onde: q representa a quantidade demandada e p o preço de venda. Calculando a projeção da quantidade para o preço de venda igual a R$ 10,00 temos; p = 10 q = 0,098. (10) + 3,3416. 10 + 105,95 = 77,8 Assim, a quantidade demandada para o preço de R$ 10,00 é de 77,8 unidades. Graficamente, Quantidade X Preço de venda Quantidade em (unidades) 40 00 160 10 80 40 0 y = 0,098x + 3,3416x + 105,95 0 15 30 45 60 75 90 105 Preço de Venda (R$) Box: O estudo das Regressões é muito aplicado em problemas de Estatística. 4.3 Ajuste de Curvas no Microsoft Excel No exemplo de regressão quadrática percebemos a dificuldade em resolver o sistema linear com os coeficientes calculados na tabela, podemos utilizar o Microsoft Excel para determinar a curva de ajuste e também escrever sua respectiva equação. Os passos a 7
seguir podem ser usados para aproximar curvas para o caso linear, quadrática, polinomiais, exponenciais e logaritmicas. Sejam os pares ordenados (x; y), valores retirados de uma tabela, por exemplo: demanda e oferta em função do preço ou custo total, receita total e lucro total em função da quantidade. Para achar a equação da curva que ajusta os pontos da tabela, seguir os seguintes passos: 1. Selecionar os pares ordenados da tabela;. Na barra de ferramentas do Microsoft Excel, clicar em assistente gráfico; Tipo de gráfico: use dispersão (X;Y); Subtipo de gráfico: use dispersão com pontos de dados conectados por linhas; Tipos personalizados: use linhas em eixos; Concluir 3. Clicar sobre a linha formada pelos pares ordenados; 4. Na barra de ferramentas do Microsoft Excel, clicar em Assistente gráfico; Selecione: Adicionar linha de tendência; Tipo, marcar: Linear (Função do 1º grau) ou Polinomial Ordem (Função do grau); Opções, selecionar: Exibir equação no gráfico; OK O gráfico feito mostra a linha de tendência (ajuste) dos pontos e a equação da curva que foi ajustada conforme o aspecto dos pontos inicialmente marcados com a escolha da função apropriada, como por exemplo: linear, polinomial de grau, exponencial ou logaritmica. 8