Capítulo 2 Probabilidades Slide 1
Definições Slide 2 Acontecimento Qualquer colecção de resultados de uma experiência. Acontecimento elementar Um resultado que não pode ser simplificado ou reduzido. Espaço de resultados- Ω Constituído por todos os acontecimentos elementares.
Slide 3 Notação das Probabilidades P - denota a probabilidade. A, B, e C - denota acontecimentos específicos. P (A) - denota a probabilidade de ocorrer o acontecimento A.
Regras Básicas para o Cálculo das Probabilidades Regra 1: Frequência Relativa; Aproximação da Probabilidade Slide 4 Realize (ou observe) a experiência um grande nº de vezes, e conte o nº de vezes em que ocorreu o acontecimento A. Baseado nestes resultados, P(A) é estimada como se segue: P(A) = nº de vezes que A ocorreu nº de vezes que a experiência se realizou
Regras Básicas para o Cálculo das Probabilidades Regra 2: Abordagem Clássica (Requer Acontecimentos Equiprováveis) Slide 5 Suponha que uma experiência é composta por n acontecimentos elementares distintos, em que cada um tem a mesma possibilidade de ocorrer. Se o acontecimento A pode ocorrer em k desses n acontecimentos elementares, então P(A) = k n = nº de vezes que A pode ocorrer nº de acontecimentos elementares distintos
Lei dos Grandes Números Slide 6 Quando uma experiência é repetida um grande nº de vezes, o valor da frequência relativa (regra 1) de um acontecimento tende a se aproximar do valor da verdadeira probabilidade.
Exemplo Slide 7 Cartas Num baralho de cartas, planeia apostar na saída de uma carta de copas. Qual a probabilidade de perder? Solução Um baralho tem 52 cartas, 13 das quais são copas, e as restantes 52-13= 39 não. Cada carta tem a mesma possibilidade de ser retirada do baralho. Como o espaço de resultados é constituído por acontecimentos equiprováveis, usamos a abordagem clássica (regra2) e obtemos P(perder) = 37 39 38 52
Valores da Probabilidade Slide 8 A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 (zero). A probabilidade de um acontecimento certo é 1. 0 P(A) 1 para qualquer acontecimento A.
Valores Possíveis para as Slide 9 Probabilidades Figura 2-1
Definição Slide 10 O complementar do acontecimento A, denotado por A c, consiste em todos os acontecimentos nos quais o acontecimento A não ocorre.
Arredondamento do Valor das Probabilidades Slide 11 Quando se apresenta o valor de uma probabilidade, ou se indica a fracção exacta ou se faz um arredondamento com 3 casas decimais.
Resumo Slide 12 Nesta secção apresentámos: Regras da Probabilidade. Lei dos Grandes Números. Acontecimentos Complementares. Arredondamento das Probabilidades.
Definição Slide 13 Reunião de acontecimentos Notação P(A ou B) = P(A B)= = P (o acontecimento A ocorre ou o acontecimento B ocorre ou ambos ocorrem)
Regra Geral para a Reunião de Acontecimentos Slide 14 Para determinar a probabilidade de o acontecimento A ou B ocorrer, determine a probabilidade de A ocorrer e a probabilidade de B ocorrer; em seguida determine o total de tal forma que nenhum acontecimento seja contado mais do que uma vez.
Reunião de Acontecimentos Slide 15 Regra formal P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) onde P(A e B) denota a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente. A igualdade anterior também se escreve na forma P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)
Definição Slide 16 Os acontecimentos A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos) se não podem ocorrer em simultâneo. Figuras 2-2 e 2-3
Aplicando a Regra da Reunião de Acontecimentos Slide 17 P(A ou B) A e B são disjuntos? Sim P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) Não P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Figura 2-4
Exemplo Slide 18 Passageiros do Titanic Homens Mulheres Rapazes Raparigas Totais Sobreviventes 332 318 29 27 706 Mortos 1360 104 35 18 1517 Totais 1692 422 64 56 2223 Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um rapaz.
Exemplo Slide 19 Homens Mulheres Rapazes Raparigas Totais Sobreviventes 332 31829 27 706 Mortos 1360 10435 18 1517 Totais 1692 422 64 56 2223 Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um rapaz. P(homem ou rapaz) = 1692 + 64 = 1756 = 0.790 2223 2223 2223 * Disjuntos *
Exemplo Slide 20 Homens Mulheres Rapazes Raparigas Totais Sobreviventes 332 31829 27 706 Mortos 1360 10435 18 1517 Totais 1692 42264 56 2223 Determine a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um sobrevivente.
Exemplo Slide 21 Homens Mulheres Rapazes Raparigas Totais Sobreviventes 332 31829 27 706 Mortos 1360 10435 18 1517 Totais 1692 42264 56 2223 Determinar a probabilidade de seleccionar ao acaso um homem ou um sobrevivente. P(homem ou sobrevivente) =1692 + 706-332 = 2066 = 0.929 2223 2223 2223 2223 * NÃO Disjuntos *
Acontecimentos Complementares Slide 22 P(A) e P(A c ) são mutuamente exclusivos Todos os acontecimentos elementares ou estão em A ou em A c.
Regras dos Acontecimentos Complementares Slide 23 P(A) + P(A c ) = 1, logo P(A c ) = 1 P(A), P(A) = 1 P(A c )
Diagrama de Venn para o Acontecimento Complementar de A Slide 24 Area Total =1 Ω P(A) P(A c )=1-P(A) Figura 2-5
Resumo Slide 25 Nesta secção estudámos: Cálculo da reunião de acontecimentos. Acontecimentos disjuntos. Acontecimentos complementares.
Notação Slide 26 P(A e B) = P(A B) P(o acontecimento A ocorre na 1ª experiência e o acontecimento B ocorre na 2ª experiência )
Princípio Importante Slide 27 É importante notar que a probabilidade do 2º acontecimento deve ser calculada tendo em conta que o 1º acontecimento já ocorreu.
Notação para a Slide 28 Probabilidade Condicional P(B A) representa a probabilidade de o acontecimento B ocorrer após o acontecimento A ter ocorrido (lê-se B A como B dado A. )
Definições Slide 29 Acontecimentos Independentes Dois acontecimentos A e B são independentes se a ocorrência de um não afecta a probabilidade de ocorrência do outro. Se A e B não são independentes, dizem-se dependentes.
Algumas Regras Formais Slide 30 P(A e B) = P(A B) = P(A) P(B A) Temos também P(A B) = P(B) P(A B) Note que se A e B são acontecimentos independentes, P(B A) é igual a P(B) e P(A B) é igual a P(A).
Aplicando as regras de acordo com a independência Slide 31 P(A P(A e B) e B) A e B são independentes? Sim P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A). P(B) Não P(A B) = P(A). P(B A) = P(B). P(A B) Figura 2-6
Em suma Slide 32 Na regra da probabilidade da reunião de acontecimentos, a palavra ou em P(A ou B) sugere adição. Adicione P(A) e P(B), mas de tal forma a que cada acontecimento seja considerado apenas uma vez. Na regra da probabilidade condicionada, a palavra e em P(A e B) sugere multiplicação. Multiplique P(A) e P(B), mas certifique-se de que a probabilidade do acontecimento B tem em conta o facto de que o acontecimento A já ocorreu.
Definição Slide 33 A probabilidade condicionada de um acontecimento é a probabilidade obtida com a informação adicional de que um outro acontecimento já ocorreu. P(B A) denota a probabilidade condicionada de o acontecimento B ocorrer, dado que o acontecimento A já ocorreu, e pode ser calculado dividindo a probabilidade de os acontecimentos A e B ocorrerem pela probabilidade de ocorrer o acontecimento A : P(B A) = P(A e B) P(A)
Verificando a Independência Slide 34 Já sabemos que os acontecimentos A e B são independentes se a ocorrência de um não afecta a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente, temos: Dois acontecimentos A e B são independentes se P(B A) = P(B) ou P(A B) = P(A) ou P(A e B) = P(A). P(B) Dois acontecimentos A e B são dependentes se P(B A) P(B) ou P(A B) P(A) ou P(A e B) P(A). P(B)
Complementos: a Probabilidade de Pelo Menos Um Slide 35 Pelo menos um é equivalente a um ou mais. O complementar de obter pelo menos um item é o mesmo do que não obter qualquer item.
Exemplo Slide 36 Sexo de uma criança. Determine a probabilidade de um casal com 3 filhos ter pelo menos uma menina. Considere que a probabilidade de nascer menina é a mesma do que a probabilidade de nascer rapaz e que o sexo de uma criança é independente do sexo dos irmãos. Solução Passo 1: Use um símbolo (letra) para representar o acontecimento em causa. Neste caso, seja A = o casal ter pelo menos uma menina, de entre os 3 filhos.
Solução (cont.) Exemplo Slide 37 Passo 2: Identifique o acontecimento complementar de A. A c = o casal não ter pelo menos uma menina, de entre os 3 filhos = os 3 filhos são rapazes = rapaz e rapaz e rapaz Passo 3: Determine a probabilidade do complementar: P(A) = P(rapaz e rapaz e rapaz) = 1. 1. 1 = 0.125 2 2 2
Exemplo Slide 38 Solução (cont) Passo 4: Determine P(A) através do cálculo de P(A) = 1-0.125 = 0.875 Interpretação Um casal com 3 filhos, tem uma probabilidade 0.875 de ter, pelo menos, uma menina.
Princípio Chave Slide 39 Para determinar a probabilidade de pelo menos um, calcule a probabilidade de nenhum, e depois subtraia o resultado a 1. Ou seja, P(pelo menos um) = 1 P(nenhum)
Resumo Slide 40 Nesta secção estudámos: Notação para P(A e B). Notação para a probabilidade condicionada. Acontecimentos independentes. Definição formal para o cálculo da probabilidade condicionada. Noção de pelo menos um.