VIGAS DE EDIFÍCIOS 1. INTRODUÇÃO 2. DEFINIÇÕES DE ESTADOS LIMITES

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 1 VIGAS DE EDIFÍCIOS 1. INTRODUÇÃO O texto seguinte apresenta vários itens da NBR 6118/2003 reativos às vigas contínuas de edifícios. O tema faz parte do programa da discipina 1309 Estruturas de Concreto II. A norma NBR 6118, editada em março de 2003 pea ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT, sob o títuo: PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO PROCEDIMENTO, tem 170 páginas. Esta norma substituiu as normas precedentes, NB 1/78 e NBR 6118/1980. A norma tem como objetivo fixar os requisitos básicos exigíveis para o projeto de estruturas de concreto simpes, armado e protendido, excuídas aqueas em que se empregam concreto eve, pesado ou outros especiais. Apica-se às estruturas de concretos normais, com massa específica seca maior que 2.000 kg/m 3 e menor que 2.800 kg/m 3, do grupo I da NBR 8953 de resistência para o concreto à compressão (C10 a C50). Excuem-se da norma os concretos massa e sem finos. 2. DEFINIÇÕES DE ESTADOS LIMITES Uma estrutura de concreto armado bem projetada deve apresentar uma conveniente margem de segurança contra a ruptura provocada peas soicitações, deformações menores que as máximas permitidas e durabiidade (não apresentar corrosão, fissuração excessiva, etc.), durante toda sua vida úti. Em resumo, o bom projeto estrutura deve garantir a estabiidade, o conforto e a durabiidade da estrutura. Portanto, uma estrutura não preenche mais os requisitos de utiização quando atinge o chamado estado imite. A NBR 6118/80 definia os estados imites útimo e de utiização. A NBR 6118/2003 redefiniu o estado de utiização como de serviço (ELS), cassificando-o de acordo com o tipo de ocorrência na estrutura. Os estados imites de interesse às estruturas de Concreto Armado, conforme o item 3.2 da norma, são apresentados a seguir. 2.1 Estado Limite Útimo (ELU): Estado imite reacionado ao coapso, ou a quaquer outra forma de ruína estrutura, que determine a paraisação do uso da estrutura. 2.2 Estado Limite de Formação de Fissuras (ELS-F): Estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado imite é atingido quando a tensão de tração máxima na seção

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 2 transversa for igua à resistência à tração na fexão, determinada de acordo com a NBR 12142 (f ct,f ). 2.3 Estado Limite de Abertura das Fissuras (ELS-W): Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos especificados no item 13.4.2. 2.4 Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF): Estado em que as deformações atingem os imites estabeecidos para a utiização norma, dados no item 13.4.2. 2.5 Estado Limite de Vibrações Excessivas (ELS-VE): Estado em que as vibrações atingem os imites estabeecidos para a utiização norma da construção. 3. ANÁLISE ESTRUTURAL No item 14 a NBR 6118/2003 apresenta uma série de informações reativas à Anáise Estrutura, como princípios gerais, hipóteses, tipos, etc., de eementos ineares e de superfície, aém de vigas-parede, piares-parede e bocos. Segundo a norma o objetivo da anáise estrutura é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finaidade de efetuar verificações de estados imites útimos (ELU) e de serviço (ELS). A anáise estrutura permite estabeecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e desocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura. A anáise deve ser feita com um modeo estrutura reaista, que permita representar de maneira cara todos os caminhos percorridos peas ações até os apoios da estrutura e que permita também representar a resposta não inear dos materiais. As condições de equiíbrio devem ser necessariamente respeitadas. Anáises ocais compementares devem ser efetuadas nos casos em que a hipótese da seção pana não se apica. As equações de equiíbrio podem ser estabeecidas com base na geometria indeformada da estrutura (teoria de 1 a ordem), exceto nos casos em que os desocamentos aterem de maneira significativa os esforços internos (teoria de 2 a ordem). Teoria ou Anáise de Primeira Ordem: o equiíbrio da seção é estudado na configuração geométrica inicia (item 15.2). Teoria ou Anáise de Segunda Ordem: o equiíbrio da seção é estudado considerando a configuração deformada (item 15.2). As estruturas podem ser ideaizadas como a composição de eementos estruturais básicos, cassificados e definidos de acordo com a sua forma geométrica e a sua função estrutura.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 3 No item 14.5 a NBR 6118 apresenta cinco tipos de anáise estrutura, os quais se diferenciam peo comportamento admitido para os materiais constituintes da estrutura, observadas as imitações correspondentes. Todos os modeos admitem que os desocamentos da estrutura são pequenos. 3.1 Anáise Linear Admite-se comportamento eástico-inear (vae a ei de Hooke existe proporcionaidade entre tensão e deformação e ausência de deformações residuais num cico carregamentodescarregamento) para os materiais. Na anáise goba (anáise do conjunto da estrutura) as características geométricas podem ser determinadas pea seção bruta de concreto dos eementos estruturais. Em anáises ocais (anáise de um eemento estrutura isoado) para cácuo dos desocamentos, na eventuaidade da fissuração, esta deve ser considerada. O vaor para o móduo de easticidade deve, em princípio, ser considerado o secante (E cs ), definido no item 8.2.8 da NBR 6118/2003. Os resutados de uma anáise inear são usuamente empregados para a verificação de estados imites de serviço. É possíve estender os resutados para verificações de estado imite útimo, mesmo com tensões eevadas, desde que se garanta a ductiidade dos eementos estruturais. 3.2 Anáise Linear com Redistribuição Na anáise inear com redistribuição, os efeitos das ações, determinados em uma anáise inear, são redistribuídos na estrutura, para as combinações de carregamento do estado imite útimo (ELU). Nesse caso, as condições de equiíbrio e de ductiidade devem ser obrigatoriamente satisfeitas. Todos os esforços internos devem ser recacuados de modo a garantir o equiíbrio de cada um dos eementos estruturais e da estrutura como um todo. Os efeitos de redistribuição devem ser considerados em todos os aspectos do projeto estrutura, incusive as condições de ancoragem e corte de armaduras e os esforços a ancorar. Cuidados especiais devem ser tomados com reação a carregamentos de grande variabiidade. As verificações de combinações de carregamento de estado imite de serviço (ELS) ou de fadiga podem ser baseadas na anáise inear sem redistribuição. De uma maneira gera é desejáve que não haja redistribuição de esforços em serviço.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 4 3.3 Anáise Pástica A anáise estrutura é denominada pástica quando as não inearidades puderem ser consideradas, admitindo-se materiais de comportamento rígido-pástico perfeito (figura 1) ou easto-pástico perfeito (figura 2). σ σ σ y σ y y ε ε y ε Figura 1 Materia rígido-pástico perfeito. Figura 2 Materia easto-pástico perfeito. A anáise pástica de estruturas reticuadas não pode ser adotada quando: a) se consideram os efeitos de segunda ordem goba; b) não houver suficiente ductiidade para que as configurações adotadas sejam atingidas. No caso de carregamento cícico com possibiidade de fadiga deve-se evitar o cácuo pástico. 3.4 Anáise Não-Linear Na anáise não-inear considera-se o comportamento não-inear dos materiais. Toda a geometria da estrutura, bem como todas as suas armaduras, precisam ser conhecidas para que a anáise não-inear possa ser efetuada, pois a resposta da estrutura depende de como ea foi armada. Condições de equiíbrio, de compatibiidade e de ductiidade devem ser necessariamente satisfeitas. Anáises não-ineares podem ser adotadas tanto para verificações de estados imites útimos como para verificações de estados imites de serviço. 3.5 Anáise por Meio de Eementos Físicos Na anáise de modeos físicos, o comportamento estrutura é determinado a partir de ensaios reaizados com modeos físicos de concreto, considerando os critérios de semehança mecânica.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 5 A metodoogia empregada nos experimentos deve assegurar a possibiidade de obter a correta interpretação dos resutados. Neste caso, a interpretação dos resutados deve ser justificada por modeo teórico do equiíbrio nas seções críticas e anáise estatística dos resutados. Se for possíve uma avaiação adequada da variabiidade dos resutados, pode-se adotar as margens de segurança prescritas nesta Norma. Caso contrário, quando só for possíve avaiar o vaor médio dos resutados, deve ser ampiada a margem de segurança referida nesta Norma, cobrindo a favor da segurança nas variabiidades avaiadas por outros meios. Obrigatoriamente devem ser obtidos resutados para todos os estados imites útimos e de serviço a serem empregados na anáise da estrutura. Todas as ações, condições e possíveis infuências que possam ocorrer durante a vida da estrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos ensaios. Esse tipo de anáise é apropriado quando os modeos de cácuo são insuficientes ou estão fora do escopo desta Norma. 4. DEFINIÇÃO DE VIGA São eementos ineares em que a fexão é preponderante (item 14.4.1.1). Eementos ineares são aquees em que o comprimento ongitudina supera em peo menos três vezes a maior dimensão da seção transversa, sendo também denominada barras. 5. VÃO EFETIVO O vão efetivo (item 14.6.2.4), o qua substitui o chamado vão teórico da norma anterior (NBR 6118/80), pode ser cacuado pea expressão: = + a1 + a 2 (Eq. 1) ef 0 / 2 com: a 1 e a 0,3 h t 1 2 t 2 / 2 0,3 h As dimensões 0, t 1, t 2 e h estão indicadas na figura 3.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 6 h t 0 1 t 2 Figura 3 Dimensões consideradas no cácuo do vão efetivo das vigas. 6. ALTURA E LARGURA DAS VIGAS De modo gera, a preferência dos engenheiros e arquitetos é de que as vigas fiquem embutidas nas paredes de vedação, de ta forma que não possam ser percebidas visuamente. Para que isso ocorra, a argura das vigas deve ser escohida em função da espessura fina da parede, a qua depende basicamente das dimensões e da posição de assentamento das unidades de avenaria (tijoo maciço, boco furado, etc.). Deve também ser considerada a espessura da argamassa de revestimento (reboco), nos dois ados da parede. O revestimento de argamassa no interior do Estado de São Pauo tem usuamente a espessura de 1,5 cm a 2,0 cm. Existe no comércio uma infinidade de unidades de avenaria, com as dimensões as mais variadas, tanto para os bocos de seis como para os de oito furos, como também para os tijoos maciços. Antes de se definir a argura da viga é necessário, portanto, definir o tipo e as dimensões da unidade de avenaria, evando-se em consideração a posição em que a unidade será assentada. No caso de construções de pequeno porte, como casas, sobrados, barracões, etc., onde é usua se construir primeiramente as paredes de avenaria, para em seguida serem construídos os piares, as vigas e as ajes, é interessante escoher a argura das vigas igua à argura da parede sem os revestimentos, ou seja, igua à dimensão da unidade que resuta na argura da parede. A atura das vigas depende de diversos fatores, sendo os mais importantes o vão, o carregamento e a resistência do concreto. A atura deve ser suficiente para proporcionar resistência

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 7 mecânica e baixa deformabiidade (fecha). Considerando por exempo o esquema de uma viga como mostrado na figura 4, para concretos do tipo C-20 e C-25, uma indicação prática para a estimativa da atura das vigas de concreto armado é dividir o vão efetivo por doze, isto é: h 1 ef,1 ef,2 = e h 2 = (Eq. 2) 12 12 Na estimativa da atura de vigas com concretos de resistência superior devem ser considerados vaores maiores que doze na Eq. 2. h 1 h 2 ef, 1 ef, 2 Figura 4 Vaores práticos para estimativa da atura das vigas. A atura das vigas deve ser preferenciamente moduada de 5 em 5 cm, ou de 10 em 10 cm. A atura mínima indicada é de 25 cm. Vigas contínuas devem ter a atura dos vãos obedecendo uma certa padronização, a fim de evitar várias aturas diferentes. 7. INSTABILIDADE LATERAL DE VIGAS A segurança à instabiidade atera de vigas (item 15.10) deve ser garantida por meio de procedimentos apropriados. Como procedimento aproximado pode-se adotar, para vigas de concreto, com armaduras passivas ou ativas, sujeitas à fambagem atera, as seguintes condições: b 0 /50 (Eq. 3) b β f h (Eq. 4) onde: b = argura da zona comprimida; h = atura tota da viga; 0 = comprimento do fange comprimido, medido entre suportes que garantam o contraventamento atera; β f = coeficiente que depende da forma da viga, conforme mostrado na Tabea 1.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 8 Tabea 1 Vaores de β f. Tipoogia da viga Vaores de β f b b b 0,40 b b 0,20 Onde o hachurado indica zona comprimida. 8. APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS CONTÍNUAS DE ESTRUTURAS USUAIS DE EDIFÍCIOS No item 14.6.7 a NBR 6118 apresenta três aproximações permitidas no cácuo de vigas contínuas. Pode ser utiizado o modeo cássico de viga contínua, simpesmente apoiada nos piares, para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correções adicionais. a) não devem ser considerados momentos fetores positivos menores que os que se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos (figura 5); M A M 1,c MB M M C M MD 2,c 3,c VÃO EXTREMO M M 3,i 1,i VÃO INTERNO M 2,i M A > M B M C M D M 1,c M { M 1,i >{ M 2,c 2,i M >{ M 3,c 3,i Figura 5 Momentos fetores máximos positivos nos vãos de vigas contínuas.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 9 b) quando a viga for soidária com o piar interno e a argura do apoio, medida na direção do eixo da viga (b int ), for maior que a quarta parte da atura do piar ( e ), não pode ser considerado momento negativo de vaor absouto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio (figura 6); b int ef ef Se b int > e /4 ef ef Se b int e /4 Figura 6 Condições de vincuação nos apoios internos de vigas contínuas. c) quando não for reaizado o cácuo exato da infuência da soidariedade dos piares com a viga, deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fetor igua ao momento de engastamento perfeito mutipicado peos coeficientes estabeecidos nas Equações 5, 6 e 7. Neste caso, consideram-se iniciamente os piares extremos como apoios simpes. Os apoios internos seguem a regra do item b definido anteriormente, e assim define-se o esquema estático ao ongo de toda a viga. Todos os momentos fetores são cacuados para a viga assim esquematizada (figura 7). O momento fetor de igação entre a viga e os piares extremos é cacuado fazendo-se o equiíbrio do momento fetor de engastamento perfeito no nó extremo (figura 7), o que pode ser feito rapidamente apicando-se a Eq. 5. Os momentos fetores que atuam nos ances inferior e superior do piar extremo (figura 8), são obtidos peas Eq. 6 e 7.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 10 M ig - - - M ig + + Meng - - + M eng Figura 7 Momento de engastamento perfeito e momento de igação da viga no piar extremo. 1 2 M sup M (i + 1),inf + 2 1 M i,sup NÍVEL (i + 1) PILAR DE EXTREMIDADE M viga M inf M sup M i,sup + 1 2 M (i + 1),inf NÍVEL i M i,inf + 2 1 M (i + 1),sup TRAMO EXTREMO 1 2 M inf M (i -1),sup + 1 2 M i,inf NÍVEL (i - 1) Figura 8 Distribuição dos momentos fetores no piar extremo. Os momentos fetores são os seguintes: - na viga: M ig rinf + rsup = M eng (Eq. 5) r + r + r vig inf sup - no tramo superior do piar: M sup,p = rsup Meng r + r + r (Eq. 6) vig inf sup

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 11 - no tramo inferior do piar: M inf,p r = inf Meng rvig + rinf + r (Eq. 7) sup com: r inf = rigidez do ance inferior do piar; r sup = rigidez do ance superior do piar; r vig = rigidez do vão extremo da viga; M eng = momento de engastamento perfeito da viga no piar extremo, considerando engastamento perfeito no piar interno. A rigidez é a reação entre o momento de inércia da seção transversa do eemento e o comprimento do vão: r i Ii = (Eq. 8) i onde: r i = rigidez do eemento i no nó considerado (figura 9). sup 2 inf 2 vig Figura 9 Aproximação em apoios extremos. O método de cácuo com apicação das Equações 5, 6 e 7 é simpes de ser executado e não requer computadores com programas. Segundo a NBR 6118/2003, Aternativamente, o modeo de viga contínua pode ser mehorado, considerando-se a soidariedade dos piares com a viga, mediante a introdução da rigidez à fexão dos piares extremos e intermediários.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 12 No caso de se introduzir a rigidez à fexão dos piares extremos, a viga fica vincuada ao apoio extremo por meio de um engastamento eástico (moa). Esta soução é mais consistente que a opção anterior, porém, o cácuo manua fica dificutado. A rigidez da moa é avaiada pea equação: K moa = K p,sup + K p,inf (Eq. 9) onde: K p,sup = rigidez do ance superior do piar extremo; K p,inf = rigidez do ance inferior do piar extremo; sendo: K p,sup 4 EIsup = e e,sup K 4 EI inf p,inf = (Eq. 10) e,inf com: E = móduo de easticidade secante do concreto; I = momento de inércia do ance do piar; e = comprimento de fambagem do ance inferior ou superior do piar. Em pavimentos tipos de edifícios, devido à continuidade do piar nos pavimentos tem-se: K p,sup = K p,inf K moa 8 EI = (Eq. 11) e A adequabiidade do modeo empregado deve ser verificada mediante anáise cuidadosa dos resutados obtidos. Cuidados devem ser tomados para garantir o equiíbrio de momentos nos nós viga-piar, especiamente nos modeos mais simpes, como o de vigas contínuas. 9. ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES O diagrama de momentos fetores pode ser arredondado sobre os apoios e pontos de apicação de forças consideradas como concentradas. Esse arredondamento pode ser feito de maneira aproximada, conforme indicado na figura 10.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 13 M M M 1 1 M M 2 2 M' M' /2 /2 R 2- R 1 M = 4 M = /4 1 R 1 M 2 = R 2 /4 R 1 R 2 M' R = R /8 Figura 10 - Arredondamento do diagrama de momentos fetores. 10. LIMITES PARA REDISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS E CONDIÇÕES DE DUCTILIDADE Nas vigas, principamente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é importante garantir boas condições de ductiidade, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão que garanta a posição adequada da inha neutra (x), respeitando-se os imites indicados abaixo. A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de vaores menores da posição da inha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a eementos estruturais com ruptura frági (usuamente chamados de superarmados). A ruptura frági está associada a posições da inha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão. No item 14.6.4.3 a NBR 6118 define os imites para a redistribuição de momentos fetores e as condições de ductiidade de uma viga. Uma redistribuição comumente feita na prática é a diminuição dos momentos fetores negativos nos apoios intermediários das vigas contínuas. Isso possibiita uma aproximação nos vaores desses momentos com os momentos fetores positivos nos vãos, o que eva a seções transversais de menores dimensões e um projeto mais econômico.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 14 A diminuição do momento fetor negativo atera a distribuição dos demais esforços soicitantes ao ongo da viga, o que deve ser evado em consideração no dimensionamento da viga em toda a sua extensão. A capacidade de rotação dos eementos estruturais é função da posição da inha neutra no ELU. Quanto menor for a reação entre a posição da inha neutra e a atura úti da seção (x/d), tanto maior será essa capacidade. Para mehorar a ductiidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de igações com outros eementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços soicitantes, a posição da inha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes imites: a) x/d 0,50 para concreto com f ck 35 MPa (C35); ou b) x/d 0,40 para concreto com f ck > 35 MPa. (Eq. 12) Esses imites podem ser aterados se forem utiizados detahes especiais de armaduras, como por exempo os que produzem confinamento nessas regiões. Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento fetor de M para δm, em uma determinada seção transversa, a reação entre o coeficiente de redistribuição δ e a posição da inha neutra nessa seção x/d, para o momento reduzido δm, deve ser dada por: a) δ 0,44 + 1,25 x/d para concretos com f ck 35 MPa (C35); ou b) δ 0,56 + 1,25 x/d para concretos com f ck > 35 MPa. (Eq. 13) O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes imites: a) δ 0,90 para estruturas de nós móveis; b) δ 0,75 em quaquer outro caso. (Eq. 14) Pode ser adotada redistribuição fora dos imites estabeecidos nesta Norma, desde que a estrutura seja cacuada mediante o emprego de anáise não-inear ou de anáise pástica, com verificação expícita da capacidade de rotação de rótuas pásticas. A figura 11 mostra a pastificação do momento fetor negativo da viga no apoio interno. A diminuição do momento fetor negativo no piar interno é interessante, pois permite que se faça uma aproximação entre os momentos negativos e positivos. Na versão anterior da norma (NB1/78) era permitido pastificar, isto é, diminuir em até 15 % o momento fetor negativo nos apoios internos de vigas contínuas.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 15 Acréscimo no momento positivo Acréscimo no momento positivo Pastificação do momento negativo Figura 11 Pastificação do momento fetor negativo no apoio interno de vigas contínuas. Quando o momento é de equiíbrio, como no caso de vigas em baanço por exempo, a pastificação ogicamente não é permitida. 11. ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS Nos itens 17.3.5 e 18 a NBR 6118 estabeece diversas prescrições reativas à armadura ongitudina mínima e máxima e armadura de pee. 11.1 Armadura Mínima de Tração A armadura mínima de tração, em eementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada peo dimensionamento da seção a um momento fetor mínimo dado pea expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absouta 0,15 %. M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup (Eq. 15) onde: W 0 = móduo de resistência da seção transversa bruta de concreto reativo à fibra mais tracionada; f ctk,sup = resistência característica superior do concreto à tração: 3 2 f ctk,sup = 1,3 f ct,m com f = 0,3 f (MPa) O dimensionamento para M d,mín deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura da Tabea 2. ct,m ck

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 16 Tabea 2 - Taxas mínimas de armadura de fexão para vigas. Forma da seção Vaores de ρ mín (%) (A s,mín /A c ) (1) f ck ω mín 20 25 30 35 40 45 50 Retanguar 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 T (mesa comprimida) T (mesa tracionada) 0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0.229 0,255 Circuar 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 (1) Os vaores de ρ mín estabeecidos nesta tabea pressupõem o uso de aço CA-50, γ c = 1,4 e γ s = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρ mín deve ser recacuado com base no vaor de ω mín dado. NOTA: Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pea ama acrescida da mesa coaborante. Em eementos estruturais superdimensionados pode ser utiizada armadura menor que a mínima, com vaor obtido a partir de um momento fetor igua ao dobro de M d. Neste caso, a determinação dos esforços soicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinações possíveis de carregamento, assim como os efeitos de temperatura, deformações diferidas e recaques de apoio. Deve-se ter ainda especia cuidado com o diâmetro e espaçamento das armaduras de imitação de fissuração. 11.2 Armadura de Pee A mínima armadura atera deve ser 0,10 % A c,ama em cada face da ama da viga e composta por barras de ata aderência (η 1 2,25) com espaçamento não maior que 20 cm. Em vigas com atura igua ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utiização da armadura de pee. A armadura de pee, conforme mostrada na figura 12, deve ser disposta de modo que o afastamento entre as barras não utrapasse d/3 e 20 cm. 11.3 Armadura Longitudina Máxima A soma das armaduras de tração e de compressão (A s + A s ) não deve ter vaor maior que 4 % A c, cacuada na região fora da zona de emendas.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 17 e e h > 60 cm e e e e d e e e e Figura 12 Disposição da armadura de pee. b w 11.4 Armadura de Suspensão A NBR 6118 prescreve que, Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à viga por outras vigas ou eementos discretos que nea se apóiem ao ongo ou em parte de sua atura, ou fiquem nea penduradas, deve ser coocada armadura de suspensão. Antes de se definir o que é armadura de suspensão é necessário definir o tipo de apoio, se direto ou indireto. No apoio direto, como mostrado na figura 13, a carga da viga vai direto para o apoio, como no caso de um piar, por exempo. No apoio indireto, a carga vai da viga que é suportada para a parte inferior da viga que serve de suporte. Figura 13 Apoios diretos e indiretos (FUSCO, 2000).

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 18 Segundo FUSCO (2000), nos apoios indiretos, o equiíbrio de esforços internos da viga suporte exige que no cruzamento das duas vigas haja uma armadura de suspensão, funcionando como um tirante interno, que evanta a força apicada pea viga suportada ao banzo inferior da viga suporte, até o seu banzo superior. A força F no tirante interno está indicada na figura 14. A armadura de suspensão deverá ser dimensionada de modo a transmitir ao banzo superior a totaidade da reação de apoio da viga que é suportada. Figura 14 Esquema de treiça em apoios indiretos (FUSCO, 2000). A figura 15 mostra diversos esquemas possíveis de apoio de uma viga sobre outra viga. As trajetórias das fissuras verificadas nesses casos indicam a mehor disposição ou direção a ser dada à armadura. Figura 15 Trajetórias das fissuras em vários casos de apoios indiretos (FUSCO, 2000).

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 19 Na figura 16 estão mostrados os detahes da armadura de suspensão para os apoios indiretos. A armadura deve ser posicionada na seção de cruzamento das duas vigas. Como isso normamente é difíci de se executar na prática, uma parte da armadura pode ser coocada na região vizinha ao cruzamento, tão próxima quanto possíve. Quando as duas vigas tiverem a face superior no mesmo níve, a armadura de suspensão pode ser dimensionada para a força R tt, de vaor: h 1 R tt = R apoio (Eq. 16) h 2 com h 1 h 2 onde: h 1 = atura da viga que apóia; h 2 = atura da viga suporte. Figura 16 Detahes da armadura de suspensão (FUSCO, 2000).

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 20 11.5 Armaduras de Ligação Mesa-Ama Os panos de igação entre mesas e amas ou taões e amas de vigas devem ser verificados com reação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de tensões normais ao ongo do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do concreto, quanto das armaduras necessárias para absorver as trações decorrentes desses efeitos. As armaduras de fexão da aje, existentes no pano de igação, podem ser consideradas como parte da armadura de igação, compementando-se a diferença entre ambas, se necessário. A seção transversa mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a argura úti e ancorada na ama, deve ser de 1,5 cm 2 por metro. A figura 17 mostra o posicionamento da armadura transversa. b f 1,5 cm 2 /m Figura 17 Armadura transversa à ama em seções transversais com mesa. 12. EXEMPLO DE CÁLCULO E DETALHAMENTO DE VIGA CONTÍNUA As figuras 18 e 19 mostram a panta de fôrma e o corte esquemático da estrutura de concreto de uma construção com dois pavimentos. Pede-se projetar e detahar a armadura da viga VS1. São conhecidos: concreto C20, aço CA-50 A, γ c = γ f = 1,4, γ s = 1,15, c nom = 2,0 cm, γ rev = 19 kn/m 3, γ contr = 21 kn/m 3, γ conc = 25 kn/m 3. OBSERVAÇÕES: a) há uma parede de vedação sobre a viga em toda a sua extensão, constituída por bocos cerâmicos de oito furos (com dimensões de 9 x 19 x 19 cm), espessura fina de 23 cm e atura de 2,40 m; b) aje do tipo pré-fabricada treiçada com atura tota de 16 cm e peso próprio de 2,33 kn/m 2 ; c) ação variáve (q) nas ajes de 2,0 kn/m 2 ; d) piso cerâmico sobre a aje, com γ piso = 0,15 kn/m 2.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 21 VS1 (19 x 60) P1 19/19 P2 P3 19/30 19/19 523 523 VS4 (19 x 45) VS2 (19 x 70) P4 19/30 VS3 (19 x 60) 45 VS5 (19 x 45) 16 P5 19/30 VS6 (19 x 45) P6 19/30 P7 19/19 P8 19/30 719 719 P9 19/19 Panta de Fôrma do Pavimento Superior Esc. 1 : 50 Figura 18 Panta de fôrma do pavimento superior com a viga VS1. VC1 (19 x 60) 60 300 300 P1 P2 P3 19/19 19/30 19/19 VS1 (19 x 60) 240 60 tramo 1 tramo 2 255 19 700 19 700 19 VB1 (19 x 30) 30 VS1 (19 x 60) p = 24,15 kn/m 719 719 Figura 19 Vista em eevação do pórtico que contém a viga VS1 e esquema estático e carregamento considerados.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 22 RESOLUÇÃO A viga VS1 será cacuada como uma viga contínua e como um eemento isoado da estrutura, apenas vincuada aos piares extremos por meio de engastes eásticos. Uma outra forma de anáise poderia ser feita considerando-se a viga VS1 como sendo parte de um pórtico pano, como aquee mostrado na figura 19. Neste caso, haveria uma competa interação com as demais vigas (VB1 e VC1) e com os piares de apoio. 12.1 Vãos Efetivos a) Laje O vão efetivo da aje é de centro a centro dos apoios, portanto, igua a 523 cm. b) Viga O vão efetivo nos tramos 1 e 2 da viga são iguais. De acordo com a Eq. 1 vaem: a 1 a 2 t = = 1 / 2 19 / 2 9, 5 cm 0, 3 h = 0, 3. 60 = 18 cm t = = 2 / 2 19 / 2 9, 5 cm 0, 3 h = 0, 3. 60 = 18 cm a1 = 9,5 cm a2 = 9,5 cm ef = 0 + a 1 + a 2 = 700 + 9,5 + 9,5 = 719 cm 12.2 Estimativa da Atura da Viga A argura da viga foi adotada igua à dimensão do boco assentado na posição deitada, ou seja, na dimensão de 19 cm. Sendo o concreto do tipo C20, para a estimativa da viga foi apicada a Eq. 2: ef 719 h = = = 59,9 cm h = 60 cm 12 12 Portanto, a viga será cacuada iniciamente com seção transversa de 19 x 60 cm. 12.3 Instabiidade Latera da Viga Como a viga tem uma aje apoiada em toda a sua extensão, a estabiidade atera está garantida. A títuo de exempo, caso não houvesse o travamento proporcionado pea aje, de acordo com as Eq. 3 e 4 os imites para a argura da viga seriam: b 0 /50 = 700/50 = 14 cm para b = 19 cm a equação estaria satisfeita. b β f h = 0,40. 60 = 24 cm para b = 19 cm a equação não estaria satisfeita.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 23 12.4 Cargas na Laje e na Viga Como se pode observar na figura 18, sobre a viga VS1 há a atuação da carga de uma aje pré-fabricada, com vão efetivo de 523 cm. Para a aje de piso do pavimento superior, considerou-se a aje do tipo pré-fabricada treiçada, com atura tota de 16 cm, peso próprio de 2,33 kn/m 2. A carga tota por m 2 da área da aje é: - peso próprio: g pp = 2,33 kn/m 2 - revestimento teto: g rev = 19. 0,015 = 0,29 kn/m 2 - contrapiso: g contr = 21. 0,03 = 0,63 kn/m 2 - piso: g piso = 0,15 kn/m 2 - ação variáve: q = 2,00 kn/m 2 CARGA TOTAL: p = 5,40 kn/m 2 Considerando a carga tota na viga consistindo de uma parede apoiada sobre toda a sua extensão (composta por bocos furados de peso específico 13 kn/m 3, com espessura fina de 23 cm e atura de 2,40 m), de uma aje pré-fabricada com carga tota de 5,40 kn/m 2, e o peso próprio da viga (com seção transversa de 19 x 60 cm), a carga externa tota atuante na VS1 é: - peso próprio: g pp = 25. 0,19. 0,60 = 2,85 kn/m - parede: g par = 13. 0,23. 2,40 = 7,18 kn/m - aje: g aje = 5,40. (5,23/2) = 14,12 kn/m CARGA TOTAL: p = 24,15 kn/m 12.5 Esquema Estático e Carregamento na Viga VS1 O apoio interno da viga (piar P2) pode ser considerado como um apoio simpes, pois de acordo com o esquema mostrado na figura 6, tem-se: e = 300 cm (comprimento de fambagem do piar) e /4 = 300/4 = 75 cm b int = 19 cm < e /4 = 75 cm considerar apoio simpes. A viga deveria ser considerada engastada no piar P2 caso b int resutasse maior que e /4. De acordo com a norma, isso ocorreria se a dimensão do piar na direção da viga (b int ) fosse grande o suficiente para que a sua rigidez pudesse impedir a rotação da viga nas suas proximidades, ou seja, a viga seria considerada engastada no piar P2.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 24 A norma considera que a fexão das vigas contínuas cacuadas isoadamente com os piares extremos seja obrigatoriamente considerada. Neste exempo, a viga será considerada vincuada aos piares extremos P1 e P3 por meio de moas (engastamento eástico). O carregamento é uniformemente distribuído em toda a extensão da viga (figura 20). p = 24,15 kn/m 719 719 Figura 20 - Esquema estático e carregamento na viga. 12.6 Rigidez da Moa A rigidez da moa é avaiada pea Eq. 9: K moa = K p,sup + K p,inf Como os comprimentos de fambagem dos ances inferior e superior e a seção transversa dos piares extremos são idênticos, as rigidezes dos ances inferior e superior são iguais e vaem: K p,sup = K p,inf = 4 EI A rigidez da moa vae portanto: e K moa 8 EI = O móduo de easticidade (móduo de deformação ongitudina) tangente na origem pode ser avaiado pea seguinte expressão (NBR 6118/2003, item 8.2.8): e E ci = 5.600 f ck 1/2 = 5.600. 20 1/2 = 25.044 MPa = 2504,4 kn/cm 2 O móduo de easticidade secante (E cs ) vae: E cs = 0,85 E ci = 0,85. 2504,4 = 2128,7 kn/cm 2 O momento de inércia dos ances inferior e superior do piar é: 3 b h 19.19 I p,sup = I p,inf = = = 10. 860 cm 4 12 12 3 Rigidez da moa: K moa = 8 EI = 8. 2128,7.10860 = 616. 300 476 kn.cm e

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 25 12.7 Esforços Soicitantes Para determinação dos esforços soicitantes na viga pode ser utiizado quaquer programa computaciona com essa finaidade. Para o exempo foi apicado o programa chamado PPLAN3, originário da EESC-USP. A figura 21 mostra o esquema de numeração dos nós e barras para a viga em anáise. y 24,15 kn/m 1 1 2 2 3 3 4 4 5 359,5 359,5 359,5 359,5 x 719 719 Figura 21 Numeração dos nós e barras da viga. O arquivo de dados de entrada tem o aspecto: OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II VIGA EXEMPLO VS 1 (19 x 60) NOGL 1,5,1,0,0,1438,0, RES 1,1,1,2,0,0,616476, 5,1,1,2,0,0,616476, 3,1,1, BARG 1,4,1,1,1,2,1,1,1, PROP 1,1,1140,342000,60, MATL 1,2128, FIMG CARR1 CBRG 1,4,1,1,-0.2415,1, FIMC FIME A figura 22 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fetores (vaores característicos máximos) obtidos no programa PPLAN3. A istagem dos resutados cacuados peo programa encontra-se no Anexo I. A fecha cacuada peo programa para o nó 2 (0,43 cm) é próxima à fecha máxima no vão e serve como indicativo da desocabiidade da viga. Um vaor mais próximo da fecha máxima poderia ser obtido coocando-se outros nós à esquerda do nó 2 indicado na figura 21.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 26 68,0 288 105,7 105,7 68,0 V (kn) k 14918 288 1375 ~ 30 - - + ~ 180 1375 M k (kn.cm) 8189 8189 Figura 22 Diagrama de esforços característicos. No caso dos momentos fetores positivos deve-se comparar o vaor mostrado na figura 22 com o momento positivo obtido considerando-se o vão engastado no apoio interno (piar P2), como mostrado na figura 23. p = 24,15 kn/m 719 Figura 23 Esquema estático para obtenção do momento positivo considerando engate no apoio interno. O arquivo de dados de entrada tem o aspecto: OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO VS 1 (19 x 60) NOGL 1,2,1,0,0,719,0, RES 1,1,1, 3,1,1,1, BARG 1,2,1,1,1,2,1,1,1, PROP 1,1,1140,342000,60,

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 27 MATL 1,2128, FIMG CARR1 CBRG 1,2,1,1,-0.2415,1, FIMC FIME O máximo momento positivo para o esquema mostrado na figura 23, conforme o arquivo de dados acima, resuta 8189 kn.cm. Esse momento é igua ao momento máximo positivo obtido para a viga contínua mostrada na figura 21. 12.8 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS Serão dimensionadas as armaduras ongitudina e transversa. Para a armadura ongitudina serão adotados diferentes vaores para a atura úti d, em função do vaor do momento fetor. 12.8.1 Armadura Mínima A armadura mínima é cacuada para o momento fetor mínimo, de acordo com a Eq. 15: M d,mín = 0,8 W 0 f ctk,sup f 3 2 3 2 ctk,sup ct,m ck = = 1,3 f = 1,3. 0,3 f = 1,3. 0,3 20 2,87 MPa 3 b h 19. 60 I = = = 342000 cm 3 12 12 3 I 342000 W 0 = = = 11400 cm 3 (no estádio I, y é tomado na meia atura da viga) y 30 M d,mín = 0,8. 11400. 0,287 = 2617 kn.cm Dimensionamento da armadura para o momento fetor mínimo: 2 2 bw d 19. 55 K c = = 22, 0 Md 2617 = da Tabea de K c e K s tem-se K s = 0,023. Md 2617 As = Ks = 0,023 = 1, 09 cm 2 d 55 Conforme a Tabea 2, para seção retanguar e concreto C20, a taxa mínima de armadura (ρ mín ) deve ser de 0,15 % A c, portanto: A s,mín = 0,0015. 19. 60 = 1,71 cm 2 > 1,09 cm 2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm 2 )

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 28 12.8.2 Armadura de Pee A armadura de pee não é necessária, dado que a viga não tem atura superior a 60 cm. No entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem em vigas com atura superior a 50 cm, será coocada uma armadura de pee com área de 0,05 % A c (área da armadura de pee conforme a NBR 6118/80), em cada face da viga: A s,pee = 0,0005. 19. 60 = 0,57 cm 2 4 φ 4,2 mm = 0,68 cm 2 em cada face, distribuídos ao ongo da atura. 12.8.3 Armadura Longitudina de Fexão Normamente a armadura ongitudina é cacuada apenas para os momentos fetores máximos, positivos e negativos. 12.8.3.1 Momento Fetor Negativo a) Apoio interno (P2) M k = - 14.918 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (-14.918) = - 20.885 kn.cm Para a atura da viga de 60 cm será adotada a atura úti de 55 cm: 1φ10 8φ12,5 2 2 bw d 19. 55 K c = = = 2, 8 Md 20885 e h Da Tabea de K c e K s tem-se: β x = x/d = 0,44, K s = 0,028 e domínio 3. Md 20885 As = Ks = 0,028 = 10, 63 cm 2 d 55 5 φ 16 mm + 1 φ 10 mm = 10,80 cm 2 8 φ 12,5 mm + 1 φ 10 mm = 10,80 cm 2 (escoha indicada para construções de pequeno porte). Conforme descrito no item 10 (Eq. 10), deve-se ter β x = x/d 0,50. Neste caso, com β x = x/d = 0,44, o imite está satisfeito, o que deve garantir a necessária ductiidade à viga nesta seção. A distância ivre horizonta entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25 mm, a fim de permitir a passagem da aguha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igua a 5 mm, para o detahamento mostrado, a distância ivre resuta: [ 2 ( 2, 0 + 0, 5) + 4. 125, ] 19 e h = = 3, 0 cm 3 distância suficiente para a passagem da aguha do vibrador.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 29 b) Apoios extremos (P1 e P3) M k = - 1.375 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. (- 1.375) = - 1925 kn.cm 2 2 bw d 19. 57 K c = = = 32, 1 Md 1925 Da Tabea de K c e K s tem-se: β x = x/d = 0,04, K s = 0,023 e domínio 2. Md 1925 As = Ks = 0,023 = 0, 78 cm 2 < A s,mín d 57 (A s,mín = 1,60 cm 2 2 φ 10 mm) 2φ10 12.8.3.2 Momento Fetor Positivo M k = 8.189 kn.cm M d = γ f. M k = 1,4. 8.189 = 11.465 kn.cm Como a aje adjacente à viga é do tipo nervurada pré-fabricada, com capa de concreto de espessura 4,0 cm, normamente não se considera a contribuição da capa para formar a mesa da seção T, de modo que a viga é então cacuada como seção retanguar. 2 2 bw d 19. 57 K c = = = 5, 4 Md 11465 Da Tabea de K c e K s tem-se: β x = x/d = 0,21 < 0,50, K s = 0,025 e domínio 2. Md 11465 As = Ks = 0,025 = 5, 03 cm 2 d 57 2 φ 16 + 2 φ 8 mm = 5,00 cm 2 4 φ 12,5 = 5,00 cm 2 (escoha indicada para construções de pequeno porte). 4φ12,5 12.8.4 Armadura Longitudina Máxima A soma das armaduras de tração e de compressão (A s + A s ) não deve ter vaor maior que 4 % A c, cacuada na região fora da zona de emendas. Para a viga em questão, a maior taxa de armadura ongitudina ocorre na região próxima ao piar interno: A s = 10,80 cm 2 para o momento negativo e A s = 5,00 cm 2 para o momento positivo, com armadura tota de 15,80 cm 2. A armadura máxima permitida é: A s,máx = 0,04. 19. 60 = 45,60 cm 2, que é, portanto, muito superior à área tota de 15,80 cm 2.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 30 12.9 Armadura Transversa ao Esforço Cortante A resoução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simpificadas desenvovidas e apresentadas em BASTOS (2004). Por se tratar de seção retanguar, será considerado o Modeo de Cácuo II, com ânguo θ de 38. 12.9.1 Piar Interno P2 V k = 105,7 kn.cm V d = γ f. V k = 1,4. 105,7 = 148,0 kn a) Verificação das Bieas de Compressão Da Tabea 2 da apostia de cortante em viga, para o concreto C20, determina-se a força cortante útima ou máxima: V Rd2 = 0,71 bw. d. sen θ. cos θ = 0,71. 19. 55. sen 38. cos 38 = 360,0 kn V 2 Sd = 148,0 < VRd = 360,0 kn não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto. b) Cácuo da Armadura Transversa Da Tabea 2, para o concreto C20, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,035. bw. d. cot g θ + V c 1 V c1 = V c0 Com V c0 : V V V Rd2 Rd2 V V Sd c0 3 2 0,3 20 = 0,6 fctd bw d = 0,6 0,7 19. 55 69,3 KN 10.1,4 c 0 = 360,0 148,0 = 69,3 50,5 kn 360,0 69,3 V c 1 = V Sd,mín = 0,035.19. 55. cot g 38 + 50,5 = 97, 3 kn VSd = 148,0 > VSd, mín = 97,3 kn portanto, deve-se cacuar a armadura transversa p/ V Sd Da equação para A sw na Tabea 2 da apostia de cortante em vigas (concreto C20): ( V V ) c1 A sw = 2,55 d. cot g θ Sd = ( 148,0 50,5) 2,55 = 3,53 cm 2 /m 55. cot g 38 A armadura mínima é cacuada pea equação: 20 f ctm A sw,mín = bw (cm 2 3 2 3 2 /m), com fctm 0,3 fck = 0,3 20 = 2, 21 f ywk = MPa

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 31 A 20. 0,221 =.19 1,68 cm 2 /m 50 sw, mín = Como A sw = 3,53 cm 2 /m > A sw,mín = 1,68 cm 2 /m deve-se dispor a armadura cacuada. 12.9.2 Piares Extremos P1 e P3 V k = 68,0 kn.cm V d = γ f. V k = 1,4. 68,0 = 95,2 kn A favor da segurança, será mantido o mesmo vaor para d (55 cm) do piar interno. Portanto, tem-se os vaores de V Rd2 = 360,0 kn e V c0 = 69,3 kn. a) Verificação das Bieas de Compressão V 2 Sd = 95,2 < VRd = 360,0 kn não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto. b) Cácuo da Armadura Transversa Da Tabea 2, para o concreto C20, a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura mínima é: V Sd,mín = 0,035. bw. d. cot g θ + V c 1 V V V 360,0 95,2 = kn Rd2 Sd c1 = Vc0 69,3 = 63, 1 VRd2 Vc0 360,0 69,3 V Sd,mín = 0,035.19. 55. cot g 38 + 63, 1 = 109,9 kn V = 95,2 < V 109,9 kn portanto, deve-se dispor a armadura mínima Sd Sd, mín = (A sw,mín = 1,68 cm 2 /m). 12.9.3 Detahamento da Armadura Transversa a) Diâmetro do estribo: 5 mm φ t b w /10 φ t 190/10 19 mm b) Espaçamento máximo: 0,67 V Rd2 = 0,67. 360,0 = 241,2 kn V Sd,P2 = 148,0 < 241,2 kn s 0,6 d 30 cm V Sd,P1,P3 = 95,2 < 241,2 kn s 0,6 d 30 cm 0,6 d = 0,6. 55 = 33 cm Portanto, s 30 cm c) Espaçamento transversa entre os ramos do estribo: 0,20 V Rd2 = 0,20. 360,0 = 72,0 kn V Sd,P2 = 148,0 > 72,0 kn s 0,6 d 35 cm V Sd,P1,P3 = 95,2 > 72,0 kn s 0,6 d 35 cm 0,6 d = 0,6. 55 = 33 cm Portanto, s 33 cm

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 32 d) Escoha do diâmetro e espaçamento dos estribos d1) Piar P2 (A sw = 3,53 cm 2 ) Considerando estribo vertica composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm (1φ 5 mm = 0,20 cm 2 ), tem-se: A sw 0,0353 s 0,40 = 0, s 0353 s = 11,3 cm d2) Piares P1 e P3 (A sw = A sw,mín = 1,68 cm 2 ) Para a armadura mínima de 1,68 cm 2 /m, considerando o mesmo estribo, tem-se: A sw 0,0168 s 0,40 = 0, s 0168 s = 23,8 cm A figura 23 mostra a disposição dos estribos ao ongo da viga. N1-14 c/ 11 N1-14 c/ 11 N1-24 c/ 23 N1-24 c/ 23 154 154 V Sd,mín = 97,3 15 148,0 56 148 x = 283 431 N1-76 φ 5 mm C = 152 Figura 23 Detahamento dos estribos verticais no comprimento tota da viga. 12.10 ANCORAGEM DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS 12.10.1 Armadura Positiva nos Piares Extremos P1 e P3 II: Vaor do desocamento do diagrama de momentos fetores (a ) segundo o modeo de cácuo a = 0,5 d (cot g θ cot g α) = 0,5. 57 (cotg 38 cotg 90) a = 36,5 cm 0,5 d = 0,5. 57 = 28,5 cm Conforme a Eq. 16 da apostia de Ancoragem, a armadura a ancorar no apoio é:

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 33 1 a 1 36,5 A s, cac = VSd + NSd = 95,2 = 1, 40 cm 2 f yd d 50 57 1,15 A armadura positiva do vão adjacente é composta por 4 φ 12,5 mm, onde 2 φ 12,5 mm posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidos até os apoios. Portanto, A s,ef = 2 φ 12,5 mm = 2,50 cm 2. A armadura efetiva no apoio deve atender à armadura mínima, dada pea Eq. 17: A s,cac 1 A 3 1 A 4 s,vão s,vão se M se M apoio apoio = 0 ou negativo e = negativo e M apoio M Mapoio 2 M vão > 2 M d,apoio = - 1.925 kn.cm < M d,vão /2 = 11.465/2 = 5.732,3 kn.cm Portanto, A s, cac 1/3 A s,vão = 5,03/3 = 1,68 cm 2 A s, cac = 1,40 cm 2 < 1/3 A s,vão = 1,68 cm 2 portanto, ancorar 1,68 cm 2 vão O comprimento mínimo da ancoragem no apoio ( b,mín ), conforme Eq. 18, é: b,mín r + 5,5 φ 6 cm r = 5/2 φ = 2,5. 1,25 = 3,1 cm (com r determinado na Tabea 1) 3,1 + 5,5. 1,25 = 10,0 cm > 6 cm Comprimento de ancoragem efetivo: be = b c = 19 2 = 17 cm Comprimento de ancoragem básico (Eq. 3): b φ = 4 f f yd bd Resistência de aderência (Eq. 1): f bd = η 1. η 2. η 3. f ctd 0,7. 0,3 3 2 0,7. 0,3 3 com fctd = fck = 20 2 = 0, 11kN/cm 2 γ 1,4.10 c Considerando barra nervurada e situação de boa aderência, fica: f bd = 2,25. 1,0. 1,0. 0,11 = 0,25 kn/cm 2 50 1,25 1,15 = 4 0,25 b = 54 cm Comprimento de ancoragem necessário, sem gancho (Eq. 4): c b,nec b be As,ef

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 34 A 168, = 10,. 54 2, 50 s, cac b, nec = α1 b = A s, ef 36 cm Numa primeira anáise verifica-se que o comprimento de ancoragem necessário (sem gancho) é superior ao comprimento de ancoragem efetivo ( b,nec = 36 cm > be = 17 cm). Isto significa que não é possíve fazer a ancoragem sem gancho. A próxima tentativa de ancoragem é fazer o gancho. O comprimento de ancoragem necessário, com gancho é (Eq. 4): = 0, 7. 36 b, nec, g = 25 cm Verifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possíve fazer a ancoragem, pois o comprimento de ancoragem resutou maior que o comprimento de ancoragem efetivo: ( b,nec,g = 25 cm > be = 17 cm). A próxima aternativa é aumentar a armadura ongitudina a ancorar no apoio, para A s,corr, como definido pea Eq. 19, ou coocar grampos: A b s,corr = As,cac = 168 = 2 73 be + 0,3 b 17 + 0, 3. 54 54, Entre vários arranjos possíveis para atender a armadura corrigida, pode-se acrescentar um grampo φ 5 mm às duas barras φ 12,5 mm. Portanto, A s,ef = 2 φ 12,5 + 2 φ 5 mm (1 grampo) = 2,90 cm 2 Apenas como exempo, caso se optasse pea coocação direta de grampos, a área de grampos seria (Eq. 20): A s,grampo = A s,cac A s,ef be φgr + 0,3 b b be, φ cm 2 gr b,gr + 0,3 b,gr Comprimento de ancoragem básico dos grampos, supondo diâmetro de 5 mm: φ f yd = 4 f bd 50 0,5 1,15 = 4. 0,25 b,gr = 22cm Supondo a armadura efetiva composta por 2 φ 12,5 = 2,50 cm 2 (com ganchos), a área para os grampos resuta: 17 0, 5 + 0, 3. 54 22 = 168, 2, 50 016, cm 2 54 17 0, 5 + 0, 3. 22 A s, grampo = Área da armadura tota a ancorar: 2,50 + 0,16 = 2,66 cm 2. Armadura efetiva (escohida): 2 φ 12,5 + 2 φ 5 (1 grampo) = 2,90 cm 2 O detahe da ancoragem está mostrado na figura 24.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 35 2,0 95 φ = 60 cm gr 2 φ 12,5 10 2 cm 16,4 19 Grampo Figura 24 Detahe da ancoragem nos piares extremos. 12.10.2 Armadura Positiva no Piar Interno P2 Estendendo 2 φ 12,5 da armadura ongitudina positiva até o piar interno (A s,cac = A s,ef = 2,50 cm 2 ), esta armadura deve ser superior à mínima, dada pea Eq. 17: M d,apoio = - 20.885 kn.cm > M d,vão /2 = 11.465/2 = 5.732,3 kn.cm Portanto, A s, cac 1/4 A s,vão = 5,03/4 = 1,26 cm 2 A s,ef = 2,50 cm 2 > 1/4 A s,vão = 1,26 cm 2 As duas barras de 12,5 mm devem se estender 10φ aém da face do apoio, como mostrado na figura 36 da apostia de Ancoragem e Emendas. 12.10.3 Armadura Negativa nos Piares Extremos P1 e P3 A armadura negativa proveniente do engastamento eástico nos piares extremos deve penetrar até próximo à face do piar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho direcionado para baixo, com comprimento de peo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser de 5φ, como indicado na figura 25. 2 φ 10 5 φ 35 φ 35 cm Figura 25 Ancoragem da armadura negativa nos piares extremos.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 36 12.11 Detahamento da Armadura Longitudina Teoricamente, os desocamentos (a ) do diagrama de momentos fetores são diferentes, em função de terem sido adotados diferentes vaores para a atura úti d. Simpificadamente, será adotada a atura úti d de 57 cm para toda a extensão da viga, o que resuta para o desocamento, segundo o modeo de cácuo II: a = 0,5 d (cot g θ cot g α) = 0,5. 57 (cotg 38 cotg 90) a = 36 cm 0,5 d = 0,5. 57 = 28,5 cm aderência: Comprimento de ancoragem básico (Eq. 3) para barras φ 12,5 mm em situação de má b φ = 4 f f yd bd Resistência de aderência (Eq. 1): f bd = η 1. η 2. η 3. f ctd 0,7. 0,3 3 2 0,7. 0,3 3 com fctd = fck = 20 2 = 0, 11 kn/cm 2 γ 1,4.10 c Considerando barra nervurada e situação de boa aderência, fica: f bd = 2,25. 0,7. 1,0. 0,11 = 0,17 kn/cm 2 50 125, 115, b = = 78 cm 4 017, A figura 26 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fetores, feito para conhecimento da extensão e comprimento das barras das armaduras ongitudinais, positiva e negativa. O cobrimento do diagrama pode ser feito sobre o diagrama de momentos fetores de cácuo, desocado no vaor de a.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 37 225 132 b = 78 4φ12,5 + 1φ10 A b = 78 10φ a 4φ12,5 face externa do piar 10φ A B 10φ 58 B 2φ12,5 2φ12,5 B 10φ 203 centro do piar Figura 26 Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fetores de cácuo. Por simpicidade, a armadura negativa no apoio interno foi agrupada, sendo 4 φ 12,5 na primeira camada com o mesmo comprimento, e 4 φ 12,5 mais 1 φ 10 nas segunda e terceira camadas, tendo as cinco barras o mesmo comprimento. Outros diferentes arranjos ou agrupamentos poderiam ser feitos, resutando barras com comprimentos diferentes. A armadura positiva foi separada em dois grupos, cada um com 2 φ 12,5. Duas barras foram estendidas até os apoios, e as outras duas foram cortadas antes dos apoios, conforme o cobrimento do diagrama de momentos fetores. Embora a norma não obrigue, foi coocada uma armadura de pee nas duas faces verticais da viga, conforme cácuo mostrado no item 12.8.2. A figura 27 apresenta o detahamento fina das armaduras da viga. Este desenho é feito normamente na escaa 1:50. O desenho do corte da seção transversa e do estribo é feito normamente na escaa de 1:25 ou 1:20. Atenção máxima deve ser dispensada a este detahamento fina, pois comumente é apenas com ee que a armação da viga será executada. Num detahe à parte podem ser coocados outros desenhos mostrando como devem ser executados os ganchos, com os pinos de dobramento, etc.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 38 VS1 = VS3 (19 x 60) 4 N3 N1-24c/23 N1-14c/11 154 N1-14c/11 154 N1-24c/23 1 N5 4 N4 2 x 4 N6 35 P1 N2-2φ10 C = 576 40 A P2 40 225 225 N3-4φ12,5 C = 450 135 135 N4-4φ12,5 C = 270 (2 cam) N2-2φ10 C = 576 P3 35 56 15 2 N7 2 N8 135 135 N5-1φ10 C = 270 (3 cam) N1-76φ5mm c=152 N6-2 x 4φ4,2 CORR N7-2φ12,5 C = 468 203 203 N7-2φ12,5 C = 468 10 N8-2φ12,5 C = 742 N8-2φ12,5 C = 742 10 A Figura 27 Detahamento fina das armaduras da viga. O esquema de indicação ou posicionamento das armaduras como mostrado na figura 27 é o mais comum na prática. No entanto, outros posicionamentos diferentes para as armaduras ongitudinais e para os estribos podem ser adotados. Por exempo, a armadura ongitudina negativa pode ser indicada acima do desenho da viga, a inha de indicação dos estribos pode ser indicada na parte inferior da viga, e a armadura positiva como mostrada na figura 27. Esta forma de indicar as armaduras, embora não seja a mais comum na prática, tem a vantagem de distanciar as armaduras negativa e positiva, impedindo possíveis confusões. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto Procedimento - NBR 6118, Rio de Janeiro, ABNT, 2003, 170p. BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado ao esforço cortante. Discipina 1309 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civi, Facudade de Engenharia - Universidade Estadua Pauista, mar/2004, 70p. BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Discipina 1309 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civi, Facudade de Engenharia - Universidade Estadua Pauista, mar/2004, 42p. FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Pauo, Ed. Pini, 2000, 382p.

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 39 ANEXO I LISTAGEM DE RESULTADOS - PROGRAMA PPLAN3 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II CLIENTE: VIGA EXEMPLO --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO: VS1 (19 X 60) --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE COORDENADAS NODAIS NO COORD X COORD Y IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1.000.000 NOGL 2 359.500.000 NOGL 3 719.000.000 NOGL 4 1078.500.000 NOGL 5 1438.000.000 NOGL --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE RESTRICOES NODAIS NO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1.10000E+38.10000E+38.61648E+06 RES 5.10000E+38.10000E+38.61648E+06 RES 3 1 1 0 RES --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRAS NO NO COSSENO OPCAO BARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 2 1 359.500 1.0000 1 BARG 2 2 3 1 359.500 1.0000 1 BARG 3 3 4 1 359.500 1.0000 1 BARG 4 4 5 1 359.500 1.0000 1 BARG

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 40 --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1.11400E+04.34200E+06 60.00.00 PROP --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1.212800E+04.00000E+00.00000E+00 MATL --------------------------------------------------------------------------- PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO: VS1 (19 X 60) --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS... 5 NUMERO DE NOS COM RESTRICOES... 3 NUMERO DE RESTRICOES NODAIS... 6 NUMERO DE BARRAS... 4 NUMERO DE BARRAS COM ROTULA(S)... 0 NUMERO DE ROTULAS... 0 NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS... 1 NUMERO DE MATERIAIS... 1 NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE... 9 MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS... 1 LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ... 6 NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ... 54 --------------------------------------------- I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA I I I I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I I I --------------------------------------------- ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II CLIENTE: VIGA EXEMPLO ============================ PORTICO: VS1 (19 X 60) ============================

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 41 =========================================================================== COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R =========================================================================== 1.000.000.10000E+38.10000E+38.61648E+06 2 359.500.000 0 0 0 3 719.000.000 1 1 0 4 1078.500.000 0 0 0 5 1438.000.000.10000E+38.10000E+38.61648E+06 =========================================================================== CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR =========================================================================== 1 1 0 2 0 1 359.500 1.0000 2 2 0 3 0 1 359.500 1.0000 3 3 0 4 0 1 359.500 1.0000 4 4 0 5 0 1 359.500 1.0000 =========================================================================== PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP =========================================================================== 1 1.11400E+04.34200E+06 60.00.00 =========================================================================== PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM =========================================================================== 1.212800E+04.00000E+00.00000E+00 --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: VS1 (19 X 60) ) --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 -.2415 1.000.000 CBRG 2 1 -.2415 1.000.000 CBRG 3 1 -.2415 1.000.000 CBRG 4 1 -.2415 1.000.000 CBRG

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 42 --------------------------------------------------------------------------- ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS CARREGADOS... 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS... 5 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO)... 4 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO)... 0 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X....000 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y... -347.277 ------------------------------------------------ I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I I I I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I ------------------------------------------------ =========================================================================== CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS1 (19 X 60) ) =========================================================================== =========================================================================== DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO =========================================================================== 1.0000000.0000000.0022300 2.0000000 -.4313680 -.0005575 3.0000000.0000000.0000000 4.0000000 -.4313680.0005575 5.0000000.0000000 -.0022300 =========================================================================== ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 1.000 67.983-1374.769 2.000-18.837 7459.188 2 2.000-18.837 7459.188 3.000-105.656-14918.380 3 3.000 105.656-14918.380 4.000 18.837 7459.187 4 4.000 18.837 7459.188 5.000-67.983-1374.771

UNESP - Bauru/SP 1309 - Estruturas de Concreto II Vigas de Edifícios 43 =========================================================================== RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO =========================================================================== 1.000 67.983-1374.769 2.000.000.000 3.000 211.312.000 4.000.000.000 5.000 67.983 1374.771 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y... 347.277 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y... -347.277 ERRO PERCENTUAL....0000088 % =========================================================================== ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 0/10.000 67.983-1374.769 1 1/10.000 59.301 913.145 1 2/10.000 50.619 2888.944 1 3/10.000 41.937 4552.628 1 4/10.000 33.255 5904.196 1 5/10.000 24.573 6943.649 1 6/10.000 15.891 7670.988 1 7/10.000 7.209 8086.211 1 8/10.000-1.473 8189.318 1 9/10.000-10.155 7980.312 1 10/10.000-18.837 7459.188 2 0/10.000-18.837 7459.188 2 1/10.000-27.519 6625.951 2 2/10.000-36.201 5480.597 2 3/10.000-44.882 4023.129 2 4/10.000-53.564 2253.545 2 5/10.000-62.246 171.847 2 6/10.000-70.928-2221.968 2 7/10.000-79.610-4927.897 2 8/10.000-88.292-7945.942 2 9/10.000-96.974-11276.100 2 10/10.000-105.656-14918.380 3 0/10.000 105.656-14918.380 3 1/10.000 96.974-11276.100 3 2/10.000 88.292-7945.941 3 3/10.000 79.610-4927.896 3 4/10.000 70.928-2221.968 3 5/10.000 62.246 171.846 3 6/10.000 53.564 2253.545 3 7/10.000 44.882 4023.129 3 8/10.000 36.201 5480.598 3 9/10.000 27.519 6625.952 3 10/10.000 18.837 7459.189 4 0/10.000 18.837 7459.188 4 1/10.000 10.155 7980.310 4 2/10.000 1.473 8189.317 4 3/10.000-7.209 8086.209 4 4/10.000-15.891 7670.986 4 5/10.000-24.573 6943.648 4 6/10.000-33.255 5904.194 4 7/10.000-41.937 4552.625 4 8/10.000-50.619 2888.941 4 9/10.000-59.301 913.143 4 10/10.000-67.983-1374.772