9.0 Dimensionamento e eixos e vigas. 9.1 Critérios e Resistência. No imensionamento os elementos e máquinas e estruturas, como os eixos e as vigas, vários são os critérios que poem ser utilizaos para o estabelecimento e suas imensões mínimas, compatíveis com as proprieaes mecânicas os materiais utilizaos, obtias nos ensaios em laboratório. Tais critérios surgem quano se busca a resposta à seguinte questão básica: - quano ocorrerá a ruína* o material a peça carregaa? *(entenemos como ruína a eterioração o material, por ruptura, por plastificação, por ser ultrapassao o limite e proporcionaliae, ou e escoamento etc, epeneno e seu uso). Várias poeriam ser as hipóteses (teorias) para sustentar uma resposta a tal questão: - a ruína ocorre quano a maior tensão normal presente ultrapassar o valor a tensão normal ocorrente quano a ruína o corpo e prova no ensaio e tração (ou compressão) o material; - a ruína ocorre quano a maior tensão tangencial presente ultrapassar o valor a tensão tangencial ocorrente quano a ruína o corpo e prova no ensaio o material corresponente; - a ruína ocorre quano a maior eformação longituinal presente ultrapassar o valor a eformação longituinal ocorrente quano a ruína o corpo e prova no ensaio o material; - a ruína ocorre quano a maior energia específica e istorção presente ultrapassar o valor a energia e istorção por uniae e volume ocorrente quano a ruptura o corpo e prova no ensaio o material. - outras... Como se verá, não há resposta única, vália para qualquer situação: o critério que mais se coauna com os resultaos obtios em laboratório epenerá o tipo o material e o tipo o carregamento. 9.2 Teorias as áximas Tensões. Válio para materiais frágeis (uros, quebraiços, que se rompem nos planos one a tensão normal é extrema) é o critério a máxima tensão normal, seguno o qual haverá ruína quano, em certo ponto o corpo, a tensão principal ultrapassar o valor a tensão e ruína no ensaio uniaxial o material. Portanto, o imensionamento, para um ao CS, eve ser feito ateneno ao requisito (Critério e Coulomb): ½ ( x + y ) + [½ ( x - y )] 2 + (τ xy ) 2 < lim /CS...(9.2.1) Para materiais úteis (macios, flexíveis, que se rompem nos planos one a tensão tangencial é extrema), é o critério a máxima tensão tangencial o que melhor se coauna, consierano que haverá ruína quano, em certo ponto, a tensão máxima e cisalhamento ultrapassar o valor a tensão tangencial ocorrente (a 45º) no ensaio e tração o material (τ máx = ½ limite ). O imensionamento (para um ao CS) eve atener a que (Critério e Tresca): [½ ( x - y )] 2 + (τ xy ) 2 < ½ lim /CS...(9.2.2) 28 (a) 45º Planos e Clivagem (b) Fig.9.1 Tipos e fratura no ensaio e tração (a) material frágil; b) material útil (inicialmente, a fratura se á por cisalhamento até que a reução a área provoca a ruptura por tração).
Exemplo 9.2.1 Dimensionar o eixo maciço a ser fabricao em aço 1020 (tensão limite e escoamento esc = 200Pa), e forma a transmitir um torque T = 10 kn.m, sob um momento fletor = 15 kn.m., com um coeficiente e segurança 1,6 ao escoamento. Solução: Para um eixo e seção circular submetio a um torque T e um momento fletor, o ponto a periferia mais solicitao estará submetio às seguintes tensões (a tensão tangencial evio a Q é esprezível para um eixo maciço) = (Μ/Ι) (/2); τ = (Τ/J P ) (/2); seno J P = π 4 /32 e I = ½ J P Como se trata e um material útil (baixo teor e Carbono), utilizaremos o critério a máxima tensão tangencial. τ máx = [½ ( x - y )] 2 + (τ xy ) 2 = [½ (Μ/Ι)/2] 2 + [(T/J P ) 2 /2] 2 τ máx = [( 2 + T 2 ) 1/2 / J P ] (/2) Interessante notar que o termo ( 2 + T 2 ) 1/2 representa o móulo o vetor momento total atuante na seção ( + T) (chamao momento ieal ). Para o caso em análise, como τ máx =(200/2):1,6 = 62,5Pa teremos: τ máx = 32 ( 2 + T 2 ) 1/2 / π 3 3 = 32 [(10x10 3 ) 2 + (15x10 3 ) 2 ] 1/2 / π (62,5x10 6 = 2,9838x10-3 m 3 = 1,432 x 10-1 m = 143 mm (Resposta) Exemplo 9.2.2 Para o perfil I esquematizao, eterminar o coeficiente e segurança para a ruptura o material, supono tratar-se e aço 1080, e alto teor e carbono, ureza Brinell 248, e resistência à tração e 78 kgf/mm 2. Solução: O momento e inércia a seção em relação à LN valerá: I LN = [100 x (165) 3 / 12] [95 (150) 3 / 12 = 10,72 x 10 6 mm 2 ]. Na seção o engastamento teremos: Q = 210 kn e = - 210x10 3 x 0,150 = - 31,5 k. Para o ponto (no topo, one ocorre a máxima tensão normal e tração e one a tensão e cisalhamento é nula), teremos: = (/ I)y = (31,5x10 3 / 10,72x10-6 )x0,083 = 243,9 Pa. Consierano o estao uplo: (tração Pura) - P1 = 243,9Pa P2 = 0,000 τ máx = ½ (243,9)= 121,9Pa Para o ponto C (na LN, one ocorre a máxima tensão tangencial e one a tensão normal é nula), teremos: τ = (Q S / b I ) seno S = (0,008x0,100x0,079 + 0,005x0,075x0,0375)=77,26x10-6 m 3 τ = 210x10 3 x77,26x10-6 / 0,005 x 10,72x10-6 = 302,7Pa Consierano o estao uplo: (Corte Puro) - P1 = 302,7Pa P2 = - 302,7Pa τ máx = 302,7Pa τ 121,9 τ 302,7 29 243,9 302,7 B C 150 τ 100 5 210kN 8 150 8
Para o ponto B (na interface entre a mesa e a alma, one ocorre uma tensão normal elevaa, embora não seja a máxima, estano presente uma tensão tangencial também elevaa, embora não seja a máxima), teremos: = (/ I)y = (31,5x10 3 / 10,72x10-6 )x0,075 = 220,4Pa τ = (Q S / b I) seno S = (0,008x0,100x0,079) = 63,20x10-6 m 3 τ = 210x10 3 x 63,20x10-6 / 0,005 x 10,72x10-6 = 247,6Pa Consierano o estao uplo: (Tração+Corte) - P1 = 381,2Pa P2 = -160,8Pa τ máx = 271Pa Como tg 2θ p = τ xy / ½ ( x - y ) = = -247,6 / ½ (220,4) = - 2,247; 2θ p = - 66,0º; θ p1 = - 33,0º; θ p2 = 57,0º - 160,8 Como (máx) = 78kgf/mm 2 = 765Pa, O coeficiente e segurança para o perfil, seguno o critério e Coulomb valerá 765/381,2 = 2,00 τ 381,2 9.3 Teorias as áximas Energias e eformação Poer-se-á cogitar que a eterioração o material ocorre quano, no ponto consierao, a energia e eformação, por uniae e volume (u), ultrapassar o valor e tal graneza quano a eterioração o material por ocasião o ensaio e tração corresponente (Critério e Saint-Venant). Como vimos nos capítulos 1.7 e 1.8, consierano os planos principais (one não ocorrem tensões tangenciais), em um estao triplo e tensões: u total = U/V = ( ½ ) ( 1 ε 1 + 2 ε 2 + 3 ε 3 ), seno: ε 1 = (1/E) [ 1 - ν ( 2 + 3 )] ε 2 = (1/E) [ 2 - ν ( 3 + 1 )] ε 3 = (1/E) [ 3 - ν ( 1 + 2 )], que nos leva a: u total = [1/2E] [ ( 2 1 + 2 2 + 2 3 2ν ( 1 2 + 2 3 + 3 1 )]... (9.3.1) Seguno o critério a máxima energia específica e eformação total não haverá eterioração o material se: 2 1 + 2 2 + 2 3 2ν ( 1 2 + 2 3 + 3 1 ) < ( limite ) 2... (9.3.2) que, no caso o estao uplo e tensões (com 3 = 0) e consierano um certo C.S., se torna: 2 1 + 2 2 2ν ( 1 2 ) < ( lim /CS ) 2... (9.3.3) Observa-se experimentalmente que os materiais suportam tensões muito mais elevaas o que a ao ensaio uniaxial e tração, quano submetios a estaos hirostáticos e tensão (quano as 3 tensões principais são toas iguais, ficano os círculos e ohr reuzios a um ponto sobre o eixo os ), não ocorreno tensão tangencial em qualquer plano (ficano o estao e tensão efinio pela graneza escalar pressão, invariante para toas as ireções). s rochas sob a crosta terrestre são um bom e- xemplo o que se comenta. Tal comportamento fica compreenio quano se leva em conta que a e- nergia total e eformação poe ser esobraa em uas componentes: a energia para variação e volume e a energia para variação e forma (istorção). ssim é que poemos estabelecer a composição: 2 p θ 1 2 - p 247,6 247,6 220,4 θ 1 3 1 = p + p 1 - p 30 3 - p
mite-se que a ação inelástica ocorrerá sempre que a energia e istorção exceer o valor corresponente no ensaio e tração (one apenas uma as tensões principais não é nula). Este é o chamao critério a máxima energia e istorção (Von ises). O valor a energia específica e istorção (u ) será computao subtraino o valor a energia total, a parcela corresponente a energia e variação volumétrica ecorrente a tensão méia p, fazeno em (9.3.1) i = p = ( 1 + 2 + 3 )/3, nos ano: u volume = [(1 2ν)6E]( 1 + 2 + 3 ) 2. Efetuano a iferença obtem-se: u istorção = [(1+ν)/6E] [( 1 2 ) 2 + ( 2 3 ) 2 + ( 3 1 ) 2 ]... (9.3.4) Seguno tal critério, não haverá a eterioração o material se: [( 1 2 ) 2 + ( 2 3 ) 2 + ( 3 1 ) 2 ] < 2( limite ) 2...(9.3.5) Tratano-se o caso comum e um estao uplo e tensões (com 3 = 0), e ao um certo CS, a equação se torna: 2 2 ( 1 + 2 1 2 ) < ( lim / CS) 2. Seno 1 = méio + τ máx e 1 = méio - τ máx, obtemos: ( méio 2 + 3τ máx 2 ) < ( limite ) 2...(9.3.6) otou-se certa margem e segurança, consierano como tensão amissível: am = limite / (Coeficiente e Segurança). Interessante comentar que, no caso o estao e corte puro (ocorrente no ensaio e torção e eixos) teremos: 1 = τ r ; 2 = τ r ; 3 = 0; que nos á: 3τ 2 r < ( limite ) 2 τ r < 0,577 limite τ r (valor confirmao experimentalmente para os materiais úteis cerca e 60% a tensão normal o ensaio e tração, e não os 50% preconizaos pelo critério a máxima tensão tangencial). Exemplo 9.3.1 O recipiente cilínrico e paree fina esquematizao (iâmetro = 200mm e espessura e = 2,8mm) contém ar comprimio na pressão manométrica e 32 atmosferas e eve ser submetio à uma força F = 10kN para aperto os parafusos e veação. Peese avaliar o coeficiente e segurança ao escoamento amitino que o material a chapa seja aço com tensão normal limite e escoamento 250Pa, E = 210GPa e ν = 0,300, seguno os quatro critérios e resistência estuaos (não consierar os efeitos a proximiae a chapa o funo o recipiente na seção a base one os esforços solicitantes são extremos). Solução: Na seção a base temos: N = p.πd 2 /4= 3,2x10 6 x π (0,200) 2 / 4=100,5kN; Q = 10,0kN; = 10x10 3 x 0,500 = 5,00kN.m; T =10x10 3 x 0,350 = 3,50kN.m. = π D x e = 1,759 x 10-3 m 2 ; J P = x (D/2) 2 = 17,59 x 10-6 m 4 ; I = ½ J P nalisaremos as tensões ocorrentes nos pontos a seção a base (na parte interna, one atua uma tensão e compressão 3 = - p): one a tensão longituinal trativa evio à p se soma à evio à ; B one a tensão tangencial evio ao torque T se soma à evio à Q; C one a tensão longituinal poe ser compressiva. 31 500 C 350 τ r τ p D=200 τ r 10kN B T
PONTO PONTO B PONTO C C L L L τ LC p τ LC C τ LC C p p L C C L L C Superfície interna Superfície interna Superfície interna C = pd/2e = = 3,2 x10 6 x 0,2 / 0,0056 = 114,3Pa L = N/ + (/I)(D/2) = = 100,5 x 10 3 / 1,759x10-3 + +(5x10 3 / 8,795x10-6 ) x 0,100 = = 57,13 + 56,85 = 114,0 Pa τ LC = (T/J P )(D/2) = =(3,5x10 3 / 17,59x10-6 )x0,100= = 19,90 Pa 3 = -p = -3,2Pa C = pd/2e = = 3,2 x10 6 x 0,2 / 0,0056 = 114,3Pa L = N/ = = 100,5 x 10 3 / 1,759x10-3 = = 57,13 Pa τ LC = (T/J P )(D/2) + ξ(q/) = =(3,5x10 3 / 17,59x10-6 )x0,100 + + 2 (10x10 3 / 1,759 x 10-3 ) = = 19,90 + 11,37 = 31,27Pa 3 = -p = -3,2Pa C = pd/2e = = 3,2 x10 6 x 0,2 / 0,0056 = 114,3Pa L = N/ - (/I)(D/2) = = 100,5 x 10 3 / 1,759x10-3 - +(5x10 3 / 8,795x10-6 ) x 0,100 = = 57,13 + 56,85 = 0,28 Pa τ LC = (T/J P )(D/2) = =(3,5x10 3 / 17,59x10-6 )x0,100= = 19,90 Pa 3 = -p = -3,2Pa méio = ½ (114,3 + 114,0) = 114,2 R = {[½ (114,3-114,0)] 2 + 19.9 2 } 1/2 = =19,90 1 = 114,2 + 19,9 = 134,1Pa 2 = 114,2-19,9 = 94,3Pa 3 = - 3,2Pa τ máx = ½ ( 1 3 ) = =1/2 [134,1 (-3,2)] = 68,65Pa méio = ½ (114,3 + 57,13) = 85,72 R = {[½ (114,3 57,13)] 2 + 31,27 2 } 1/2 = = 42,37 1 = 85,72 + 42,37 = 128,1Pa 2 = 85,72 42,37 = 43,45Pa 3 = - 3,2Pa τ máx = ½ ( 1 3 ) = =1/2 [128,1 (-3,2)] = 65,65Pa méio = ½ (114,3 + 0,28) = 57,29 R = {[½ (114,3 0,28)] 2 + 19.9 2 } 1/2 = =60,38 1 = 57,29 + 60,38 = 117,7Pa 2 = 57,29 60,38 = - 3,09 Pa 3 = - 3,2Pa τ máx = ½ ( 1 3 ) = =1/2 [117,7 (-3,2)] = 60,45Pa τ τ τ Dos pontos analisaos, é o ponto o mais crítico, para o qual teremos: 1 = 134,1Pa; 2 = 94,3 Pa; 1 = -3,20 Pa; τ máx = 68,65 Pa Pelo critério a máxima tensão normal (Coulomb); C.S. = 250 / 134,1 = 1,86. Pelo critério a máxima tensão tangencial (Tresca); C.S. = ½ 250 / 68,65 = 1,82. Pelo critério a máxima energia específica total (Saint-Venant); [( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + ( 3 ) 2 2ν( 1 2 + 2 3 + 3 1 )] = ( limite /CS) 2 ; (134,1) 2 + (94,3) 2 + (-3,2) 2 2x0,300(134,1x 94,3 + 94,3x(-3,2) + (-3,2)x 134,1=(250/CS) 2 CS = 1,78 Pelo critério a máxima energia específica e istorção (Von ises); [( 1 2 ) 2 + ( 2 3 ) 2 + ( 3 1 ) 2 ] = 2( limite /CS) 2 ; (134,1 94,3) 2 + (94,3 + 3,2) 2 + (-3,2 + 134,1) 2 = 2(250 / C.S.) 2 C.S. = 2,10. 32
Uma outra forma e representar os estaos limites em função os critérios e resistência aotaos para os materiais úteis é a apresentaa na fig. 9.3, seno os eixos cartesianos representativos as tensões principais 1 2 para um estao uplo e tensões. (a) seguno o critério a máxima tensão tangencial (Tresca) o estao e tensão representao pelo par 1, 2 eve ficar limitao ao hexágono BCDEFH, que correspone às conições: 1 < esc, 2 < esc, para 1 e 2 com o mesmo sinal e 1 2 < esc, caso 1 e 2 tenham sinais contrários. esc D E esc C 0,500 0,577 H esc G F p2 B esc p1 Fig.9.3 Critérios e Tresca e e Von ises (b) seguno o critério a máxima energia e istorção (Von ises) o limite passa a ser a elipse BCDEFGH, para a qual: 1 2 1 2 + 2 2 = esc 2. O caso a torção pura, quano 1 = τ e 2 = τ eviencia a istinção os ois critérios obteno-se τ lim = 0,500 esc (seguno Tresca) e τ lim = 0,577 esc (seguno Von ises). 9.4 Outras teorias. (Teoria e ohr) Observa-se experimentalmente que os materiais frágeis suportam tensões e compressão bem mais elevaas que as e tração (um exemplo clássico é o concreto). Traçano-se os círculos e ohr corresponentes aos ensaios e tração e e compressão o material (bem como o e corte puro, por torção, quano isponível), será lógico amitir (Critério e ohr) que o estao (uplo) e tensões será seguro para um ao material se o círculo e ohr corresponente ficar inteiramente entro a área elimitaa pela envoltória os círculos corresponentes aos aos obtios nos ensaios. ( rupt ) Compressão τ (τ rupt ) Corte ( rupt ) Tração Fig, 9.4 Teoria e ohr para os critérios e ruptura e materiais frágeis em estao plano e tensões. 9.5 - plicações. São apresentaos a seguir ois exemplos e aplicação para imensionamento e elementos e máquinas e estruturas. Ex. 9.5.1 Eixos (árvores). 250 Dimensionar o eixo e aço BCD (E = 200 GPa, ν = 0,3; τ escoam = 125 Pa) utilizano o critério a máxima tensão tangencial, com um coeficiente e segurança 2,5 ao escoamento e para um ângulo e torção amissível e 2,5º/m. Daos: otor Potência: 20 CV Rotação: ω = 1.720 rpm Polias B e C iâm. = 300 mm Correias planas paralelas: F 1 = 600N; F 2 = 300N; F 3 = 3 F 4 (Obs.: o mancal transmite tão-somente o torque o motor) D F 1 F 2 33 C 450 B 200 F 4 F 3 ω
Ex. 9.5.2 Vigas. Dimensionamento e Vigas e Eixos Solução: P = 20 CV = 20 x 736 = 14.720 w T otor = 14.720 x 60 / 1.720 x 2 π = 81,72 Νm T C = F 1 x r F 2 x r = (600 300) x 0,150 = 45,0 D T B = T - T C = 81,72 45 = 36,72 = (F 3 F 4 )x r = = (3F 4 F 4 )x 0,150 F 4 = 122,4N; F 3 = 367,2N. Compono os esforços externos ativos teremos: 650N F 1 + F 2 = 900N; F 3 + F 4 = 489,6N; Os esforços externos reativos valerão: 900x0,250 = y x0,900; y =250N; D y =900 250= 650N 489,6x0,700 = Z x0,900; Z = 380,8N; D Z = 108,8N Os iagramas o torque T e os momentos fletores Y e Z são apresentaos na figura ao lao, estacano-se os seguintes momentos extremos (em ): (B) T=81,72; Y =380,8x0,2=76,16; Z =250x0,2=50,0 (C) T=45,0; Y =108,8x0,25=27,2; Z =650x0,25=162,5 Computano o momento total (enominao momento ieal como visto no ex. 9.2.1): i = ( 2 Y + 2 Z + T 2 ) 1/2, teremos: (B)- i = (76,16 2 + 50,0 2 + 81,72 2 ) 1/2 = 122,4 ; (C)- i = (27,2 2 + 162,5 2 + 45,0 2 ) 1/2 = 170,8. Verifica-se que a seção o eixo one está enchavetaa a polia C é a mais solicitaa. τ máx = 16 i / π 3 e para o material o eixo: 34 108,8N 900N y 45,0 Diagramas e Esforços C 489,6N z 162,5 45,00 36,72 B 27,2 50,0 250N τ am = 125 / 2,5 = 50 Pa, teremos, pelo critério a máxima tensão tangencial: 3 = 16x 170,8 / π 50x10 6 = 25,9 mm Pelo critério a máxima eformação por torção, teríamos: δθ/l = T / G J P = 32 T / G π 4, seno G = E / 2 (1 + ν) = 200 / 2,6 = 76,9 GPa. No caso: (δθ/l) am = 2,5º/m = 2,5 / 57,3 = 0,04363 ra/m, e z 380,8N 76,16 0,04363 = 32 x 81,72 / 76,9x10 9 x πx 4 = 22,3 mm. Portanto, o iâmetro amissível para o eixo será e 26 mm (Resp.). 67 7,4 2,0m P = 10kN 4,8 2,0m viga B é apoiaa em seus extremos sobre o meio os vãos as vigas CD e EF, seno as três constituías por perfis S100 x 11,5 (I = 2,53 x 10 6 mm 4 ). otano como tensões limites e = 150Pa e τ e = 90Pa, pee-se calcular o coeficiente e segurança o conjunto e vigas. Solução: o cálculo as reações nos apoios e caa uma as vigas e o traçao os respectivos iagramas e momento fletores mostram que as seções críticas as vigas são: VIG B seção junto à carga P = 10kN, no trecho PB, one Q = 9kN e = 3,6 kn.m; VIG EF no meio o vão, junto ao contato em B, one Q = 4,5kN e = 4,05kN.m. C 0,5kN 1kN 1kN 1,0kN.m 4,5kN 3,6m D 0,9m E 0,4m 3,6kN.m 10kN 0,9m B 9kN 9kN x 4,05kN.m 81,72 T F y 4,5kN 102
VIG B (tensões no plano a seção transversal crítica) áxima tensão e tração/compressão: (3,6 x 10 3 /2,53x10-6 ) 0,051 =72,57Pa áxima tensão τ: (9,0 x 10 3 x(0,067x0,0074x0,0473+ 0,0048x0,0436 2 /2) / / (2,53x10-6 x0,0048) =20,76Pa Tensões na união entre a mesa e a alma o perfil: tensão e tração/compressão: (3,6 x 10 3 /2,53x10-6 ) 0,0436 =62,04Pa tensão τ: (9,0 x 10 3 x(0,067x0,0074x0,0473)/(2,53x10-6 x0,0048) =17,38Pa Consierano o estao triplo e tensões: Nos topos a viga: P1 = 72,57Pa; P2 = 0; P3 = 0; τ máx = ½ 72,57 = 36,29Pa; No ponto méio a alma: : P1 = 20,76Pa; P2 = 0; P3 = - 20,76 Pa; τ máx = 20,76Pa; Nas junções mesa-alma: P1 = ½ (62,04) + [(½ 62,04) 2 + 17,38 2 ] 1/2 = 31,02 + 35,56 = 66,58Pa P2 = 0; P3 = ½ (62,04) - [(½ 62,04) 2 + 17,38 2 ] 1/2 = 31,02 35,56 = - 4,54 Pa τ máx = [(½ 62,04) 2 + 17,38 2 ] 1/2 = 35,56Pa Portanto, para a viga B teremos: máx = 72,57 Pa e τ máx = 36,29Pa VIG EF (tensões no plano a seção transversal crítica) áxima tensão e tração/compressão: (4,05 x 10 3 /2,53x10-6 ) 0,051 =81,64Pa áxima tensão τ: (4,5 x 10 3 )x(0,067x0,0074x0,0473 + 0,0048x0,0436 2 /2) / / (2,53x10-6 x0,0048) =10,38Pa Tensões na união entre a mesa e a alma o perfil: tensão e tração/compressão: (4,05 x 10 3 /2,53x10-6 ) 0,0436 =69,79Pa tensão τ: (4,5 x 10 3 x(0,067x0,0074x0,0473)/(2,53x10-6 x0,0048) =8,69Pa Consierano o estao triplo e tensões: Nos topos a viga: P1 = 81,64Pa; P2 = 0; P3 = 0; τ máx = ½ 81,64 = 40,82Pa; No ponto méio a alma: : P1 = 8,69 Pa; P2 = 0; P3 = - 8,69 Pa; τ máx = 8,69 Pa; Nas junções mesa-alma: P1 = ½ (69,79) + [(½ 69,79) 2 + 8,69 2 ] 1/2 = 34,90 + 35,96 = 70,86Pa P2 = 0; P3 = ½ (69,79) - [(½ 69,79) 2 + 8,69 2 ] 1/2 = 34,90 35,96 = - 1,06 Pa τ máx = [(½ 69,79) 2 + 8,69 2 ] 1/2 = 35,96Pa Portanto, para a viga B teremos: máx = 81,64 Pa e τ máx = 40,82Pa Conclusão: para o conjunto e vigas teremos como tensões extremas: máx = 81,64 Pa e τ máx = 40,82Pa (ocorrentes no meio o vão a viga EF) e, portanto, o coeficiente e segurança será o menor os valores: 150 / 81,64 = 1,837; 90 / 40,82 = 2,20... C.S = 1,84 (Resposta) v y Exercício proposto ostre: I) que, para um par e eixos ortogonais (u,v) efasao e um ângulo θ em relação ao par e referência (x,y), os momentos e proutos e i- nércia e uma área se relacionam através as equações: Ι u = ½ (Ι x + Ι y ) + ½ (Ι x - Ι y ) cos 2θ + ( P xy sen 2θ) - P uv = - ½ (ε x - ε y ) sen 2θ + (- P xy ) cos 2θ. II) que, para os eixos principais e inércia, (P 12 = 0) : Ι 1,2 = (Ι x + Ι y )/2 ± {[(1/ 2) (Ι x - Ι y )] 2 + (-P xy ) 2 } 1/2 (P uv ) máx = {[(1/ 2) (Ι x - Ι y )] 2 + (-P xy ) 2 } 1/2 III) que se poe utilizar o Círculo e ohr para momentos e proutos e inércia, nos mesmos moles em que foi utilizao para as análises as tensões e as eformações. Obs.: u = x cos θ + y sen θ; v = y cos θ - x sen θ. 35 -P u v I 2 x u y I y I 1 I x v I u θ u x
tração ω tração compressão ω ω Fig. 9.6.1 Seção e um eixo fraturao por faiga: (a) Região esmerilhaa; (b) região rugosa; c) alternância o sentio a tensão normal ecorrente o momento fletor, causaa pela rotação o eixo. a b Dimensionamento e Vigas e Eixos 9.6 Cargas Variáveis. Faiga 9.6.1 - Faiga experiência mostra que uma peça, submetia a uma carga cíclica, em geral se eteriora, epois e um certo tempo, sob tensões muito mais baixas o que as obtias nos ensaios estáticos o respectivo material. É a chamaa fratura por faiga.tal ecorre o fato e que o efeito sobre o material provocao pela ação e uma carga alternativa é iferente aquele prouzio pela carga, quano aplicaa e forma graual, até seu valor final. ruína evio à ação e um esforço estático provoca uma fratura (com superfície rugosa) bem iferente aquela provocaa pela faiga o material (com uas regiões istintas na superfície fraturaa: uma polia, esmerilhaa, e outra rugosa Fig. 9.5.1). Sob o carregamento alternao, uma pequena trinca (em geral na superfície, one as tensões são mais elevaas, tanto as normais evio à flexão, como as tangenciais, evio à torção) provoca uma concentração e tensões no entorno a fena. Como a carga se alterna, inverteno o sentio a tensão, há uma propagação a fena para o interior a peça, iminuino a área a parte aina íntegra a seção, até a anificação total. Tal fenômeno é responsável por mais a metae as quebras os eixos as máquinas e ferramentas, pois, a caa giro, um ponto a periferia o eixo, mesmo submetio a um torque e a um momento fletor invariantes, passa a conição e tracionao a comprimio, retornano a ser tracionao a caa rotação. Por exemplo, num eixo e motor elétrico girano a 1.800 rpm, a caa seguno ocorrerão 30 esses ciclos e esforços alternaos, provocano um abre e fecha a trinca, que prossegue aprofunano. É importante não confunir tal fenômeno (que ocorre após milhares e ciclos) com o fenômeno a plastificação alternaa, ocorrente quano se provoca eformações ultrapassano o limite e escoamento e materiais úteis, inverteno o sentio a eformação e, após uns poucos ciclos, o material encruao sofre fratura frágil, com grane issipação e energia (caso e arames que ficam aquecios quano partios). máxima tensão alternaa à qual o material poe ser submetio, sem ruptura, mesmo após um milhão (10 6 ) e ciclos e solicitação, é a enominaa tensão limite e faiga ( n ), meia através a máquina e oore (Fig.9.5.2), obteno-se o gráfico representao abaixo (tensão ruptura x nº e ciclos e solicitação). 500 Pa c trinca 90% probabiliae e ruína Corpo e Prova Espelhao otor n 250 10% probabiliae e ruína 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 ciclos Carga Conta-Giro 36 Fig.9.6.2 áquina e oore (FDIG)
lguns ateriais Dimensionamento e Vigas e Eixos Tensão Limite Tensão Limite e Escoamento e Ruptura e (Pa) r (Pa) Tensão Limite e Faiga n (Pa) Relação n / r ço Estrutural 250 450 190 0,42 ço 1040 laminao 360 580 260 0,45 ço Inoxiável recozio 250 590 270 0,46 Ferro Funio Cinzento - 170 80 0,47 lumínio Trabalhao 280 430 120 0,28 Os valores aotaos para a tensão limite e resistência à faiga - n (obtios utilizano-se corpo e prova com acabamento superficial espelhao, iâmetro e 7,62mm = 1/3 polegaa, para até 10 6 ciclos, submetio à flexão, a uma temperatura que não ultrapasse 71ºC) evem ser corrigios em função as peculiariaes a peça real (quanto a seu acabamento, tamanho, tipo e solicitação, via limitaa, temperatura e trabalho), através e fatores cujas orens e graneza são apresentaas na tabela a seguir (para aços com tensão e ruptura entre 300 e 600Pa *). f = n (a) (b) (c) () (e)... (9.6.1) (a) acabamento (b) tamanho a peça (c) via limitaa () tipo e solicitação c = = a = Espelhao...1,00 Retificao...0,93 a 0,90 Usinao...0,90 a 0,83 c/ ranhura...0,83 a 0,68 Laminao...0,70 a 0,50 c/ corrosão...0,60 a 0,40 Corrosão água salgaa.....0,42 a 0,28 b = D=10mm...1,0 D=20mm...0,9 D=30mm...0,8 D=50mm...0,7 D=100mm...0,6 D>200mm..0,58 c = (10 6 / n) 0,09 n < 10 6 ciclos Flexão 1,0 xial 0,8 Torção τ = 0,6 (e) temperatura e = e = 1,0 (t< 71ºC) e = 344/ (273 + tºc) para t > 71ºC * (Nota: os valores apresentaos, repete-se, inicam orens e graneza, objetivano, tão-somente, apontar os fatores que evem ser levaos em conta na análise o problema, eveno ser consultaas as normas técnicas e a bibliografia especializaa para a efetiva atribuição as granezas envolvias). 9.7 Concentração e Tensões Como a falha por faiga se á no ponto e alta tensão localizaa, qualquer escontinuiae, seja ela aciental (falha e funição, bolha, risco na usinagem,...) ou intencional (rasgo e chaveta, furo para pino, escalonamento e iâmetro,...) poerá iniciar tal tipo e eterioração. Um coeficiente e segurança (CS) eve ser aotao para cobrir os casos e falha aciental. Já as escontinuiaes previstas no projeto (para montagens, uniões, juntas, etc) evem ser consieraas com aoção e fatores apropriaos (K) relacionaos com a concentração e tensões. ssim, as equações básicas a Resistência os ateriais para cálculo as tensões serão corrigias escreveno-se (*, para o caso e eixos circulares): N = K (N/); = K (/I)y; τ T = K (T/J P )r (*); τ Q = K (Q S /bi) seno os valores e K (coeficiente e concentração e tensões) obtios experimentalmente (Foto-Elasticiae) ou analiticamente (Teoria a Elasticiae). Os gráficos a seguir apresentam alguns exemplos e valores para o coeficiente K. 37
4,0 K b Dimensionamento e Vigas e Eixos 15 a K h b 3,0 b 10 Fig. 9.6 h/b = 0,35 2,0 5 h/b = 0,50 h/b > 1,0 1,0 0,0 0,5 Relação /b 1,0 c 1 0,0 0,5 Relação /b 1,0 K 2,0 1,5 D D/ = 1,1 r D/ = 1,5 D/ = 4,0 Observação: Os valores inicaos tanto poem ser utilizaos para eixos circulares com seções torneaas como para barras chatas. 3,0 2,0 K h h/ < 0,33 b h/ > 3 1,0 0,0 0,5 Relação r/ 1,0 e 1,0 0,5 Relação /b 1,0 K 3,0 T D r T K 3,0 D/ = 2 T D r T f 2,0 (D-)/2r = 4 (D-)/2r = 2 2,0 D/ = 1,2 D/ = 1,2 (D-)/2r = 1 1,0 1,0 0,0 0,5 Relação r/ 1,0 0,0 0,05 0,10 0,15 0,20 38 Relação r/
9.8 Cargas Pulsantes. No caso e peças submetias a cargas variáveis, que corresponem a um valor e tensão méia iferente e zero ( m ), ao qual se mín sobrepõe um valor alternativo ( v ), observa-se experimentalmente que a falha ocorrerá quano o par e valores ( m ; v ) for plotao acima a v fa /CS linha reta que une o pontos representativos as fa uas tensões limites corresponentes, para a resistência estática ( est ) e para a faiga ( fa ), como mostrao na figura ao lao. equação a reta limite, no plano cartesiano ( m ; v ), será (na forma normal): [ m / ( est )] + [ v / ( fa )] = 1 otano um mesmo coeficiente e segurança (CS) para as tensões consieraas amissíveis, tanto para a faiga como para a resistência estática o material, teremos: Fig. 9.8.1 Cargas pulsantes var máx mé est /CS est m t [ m / ( est )] + [ v / ( fa )] = 1/(CS)...(9.8.1) (Equação e Soerberg) Como tensão limite para a resistência estática, nos materiais úteis, aota-se a tensão e escoamento ( e ), enquanto que para os materiais frágeis, aota-se a tensão e ruptura ( r ) O efeito a concentração e tensões nos materiais úteis é geralmente ignorao, quano se trata e um carregamento estático, porque o material irá escoar na região e elevaa tensão e o equilíbrio poe se restabelecer por reistribuição as tensões sem qualquer ano. Já se o material é frágil, mesmo uma carga estática poe causar a ruptura pelo efeito a concentração e tensões. Por isso a equação e Soerberg é moificaa para levar em conta o efeito a concentração e tensões nas formas: frágil útil e [ m / ( est )] + [ Κ v / ( fa )] = 1/(CS)...(9.8.2) aterial útil [ m / ( est )] + [ v / ( fa )] = 1/(K. CS)...(9.8.3) aterial Frágil 39
Exemplo 9.8: viga bi-apoiaa esquematizaa na figura, fabricaa por laminação em aço com tensão e escoamento 250Pa e tensão limite e faiga 190Pa, tem seção quaraa (90x90 mm 2 ) e um furo vertical circular, e iâmetro 20mm, no meio o vão. viga é submetia a uma carga vertical pulsante P, que varia em móulo entre 8kN e 4kN, na posição inicaa. Pee-se eterminar o coeficiente e segurança consierano a faiga e a concentração e tensões. Dimensionamento e Vigas e Eixos Furo - D = 20mm 2,0m 1,0m 8kN P pulsante entre 8kN e 4kN 1,0m Solução: o iagrama e momentos fletores, para o caso o valor máximo a força P (8kN) nos inica como momentos críticos: = 6k (valor máximo, na seção sob a carga) F = 4k (valor na seção one há o furo). s tensões corresponentes valerão: Μ = {6x10 3 / [(0,090) 4 /12]}0,045= 49,38Pa F ={4x10 3 /[(0,07)(0,09) 3 /12]}0,045= 42,33Pa 2kN F = 4k = 6k 6kN Para o valor mínimo e P (4kN) (metae o valor máximo) as tensões corresponentes terão a metae o valor, o que leva a concluir que as tensões críticas serão: Na seção one é máximo - pulsano entre: 49,38 e 24,69 - m = 37,04; V = 12,35Pa Na seção one há o furo - F pulsano entre: 42,33 e 21,17 - m = 31,35; V = 10,58Pa Tratano-se e material útil e, a favor a segurança, corrigino o limite e faiga inicao ( n = 190Pa) para consierar o acabamento superficial (laminao a = 0,7) e o tamanho a peça (90x90 b = 0,6), teremos f = 190 x 0,7 x 0,6 = 79,8Pa. Consierano o efeito e concentração e tensões provocao pelo furo no meio o vão a viga tiramos o gráfico a fig. 9.4: (para /b = 20/90 = 0,22 e k/ 90/20 = 4,5 > 3) K = 2,4. Teremos então, levano em conta a equação 9.3 (material útil): [ m / ( est )] + [ Κ v / ( fa )] = 1/(CS) a) para a seção sob a carga: (37,04 / 250) + (12,35/79,8) = 1/CS CS = 3,3 b) para a seção no meio o vão (one há o furo): (31,35/250) + 2,4 x (10,58/79,8) = 1/CS CS = 2,3 Resp. CS = 2,3 Exercício proposto: faça um re-imensionamento o eixo analisao no exercício 9.5.1 (pág. 33) consierano: que a tensão normal calculaa varia alternaamente evio à rotação ( faiga = 0,7 escoam ) que a tensão tangencial calculaa é constante; que há escalonamentos no iâmetro o eixo para a montagem as polias (K = 1,5); que há chavetas conectano as polias ao eixo (K = 1,7). 40