ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS Pro.: Magnus Melo Eercício. Sejam os polinômios dados abaio. Use a regra de sinais de descartes e o teorema da cota de Augustin Cauchy para pesquisar a eistência de zeros reais e isolálos em intervalos de amplitude 0,5. 3 a) p 4 ; resp.: [- ; -,5] 3 b) p 3 4 ; resp.: [-,5 ; -], [0 ; 0,5], [0,5 ; ] 4 3 c) p resp.: [0 ; 0,5], é uma raiz. 4 3 d) p( ) 5 3 Obs.: Observe que eiste um zero nulo para este polinômio. Pode-se azer, então, o seguinte: escreve-se o polinômio da orma: p ( ) 3 5 3 O objetivo passa a ser localizar os zeros do polinômio que está entre parênteses. resp.: [- ;-0,5], [ ;,5], [4 ; 4,5] e) p 5 3 0,5 Resp.: O zero é uma raiz de multiplicidade. Outros zeros estão em: [-,5 ;-], [-0,5 ; 0] e [,5 ; ]. Eercício. Localizar graicamente as raízes das equações seguintes: a) 3 0 b) 4 cos e 0 c) 3 3 + 3 = 0 Resp.: a) [0 ; 0,5] e [3 ; 3,5] b) [0,5 ; ] e ininitas raízes negativas c) [-,5 ; -] Eercício 3. Determine pelo menos uma raiz real das unções abaio usando os métodos indicados: (I) Método da Bisseção a. ln b. sen c. cos Obs.: Use = 0,0, ou 6 iterações no máimo. d. Determine o número de bisseções necessárias para que se tenha o zero da unção do item a., com precisão na 4ª casa decimal. (resposta: 4).
e. Calcule o erro cometido ao se calcular o zero da unção do item c., usando o método da bisseção com 8 bisseções. (resposta: 0,0039). (II) Método de Newton-Raphson e método das cordas a. 3 3 e b. cos 3 c. Obs.: Use = 0,00, ou 4 iterações no máimo Resp.: veriique a convergência do método usado para certiicar-se de sua resposta. Eercício 4. Localize graicamente a raiz não nula da equação dada, e calcule esta raíz usando o método de Newton Raphson com = 0,00 (ou 4 iterações no máimo). sen 0 Resp.: O zero não nulo desta unção está em [,5 ; ] Eercício 5. Determine os intervalos que contém os zeros das unções seguintes e em seguida determine-as usando os métodos de Newton - Raphson e da bissecção. Use = 0,00 para o método de Newton Raphson e = 0,0 para o método da bisseção. a) () = 3-4 + resp.: Intervalos: [-,5 ; -], [0,5 ; ], [,5 ; ] b) g() = resp.: Intervalo: [0,5 ; ] Obs.: veriique a convergência do método usado para certiicar-se de sua resposta (cálculo do zero em cada intervalo). Eercício 6. A unção (/ ) sen( ) tem ininitos zeros reais. Use o método da iteração linear com = 0,0, ou 4 iterações no máimo, para determinar o seu primeiro zero positivo. Resp.:, Eercício 7. Nos métodos de ponto io, as unção de iteração deve veriicar o critério: ( 0 ) As raízes da equação ln 0 podem ser determinadas usando-se as seguintes equações de iterações: (a) ln (b) ( ) e
Usando o critério de inormado, analise as unções de iterações dadas e veriique qual delas possui garantia de convergência para as raízes da equação. Determine estas raízes com = 0,00 ou 4 iterações no máimo. Resp.: 0,59 e 3,45 5 Eercício 8. Seja a unção e. Determinar o valor de tal que. Resp.: = 0,90 (valor aproimado) Eercício 9. Utilize o método da bisseção, para estimar o coeiciente de atrito, c, necessário para que um paraquedista de massa m=68, kg alcance uma velocidade de 40 m/s após 0s de queda livre. A aceleração devido à gravidade é de 9,8 m/s. considere o intervalo [, 6] use uma precisão de = 0,5. Obs.: A equação horária da velocidade para este sistema é: v( t) gm c e ( c / m) t Resp.: c = 4,75 Eercício 0. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites é dada por: M = Esen Dados que E = 0. e M = 0.5, obtenha a raiz da equação de Kepler usando o método de Newton e das cordas. Use = 0-3. Resp.: = 0,65 (valor aproimado) Eercício. Estime a raiz quadrada de com uma precisão de 3 casas decimais, usando um (ou mais) método iterativo estudado. Eercício. Localize graicamente as interseções entre a unção e e a circunerência y 4. Calcule as interseções usando o método da bisseção. Usar = 0 -. Resp.: -,99 e 0,64 Eercício 3. Repetir o eercício anterior para as unções:
a) b) e Resp.: -0,64 e,99 e Resp.: -,00 e 0,34 Eercício 4. Considere o seguinte método iterativo (método de tangente ia): n ( n), n K ( 0), n 0 K a) Forneça a interpretação gráica desse método para o cálculo de uma raiz real e simples da equação () = 0; b) Tomando 0, determine, até a quarta casa decimal, a raiz real da equação: 3 5 0 Resp.: =,509 Eercício 5. Na maioria dos casos, pode-se calcular a derivada numérica de uma unção usando-se a equação: ( ) a) Mostre que a segunda derivada pode ser calculada numericamente pela equação: ( ) ( ) b) Use as derivadas numéricas para determinar os zeros das unções do eercício 3, quesito II. Eercício 6. Um método de determinação de zeros de unções y = () é o método das secantes. Este método tem a seguinte equação de iteração: n n ( n n) ( ( ) ( n n n ) ) Observe que, agora, serão necessários valores iniciais: o e. Estes valores podem ser escolhidos, a partir de um intervalo pré-deinido (a, b), como segue: Se Se o a então a ou, o b então b A condição de parada é a mesma do método de Newton Raphson.
A unção cos 5 tem um zero no intervalo (, 3). Determine-o com este método. Usar 0 3. A solução do problema pode ser veriicada com a convergência do método, durante a sua aplicação.