ANEXO 7 Referente a Ação 7 5. ATIVIDADE DE PREPARAÇÃO DOS BOLSISTAS ALUNOS MINI-CURSO Construções Geométricas: Esta atividade foi desenvolvida na Universidade com o objetivo de habilitar os bolsistas em procedimentos de construções Geométricas. UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBAS PROJETO PIBID ATIVIDADE: METODOS DE DIVISÃO DE SEGMENTOS E DA CIRCUFERENCIA. 1) DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM N PARTES IGUAIS: A) Pelos pontos A e B trace o segmento AB B) Por uma das extremidades, digamos a extremidade A, trace um segmento auxiliar de comprimento arbitrário formando um ângulo diferente de 180 com o segmento AB. C) Divida o segmento auxiliar em, N partes iguais, AA, 1 A, 1 2 A, 2 3 A,..., 3 4 A, N 1 n D) Ligue a extremidade AN do segmente AA, n à extremidade B do segmento AB formando o segmento A. n B E) Pelos pontos A 1, A 2, A 3,, A N 1, trace retas paralelas ao segmento A, n B F) Os pontos B 1, B 2, B 3, B N interseção das retas obtidas no item E) com o segmento AB, divide este segmento em N partes iguais. Examine a figura representada abaixo. A B1 B2 B3 B A1 A2 A3 A4 Justificativa: Use o teorema de Tales com a seguinte redação: Feixe de retas paralelas cortadas por retas transversais determinam segmentos proporcionais. Além do mais, se os segmentos determinados por uma transversal com as paralelas são iguais, então os segmentos determinados pela outra transversal com as paralelas também são iguais. 2) DIVISÃO DE UMA CIRCUNFERENCIA EM TRÊS PARTES IGUAIS: 1) Trace uma circunferência com centro em um ponto O e raio qualquer. 2) Trace dois diâmetros perpendiculares, AB e CD 3) Trace a mediatriz do raio AO, Obtendo os pontos E e F sobre a circunferência 4) Os arcos BE
Justificativa: Use o Teorema de Pitágoras. Encontre o comprimento dos segmentos EF, EB e FB, para constatar que são todos de mesmo comprimento, formando portanto um triângulo equilátero e, que portanto, estes segmentos determinam arcos de circunferência de mesmo comprimento, logo a circunferência fica dividida em três partes iguais. 3) DIVIDIR UMA CIRCUNFERÊNCIA EM CINCO PARTES IGUAIS. 1) Construa uma circunferência com centro O e raio r; 2) Construa dois diâmetros perpendiculares AB e CD; 3) Trace a mediatriz do segmento OB e obtenha um ponto E; 4) Centre o compasso no ponto E com abertura EC e obtenha o ponto F sobre o raio AO, ou sobre o diâmetro AB; 5) Centre o compasso no ponto C com abertura CF e obtenha o ponto G na circunferência; 6) O segmento CG divide a circunferência em cinco partes iguais. Justificativa: Use o teorema de Pitágoras para mostrar que CG = R 5 5, que é igual ao comprimento do lado do pentágono regular. 4) DIVIDIR UMA CIRCUNFERÊNCIA EM SETE PARTES IGUAIS. 1) Construa uma circunferência de centro O e raio r; 2) Construa dois diâmetros perpendiculares AB e CD; 3) Construa a mediatriz do raio OB, obtendo E sobre a circunferência e o ponto F sobre o raio OB; 4) O Segmento EF divide a circunferência em sete partes iguais. 2 Justificar: 5) DIVIDIR UMA CIRCUNFERÊNCIA EM NOVE PARTES IGUAIS. 1) Construa uma circunferência de centro O e raio r; 2) Construa dois diâmetros perpendiculares AB e CD; 3) Com centro no ponto C e abertura CO obtenho o ponto E sobre a circunferência, 4) com centro no ponto D e abertura DE obtenha o ponto F no prolongamento do OB 5) Com centro em F e abertura FC obtenha o ponto G no raio AO ;
6) O segmento AG divide a circunferência em nove partes iguais. Justificativa: Para construir o polígono de nove lados centre o compasso no ponto A e com abertura AG marque um ponto H sobre o círculo, em seguida com o compasso no ponto H e abertura AH marque o ponto sobre a circunferência, e assim sucessivamente até completar o polígono. 6) DIVIDIR UMA CIRCUNFERÊNCIA EM ONZE PARTES IGUAIS. 1) Construa uma circunferência de centro O e raio r; 2) Construa dois diâmetros perpendiculares AB e CD; 3) Com centro no ponto D e abertura DO obtenho o ponto E sobre a circunferência, 4) com centro no ponto A e abertura AO obtenha o ponto F sobre a circunferência 5) Com centro em E, e abertura EF obtenha o ponto G no raio OC ; 6) O segmento OG divide a circunferência em ONZE partes iguais.
OUTRO MÉTODO 1) CONSTRUA UMA CIRCUFENRÊNCIA COM DOIS DIÂMETROS PERPENDICULAR,AB e CD; 2) CONSTRUA O PONTO MÉDIO DO SEGMENTO OB. 3) CONSTRUA UM SEGMENTO CE e SEU PONTO MÉDIO F. 4) O SEGMENTO CF OU FE, É O LADO DO POLIGONO DE ONZE LADOS.
EXISTE UM MÉTODO QUE SUBSTITUI OS ANTERIORMENTE DESCRITOS, DENOMINADO MÉTODO DE BION OU RINALDINI. 1) Com centro num ponto O e raio dado trace uma circunferência; 2) Trace dois diâmetros perpendiculares, AB e CD; 3) Por um dos extremos de um dos diâmetros, pelo ponto C, trace uma semi-reta auxiliar; 4) Divida esta semi-reta em partes iguais a quantidade em que deseja dividir a circunferência; 5) Divida o diâmetro na quantidade de partes iguais em que dividiu a reta auxiliar pelo método de divisão de segmentos; 6) Com centro no ponto D e abertura DC e descreva um arco de circunferência e novamente com centro no C e Abertura CD construa um arco de Circunferência obtendo os pontos E e F no prolongamento do diâmetro AB, perpendicular ao diâmetro CD. 7) Pelos pontos E e F trace semi-reta passado pelos pontos do Diâmetro CD marcados com números pares; 8) Com as semi-reta que partem de E e passa por 0 que coincido com e a que passa por 2 obtendo o ponto G sobre a circunferência obtenha o segmento CG e assim sucessivamente até esgotar todos os pontos. Terminada esta etapa, está construída a divisão da circunferência em partes iguais. e FB dividem a circunferência em três partes iguais. SEGUNDA PARTE DO MINICURSO OFICINA Nesta oficina vamos construir segmentos usando somente uma régua sem marcas e um compasso. Dizemos que um segmento é construtível quando for possível construí-lo usando somente régua e compasso sem marcas. Para uma compreensão mais completa desta questão apela-se para procedimentos algébricos. Conhecendo-se dois segmentos, AB e CD vamos construir: a) Segmento soma; b) Segmento produto; c) Segmento quociente; d) Segmento raiz quadrada do produto. Antes porém vamos construir a mediatriz de um segmento e construir uma reta paralela a uma reta dada passando por um ponto fora da reta dada. O material usado é papel A4, régua e compasso sem marcas Procedimentos: Para obter a mediatriz de um segmento qualquer usando régua e compassos sem marcas procede-se da seguinte maneira: 1º Passo: constrói-se o segmento AB em seguida centra-se a ponta saca do compasso nas extremidades A e B do segmento e traça-se dois arcos de circunferências. Nas interseções destes dois arcos constrói-se dois postos P e Q, estes dois pontos determina uma única reta perpendicular ao
segmento, esta reta é denominada mediatriz do segmento AB. O ponto M é chamado ponto médio do segmento AB a) Segmento soma: Para construir o segmento representando a soma de segmento AB com o segmento CD, basta construir sobre uma mesma reta um segmento seguido do outro, isto é, sobre uma mesma reta, a partir de uma extremidade B do segmento AB constrói-se o segmento CD, fazendo-se o ponto C do segmento CD coincidir com o ponto B do segmento AB, a + b Observação: Para realizar as construções b, c e d, necessitamos saber construir uma rata t, paralela a uma reta r, passando por um ponto P, fora da reta r, que de acordo com o quinto postulado de Euclides, existe uma única nestas condições. Para isto considere uma reta r e um ponto P fora de r como na figura abaixo: Com a ponta seca do compasso no ponto P construa um ponto A sobre a reta r e com a ponta seca do compasso no ponto A e com abertura AP construa um ponto B sobre a reta r. Em seguida com a ponta seca do compasso no ponto A e abertura BP construa um ponto C, a reta por P e C é a única reta passando por P paralela à reta r. veja que os segmentos BP são Congruentes e, CA e BP são congruentes.
b) Obter um segmento de comprimento c que represente o produto do comprimento do segmento a pelo comprimento do segmento b, isto é, c = a b. Procedimento: Por um ponto O construa duas semi-retas perpendiculares em O, conforme figura abaixo. Sobre a semi-reta horizontal construa um segmento AO de comprimento a, e sobre a reta vertical construa um segmento OB de comprimento B. Sobre o segmento B a partir de O construa um segmento unitário OU. Ligue a extremidade U do segmento unitário OU à extremidade a do segmento OA, obtendo o segmento UA. Pela extremidade B, do segmento OB, construa um segmento paralelo ao segmento UA, que interceptará o prolongamento do segmento OA, em um ponto C, O segmento OC é o segmento produto, c = a b. Justificativa: Observe que os triângulos OAU e OCB são semelhantes, 1 b = a c Então 1. c = b. a c) Obter um segmento de comprimento c que represente o quociente do comprimento do segmento b pelo comprimento do segmento a, isto é, c = a/b. Procedimentos: Por um ponto O construa dois segmentos perpendiculares em O. No segmento vertical, a partir do ponto O construa dois segmentos de extremidades A e B representando, respectivamente, os segmentos de comprimentos a e b. No segmento horizontal construa um ponto U representando a extremidade de um segmento de comprimento unitário u. Construa o segmento AU e pelo ponto B construa uma reta paralela à reta suporte do segmento AU, na interseção desta reta com o prolongamento do segmento OU construa um ponto C. O segmento OC representa o quociente do segmento b pelo segmento a, veja figura abaixo Justificativa: Os triângulos OUA e OCB são semelhantes, portanto, b a = c 1
d) Construir um segmento de comprimento c que represente o produto dos comprimentos a e b de dois segmentos AB e CD. Procedimento: Construa o segmento AB seguido do segmento CD, isto é, um segmento de comprimento a + b Construa um semicírculo de diâmetro a + b. Pela extremidade B do segmento AB levante uma reta perpendicular ao diâmetro AD que intercepta o semicírculo num ponto E. Observe que o ângulo BD E é congruente ao ângulo AEB, Para justificar esta afirmação examine a figura abaixo, β + γ = 90 μ + θ = 90 { θ + β = 90 μ + γ = 90 Da primeira e da última equação, temos β = μ e da segunda e da quarta, temos θ = γ, portanto os triângulos AEB e BDE são semelhantes, cuja semelhança identifica o ângulo BD E com AEB, então; h a = b h Realizando as contas, temos, Mas h = BE, Logo BE = a b h 2 = a b
MAGIA DO PENTÂGONO 1) Construir o pentágono regular dado seu lado AB. Etapa 1 Com a ponta seca do compasso no ponto A e abertura AB construa a circunferência C1e, reciprocamente, com a ponta seca do compasso no ponto B e abertura BA construa a circunferência C2. Etapa 2 Nas interseções das circunferências C1 e C2 marque os pontos C e D e passe a mediatriz do segmento AB. Etapa 3 Com a ponta seca do compasso no ponto C e abertura do Compasso CA ou CB construa a circunferência C3, determinando o ponto O na interseção de C3 com a mediatriz de AB e os pontos G e E nas interseções com C1 e C2. Construa a reta r1 determinada por O e E e a reta r2 determinada por O e G, determinando os pontos F e H sobre as circunferências C1e C2. Os segmentos BH e AF são os outros dois lados do pentágono. Etapa 4 Pelos pontos A, B e H passe uma circunferência, que interceptará a mediatriz em I, os segmentos HI e FI são os outros dois lados do Pentágono. 2) Diagonais do pentágono, 1) Todas diagonais são iguais, isto é, tem o mesmo comprimento, porque formam cinco triângulos equiláteros congruentes, cujas bases são os lados l do pentágono.2) As diagonais é uma razão áurea dos lados, isto é, o comprimento da diagonal dividida pelo comprimento do lado é igual a, 1+ 5, 2 para obter esta razão, considere na figura abaixo as seguintes representações: EB = EC = AD = d e observe que AB //EC e AD //BC, então AG = l = FB = GC, Como o triângulo BEC é semelhante ao triângulo FEG e o triângulo EFA e isósceles. Considere EF = x = AF, então FG = l x. Aplicando a semelhança de triângulo temos, d x = l l x Por outro lado d = l + x, substituindo temos,
l + x = l x l x Realizando as contas, temos, l 2 xl x 2 = 0, daí obtém-se que, l x = 1 + 5 = d 2 l Então resulta que a diagonal fica perfeitamente determinada, ou seja, d = l ( 1 + 5 ) 2 3) Outra maneira de calcular o comprimento da diagonal do pentágono é usando a lei dos cossenos para um triângulo qualquer. Como todos as diagonais são iguais, considere a diagonal EB e o ângulo BA E, então temos pela lei dos cossenos, (EB) 2 = l 2 + l 2 2 l l cos(108 ) = 2 l 2 (1 + 0,30901699) = 2 l 2 (1,30901699) Então é imediato, (EB ) = l 2 (1,30901699) = l 2.618033998. 5) Obter o lado do Pentágono com função do raio da circunferência inscrita. Observe na figura ao lado que a maneira mais direta é apelar novamente para a lei dos cossenos, considerando o ângulo cujo verte é o ponto H, centro da circunferência Circunscrita e R o raio. l 2 = 2R 2 2R 2 cos(72 ) = 2R 2 (1 cos(72 )) = 2R 2 (1 0,309016994) = 2R 2 (0.60983006)