Variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias Joaquim Neto joaquim.neto@ufjf.edu.br www.ufjf.br/joaquim_neto Departamento de Estatística - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) Versão 3.0 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 1 / 47

Sumário Informações gerais 1 Informações gerais Contato Referências Bibliográficas 2 Introdução Variável aleatória Função de distribuição acumulada Variável aleatória discreta e função de probabilidade Variável aleatória contínua e densidade Funções de uma variável aleatória 3 Mediana, valor esperado, momentos e variância Mediana Valor esperado Valor esperado da função de uma v.a. Propriedades do valor esperado Variância Propriedades da variância Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 2 / 47

Informações gerais Informações gerais Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 2 / 47

Contato Informações gerais Contato E-mail joaquim.neto@ufjf.edu.br Site pessoal http://www.ufjf.br/joaquim_neto Site do Departamento de Estatística (UFJF) http://www.ufjf.br/estatistica Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 3 / 47

Informações gerais Referências Bibliográficas Referências Bibliográficas Barry, R. James (1981) Probabilidade: um curso em cível intermediário. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Projeto Euclides). Bussab, Wilton de O. & Morettin, Pedro A. (2005) Estatística Básica, 5 a ed. edn. São Paulo: Saraiva. Degroot, M. H. & Schervish, M. J. (2001) Probability and Statistics, 3rd Edition, 3 edn. Addison Wesley. Meyer, P. L. (2000) Probabilidade: Aplicações à Estatística, 2 ed. edn. LTC. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 4 / 47

Introdução Introdução Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 5 / 47

Variável aleatória Introdução Variável aleatória Informalmente, uma variável aleatória (v.a.) é uma característica numérica do resultado de um experimento. Exemplo 1: Em um experimento que consiste em lançar uma moeda n vezes, o número de caras observado é uma característica numérica do experimento. Exemplo 2: Suponhamos agora um experimento que consiste em escolher um número ao acaso em [0, 1]. Podemos definir uma v.a. X que associa o resultado do experimento ao seu quadrado. Assim, Ω = [0, 1] e X (ω) = ω 2, ω Ω. Exemplo 3: Suponhamos um experimento que consiste em escolher um número ao acaso no círculo unitário. Podemos definir uma v.a. X que associa o resultado do experimento à distância entre o ponto escolhido e a origem. Assim, Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 1} e, com ω = (x, y), X (ω) = x 2 + y 2. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 6 / 47

Introdução Variável aleatória Matematicamente, uma variável aleatória é uma função com domínio Ω e contradomínio R. Porém, nem toda função deste tipo é uma variável aleatória. Para saber sobre as condições que uma função deve satisfazer para ser uma variável aleatória, consulte Barry (1981). www.ufjf.br/joaquim_neto Notação: Seja x R e A R. Consideremos os seguintes conjuntos: [X x] = {ω Ω : X (ω) x} [X = x] = {ω Ω : X (ω) = x} [X < x] = {ω Ω : X (ω) < x} [X x] = {ω Ω : X (ω) x} [X > x] = {ω Ω : X (ω) > x} [X A] = {ω Ω : X (ω) A} Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 7 / 47

Introdução Função de distribuição acumulada Função de distribuição acumulada Definição 1: A função de distribuição acumulada (f.d.a.) de uma variável aleatória X, representada por F é definida por F (x) = P([X x]), x R. Exemplo 4: Suponhamos um experimento que consiste em escolher um número ao acaso em Ω = [ 1, 1]. Sejam X uma v.a. que associa o número escolhido ao seu quadrado e F a f.d.a. de X. a) Calcule F (0.25). b) Determine F. c) Construa o gráfico de F. Solução: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 8 / 47

Introdução Função de distribuição acumulada Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 9 / 47

Introdução Função de distribuição acumulada Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 10 / 47

Introdução Variável aleatória discreta e função de probabilidade Variável aleatória discreta e função de probabilidade Definição 2: Uma variável aleatória X é discreta se toma um número finito ou enumerável de valores, ou seja, se existe um conjunto finito ou enumerável {x 1, x 2,...} R tal que P([X {x 1, x 2,...}]) = 1. Definição 3: Se X for uma v.a. discreta, a função p(x) = P([X = x]) é chamada de função de probabilidade de X. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 11 / 47

Introdução Variável aleatória discreta e função de probabilidade Exemplo 5: Suponhamos um experimento que consiste em jogar dois dados. Suponhamos ainda que os resultados são equiprováveis, ou seja, que cada resultado possível tem a mesma probabilidade. Seja X uma variável aleatória que associa cada resultado à soma dos números obtidos em cada dado. a) Faça o gráfico da função de probabilidade de X. b) Faça o gráfico da função de distribuição de X. Solução: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 12 / 47

Introdução Variável aleatória discreta e função de probabilidade A partir da tabela, podemos construir os gráficos. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 13 / 47

Introdução Variável aleatória discreta e função de probabilidade Exemplo 6: Suponhamos um experimento que consiste em arremessar um dado honesto. Seja X a v.a. associada ao número observado na face voltada para cima após o dado parar. Sejam p(x) e F (x) a função de probabilidade e a função de distribuição acumulada de X, respectivamente. Solução: a) Calcule p(2). b) Calcule p(3.5). c) Calcule F (2). d) Calcule F (3.7). e) Calcule F (500). f) Calcule F ( 9). g) Construa o gráfico de p(x). h) Construa o gráfico de F (x). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 14 / 47

Introdução Variável aleatória discreta e função de probabilidade OBS: Se X é uma v.a. discreta e A R então P (X A) = P ([X A] [X {x 1, x 2,...}]) = P (X (A {x 1, x 2,...})) = P [X = x i ] i:x i A = P ([X = x i ]). i:x i A Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 15 / 47

Introdução Variável aleatória discreta e função de probabilidade Resultado 1: Uma função p(x) é função de probabilidade de alguma variável aleatória discreta se, e somente se, existir um conjunto finito ou enumerável {x 1, x 2,...} R tal que p(x) > 0 para x {x 1, x 2,...}, p(x) = 0 caso contrário e p(x i ) = 1. i Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 16 / 47

Introduc a o Varia vel aleato ria contı nua e densidade Varia vel aleato ria contı nua e densidade Definic a o 4: Uma varia vel aleato ria X e contı nua se existe uma func a o p(x) 0 tal que Zx F (x) = x R. p (t) dt, m _n et o Se X for contı nua, p(x) e chamada de func a o densidade de probabilidade de X, ou simplesmente densidade de X. 𝒑 𝒙 w w w 𝒙.u fjf.b r/ jo aq ui 𝑷 𝑿 𝒙 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versa o 3.0 17 / 47

Introdução Variável aleatória contínua e densidade Resultado 2: Se X é uma v.a. contínua então P(X = x) = 0, x R. Resultado 3: Se X é uma v.a. contínua então, a, b R, P(X a) = P(X < a), P(X a) = P(X > a), e P(a < X < b) = P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b). Prova: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 18 / 47

Introduc a o Varia vel aleato ria contı nua e densidade Resultado 4: Se X e uma v.a. contı nua com densidade p(x), enta o P(a X b) = P(a < X < b) = F (b) F (a) = Rb p (x) dx, a, b R. 𝑷 𝒂<𝑿<𝒃 jo a qu i m _n et o a.u fjf. br / 𝒑 𝒙 𝒂 w w w 𝒃 Prova: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versa o 3.0 19 / 47

Introdução Exemplo 7: Seja X uma variável aleatória com densidade Variável aleatória contínua e densidade p (x) = { 6(x x 2 ), se 0 x 1 0, caso contrário. a) Encontre a função de distribuição acumulada de X. b) Calcule P(0.2 < x < 0.7). Solução: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 20 / 47

Introdução Variável aleatória contínua e densidade Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 21 / 47

Introduc a o Varia vel aleato ria contı nua e densidade Resultado 5: Uma func a o p(x) e densidade de alguma varia vel aleato ria contı nua se, e somente se, p(x) 0, x R e R p (x) dx = 1. _n et o 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒑 𝒙 w w w.u fjf.b r/ jo aq ui m Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versa o 3.0 22 / 47

Introdução Variável aleatória contínua e densidade Resultado 6: Uma função F é uma função de distribuição se, e somente se, as condições abaixo forem satisfeitas: x y implicar F (x) F (y), ou seja, F for uma função não decrescente. lim F (x) = F (a), ou seja, F for contínua a direita. x a + lim F (x) = 0. x lim F (x) = 1. x Prova: Ver Barry (1981). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 23 / 47

Introdução Variável aleatória contínua e densidade Resultado 7: Se F (x) é a função de distribuição acumulada de uma v.a. X, então F (x) é sua densidade. Prova: Teorema Fundamental do Cálculo Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 24 / 47

Introdução Variável aleatória contínua e densidade Exemplo 8: Sejam k R e X uma v.a. com função de distribuição acumulada a) Calcule o valor de k. b) Encontre a densidade de X. Solução: { k ( F (x) = 2 1 e x ), se x > 0 0, se x 0. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 25 / 47

Introdução Variável aleatória contínua e densidade Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 26 / 47

Introdução Funções de uma variável aleatória Funções de uma variável aleatória Se X é uma variável aleatória, então qualquer função de X, digamos g(x ), é também uma variável aleatória. Assim, podemos considerar uma variável Y = g(x ), onde g é uma função com domínio e contradomínio R. Para cada subconjunto A de R, consideremos um novo conjunto, denotado por g 1 (A), e definido por g 1 (A) = {x R : g(x) A}. A partir da distribuição de probabilidades da variável X, podemos calcular chances para a variável Y. Este cálculo pode ser feito com a equação P(Y A) = P(g(X ) A) = P(X g 1 (A)). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 27 / 47

Introdução Exemplo 9: Seja X uma v.a. com função de probabilidade Funções de uma variável aleatória p X (x) = { x 2, para x = 1, 0, 1, 2, 3 15 0, caso contrário Encontre a distribuição de Y = X 2. Solução: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 28 / 47

Introdução Funções de uma variável aleatória Exemplo 10: Seja X uma v.a. com densidade { 2 (x + 1), se 1 x 2 p X (x) = 9 0, caso contrário. a) Encontre a função de distribuição acumulada de Y = X 2. b) Encontre a densidade p Y (y) de Y = X 2. Solução: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 29 / 47

Introdução Funções de uma variável aleatória Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 30 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Mediana, valor esperado, momentos e variância Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 33 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Mediana Mediana Definição 5: A mediana de uma v.a. X é um valor m R tal que P(X m) 1 2 e P(X m) 1 2. m OBS: Se X é contínua, m satisfaz p (x) dx = p (x) dx = 1 2. m Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 34 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Mediana Exemplo 11: Seja X uma v.a. com densidade { 3x p (x) = 2, se 0 < x < 1 0, caso contrário. Calcule a mediana de X. Solução: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 35 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e varia ncia Valor esperado Valor esperado Definic a o 6: Se X e uma v.a. discreta que assume valores no conjunto {x1, x2,..., xn }, o valor esperado de X e E (X ) = n X xi p (xi ) = x1 p (x1 ) + x2 p (x2 ) +... + xn p (xn ). i=1 Seja X uma v.a. contı nua, o valor esperado de X e Z x p (x) dx. E (X ) = 𝒑 𝒙 𝑬 𝑿 w w w.u fjf.b r/ jo aq ui m _n et o Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versa o 3.0 36 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Valor esperado OBS: O valor esperado também é chamado de esperança e expectativa. Pode-se dizer que o valor esperado é uma média dos resultados possíveis ponderados por suas probabilidades. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 37 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Valor esperado Exemplo 12: Uma seguradora paga R$ 30000.00 em caso de acidente do carro segurado e cobra R$ 1000.00 por este serviço. Sabendo que a probabilidade de um carro se acidentar é de 3%, quanto a seguradora espera lucrar em um carro segurado? Solução: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 38 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Valor esperado Exemplo 13: Sejam k R e X uma v.a. com densidade { x 1 p (x) = k, se 1 < x < 3 0, caso contrário. a) Encontre o valor de k. b) Calcule o valor esperado de X. Solução: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 39 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Valor esperado Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 40 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Valor esperado da função de uma v.a. Valor esperado da função de uma v.a. Resultado 8: Sejam X e Y = g(x ) duas variáveis aleatórias. Se X é discreta e assume valores em um conjunto {x 1, x 2,...}, então E (Y ) = i g (x i ) p X (x i ). Se X é contínua, então E (Y ) = g (x) p X (x) dx. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 41 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Propriedades do valor esperado Propriedades do valor esperado Resultado 9: Se a, b R e X é uma v.a., temos que a) E(a) = a, b) E(aX + b) = ae(x ) + b e Prova: Como consequência imediata do resultado acima, temos que E(aX ) = ae(x ), a R e E(X E(X )) = 0. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 42 / 47

Variância Mediana, valor esperado, momentos e variância Variância Definição 7: Seja X uma v.a. discreta que assume valores no conjunto {x 1, x 2,..., x n}. A variância de X é Var(X ) = E((X E(X )) 2 ). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 43 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Variância Exemplo 14: Uma seguradora paga R$ 48000.00 em caso de acidente do carro segurado e cobra R$ 1540.00 por este serviço. Suponha que a probabilidade de um carro se acidentar é de 3%. a) Quanto a seguradora espera lucrar em um carro segurado? b) Qual é a variabilidade do lucro da seguradora em um carro segurado? Solução: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 44 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Propriedades da variância Propriedades da variância Sejam a, b R e X uma variável aleatória (discreta). As seguintes propriedades são válidas: a) Var(a) = 0, b) Var(aX + b) = a 2 Var(X ). Prova: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 45 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Propriedades da variância Resultado 10: Var(X ) = E(X 2 ) (E(X )) 2. Prova: Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 46 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Propriedades da variância Fim! Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 47 / 47

Mediana, valor esperado, momentos e variância Propriedades da variância (Barry, 1981) (Bussab and Morettin, 2005) (Meyer, 2000) (Degroot and Schervish, 2001) Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 47 / 47