MODELAGEM MATEMÁTICA E ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE GRANDEZAS ELÉTRICAS NO CIRCUITO RLC SÉRIE Cleber Mateus Duarte Porciuncula 1 Andre Luiz Bedendo 2 1 Graduando de licenciatura em Matemática UNIJUÍ cleber.porciuncula@unijui.edu.br 2 Mestrando em Modelagem Matemática UNIJUÍ andreebedendo@bol.com.br Resumo: A crescente evolução do conhecimento da maneira como os materiais reagem à eletricidade propiciaram ao Homem a elaboração de complexos sistemas de condução das cargas elétricas. Esse desenvolvimento levou a grandes avanços tecnológicos, nos quais o circuito elétrico teve participação fundamental. O circuito elétrico ou eletrônico é um determinado agrupamento de componentes de comportamento elétrico bem definido e destinado à condução de cargas elétricas. O comportamento idealizado dos circuitos é descrito por meio de modelos matemáticos. Por serem fenômenos dinâmicos, estes comportamentos estão propícios à modelagem matemática e computacional. Este trabalho apresenta a modelagem matemática de um circuito RLC série e seus resultados simulados. Através da modelagem matemática deste circuito, que é baseada na lei das tensões de Kirchhoff, chega-se a um modelo matemático que descreve o comportamento de algumas grandezas elétricas em função do tempo. O objetivo proposto é verificar e analisar este comportamento através de soluções gráficas originadas a partir de simulações computacionais. Para isso, a simulação numérica do modelo foi implementada com o aplicativo computacional Simulink, ou seja, software de simulação baseada na representação por esquemas de blocos que é uma extensão gráfica da ferramenta computacional MATLAB. Utilizando o método de integração Runge-Kutta com passo de integração de 0.0001 segundos durante as simulações, no primeiro momento é aplicada uma tensão contínua, e posteriormente, uma tensão alternada senoidal no circuito. A partir de uma análise das soluções gráficas geradas pelas simulações, conclui-se como se comportam as correntes e tensões elétricas no circuito RLC série, bem como as defasagens existentes entres estas duas grandezas, que são originadas a partir de propriedades elétricas presentes nos componentes do circuito. O conhecimento dos comportamentos destas grandezas num circuito é de vital importância para o desenvolvimento de novas tecnologias e aplicações nas áreas de engenharia elétrica e eletrônica. Palavras-Chave: Modelagem matemática. Circuito elétrico. Carga elétrica. Simulação. 1. Introdução Em várias áreas da engenharia existe a necessidade da modelagem do comportamento de algum sistema em termos matemáticos. Esta modelagem começa com a identificação das variáveis que são responsáveis pelas mudanças de estado no sistema e com hipóteses relacionadas ao sistema. O modelo matemático é muitas vezes descrito por uma equação diferencial e espera-se que ele tenha uma solução que descreva de forma mais próxima possível o comportamento do sistema (ZILL; CULLEN, 2001).
Este trabalho apresenta a modelagem matemática de um circuito RLC série. Através desta modelagem chega-se a uma equação diferencial linear de segunda ordem que pode descrever o comportamento ou o estado das cargas e correntes elétricas de um circuito elétrico RLC série. A partir da implementação desta equação diferencial em diagrama de blocos na ferramenta computacional Matlab/Simulink, são realizadas algumas simulações computacionais. Através dos resultados destas simulações e sua análise, é possível concluir como se comportam algumas grandezas elétricas nesta forma de circuito. O trabalho está organizado da seguinte forma: na Seção 2 é apresentado o estado da arte de uma solução existente. Na seção 3 é apresentada a modelagem matemática do circuito RLC série. Na seção 4 são apresentados os resultados das simulações computacionais, e finalmente na seção 5 é apresentada a conclusão deste trabalho. 2. Revisão do estado da arte O tema para este trabalho foi retirado do livro: Equações Diferenciais de Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, onde um modelo matemático que descreve o comportamento das cargas e correntes elétricas de um circuito RLC (i.e., Resistor, Indutor e Capacitor) é citado. Sistemas físicos em grande parte podem ser descritos por uma equação diferencial linear de segunda ordem. Se i (t) representa a corrente elétrica do circuito elétrico RLC série, então, pela segunda lei de Kirchhoff, a soma da queda de tensão sobre o resistor, sobre o indutor e sobre o capacitor é igual à voltagem aplicada a um circuito, conforme pode ser representada pela seguinte expressão di 1 L Ri q E( t). (1) dt C Como a carga q (t) no capacitor relaciona-se com a corrente i (t) por dq i, dt desta forma a equação (1) torna-se a equação diferencial linear de segunda ordem 2 d q dq 1 L R q E( t). (2) 2 dt dt C
. Logo, está é a equação diferencial que descreve o comportamento elétrico de um circuito RLC série (ZILL; CULLEN, 2001). 3. Modelagem matemática Nesta seção é apresentada a modelagem matemática de um circuito elétrico RLC série, que tem o objetivo de encontrar soluções gráficas que possam descrever o comportamento das cargas e correntes elétricas neste circuito. 3.1. Descrição do problema e das hipóteses simplificadoras Considerando uma tensão elétrica contínua ou alternada senoidal aplicada num circuito RLC série, qual é o comportamento das cargas, correntes e tensões elétricas neste circuito em função do tempo? Hipóteses: as propriedades, ou seja, resistência, indutância e capacitância do circuito são constantes. 3.2. Formulação matemática do problema. Nesta subseção são destacados alguns conceitos importantes para a análise 1º - Se Va e Vb são, respectivamente, os potenciais elétricos nos pontos a e b de um circuito elétrico, a diferença de potencial entre estes pontos pode ser denotada por Vab ou V (t). Normalmente, esta diferença de potencial V (t) será indicada com o sinal negativo, isto é: Vab V (t). 2º - A Intensidade da corrente elétrica é dada pela taxa de variação da carga elétrica q em relação ao tempo t que atravessa uma seção transversal de um condutor. dq i. dt 3º - A lei de Ohm diz que a diferença de potencial V nos terminais de um resistor de resistência constante R submetido a uma corrente elétrica i, é dada por V ( t) R i( t).
4º - A indutância L de um indutor é uma constante relacionada com a diferença de potencial V e com a taxa de corrente elétrica em relação ao tempo. Logo, di V ( t) L. dt 5º - A capacitância C de um capacitor submetido a uma carga elétrica q, com uma diferença de potencial entre suas placas indicada por V, será dada por q V ( t). C Conforme a lei das tensões de Kirchhoff, a soma algébrica das diferenças de potencial numa malha fechada é zero (ZILL; CULLEN, 2001). Logo, o somatório das quedas de tensão sobre o resistor R, sobre o indutor L e sobre o capacitor C, é igual a tensão V (t), que é a tensão da fonte de alimentação do circuito RLC série. Na Figura 1 está apresentado o circuito RLC série, com as suas respectivas quedas de tensão. Figura 1. Circuito RLC série A partir da lei Kirchhoff, tem-se a equação VL VR VC V (t), onde di q VL L ; VR Ri; VC. dt C
Desta forma, di 1 L Ri q V ( t). (3) dt C Considerando e substituindo em (2), chega-se a i dq, dt onde: 2 d q dq 1 L R q V ( t), (4) 2 dt dt C L (indutância) é a propriedade que possui um indutor de gerar uma força eletromotriz ( Fem), de auto-indução que se opõe às variações de corrente elétrica. Sua unidade de medida é o Henry ( H ); R (resistência) é a propriedade que possui um resistor de se opor a passagem de corrente elétrica. Sua unidade de medida é o Ohm ( ); C (capacitância) é a propriedade que possui um capacitor de armazenar cargas elétricas. Sua unidade de medida é o Farad ( F ) e V (t) é a diferença de potencial aplicada no circuito elétrico. A equação diferencial linear de segunda ordem (4), é a equação que será implementada na forma de diagrama de blocos na ferramenta computacional Matlab/Simulink para que sejam realizadas as simulações computacionais. 4. Simulações computacionais Nesta seção são apresentadas as soluções gráficas obtidas a partir de simulações do modelo matemático definido pela equação (4), que descreve o comportamento das cargas elétricas num circuito RLC série. Estas simulações foram realizadas na ferramenta computacional Matlab/Simulink. O software Matlab é uma ferramenta desenvolvida pela MathWorks que proporciona um ambiente de trabalho interativo com linguagem de programação de alto nível, possibilitando ao usuário elaborar e solucionar tarefas complexas de forma mais rápida, do que outras linguagens de programação como C, C++ e Fortran. Primeiramente, o principal objetivo do desenvolvimento da ferramenta Matlab era de realizar cálculos matemáticos com matrizes. Atualmente a ferramenta
é utilizada nas áreas de educação, em especial no ensino da álgebra linear e análise numérica (MATHWORKS, 2010). O programa também dispõe de algumas extensões, conhecidas como toolboxes ou blocksets, como o Simulink, o mais conhecido gerador de diagramas do Matlab. A ferramenta Simulink é um ambiente de execução de simulações a partir da construção de modelos de projeto, baseado em sistemas dinâmicos ou embarcados. O ambiente de trabalho é gráfico e interativo, possibilitando ao usuário criar suas próprias bibliotecas de blocos para efetuar simulações, implementações e testes que demonstram o comportamento do sistema em relação à variação do tempo (MATHWORKS, 2011). 4.1. Diagrama de blocos O modelo matemático, na forma de diagrama de blocos, utilizado para realizar as simulações computacionais é apresentado na Figura 2. As simulações foram realizadas a partir da aplicação de dois tipos de tensões elétricas diferentes no circuito. No primeiro momento foi aplicada uma tensão contínua, e posteriormente, uma tensão alternada senoidal. Os parâmetros utilizados nas simulações foram: V ( t) 220 V para a tensão contínua e V ( t) 220 V para a tensão alternada na forma senoidal com frequência de 0.5Hz, L 2 H, R 10, C 0. 04 F, q( 0) 0 C e q' (0) 2 A. Figura 2. Diagrama de blocos utilizado para as simulações computacionais
4.2 Resultados de simulação Os resultados simulados, a partir de uma tensão continua de 220 V aplicada no circuito RLC série, são apresentados nas Figuras 3, 4 e 5. Figura 3. Simulação do comportamento da carga e corrente elétrica em função do tempo Figura 4. Simulação do comportamento das tensões elétricas sobre o indutor, resistor e capacitor
Figura 5. União das simulações das Figuras 3 e 4 Nas Figuras 6,7 e 8 são apresentados os resultados simulados, a partir de uma tensão alternada senoidal de 0.5 Hz aplicada no circuito RLC série. 220 V de amplitude e uma frequência de Figura 6. Simulação do comportamento da carga e corrente elétrica em função do tempo
Figura 7. Simulação do comportamento das tensões elétricas sobre o indutor, resistor e capacitor Figura 8. União das simulações das Figuras 6 e 7 A partir da análise das soluções gráficas, pode-se observar comportamentos diferentes das grandezas elétricas envolvidas, considerando tensões elétricas de tipos diferentes aplicadas no circuito RLC série. Na próxima seção, todas as conclusões obtidas a partir da análise das soluções gráficas geradas pelas simulações computacionais são apresentadas.
5. Conclusões Através dos resultados das simulações e sua análise, foi possível observar no momento em que é aplicada uma tensão contínua num circuito RLC série, a existência de circulação da corrente elétrica apenas durante o tempo necessário para que o capacitor fique carregado. Logo, a circulação de corrente elétrica cessa no momento em que o valor de tensão elétrica VC sobre o capacitor torna-se igual ao valor da tensão elétrica V (t). Pode-se concluir então que o capacitor comporta-se como um recipiente que vai armazenando carga elétrica em função do tempo, ou seja, no instante inicial ele se comporta como um curto-circuito porque a corrente elétrica é máxima no circuito, e logo em seguida, ele comporta-se como um isolante no circuito, pois a corrente elétrica no circuito passa a ser zero. Antes do capacitor se comportar como uma isolante, foi possível observar que a tensão elétrica VR existe, pois há circulação de corrente elétrica no circuito. A tensão elétrica VL quase atinge o valor de tensão elétrica V (t), no instante em que a fonte começa a alimentar o circuito, pois é justamente neste instante inicial que há uma brusca variação de corrente elétrica no circuito e por isto, a propriedade do indutor de se opor as variações de corrente elétrica está mais presente. Quando é aplicada uma tensão alternada no mesmo circuito, percebe-se que há uma corrente elétrica alternada no circuito variando em função do tempo, logo é possível constatar que o capacitor está permanentemente carregando e descarregando-se. Ao analisar na solução gráfica os valores da tensão VC, verificase que o capacitor atinge o valor de tensão V (t) na metade dos semi-ciclos positivos. Já na metade dos semi-ciclos negativos, o capacitor também atinge o valor de tensão elétrica V (t), mas negativo. As quedas de tensão VL e VR existem já que há uma circulação de corrente variante no tempo no circuito. Importante mencionar também outras características importantes observadas quando é aplicada uma tensão alternada senoidal no circuito: a tensão e corrente elétrica sobre o resistor não têm defasagem entre si com relação ao tempo; no capacitor é possível notar que a corrente elétrica i tem um adiantamento de 90º em relação à tensão VC ; no indutor nota-se o oposto, ou seja, a tensão VL está adiantada 90º em relação à corrente elétrica i. Estes fenômenos indicam que tanto o capacitor quanto o indutor, gera uma defasagem entre a tensão e a corrente elétrica no circuito, quando este é alimentado por uma tensão alternada senoidal. E
esta defasagem ocorre devido às propriedades (capacitância e indutância) que estes componentes possuem. Como trabalho futuro, pretende-se aplicar outros tipos de tensões elétricas ao circuito RLC, objetivando a partir de novas simulações, analisar o comportamento de suas grandezas elétricas. Referências AMALDI, Ugo. Imagens da Física. São Paulo: Scipione, 1997. BASSANEZI, Rodney C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 2. ed. São Paulo: Contexto, 2004. CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. As faces da Física. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2006. MATHWORKS. MATLAB - The Language of Technical Computing. Disponível em: <http://www.mathworks.com/products/matlab>. Acesso em: 29 nov. 2010. MATHWORKS. Simulink - Simulation and Model-Based Design. Disponível em: <http://www.mathworks.com/products/simulink>. Acesso em: 15 mar. 2011. ZILL, Dennis G; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais. 3.ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001. v. 1.