1. (Uerj 2015) Cada uma das 28 peças do jogo de dominó convencional, ilustradas abaixo, contêm dois números, de zero a seis, indicados por pequenos círculos ou, no caso do zero, por sua ausência. Admita um novo tipo de dominó, semelhante ao convencional, no qual os dois números de cada peça variem de zero a dez. Observe o desenho de uma dessas peças: Considere que uma peça seja retirada ao acaso do novo dominó. Calcule a probabilidade de essa peça apresentar um número seis ou um número nove. 2. (Espcex (Aman) 2015) De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é a) 12. 245 b) 14. 245 c) 59. 2450 d) 59. 1225 e) 11. 545 3. (Unesp 2015) Renato e Alice fazem parte de um grupo de 8 pessoas que serão colocadas, ao acaso, em fila. Calcule a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas entre Renato e Alice na fila que será formada. Generalize uma fórmula para o cálculo da probabilidade do problema descrito acima com o mesmo grupo de "8 pessoas, trocando "4 pessoas por "m pessoas, em que 1m 6. A probabilidade deverá ser dada em função de m. 4. (Pucrj 2015) Eugênio tem três dados que são dodecaedros regulares, com os números inteiros de 1 a 12 escritos nas faces. Página 1 de 17
Eugênio sorteia um número inteiro jogando os três dados simultaneamente e somando os três números obtidos (ou seja, ele soma os três números que aparecem na face de cima de cada um dos dados). a) Qual é a probabilidade de que o número sorteado seja igual a 36? b) Qual é a probabilidade de que o número sorteado seja igual a 30? c) Qual é a probabilidade de que o número sorteado seja maior ou igual a 30? 5. (Fuvest 2014) Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro. a) Quantas unidades da Federação tem cada região? b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são consideradas iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição em fatores primos. c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete senadores ao acaso. Verifique que P 1/ 50. Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil 1988, cada unidade da Federação é representada por três senadores. 6. (Ita 2014) Seja Ω o espaço amostral que representa todos os resultados possíveis do lançamento simultâneo de três dados. Se A Ω é o evento para o qual a soma dos resultados dos três dados é igual a 9 e B Ω o evento cuja soma dos resultados é igual a 10, calcule: a) n( Ω ); b) n(a) e n(b); c) P(A) e P(B). 7. (Pucrj 2013) Considere um polígono regular P inscrito em um círculo. a) Assuma que P tenha 6 lados. Escolhem-se quatro vértices de P, formando um quadrilátero. Qual é a probabilidade de o quadrilátero ser um retângulo? b) Assuma que P tenha 1000 lados. Escolhem-se quatro vértices de P, formando um quadrilátero. Qual é a probabilidade de o quadrilátero ser um retângulo? c) Assuma que P tenha 1001 lados. Escolhem-se três vértices de P, formando um triângulo. Qual é a probabilidade de o triângulo ter um ângulo obtuso? 8. (Uerj 2013) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram uma das quatro opções ao acaso. Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a: a) 0,48 Página 2 de 17
b) 0,40 c) 0,36 d) 0,25 9. (Ime 2013) Um menino, na cidade do Rio de Janeiro, lança uma moeda. Ele andará 1 m para leste se o resultado for cara ou 1 m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade deste menino estar a 5 m de distância de sua posição inicial, após 9 lançamentos da moeda, é 9 a) 6 2 35 b) 6 2 c) 2 9! 35 d) 9 2 9! e) 9 2 10. (Fgv 2013) Um jogo de fichas funciona de acordo com as seguintes regras: 1. Em cada jogada, o jogador com maior número de fichas dará uma de suas fichas para cada um dos demais jogadores, e uma de suas fichas para a banca. 2. Em caso de empate entre dois ou mais jogadores com o maior número de fichas, sorteia-se, aleatoriamente, um jogador dentre os que estão empatados para fazer a jogada de descarte de fichas, conforme descrito em 1. 3. Vence o jogador que descartar primeiro todas as fichas. a) Álvaro, Breno e Catarina disputam esse jogo começando com 15, 14 e 13 fichas cada um, respectivamente. Quem vencerá o jogo, e em quantas rodadas? b) Em uma nova rodada do jogo, Álvaro começa com x fichas, Breno começa com 4 fichas, e Catarina também começa com 4 fichas. Sendo x um inteiro maior que zero e menor que 9, determine quais são as probabilidades de vitória de cada um dos três jogadores em todas as possibilidades de x. 11. (Fgv 2012) O compositor A é réu em um processo de plágio. Ele criou uma melodia para um jingle de TV que consiste em uma sequência de 4 notas em ordem idêntica a uma melodia registrada anteriormente pelo compositor B. O compositor A declara que não conhecia o trabalho do compositor B e que as semelhanças entre as músicas foram fruto do acaso. Para decidir sobre a plausibilidade desta explicação, um juiz solicitou o cálculo da probabilidade de que a melodia do compositor A tenha a mesma sequência de notas da melodia do compositor B por acaso, considerando que existem sete notas musicais e que cada nota é decidida aleatoriamente e de forma independente pelo compositor. Se a probabilidade for menor que 0,1%, o juiz considerará não ser plausível que tenha ocorrido por acaso, condenando o réu; em caso contrário, o compositor A será considerado inocente. a) Qual é a probabilidade de que o compositor A tenha criado por acaso a melodia com a mesma sequência de 4 notas da melodia do compositor B? Com base no critério apresentado acima, o juiz considerará o compositor A inocente ou culpado? b) Cada uma das sete notas musicais (Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si) pode ter ou não uma alteração cromática (sustenido ou bemol). Assim, cada nota pode aparecer em três diferentes formas, por exemplo, Dó, Dó sustenido ou Dó bemol. Qual é o número mínimo de notas (com alteração cromática) que uma melodia deve ter para que se possa configurar plágio, de acordo com o critério do juiz (probabilidade de coincidência por acaso menor que 0,1%, considerando que cada nota e alteração cromática é escolhida aleatoriamente e independentemente pelo compositor)? c) Considere que o juiz estabeleceu um novo critério condenará o réu, se a probabilidade de que as melodias tenham os trechos observados em comum por acaso for menor que a probabilidade de ganhar em um jogo de loteria em que o apostador escolhe 7 números entre Página 3 de 17
20 possíveis, e se torna ganhador se estes números incluírem os 3 números sorteados. Qual é a probabilidade de que o apostador ganhe na loteria nessas condições? 12. (Fgv 2012) Uma caixa contém 5 bolas brancas e 2 pretas, num total de 7 bolas idênticas, exceto pelas cores. Retira-se aleatoriamente dessa caixa, e sem reposição, uma bola por vez até que todas as bolas brancas, ou todas as bolas pretas, tenham sido retiradas, o que acontecer primeiro. A probabilidade de que a última bola retirada da caixa seja preta é a) 4 7 b) 5 7 c) 4 5 d) 6 7 e) 9 10 13. (Enem 2012) Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada uma. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. Cor Urna 1 Urna 2 Amarela 4 0 Azul 3 1 Branca 2 2 Verde 1 3 Vermelha 0 4 Uma jogada consiste em: 1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 4º) se a cor da última bolsa retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? a) Azul b) Amarela c) Branca d) Verde e) Vermelha 14. (Ime 2012) Os nove elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3 são preenchidos aleatoriamente com os números 1 ou 1, com a mesma probabilidade de ocorrência. Determine: a) o maior valor possível para o determinante de M; b) a probabilidade de que o determinante de M tenha este valor máximo. 15. (Fuvest 2012) Considere todos os pares ordenados de números naturais (a,b), em que 11a 22 e 43 b 51. Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a,b) de tal forma que a fração a b seja irredutível e com denominador par? a) 7 27 Página 4 de 17
b) 13 54 c) 6 27 d) 11 54 e) 5 27 16. (Fgv 2012) Um sistema de controle de qualidade consiste em três inspetores A, B e C que trabalham em série e de forma independente, isto é, o produto é analisado pelos três inspetores trabalhando de forma independente. O produto é considerado defeituoso quando um defeito é detectado, ao menos, por um inspetor. Quando o produto é defeituoso, a probabilidade de o defeito ser detectado por cada inspetor é 0,8. A probabilidade de uma unidade defeituosa ser detectada é: a) 0,990 b) 0,992 c) 0,994 d) 0,996 e) 0,998 17. (Fgv 2012) Considere, no plano cartesiano, o pentágono ABCDE, de vértices A(0, 2), B(4, 0), C(2π 1, 0), D(2π 1, 4) e E(0, 4). Escolhendo aleatoriamente um ponto P no interior desse pentágono, a probabilidade de que o ângulo APB seja obtuso é igual a a) 1 5 b) 1 4 c) 5 16 d) 3 8 e) 4 5 18. (Pucrj 2012) Um baralho tem 26 cartas pretas e 26 cartas vermelhas. As cartas estão ordenadas ao acaso. a) Retiramos uma carta do baralho completo: qual é a probabilidade de que a carta seja vermelha? b) Retiramos três cartas do baralho completo: qual a probabilidade de que as três cartas sejam vermelhas? Página 5 de 17
c) Retiramos três cartas do baralho completo: qual a probabilidade de que duas cartas sejam vermelhas e uma preta? 19. (Espm 2012) Ligando as cidades A e B existem somente 2 estradas distintas que não se cruzam e nem se ligam de maneira alguma. Uma dessas estradas atravessa uma ponte de madeira e a outra atravessa 2 pontes sucessivas, também de madeira. Acontece que a região foi acometida por grandes enchentes e a probabilidade de cada uma dessas pontes estar em condições de travessia é de 50%. Se um viajante deseja ir de carro de A até B nessa época de enchentes, a probabilidade de ele conseguir o seu intento é de: a) 52% b) 54,5% c) 57,5% d) 60% e) 62,5% Página 6 de 17
Gabarito: Resposta da questão 1: Dominós que possuem o 10: 11 dominós Dominós que possuem o 9: 10 dominós (pois o dominó (9, 10) já foi contado acima) Dominós que possuem o 8: 9 dominós (pois os dominós (9, 8) e (9, 10) já foram contados acima) e assim por diante... (111) 11 Portanto, o total de peças será 1110 9 8 7 6 5 4 3 2 1 66 2 Temos 12 dominós que possuem o 6 ou o 9: 1111 1 (dominó que possuem o 6 e o 9) 21 Portanto, a probabilidade pedida será dada por 21 7. 66 22 Resposta da questão 2: [D] Divisíveis por 4: A {4,8,12,16,20,,48} e n(a) 12 Divisíveis por 5: B {5,10,15,,50} e n(b) 10 Divisíveis por 4 e 5: A B {20,40} e n(ab) 2 Portanto, a probabilidade pedida será: 12 10 21 118 59 P 50 49 2450 1225 Resposta da questão 3: Existem 2 maneiras de posicionar Renato e Alice. Podemos dispor m pessoas entre os dois 6! de A6, m maneiras. Além disso, considerando agora as 8 (m 2) 6 m pessoas (6 m)! restantes, temos P(6 m) 1 P 7m (7 m)! possibilidades. Por outro lado, podemos organizar o grupo em fila de P8 8! modos, sem qualquer restrição. Desse modo, a probabilidade pedida é dada por 6! 2 (7 m)! (6 m)! 7 m. 8! 28 Em particular, se m 4, temos 7 4 3. 28 28 Resposta da questão 4: Total de resultados possíveis 3 12 1728. Página 7 de 17
a) A probabilidade P da soma ser 36 acontece quando sair o 12 em cada um dos dados, 1 1 portanto, P. 3 12 1728 b) Para que a soma seja 30 o valor que pode acontecer nos dois primeiros dados é no mínimo 18, pois este valor será somado com 12 no terceiro dado, daí temos os seguintes resultados possíveis para os dois primeiros dados: (12,12), (12,11), (12,10), (12,9), (12,8), (12,7), (12,6) (11,12), (11,11), (11,10), (11,9), (11,8), (11, 7) (10,12), (10,11), (10,10), (10,9), (10,8) (9,12), (9,11), (9,10), (9,9) (8,12), (8,11), (8,10) (7,12), (7,11) (6,12) É claro que para cada um destes 28 resultados temos um único resultado possível para o terceiro dado. 28 7 Portanto, a probabilidade pedida será P. 1728 432 c) Novamente devemos observar a soma dos dois primeiros dados: 7 pares de dados com soma 18: temos 1 possibilidade para o terceiro dado 6 pares de dados com soma 19: temos 2 possibilidades para o terceiro dado 5 pares de dados com soma 20: temos 3 possibilidades para o terceiro dado 4 pares de dados com soma 21: temos 4 possibilidades para o terceiro dado 3 pares de dados com soma 22: temos 5 possibilidades para o terceiro dado 2 pares de dados com soma 23: temos 6 possibilidades para o terceiro dado 1 par de dados com soma 24: temos 7 possibilidades para o terceiro dado Total de resultados com soma maior ou igual a 30: 71 62 53 4 4 35 26 17 84 Portanto, a probabilidade pedida será dada por: 84 21 7 P. 1728 432 144 Resposta da questão 5: a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a Sul 3. 9 9! b) Sabendo que as regiões Nordeste e Sudeste são as mais populosas, há 36 2 7! 2! 4 4! modos de escolher duas unidades da região Nordeste e 6 modos de escolher 2 2! 2! duas unidades da região Sudeste. Além disso, existem 7 maneiras de escolher uma unidade da região Norte, 4 modos de escolher uma unidade da região Centro-Oeste e 3 maneiras de escolher uma unidade da região Sul. Portanto, como cada unidade da Federação é representada por três senadores, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 7 5 11 N 36 67 433 2 3 7. c) Como existem 27 3 81 senadores, podemos escolher 7 senadores quaisquer de Página 8 de 17
81 81! 7 74! 7! 8180 79 78 77 76 75 7 6 5 4 3 2 2 4 50 2 3 1113 19 79 maneiras. Logo, 5 11 P 2 3 7 50 2 2 3 4 11 13 19 79 1 18 63 108 50 19 79 143 1, 50 pois 18 63, 19 79 e 108 143 são menores do que 1. Resposta da questão 6: a) Supondo que os dados possuem seis faces e que os resultados possíveis no lançamento de um desses dados sejam 1, 2, 3, 4, 5 e 6, pelo Princípio Multiplicativo, segue-se que n( ) 6 6 6 216. b) Se (a, b, c) é a terna ordenada que exprime um resultado do lançamento dos três dados, então o número de elementos do conjunto A corresponde ao número de soluções inteiras e positivas da equação a b c 9, com 1a 6, 1b 6 e 1c 6. Esse resultado é dado por 6 8 8! CR3 28. 6 6! 2! Contudo, ainda devemos descontar as soluções (7,1,1), (1, 7,1) e (1,1, 7). Assim, vem que n(a) 28 3 25. Analogamente, o número de soluções inteiras e positivas da equação a b c 10 é igual a 7 9 9! CR3 36. 7 7! 2! Dentre essas soluções devemos descontar aquelas em que {a, b, c} {1, 1, 8} (3 soluções) e {a, b, c} {1, 2, 7} (3! 6 soluções). Portanto, segue-se que n(b) 36 3 6 27. c) Supondo que os dados são equilibrados, vem n(a) 25 P(A) n( ) 216 e n(b) 27 1 P(B). n( ) 216 8 Página 9 de 17
Resposta da questão 7: a) Os retângulos obtidos a partir dos vértices de P são determinados por duas diagonais de P que passam pelo centro do círculo circunscrito. Logo, como o número de diagonais de P que passam pelo centro do círculo é igual a 6 3, 2 segue que podem ser formados 3 2 retângulos com os vértices de P. 6 Por outro lado, podem ser formados quadriláteros quaisquer tomando-se 4 vértices de 4 P. Portanto, a probabilidade pedida é igual a 3 2 3 1. 6 6! 5 4 4! 2! b) Como P tem 1000 500 diagonais passando pelo centro do círculo circunscrito, segue que 2 500 podem ser formados retângulos. 2 1000 Por outro lado, podemos formar quadriláteros tomando-se 4 vértices de P. 4 Portanto, a probabilidade pedida é igual a 500 500! 2 2! 498! 1. 1000 1000! 332001 4 4! 996! c) Seja o ângulo obtuso de um dos triângulos que podemos obter unindo-se 3 vértices de P. Como é ângulo inscrito, é fácil ver que 1 360 k 90 k 501, 2 1001 com k sendo o número de arcos congruentes, definidos pelos vértices de P, compreendidos entre os lados de. Desse modo, se os vértices de P são V 1, V 2,, V 1001, fixamos V 1 e escolhemos dois vértices em {V 2, V 3,, V 501} para determinarmos o número de triângulos que possuem um ângulo obtuso. Procedendo da mesma forma para os outros 1000 vértices de P, segue que o 500 número de triângulos obtusângulos que podem ser formados é dado por 1001. 2 1001 Finalmente, como podemos formar 3 triângulos com os vértices de P, segue que a probabilidade pedida é igual a Página 10 de 17
500 1001 500! 1001 2 2! 498! 1001 1001! 3 3! 998! 499. 666 Resposta da questão 8: [A] A probabilidade de acertar a questão marcando uma alternativa ao acaso é 1, 4 1 3 1. 4 4 e a de errar é Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma, temos os seguintes casos favoráveis: i. um aluno está entre os 20% que marcaram a opção correta e o outro está entre os 80% que marcaram a resposta errada ao acaso; ii. os dois alunos estão entre os 80% que marcaram a resposta ao acaso, tendo um deles acertado a questão e o outro errado. Logo, a probabilidade de (i) ocorrer é 3 3 0,2 0,8 0,8 0,2 0,24, 4 4 enquanto que a probabilidade de (ii) ocorrer é 1 3 3 1 0,8 0,8 0,8 0,8 0,24. 4 4 4 4 Portanto, a probabilidade pedida é igual 0,24 0,24 0,48. Resposta da questão 9: [A] Vamos considerar x o número de caminhos para leste e y o número de caminhos para oeste. Para que o menino fique 5 m da sua posição inicial: x y = 5 ou y x = 5. x y 9 Vamos admitir o caso que x y = 5 e resolver o sistema:. x y 5 Portanto, x = 7 e y = 2, se considerássemos y x = 5, teríamos x = 2 e y = 7. Portanto, temos duas opções: 1. uma sequência com 7 lestes e 2 oestes 2. um sequência com 7 oestes e 2 lestes O espaço amostral tem 2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 2 9 elementos, portanto a probabilidade pedida será 7,2 9 dada por : P = 2.P 2.4.9 9. 9 9 6 2 2 2 Resposta da questão 10: Página 11 de 17
a) Considere a tabela abaixo. 1 15 14 13 0 2 12 15 14 1 3 13 12 15 2 4 14 13 12 3 5 11 14 13 4 6 12 11 14 5 7 13 12 11 6 As jogadas de número 3k 2, com k 1 e k, de Antônio, Breno e Catarina constituem progressões aritméticas de razão igual a 1. Vencerá o jogo quem tiver exatamente 3 fichas na última jogada, e os outros dois jogadores tiverem menos do que 3 fichas. Logo, é fácil ver que Antônio será o vencedor. Para determinarmos a jogada em que Antônio vence, basta calcularmos o valor de k para o qual a quantidade de fichas de Antônio se torna igual a 3, ou seja, 3 15 (k 1) ( 1) k 13. Portanto, Antônio vencerá na jogada de número 313 2 37. b) Para x 1, consideremos o caso em que Breno vence o sorteio na 1ª jogada. 1 1 4 4 0 2 2 1 5 1 3 3 2 2 2 Antônio vence na 3ª jogada, com probabilidade de 100%, independentemente de quem vencer o sorteio na 1ª jogada. Breno e Catarina, portanto, tem probabilidade de vitória igual a 0%. Para x 2, consideremos o caso em que Breno vence o sorteio na 1ª jogada. 1 2 4 4 0 2 3 1 5 1 3 4 2 2 2 4 1 3 3 3 Breno e Catarina ficam empatados na 4ª jogada e vencem com probabilidade de 50%, independentemente de quem vencer o sorteio na 1ª jogada. Logo, Antônio tem probabilidade de vitória igual a 0%. Para x 3, consideremos o caso em que Breno vence o sorteio na 1ª jogada. 1 3 4 4 0 2 4 1 5 1 3 5 2 2 2 4 2 3 3 3 Página 12 de 17
Breno e Catarina ficam empatados na 4ª jogada e vencem com probabilidade de 50%, independentemente de quem vencer o sorteio na 1ª jogada. Logo, Antônio tem probabilidade de vitória igual a 0%. Para x 4, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 1 e 2, teremos todos empatados na 4ª jogada. Portanto, Cada um vence com probabilidade de, aproximadamente, 33,33%. 1 4 4 4 0 2 5 1 5 1 3 6 2 2 2 4 3 3 3 3 Para x 5, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2 e 5, Antônio vencerá com probabilidade de 100%. Portanto, a probabilidade de Breno e de Catarina vencerem é 0%. 1 5 4 4 0 2 2 5 5 1 3 3 6 2 2 4 4 3 3 3 5 1 4 4 4 6 2 1 5 5 7 3 2 2 6 Para x 6, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2 e 5, Breno e Catarina terminarão empatados na 8ª jogada. Logo cada um vence com probabilidade de, aproximadamente, 33,33%. 1 6 4 4 0 2 3 5 5 1 3 4 2 6 2 4 5 3 3 3 5 2 4 4 4 6 3 1 5 5 7 4 2 2 6 8 1 3 3 7 Para x 7, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2 e 5, Breno e Catarina terminarão empatados na 8ª jogada. Logo cada um vence com probabilidade de 50%. Portanto, a probabilidade de Antônio vencer é 0%. 1 7 4 4 0 2 4 5 5 1 3 5 2 6 2 4 6 3 3 3 5 3 4 4 4 6 4 1 5 5 7 5 2 2 6 8 2 3 3 7 Página 13 de 17
Finalmente, para x 8, independentemente de quem ganhar os sorteios nas jogadas 2, 3, 5 e 6, os três terminarão empatados na 8ª jogada. Assim, cada um vence com probabilidade de, aproximadamente, 33,33%. 1 8 4 4 0 2 5 5 5 1 3 2 6 6 2 4 3 3 7 3 5 4 4 4 4 6 1 5 5 5 7 2 2 6 6 8 3 3 3 7 Resposta da questão 11: a) Existem 7777 2401 maneiras de escolher 4 notas distintas ou não. Logo, a probabilidade pedida é tal que 1 1 0,1%, 2401 1000 ou seja, o compositor A será considerado culpado. b) Considerando a alteração cromática, para cada nota escolhida teremos 73 21 possibilidades. Portanto, o número mínimo n de notas (com alteração cromática) que uma melodia deve ter para que se possa configurar plágio, deve ser tal que n 1 1. 21 1000 Daí, como 3 2 1 1 1 1 1 0,1%, 21 9261 1000 441 21 segue que n 3. c) A probabilidade de que o apostador ganhe na loteria é dada por 7 7! 3 3! 4! 20 20! 3 3! 17! 7 6 5 100% 20 19 18 3,1%. Resposta da questão 12: [B] Sejam B o evento extração de bola branca e P o evento extração de bola preta. O evento última bola retirada é branca é igual a: Página 14 de 17
{BBBBB, PBBBBB, BPBBBB, BBPBBB, BBBPBB, BBBBPB}. Logo, a probabilidade de que a última bola retirada seja branca é igual a 5 4 3 2 1 2 5 4 3 2 1 6 2 5 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 2 21 7 Portanto, como o evento complementar do evento última bola retirada é branca é última bola 2 5 retirada é preta, segue que a probabilidade pedida é 1. 7 7 Resposta da questão 13: [E] As cores que podem ficar com o maior número de bolas, após o procedimento de retirada e depósito, são a verde (3 ou 4) e a vermelha (4). Portanto, como a probabilidade de retirar uma bola verde da urna 2 é 9 3 1 4 31, 10 11 10 11 110 e a probabilidade de retirar uma bola vermelha da urna 2 é 10 4 40, 10 11 110 segue que o jogador deve escolher a cor vermelha. Resposta da questão 14: a) O maior valor poderia ser 6 Se a11 a22 a33 a31 a12 a23 a21 a32 a13 1 e a31 a22 a13 a11 a23 a32 a12 a21 a33 1 O que é impossível, pois o produto das parcelas positivas é igual ao produto das parcelas negativas do determinante. Como o valor do determinante, obrigatoriamente, é um número par concluímos que o maior valor possível para o determinante é 4. Exemplo: 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 b) considerando todos os vetores (linearmente dependentes) possíveis: (1,1,1) e (-1,-1,-1) (1,1,-1) e (-1,-1,1) (1,-1,1) e (-1,1,-1) (-1,1,1) e (1,-1,-1) Escolhendo 3 vetores C 4,3 = 4 modos. Há 3! = 6 maneiras de escolher a ordem das linhas e 8 opções de se escolher ou não o simétrico. TOTAL 468 192. Logo, a probabilidade será dada por: P 192 3. 9 2 2 16 Resposta da questão 15: Página 15 de 17
[E] Temos 12 possíveis valores para a e 9 possíveis valores para b. Número de frações possíveis = 12.9 = 108. O denominador deverá ser par, então o numerador deverá ser ímpar para que a fração seja irredutível. Temos, então, as seguintes possibilidades. Valores para a = 11, 13, 15, 17, 19 e 21 e valores para b = 44, 46, 48, 50, num total de 6.4 = 24 frações. 11 15 21 15 Das quais deverão ser retiradas as seguintes frações redutíveis:,, e 44 48 48 50, ficamos com 20 possibilidades num total de 108 frações. Calculando a probabilidade, temos: 20 5 P 108 27 Resposta da questão 16: [B] Probabilidade de uma unidade defeituosa não apresentar defeito: 1 0,8 = 0,2. Probabilidade de uma unidade defeituosa não ser detectada por nenhum inspetor. 0,2 0,2 0,2 = 0,008. Probabilidade de uma unidade defeituosa ser detectada por pelo menos um inspetor. 1 0,008 = 0,992. Resposta da questão 17: [C] Para que o ângulo APB seja obtuso, é necessário que P seja um ponto no interior do semicírculo de diâmetro AB, contido no pentágono ABCDE. Desse modo, como a área do semicírculo de diâmetro AB é dada por 2 2 d 2 2 1 A, B 1 2 4 π π 2 2 2 2 1 20 π 2 4 5π u.a. 2 e a área do pentágono ABCDE é igual a 2π1 2π 3 2 (2π 1) 2 4π 2 4π 2 2 8π u.a., segue que a probabilidade pedida é 5π 2 5. 8π 16 Página 16 de 17
Resposta da questão 18: a) 26 1. 52 2 b) 26 25 24 1 1 24 6. 52 51 50 2 51 2 51 c) 26 2 25 26 P 1 13 39 3 3. 52 51 50 2 51 102 Resposta da questão 19: [E] As possibilidades são: Ponte 1 em condições : (1/2).(1/2) = ¼. Ponte 2 em condições e ponte três em condições: (1/2).(1/2).(1/2) = 1/8. Ponte 1 sem condições, ponte 2 em condições e ponte 3 em condições (1/2).( 1/2).(1/2).(1/2) = 1/16. Ponte 2 sem condições e ponte 1 com condições: (1/2).(1/2).(1/2) = 1/8. Ponte 2 em condições, ponte 3 sem condições e ponte 1 em condições = (1/2).(1/2).(1/2).(1/2) = 1/16. SOMANDO TUDO, TEMOS: 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + 1/16 = 62,5%. Página 17 de 17