CAPÍTULO IX RIGIDEZ SECANTE ADIMENSIONAL

CAPÍTULO IX RIGIDEZ SECANTE ADIMENSIONAL

9. Rigidez Secante Adimensional 9.1. Caracterização da rigidez Na análise dos deslocamentos laterais do eixo de um prisma solicitado a flexocompressão tem papel fundamental a sua rigidez. Essa rigidez tem a ver com a capacidade das seções transversais desenvolverem esforços internos resistentes que se opõem à deformação do prisma. Da equação diferencia da linha elástica de peças solicitadas à flexão surge o entendimento da rigidez à flexão. A equação diferencial da linha elástica para as duas peças esquematizadas na figura 9.1 é: d y M ( z) = + (9.1) dz EI Z Z N f = yb N MB MB HB B y(z) B Z q(z) z y(z) q(z) M(z) > z z A Y MA A Y O Y d y dz d y dz a) > ; M(z) > b) > ; M(z) > c) Convenção de sinais para os momentos fletores Figura 9.1 Esquematização das deformadas de um pilar em balanço e de um pilar bi-rotulado. IX - 1

A direção positiva das cargas transversais será considerada aquela que produza deformações no eixo da peça com concavidade voltada para o semi-eixo positivo de X ou Y. Com a orientação dos eixos coordenados como estão representados nas figuras 9.1.a e 9.1.b se tem, no caso da peça em balanço, para momentos fletores positivos a concavidade da linha elástica voltada para o semi-eixo positivo de Y e conseqüentemente a derivada segunda de y em relação à z também é positiva, assim, sendo os dois membros da equação positivos o sinal da equação diferencial da linha elástica resulta positivo. No caso da peça bi-rotulada da figura 9.1.b, também para momentos fletores positivos a concavidade da peça é voltada para o semi-eixo positivo de Y, assim, a segunda derivada de y em relação à z é de novo positiva, portanto também neste caso o sinal da equação diferencial da linha elástica é positivo. A derivada d y da equação 9.1 representa a curvatura da linha elástica. Essa dz curvatura é definida como sendo o inverso do raio de curvatura (curvatura = 1/r), de modo que, se tem d y 1 = dz r. Da equação diferencial da linha elástica, agora escrita d y 1 M ( z) = = + (9.) dz r EI resulta a rigidez à flexão dada por: EI M ( z) = (9.3) 1 r Ou seja, a rigidez a flexão é igual a razão entre o momento fletor solicitante e a correspondente curvatura da peça. O concreto armado é um composto que apresenta não linearidade física, ou seja, as deformações não são linearmente proporcionais às tensões. Mesmo o aço, quando empregado no concreto armado, é um material com comportamento físico não linear, já que se considera esse material trabalhando muitas vezes plastificado após atingir IX -

a tensão de escoamento e nessa situação as deformações deixam de ser linearmente proporcionais às tensões. Devido a esse comportamento físico não linear, as curvaturas dadas por 1 r = d y deixam de ser linearmente proporcionais aos momentos fletores M(z). dz Conseqüentemente, quando se considera a não linearidade física dos materiais no estudo das deformações de peças de concreto armado, mesmo que a seção transversal da peça se mantenha constante e com a mesma armadura em todo o seu comprimento, as curvaturas não são linearmente proporcionais aos momentos fletores. A existência de uma força normal reforça essa afirmação. De modo que, a rigidez, quanto às rotações das seções de peças de concreto armado solicitadas à flexão composta, dada pela equação 9.3, não é constante ao longo do comprimento da peça. A rigidez de cada seção depende da intensidade das solicitações de flexão e de compressão ou tração. No caso dos pilares é mais comum a combinação das solicitações de flexão e de compressão (flexo-compressão normal ou oblíqua). Para cada terno de esforços solicitante (N Sd M Sxd M Syd ) corresponde uma determinada curvatura, 1/r α, normal à linha neutra da seção. Se pode também trabalhar com as componentes 1/r x e 1/r y da curvatura. Nos diagramas momentocurvatura da figura 9., construídos para uma determinada força normal N Sd, para cada par de momentos solicitantes, M Sxd e M Syd, se tem um par de componentes de curvatura diferente. Os gráficos mostram a não linearidade dessa relação Assim, sendo variáveis os esforços solicitantes ao longo do comprimento da peça, serão diferentes as curvaturas de seção para seção. Lembrando ainda que essa dependência entre curvatura e flexo-compressão não segue uma lei linear (não linearidade física), o que fica claro ao se observar os diagramas da figura 9.. No estudo dos deslocamentos transversais de pilares, o método geral, mais preciso, faz uso da rigidez determinada ponto a ponto. Isto é, para cada seção se tem um terno de esforços solicitantes (N Sd M Sxd M Syd ) e em função desses esforços se determinam a curvatura e a rigidez, essa última dada pela equação 9.3. Portanto para cada seção se terá uma curvatura e uma rigidez. IX - 3

Mxd - 1/rx Myd - 1/ry 5, 9, 8, Mxd (kn.m), 15, 1, 5,,,1,,3,4,5,6,7 1/rx (1/1 cm) Myd (kn.m) 7, 6, 5, 4, 3,, 1,,,,4,6,8,1,1 1/ry (1/1 cm) Figura 9. Diagramas Momento-Curvatura para as direções X e Y correspondentes a um determinado valor da força normal N d. Assim, a rigidez, embora representada por EI, não é calculada pelo produto de um módulo de elasticidade por um momento de inércia, mas pela razão entre momento solicitante e curvatura correspondente. Embora se conserve a notação. Desta forma, é de fundamental importância para o obtenção dos efeitos de ª ordem em peças comprimidas o cálculo das curvaturas decorrentes das solicitações em cada seção da peça. Da consideração das curvaturas de todas as seções ao longo do comprimento do pilar se determinam as rotações. NBd NBd MBd MBd B B L dz Segmento i Segmento i A A a) Peça indeformada a) Peça deformada Figura 9.3 Deformação de um pilar em balanço solicitado à flexocompressão. IX - 4

Considerando o pilar esquematizado na figura 9.3, o segmento i deformado está representado na figura 5.1 para o caso de flexo-compressão normal na direção Y, na figura 5. para o caso de flexo-compressão normal na direção X e na figura 5.3 para flexão oblíqua composta. A curvatura da peça em determinada seção está intimamente ligada à rotação relativa entre duas seções infinitamente próximas. De modo que, as rotações são obtidas da integração das curvaturas ao longo do eixo da peça. Da equação diferencial da linha elástica se obtém as rotações integrando-se aquela equação uma vez. dy d y M ( z) ϕ ( z ) = = dz dz C 1 dz = + dz (9.4) EI( z) Tendo em vista a expressão (9.), se pode escrever: z z ( z) = 1 = ϕ [ r( z) ]. dz + C1 (9.5) z1= A constante de integração C 1 deve ser determinada pelas condições de contorno do problema. Para o caso do pilar em balanço essa condição é ser nula a rotação no engaste, ou seja: para z = ϕ = ϕ A = (9.6) A integral da equação (9.5) representa a área do diagrama de curvaturas entre as ordenadas z 1 e z. Essa integral realizada de z 1 = até z = naturalmente é nula z = z= M ( z) dz = EI( z) (9.7) donde resulta de (9.5) C 1 =. Portanto, as rotações de um pilar em balanço resultam determinadas por: z z 1 ϕ ( z) =. dz (9.8) r( z) z 1 = = IX - 5

ou z 1 ϕ ( z) = ϕ( z1) +. dz (9.9) z1 r( z) A integral da expressão (9.8) representa a área do diagrama de curvaturas entre as ordenadas z 1 e z. Subdividindo essa área em faixas de comprimento finito ( L), aquela integral pode ser calculada com certa aproximação pelo somatório das áreas. Processo esse chamado integração numérica. Assim, pode-se escrever (ver figura 9.4): ϕ i = ϕ i-1 + A c,i-1 (9.1) Integrando a equação diferencial da linha elástica uma segunda vez obtém-se os deslocamentos transversais representados por a x na direção x e a y da direção y. Integrando a (9.8), se tem: z z a( z) = = ( z). dz + C (9.11) =ϕ z1 Nd HTd S7 S6 S5 L S4 S3 S S1 MTd L Md 1/r ϕ a M7 M6 M5 M4 M3 M M1 (1/r)7 (1/r)6 (1/r)5 (1/r)4 (1/r)3 (1/r) (1/r)1 ϕ7 Ac,6 ϕ6 Ac,5 ϕ5 Ac,4 ϕ4 Ac,3 ϕ3 Ac, ϕ Ac,1 ϕ1 A ϕ,6 A ϕ,5 A ϕ,4 A ϕ,3 A ϕ, A ϕ, 1 a7 a6 a5 a4 a3 a a1 a) b) c) d) e) Figura 9.4 Pilar em balanço. a) Linha elástica; b) Diagrama de momentos; c) Diagrama de curvaturas; d) Diagrama de rotações; e) Diagrama de deslocamentos. A constante de integração C deve ser determinada pelas condições de contorno do problema. Para o caso do pilar em balanço essa condição é ser nulo o deslocamento no engaste, ou seja: para z = a() = (9.1) IX - 6

A integral da equação (9.11) representa a área do diagrama de rotações entre as ordenadas z 1 e z. Essa integral realizada de z 1 = até z = naturalmente é nula z = z1= ϕ ( z). dz = (9.13) donde resulta de (9.11) C =. Portanto, os deslocamentos transversais de um pilar em balanço resultam determinados por: z z a( z) = ϕ ( z). dz (9.14) z = 1= A integral da expressão (9.14) representa a área do diagrama de rotações. Subdividindo essa área em faixas de comprimento finito ( L), aquela integral pode ser calculada com certa aproximação pelo somatório das áreas. Assim, pode-se escrever: a i = a i-1 + A ϕ,i-1 (9.14) Para o caso do pilar bi-rotulado, como o da figura 9.1.b, a condição que determina o valor da constante C é para z = a() = (9.15) donde resulta C =. Da equação (9.5), primeira derivada da equação diferencial da linha elástica, sendo nula a integral entre z 1 = e z =, por representar a área do diagrama de curvaturas, se tem que a constante C 1 representa a rotação em z=: ϕ 1 = C 1 (9.16) A resolução numérica da integração da equação diferencial da linha elástica para o pilar bi-rotulado pode ser feita considerando-se inicialmente em cada iteração o pilar como se fosse um pilar em balanço, estrutura essa que será aqui chamada de estrutura fundamental. Calculam-se os deslocamentos para essa estrutura fundamental e se obtém a sua linha elástica conforme a figura 9.5.b. Para a estrutura IX - 7

real, bi-rotulada, o deslocamento do topo, seção B onde z = L, é nulo. Portanto, deve-se dar uma rotação na estrutura toda, sem deformá-la (movimento de corpo rígido), em torno da extremidade da base de ϕ B = -arc.tg(y * T /L) (9.17) onde y * T representa o deslocamento do topo do pilar calculado considerando-se a estrutura fundamental com o diagrama de momentos fletores original do pilar birotulado e a mesma força normal de compressão N d. É de se destacar aqui que o diagrama de momentos a ser utilizado no cálculo dos deslocamentos é o diagrama obtido para a peça bi-rotulada (figura 9.5.a). MTd Nd Md Md y*t T T T y*(z) L z rotação da deformada (movimento de corpo rígido) B B B MBd Nd a) Pilar bi-rotulado b) Estrutura fundamental, com o diagrama de momentos original, e a sua deformada c) deformada do pilar bi-rotulado Figura 9.5 Obtenção da deformada de pilar bi-rotulado através da estrutura fundamental (pilar em balanço). Todos os deslocamentos transversais obtidos para a estrutura fundamental sofrerão, então, uma correção e resultarão com os valores dados por: * * y y( z) = y ( z) T. z (9.18) L O método geral para cálculo dos deslocamentos transversais é caracterizado por se utilizar a curvatura em cada seção determinada em função das solicitações IX - 8

naquela seção. Essas curvaturas podem ser obtidas com auxílio dos diagramas momento curvatura. Neste trabalho, as curvaturas, para a finalidade de cálculo dos deslocamentos transversais, estão sendo calculadas utilizando-se o diagrama tensão-deformação parábola retângulo para o concreto, com a tensão do pico do diagrama dada por f c =,85x1,3xf cd = 1,1.f cd e a força normal dada por N d = N Sd /γ f3, com γ f3 = 1,1. Quando se utiliza o diagrama momento-curvatura para a obtenção das curvaturas, ele deve ser gerado considerando esses parâmetros. 9.. Rigidez Secante É possível simplificar o cálculo dos deslocamentos e rotações do eixo do prisma, introduzindo uma aproximação no processo, com a definição da rigidez secante dada por: ( EI) sec M Rd γ 3 = (9.19) f ( ) sec 1 r onde M Rd é o momento último da seção, ou seja, sua capacidade resistente, considerando a força normal atuante, ou seja, o momento resistente calculado no estado limite último, considerando o diagrama tensão-deformação do concreto da NBR 6118:4, com a tensão do patamar horizontal f c =,85.f cd e levando em conta a força normal N Sd com seu valor integral. No gráfico mostrado na figura 9.6 a curva inferior foi obtida considerando o diagrama tensão deformação para o concreto da NBR 6118:4 com tensão de pico dada por f c =,85.f cd e a força normal N d = N Sd. A curva superior foi obtida com o diagrama tensão deformação da NBR 6118:4 com tensão de pico dada por f c = 1,1.f cd e N d = N Sd /γ f3. A rigidez secante é definida como sendo o coeficiente angular da reta s da figura 9.6, determinada pela origem do sistema de eixos e pelo ponto da curva superior com ordenada M Rd /γ f3. (EI) sec = tgφ (9.) IX - 9

De novo se tem a rigidez definida através do gráfico não pelo produto de um módulo de elasticidade por um momento de inércia, apesar da notação continuar sendo: rigidez = EI. Define-se uma rigidez secante para cada direção: ( EI) ( EI) ( EI) M Rd γ f 3, = (9.1) 1 r α sec x α M Rxd γ f 3 θ,sec = (9.) 1 r y x M Ryd γ f 3 θ,sec = (9.3) 1 r y Diagrama My - 1/ry 9 8 7 MRyd /γf3 (b) Myd (kn.m) 6 5 4 3 reta s Φ (a) (1/ry) 1,,4,6,8,1,1 1/ry (%o) GamaF3=1. GamaF3=1,1 MRd/GamaF3 Rig. Secante Figura 9.6 Diagramas momento curvatura para: a) f c =,85.f cd e N d = N Sd ; b) f c = 1,1.f cd e N d = N Rd /γ f3 com γ f3 = 1,1. IX - 1

O cálculo das rotações e deslocamentos laterais das seções de um pilar pode ser feito, com aproximação, considerando-se no cálculo das curvaturas de cada seção a rigidez secante fazendo: 1 r α M ( z) = ( EI ) sec (9.4) 1 M x( z) r = ( EI) (9.5) x xθ,sec 1 M y ( z) r = ( EI) (9.6) y yθ,sec como se a rigidez fosse constante e igual em todas as seções. A notação (EI) xθ,sec representa a rigidez secante na direção x considerando a flexão oblíqua composta, com θ e θ 9. O ângulo θ representa a inclinação do eixo de solicitação. Para os casos em que θ = ou θ = 9 se tem a notação (EI) yy,sec e (EI) xx,sec respectivamente. São os casos de flexão normal composta nas direções y e x. Em peças de seção, armadura e o esforço normal constantes, com a consideração da rigidez secante já se faz uma aproximação, como ficou explicado acima. Além deste inconveniente em termos de precisão de resultado (embora válido em termos práticos) a utilização da rigidez secante particulariza o cálculo tornando-o válido apenas para pilares de seção constante inclusive a armadura. Para pilares com seção variável ou força normal variável é necessária a consideração da rigidez a flexão calculada ponto a ponto, ou seja, determinando o valor da rigidez em cada seção, em função das características geométricas e dos esforços solicitantes naquela seção. IX - 11

9.3. Rigidez Secante Adimensional Para cálculos manuais é muito conveniente a utilização de ábacos e tabelas. A construção desses ábacos e tabelas só se torna viável com a utilização de grandezas adimensionais. Assim, como se definem as solicitações adimensionais: Força normal reduzida: Momentos reduzidos: N A. f d υ = (9.7) c cd M xd µ x = (9.8) A. h. f c x cd M yd µ y = (9.9) A. h. f c y cd define-se a Rigidez Secante Adimensional em cada direção por: ( EI) κ α = (9.3) A sec c. hα. f cd ( EI) κ xθ = (9.31) A. h c xθ,sec x. f cd ( EI) yθ,sec κ yθ = (9.3) Ac. hy. fcd onde: κ α κ xθ κ yθ é a rigidez secante adimensional na direção perpendicular à da linha neutra da seção; é a rigidez secante adimensional na direção X, considerando-se a solicitação de flexão OBLÍQUA composta; é a rigidez secante adimensional na direção Y, considerando-se a solicitação de flexão OBLÍQUA composta; Na prática do cálculo dos deslocamentos o que se utiliza são as rigidezes secantes (EI) sec em cada direção principal x e y. Com auxílio das rigidezes secantes adimensionais tabeladas ou obtidas em ábacos de iteração, as rigidezes secantes IX - 1

resultam determinadas pelas expressões 9.33 e 9.34 derivadas das expressões 9.31 e 9.3. (EI) xθ,sec = κ xθ.a c.h x.f cd (9.33) (EI) yθ,sec = κ yθ.a c.h y.f cd (9.34) Quando a seção transversal é solicitada à flexão normal composta, as rigidezes são especificadas por: (EI) xx,sec, (EI) yy,sec, κ xx, κ yy, indicando, com a duplicidade do índice da direção, que na direção normal não existe solicitação de flexão. 9.4. Variação da rigidez secante adimensional com as solicitações 9.4.1. Exemplo 9.1 Já foi visto que a rigidez à flexão ou à flexão composta de uma seção transversal é função dos esforços solicitantes. A seguir se passa a analisar a variação da rigidez em uma direção em função da solicitação de flexão na direção ortogonal. Essa análise será desenvolvida através de um exemplo numérico. Determinação das rigidezes secantes adimensionais para a seção retangular indicada na figura 9.7 (a mesma da figura 8.1) Y θ E. fck = 5 MPa; γc = 1,4 5 cm 5 cm X α L.N fyk = 5 MPa; γs = 1,15 Nd = 1785,7 kn; ν =,8 As = 1 φ ω=,61 d = 4 cm d /hy =,16 Figura 9.7 Exemplo de seção transversal para análise da variação da rigidez a flexão em uma direção (p.ex. κ yθ ) em função da solicitação de flexão na direção ortogonal (M xd ). O diagrama N d M xd M yd característico da seção, para o estado limite último, construído considerando o diagrama parábola-retângulo da NBR 6118:4 para o concreto, é apresentado na figura 9.8. IX - 13

Diagrama "Nd - Mxd - Myd" 13 1 11 1 9 Myd (kn.m) 8 7 6 5 4 3 1-1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 17 18 19 1 3 Mxd (kn.m) Figura 9.8 Diagrama N d M xd M yd da seção transversal da figura 9.7, considerando o diagrama σ c x ε c parábola-retângulo da NBR 6118:4 para o concreto. Os diagramas momento - curvatura para as solicitações de flexão normal composta para as direções x e y estão apresentados na figura 9.9 e 9.1. M xd - 1/r x 3 Curva (b) 5 Mxd (kn.m) 15 1 5 Φ Curva (a) 1/r = 4,517x1-5 MR xd GamaF3=1, GamaF3=1,1 Reta MRd/GamaF3 Rigidez secante,,1,,3,4,5,6,7,8,9,1,11,1 1/rx (%o) Figura 9.9 Diagrama momento-curvatura para a direção x. r x em centímetros. IX - 14

M yd - 1/r y 18 16 14 Myd (kn.m) 1 1 8 6 4 GamaF3=1. GamaF3=1.1 Reta MRd/GamaF3 Rigidez Secante,,3,5,8,1,13,15,18,,3,5 1/ry (%o) Figura 9.1 Diagrama momento-curvatura para a direção y. r y em centímetros. Para a direção x obteve-se: M Rxd = 11,8 kn.m ordenada da extremidade da curva (a) M γ Rxd f 3 18,8 = = 19,56kN. m 1,1 Do gráfico 1 5 = 4,517 x1 r x Da expressão (9.) (EI) xx,sec = tg Φ = 46.316.4 kn.cm Da expressão (9.31) κ xx = 76,4 Para a direção y obteve-se: M Ryd = 118, kn.m M γ Ryd f 3 118, = = 17,47kN. m 1,1 Da expressão (9.3) IX - 15

Da expressão (9.3) (EI) yy,sec = tg Φ = 117.84.8 kn.cm κ yy = 84,7 9.4.. Análise da Rigidez Secante Na figura 9.11 se apresenta o diagrama momento - curvatura para a direção y (de menor rigidez) da seção da figura 9.7 para diversos valores de M xd. 18, 16, 14, E.L.U. 1, 1, 8, MRd / γf3 6, 4,,, Curva a reta s,5,1,15,,5 Mxd= Mxd= Mxd=5 Mxd=5 Mxd=75 Mxd=1 (EI)sec Figura 9.11 Diagrama momento-curvatura para a direção y, para diversos valores de M xd. Na flexão normal composta (M xd =) a rigidez secante resultou (EI) yy,sec = 117.38.9 kn.cm. Para o momento M yd = 6 kn.m, considerando a rigidez secante, a curvatura resulta 1/r y = 5,1147x1-5 cm -1. Quando além do momento M yd = 6 kn.m atuar também o momento M xd = 1 kn.m, se terá então flexão oblíqua composta, a curvatura pontual na direção y será 1/r y = 4,6814x1-5 cm -1. Entenda-se por curvatura pontual aquela obtida para um determinado ponto da curva momento-curvatura e não da reta s. Valor menor que o IX - 16

anterior. Destaca-se aqui que este último valor da curvatura foi obtido da curva momento-curvatura e não da consideração da rigidez secante. Na flexão oblíqua composta citada se tem para rigidez (EI) yθ = 6/4,6814x1-5 = 17.89.767 kn.cm. Valor maior que a da rigidez secante da flexão normal composta. O que se está mostrando é que considerando a rigidez secante, (EI) yy,sec, da direção Y, mesmo se tratando de flexão oblíqua composta, se obterá para essa direção deformações maiores do que as que se obtém considerando a curva momentocurvatura da flexão oblíqua composta, ou seja, a favor da segurança. Portanto, utilizar a rigidez secante da flexão normal composta leva à obtenção de maiores deslocamentos (efeitos de ª ordem) do que considerar a curva momentocurvatura da flexão oblíqua composta. Portanto, para esse caso, a rigidez na flexão oblíqua é maior que a rigidez secante da flexão normal composta. Assim, seriam menores os efeitos de ª ordem na flexão oblíqua do que na flexão normal considerando para este último caso a rigidez secante. O que se está pretendendo é mostrar que a consideração da rigidez secante para a direção de maior esbeltez [(EI) yy,sec ] leva a efeitos de ª ordem maiores que a consideração exata da rigidez na flexão oblíqua. Sendo assim, pode-se tratar a flexão oblíqua como se se tratasse de duas flexões normais composta e ao final compor as duas componentes de momentos para se fazer a análise da segurança considerados os efeitos de ª ordem. Nos capítulos 1 e 13 é analisada grande quantidade de pilares solicitados a flexão oblíqua composta. São comparados resultados obtidos considerando os efeitos de flexão desacoplados com a consideração da flexão oblíqua composta. O desacoplamento referido significa que os efeitos de ª ordem na direção Y são calculados como se não houvesse solicitação de flexão na direção X. Em uma segunda etapa são calculados os efeitos de ª ordem na direção X sem levar em consideração as solicitações de flexão na direção Y. Assim, se obterão os momentos totais (1ª ordem mais ª ordem) em cada direção para depois compor essas duas componentes e obter a solicitação final de flexão oblíqua composta. A seguir são mostrados gráficos para algumas seções para se observar que as curvas momento-curvatura na flexão oblíqua composta estão em grande parte IX - 17

acima da reta que define a rigidez secante da flexão normal composta. Neste capítulo são considerados para todos os exemplos: concreto com f ck = 5 MPa e γ c = 1,4 e aço com f yk = 5 MPa e γ s = 1,15. 9.4.3. Exemplo 9. Seção quadrada com quatro barras de mm. hy =5 Diagrama "Nd - Mxd - Myd" 7 hx=5 cm Armadura: 4 Φ mm ω =,489 d /hy =,16 N ud =,85.f cd.h x.h y + σ %o.a s N ud = 1.476 kn N Sd =,7.N ud = 59 kn Myd (kn.m) 6 5 4 3 1 5 1 15 5 3 35 4 45 5 55 6 65 7-1 Mxd (kn.m) Figura 9.1 Seção quadrada com quatro barras. Diagrama N d -M xd -M yd do E.L.U. Myd - 1/ry 9, 8, 7, Myd (kn.m) 6, 5, 4, 3,, 1,,,5,1,15,,5,3 1/ry (1/1cm) Mxd= Mxd=1 Mxd= Mxd=3 MRd/1,1 (EI)sec Figura 9.13 Diagrama momento curvatura para a seção da figura 9.1. IX - 18

9.4.4. Exemplo 9.3 Seção quadrada com 8 barras de 16 mm Diagrama "Nd - Mxd - Myd" hy =5 4 35 3 hx=5 cm Armadura: 8 Φ 16 mm ω =,63 d /h y =,16 Myd (kn.m) 5 15 1 5 N ud =,85.f cd.h x.h y + σ %o.a s N ud = 1.6 kn 5 1 15 5 3 35 4 45 5-5 Mxd (kn.m) N Sd =,7.N ud = 1.134 kn Figura 9.14 Seção quadrada com oito barras. Diagrama N d -M xd -M yd do E.L.U. Myd - 1/ry 6, 5, Myd (kn.m) 4, 3,, 1,,,,4,6,8,1,1,14,16 1/ry (1/1cm) Mxd= Mxd=1 Mxd= Mxd=3 MRd/1,1 (EI)sec Figura 9.15 Diagrama momento curvatura para a seção da figura 9.14. IX - 19

9.4.5. Exemplo 9.4 3) Seção retangular com h x = h y. Diagrama "Nd - Mxd - Myd" hy =5 9 8 7 hx=5 cm Armadura: 14 Φ 16 mm ω =,545 d /hy =,16 N ud =,85.f cd.h x.h y + σ %o.a s N ud = 3.73 kn Myd (kn.m) 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16-1 Mxd (kn.m) N Sd =,7.N ud =.151 kn Figura 9.16 Seção retangular com relação h x /h y = com quatorze barras. Diagrama N d -M xd -M yd do E.L.U. Myd - 1/ry 14, 1, 1, Myd (kn.m) 8, 6, 4,,,,,4,6,8,1,1,14,16 1/ry (1/1cm) Mxd= Mxd=3 Mxd=6 Mxd=9 MRd/1,1 (EI)sec Figura 9.17 Diagrama momento curvatura para a seção da figura 9.16. IX -