VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO AMÉRICO CAMPOS FILHO 2014

2 SUMÁRIO 1 - FUNDAMENTOS Instabilidade na compressão axial flambagem Instabilidade na flexão composta PROCEDIMENTOS PARA A VERIFICAÇÃO DE PILARES Recomendações da norma brasileira sobre pilares Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio Determinação dos deslocamentos pela analogia de Mohr Determinação das curvaturas das seções a partir do momento fletor e do esforço normal atuante Instabilidade na flexão composta oblíqua Deformações do eixo da barra Curvaturas Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio Observações gerais Princípios básicos de cálculo Consideração da fluência PROGRAMA PARA VERIFICAÇÃO DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDOS À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL Abrangência do programa Primeiro exemplo de utilização do programa Segundo exemplo de utilização do programa Terceiro exemplo de utilização do programa REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 28

3 1 - FUNDAMENTOS Instabilidade na compressão axial - flambagem Tomando-se uma barra reta, axialmente comprimida, de comportamento elástico-linear, verifica-se experimentalmente que, sob ação de carregamentos crescentes, atinge-se um estado no qual a forma reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente a este estado é dita carga crítica ou carga de flambagem. O fenômeno de instabilidade das barras retas axialmente comprimidas é caracterizado pela presença do ponto de bifurcação do equilíbrio, no diagrama que relaciona a carga F aplicada com o máximo deslocamento a da barra. Figura Barra reta, de comportamento elástico-linear, axialmente comprimida A carga crítica ou carga de flambagem é dada por F crit EI 2 2 e (1.1) onde e é o comprimento de flambagem da barra, que depende de sua vinculação e de seu comprimento. Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 1

4 Figura Comprimento de flambagem das barras Para os materiais estruturais, como o concreto e o aço, a situação de flambagem é um estado limite último. Para cargas pouco superiores à carga crítica, a flecha já é igual a uma fração apreciável do comprimento da barra, levando a barra a ruptura por flexão composta. Em outros materiais, a barra pode resistir a cargas sensivelmente superiores à carga de flambagem, pelo que o estado limite de flambagem deixa de ser um estado limite último. Se o material analisado tem um comportamento linear apenas para tensões menores que um dado limite de proporcionalidade, observa-se uma mudança da forma de equilíbrio, para cargas críticas superiores a este limite. Neste caso, para cargas superiores a carga crítica, a forma reta de equilíbrio é instável e a forma fletida é impossível. Figura Barra reta, de comportamento não-linear, axialmente comprimida Instabilidade na flexão composta Determinando-se a flecha de uma barra reta, de comportamento elástico-linear, submetida à flexão composta, chega-se aos resultados apresentados na Fig Conclui-se, desta forma, que enquanto o material permanecer no regime elástico, não existe problema de instabilidade na flexão composta, pois sempre haverá uma configuração de equilíbrio estável. Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 2

5 Figura Barra reta, de comportamento elástico-linear, submetida à flexão composta Caso o material apresente um comportamento não-linear, a resposta da estrutura vai ser do tipo mostrado na Fig Nesta situação, o equilíbrio é impossível para uma carga maior que a carga crítica. O ponto B não corresponde a uma mudança da configuração de equilíbrio estável, mas sim a uma reversão do andamento das deformações. Antes de se atingir este ponto, isto é, para uma carga inferior à carga crítica, a um aumento de F corresponde um aumento da flecha a. Pelo contrário, após ser atingido o ponto B, não só é impossível aumentar a carga, como a própria manutenção do equilíbrio somente será possível com um sistema de deformação controlada, pois o aumento das flechas corresponde a uma diminuição das cargas. Figura Barra reta, de comportamento não-linear, submetida à flexão composta Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 3

6 2 - PROCEDIMENTOS PARA A VERIFICAÇÃO DE PILARES Recomendações da norma brasileira sobre pilares Conforme a NBR-6118, o tipo de verificação a ser feita em pilares depende do índice de esbeltez que o pilar apresenta. O índice de esbeltez é definido por e i (2.1) onde e é o comprimento de flambagem do pilar e i é o raio de giração mínimo da seção de concreto, calculado por i Jc (2.2) Ac sendo Ac a área e Jc o momento principal central de inércia mínimo da seção transversal do pilar. As exigências da NBR-6118, relativas aos pilares, podem ser resumidas na Tabela 2.1. Neste trabalho, apresenta-se um procedimento exato para a verificação da estabilidade de pilares de concreto armado, com índice de esbeltez até 200. O que caracteriza este procedimento exato é a determinação das curvaturas das seções, a partir das solicitações, utilizando os diagramas tensão-deformação dos materiais recomendados pela norma. O procedimento apresentado é bastante geral, abrangendo a análise de pilares de seção transversal qualquer e variável ao longo da altura do pilar. Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 4

7 Tabela Exigências da NBR-6118 relativas à verificação da segurança de pilares PROCESSO DE CÁLCULO f Consideração dos efeitos de 2 a ordem Exato Aproximado (diagramas M, N, 1/r) Simplificado Consideração da fluência 1 dispensável ,4 dispensável 140 obrigatória 200 1,4+0,01(λ 140) obrigatório permitido não permitido permitido não permitido dispensável obrigatória NÃO É PERMITIDO EMPREGAR > Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio A idéia básica do método do equilíbrio é realizar a verificação da segurança de um pilar, frente ao estado limite de instabilidade, sem a necessidade da determinação da carga crítica do mesmo. Ou seja, o método do equilíbrio consiste em verificar-se que, sob a ação do carregamento de cálculo Fd, tem-se uma flecha a em uma seção de referência do pilar, e que tal situação corresponde a uma configuração estável de equilíbrio. F Fd equlíbrio estável a a ref Figura Verificação da estabilidade pelo método do equilíbrio Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 5

8 Desta forma, calcula-se apenas um ponto do diagrama carga-deslocamento do pilar. Na Fig. 2.2, apresenta-se, esquematicamente, o procedimento de verificação da estabilidade de um pilar, usando o método do equilíbrio. Na primeira etapa, determina-se o deslocamento a 1, calculando-se as solicitações considerando-se a configuração indeformada do pilar. Qualquer que seja o tipo de carregamento ou de variação da seção transversal, calcula-se a flecha a 1 a partir das relações momento fletor-esforço normal-curvatura. Na segunda etapa, determinam-se as solicitações, considerando-se a configuração da barra com os deslocamentos calculados na etapa anterior e assim sucessivamente. ei Fd a1 ei Fd an-1 ei Fd... 1a. etapa 2a. etapa na. etapa F Fd a1 a2 an único ponto calculado curva desconhecida a Figura Procedimento do método do equilíbrio As flechas calculadas a 1, a 2, a 3,..., a n-1, a n constituem-se numa seqüência que, quando convergente, comprova a estabilidade da configuração de equilíbrio. A convergência da seqüência pode ser constatada numericamente. Quando ela ocorre, sabe-se que a carga Fd está abaixo da carga crítica. Desta forma, para aplicação do método do equilíbrio, precisa-se, em cada uma das etapas, do seguinte calcular as solicitações ao longo do eixo do pilar, a partir de uma configuração deformada; conhecidas as solicitações de uma seção, calcular a curvatura correspondente; integrar as curvaturas das diferentes seções, ao longo do eixo do pilar, para obter os deslocamentos. Apresentam-se, nos itens que seguem, os procedimentos para realizar estas tarefas. Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 6

9 2.3 - Determinação dos deslocamentos pela analogia de Mohr Para a determinação dos deslocamentos dos pilares, é necessário integrar as curvaturas das diversas seções ao longo do eixo do pilar. Isto pode ser feito através da analogia de Mohr, conforme foi empregado por Hoffmann (1980) Considerando-se a semelhança que existe entre as expressões d 2 y 1 1 ; 2 dx r r d 2 M p ; dx 2 dm dx M E J V (2.3) pode-se imaginar a determinação da deformada y(x), calculando-se os momentos fletores M*(x), devido a um carregamento imaginário p*(x)=1/r(x). O sistema equivalente de Mohr é o sistema sobre o qual se aplica o carregamento p*(x), com condições de apoio escolhidas de acordo com as condições de deformação da barra. p*(x)=1/r A y p(x) y(x)=? B x A M*(x)=y(x) B Figura Sistema equivalente de Mohr para uma barra bi-rotulada Para uma barra bi-rotulada, Fig. 2.3, tem-se BARRA REAL SISTEMA EQUIVALENTE DE MOHR y A = y B = 0 M* A = M* B = 0 A 0 V* A 0 B 0 V* B 0 Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 7

10 A y p(x) y(x)=? B x p*(x)=1/r A M*(x)=y(x) B Figura Sistema equivalente de Mohr para uma barra engastada livre Já para uma barra engastada-livre, Fig. 2.4, tem-se BARRA REAL SISTEMA EQUIVALENTE DE MOHR y A = 0 M* A = 0 A = 0 V* A = 0 y B 0 M* B 0 B 0 V* B 0 Pelo processo proposto por Hoffmann (1980), deve-se dividir a barra em n partes iguais, com um comprimento x. Assim x (2.4) n Supondo-se que as curvaturas tenham uma variação parabólica, ao longo do comprimento da barra, determinam-se os pesos w k. Os pesos w k são forças fictícias, aplicadas nos pontos k, equivalentes ao carregamento p*(x) das curvaturas. A força fictícia w k do diagrama de curvaturas é dada por wk k x ( k 1)x 1 r dx (2.5) Considerando esta distribuição, os pesos w, nos pontos k valem: - para o extremo superior da barra x w r 0 r 1 r,, (2.6) 2 Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 8

11 - para um ponto intermediário k x 1 wk r k r k r k 1 (2.7) - para o extremo inferior da barra seguinte roteiro: x wn r n r n r 12 3, , 5 1 (2.8) 1 n2 O mesmo processo pode ser utilizado para outra vinculação da barra. Desta forma, o roteiro do método do equilíbrio, usando a analogia de Mohr, pode ser resumido no (a) Dividir o comprimento da barra em n partes iguais. (b) Calcular os esforços solicitantes de primeira ordem em cada um dos (n+1) pontos. (c) Escolher o sistema equivalente de Mohr. (d) Calcular as curvaturas (1/r) k (k=0,n), verificando se nenhum estado limite foi excedido. (e) Determinar os pesos w k. (f) Considerar o sistema equivalente carregado pelas cargas concentradas w k, nos pontos k, e determinar os valores de M* k, que devido a analogia de Mohr são os y k. (g) Verificar a convergência 1 n y 2 2 k i0 tolerancia (2.9) n y 2 k i0 (h) Caso a condição anterior seja verdadeira, seguir para o passo (j), senão ir para o passo (i). (i) Determinar os momentos fletores M k no sistema deformado e voltar para (d). (j) Final do processo, se houver convergência a configuração deformada obtida é de equilíbrio estável Determinação das curvaturas das seções a partir do momento fletor e do esforço normal atuante Na análise da estabilidade de uma estrutura de concreto armado, é necessária a obtenção da configuração deformada de uma seção, para uma determinada combinação de esforços que a solicitam abaixo do seu limite de resistência. Apresenta-se, neste item, um procedimento geral para a determinação desta configuração deformada para uma seção de concreto armado, definida por uma poligonal fechada. Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 9

12 O problema pode ser definido da seguinte forma: conhecidos: a geometria da seção de concreto armado (coordenadas dos vértices da poligonal fechada, coordenadas das barras e suas respectivas percentagens em relação à área total de armadura; as resistências características do aço e do concreto (fyk e fck); a área total de armadura As. deseja-se determinar: a combinação única de parâmetros, b, c (inclinação da linha neutra, curvatura e deformação do centróide da seção), que corresponda a esforços resistentes em equilíbrio com os esforços atuantes fornecidos, desde que as deformações extremas superior e inferior da seção de concreto armado, S e I, não ultrapassem os valores estabelecidos pela NBR-6118 (-3,5 na fibra mais comprimida da seção e 10 na fibra mais tracionada). S Y y S I I C x LINHA NEUTRA X Figura Distribuição de deformações em uma seção de concreto armado Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 10

13 Na situação mais geral, correspondente à flexo-compressão oblíqua, deve-se resolver um sistema de três equações não-lineares com três incógnitas: f (, b, c) MRx(, b, c) MAx 0 g(, b, c) MRy(, b, c) MAy 0 h(, b, c) NR(, b, c) NA 0 (2.10) onde MRx, MRy e NR são os esforços resistentes, funções dos parâmetros, b, c, e MAx, MAy e NA são os esforços atuantes. Na flexo-compressão reta ou normal, bastaria resolver um sistema de duas equações não-lineares com duas incógnitas ( = valor conhecido) f ( b, c) MRx( b, c) MAx 0 g( b, c) NR( b, c) NA 0 (2.11) Para resolver o sistema formado pela Eqs. (2.10), utilizando-se o método de Newton-Raphson, deve-se resolver uma série de sistemas de três equações lineares com três incógnitas, do tipo K({ u} i) { u} i { p} i (2.12) sendo que, para i-ésima iteração, tem-se {u} i - é o vetor com os parâmetros, b, c a serem ajustados; {u} i - é o vetor incremental de {u} i ; {p} i - é o vetor de diferenças entre os esforços atuantes e os esforços resistentes, correspondentes aos valores de, b, c da i-ésima iteração. A matriz [K({u}i)] contém as derivadas parciais dos esforços resistentes em relação aos parâmetros de ajuste. Desta forma, pode se escrever a Eq.(2.12), por extenso, do seguinte modo MRx MRx MRx b c MRy MRy MRy b c NR NR NR b c MAx MRx b MAy MRy c NA NR (2.13) O algoritmo para a determinação da deformada de uma seção, uma vez estabelecidas a geometria da seção de concreto armado (coordenadas dos vértices da poligonal fechada, coordenadas das barras e suas respectivas percentagens em relação à área total de armadura), as resistências características do aço e do concreto (fyk e fck) e a área total de armadura As, é o seguinte: (a) arbitram-se, inicialmente, os parâmetros, b e c a serem ajustados; (b) por integração das tensões, obtêm-se os esforços resistentes MRx, MRy e NR e os elementos da matriz de derivadas parciais [K], correspondentes aos valores de, b e c; da i-ésima iteração; Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 11

14 (c) calcula-se o vetor de desequilíbrio pela diferença entre esforços atuantes conhecidos e os esforços resistentes obtidos no item anterior Mx MAx MRx { p} i My MAy MRy N NA NR (2.14) (d) verifica-se a convergência por 1 Mx 2 My 2 N 2 2 MAx 2 MAy 2 NA 2 tolerância (2.15) (e) caso a condição acima seja satisfeita, vai-se para o item (i), senão segue-se para (f); (f) resolve-se o sistema de equações lineares 1 { u} i [ K] { p} i (2.16) (g) determinam-se, b e c a partir da expressão { u} i 1 b b b c c c i1 i (2.17) (h) retorna-se ao item (b); (i) o processo iterativo é encerrado e a deformada da seção é obtida. Através deste procedimento são obtidos a inclinação da linha neutra, a curvatura da seção b e a deformação c do centróide da seção de concreto, correspondentes à área total de armadura As preestabelecida, de tal forma que as deformações extremas superior e inferior da seção, S e I, não ultrapassem os limites prescritos na NBR6118. As derivadas parciais dos esforços resistentes, em relação aos parâmetros, b e c, são obtidas conforme apresentados por Campos Filho (1996) e têm as expressões dadas a seguir derivadas parciais dos esforços resistentes em relação à inclinação da linha neutra MRx MRy MRy MRx NR 0 (2.18) Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 12

15 derivadas parciais dos esforços resistentes em relação à curvatura da seção b para a seção de concreto: MR n cd 1G b 02 2G 03 i1 MR n cd 1G G b i1 NR n cd 1G G b i1 (2.19) onde 1 a1 2 a2 c 2 2 a b 2 (2.20) para a seção de aço: MR m b j. As. ET ( j ). 2 j j1 MR m A E b j. s. T ( j ). j. j j1 NR m A E b j. s. T ( j ). j j1 (2.21) Finalmente, tem-se MRx b MRy b MR MR cos sen b b MR MR sen cos b b (2.22) derivadas parciais dos esforços resistentes em relação à deformação no centróide da seção c para a seção de concreto: MR n cd 1G c 01 2G 02 i1 MR n cd 1G G c i1 NR n cd 1G G c i1 (2.23) Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 13

16 para a seção de aço: MR m c j. As. ET ( j ). j j1 MR m A E c j. s. T ( j ). j j1 NR m A E c j. s. T ( j ) j1 (2.24) Finalmente, tem-se MRx c MRy c MR MR cos sen c c MR MR sen cos c c (2.25) Instabilidade na flexão composta oblíqua Deformações do eixo da barra Seja uma barra submetida a um carregamento que produz flexão composta oblíqua em suas seções transversais (Fig. 2.6). Sob ação do carregamento aplicado, o eixo da barra sofre deformações. No caso de barras esbeltas, os deslocamentos transversais criam as excentricidades e 2 de segunda ordem, as quais não podem ser ignoradas no estudo da peça. Figura Barra reta submetida à flexo-compressão oblíqua Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 14

17 O eixo deformado do pilar é uma curva reversa, já que o plano de flexão é variável, de seção para seção, em virtude da própria deformação da barra. A deformada do pilar só vai ser uma curva plana, se a linha neutra de todas as seções tiver sempre a mesma direção, fato este que não pode acontecer, quando o plano de flexão varia de seção para seção Curvaturas Seja uma seção retangular submetida a flexo-compressão oblíqua, conforme aparece na Fig As conclusões estabelecidas a seguir são válidas para seções de forma qualquer, embora determinadas a partir de uma seção retangular. A partir da Fig. 2.7, pode-se escrever rx hx hx ry hy hy (2.26) (2.27) e r h (2.28) Mas ( 2 3) ( 34) 2 4 (2.29) e, portanto hy h x ry rx h r (2.30) Por outro lado, tem-se que h hx sen hy cos (2.31) Desta forma, pode-se escrever que hy hx hx sen hy cos ry rx r (2.32) ou 1 sen 1 cos hx hy 0 rx r ry r (2.33) Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 15

18 Para que a condição expressa pela Eq.(2.30) seja satisfeita, para quaisquer valores de hx e de hy, as igualdades seguintes devem ser verificadas 1 1 sen rx r 1 1 cos ry r (2.34) 2 y h 2 1 hy LN x hx Figura Curvaturas em uma seção submetida à flexo-compressão oblíqua Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 16

19 Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio A verificação da estabilidade de um pilar, submetido a flexo-compressão oblíqua, é feita pelos mesmos procedimentos empregados nos casos de flexo-compressão normal, com as devidas adaptações para a consideração tanto da existência de dois momentos fletores, quanto da variação da posição da linha neutra. O procedimento, no caso da flexo-compressão oblíqua, tem os seguintes passos determinam-se os momentos fletores de primeira ordem; determinam-se a distribuição de curvaturas 1/r e as diferentes inclinações das linhas neutras ao longo do eixo do pilar; calculam-se as curvaturas nas direções x e y (1/r x e 1/r y ) a partir dos valores de 1/r e para cada seção; integram-se as curvaturas ao longo do eixo do pilar separadamente para as direções x e y e determinam-se os deslocamentos; calculam-se os novos momentos fletores, considerando a configuração deformada; reinicia-se o ciclo iterativo com o cálculo de novas curvaturas e direções das linhas neutras para as diversas seções; o processo iterativo se encerra quando a série de deslocamento converge (pilar estável) ou quando se chega a ruptura de uma das seções Observações gerais Princípios básicos de cálculo Conforme a NBR6118, a análise estrutural com efeitos de 2 ª ordem deve assegurar que, para as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo, não ocorra perda da estabilidade nem esgotamento da capacidade resistente de cálculo. A não-linearidade física, presente nas estruturas de concreto armado, deve ser obrigatoriamente considerada. A deformabilidade dos elementos deve ser calculada com base nos diagramas tensão-deformação dos materiais. A tensão de pico do concreto deve ser igual a 1,10 fcd, já incluído o efeito de carga mantida (Rüsch), e a do aço igual a fyd, com os valores de z e c utilizados para o estado limite último. Os valores característicos das ações devem ser majorados por um fator f / 1, Consideração da fluência Conforme a NBR6118, na avaliação da segurança dos pilares com índice de esbeltez acima de noventa, quando houver cargas de longa duração, deverão ser consideradas, obrigatoriamente, as deformações por fluência do concreto. Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 17

20 c f = 0 f = 2 1,10 f cd c c f c c2 cu (1+f) c2 (1+f) cu c (1+f) c Assim Figura Diagrama tensão-deformação do concreto com a consideração da fluência cc f c c, total c cc (2.35) onde c - é a deformação imediata do concreto; cc - é a deformação por fluência do concreto; c,total - é a deformação total do concreto; f - é o coeficiente de fluência. Desta forma, o diagrama tensão-deformação do concreto sofre uma transformação, conforme aparece na Fig Nas análises em que coexistirem cargas de curta e longa duração, recomenda-se a utilização do método da função equivalente de fluência. De acordo com este método aproximado, realiza-se o cálculo como se toda a carga fosse de longa duração, adotando-se para o coeficiente de fluência o valor efetivo dado por fef f ( t, t0 ) (2.36) onde - é a fração do esforço normal que produz fluência; - é a fração do momento fletor de primeira ordem que produz fluência; f(t,t 0 ) - é o coeficiente de fluência real do problema. Este método é bastante geral, podendo ser aplicado inclusive nos casos de pilares muito esbeltos ou de seção transversal variável. Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 18

21 3 - PROGRAMA PARA VERIFICAÇÃO DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDOS À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL 3.1 Abrangência do programa Apresenta-se, neste capítulo, a utilização de um programa, para a verificação de pilares de concreto armado submetidos à flexo-compressão normal, através do método do equilíbrio. Este programa segue os procedimentos apresentados no capítulo Primeiro exemplo de utilização do programa No primeiro exemplo, é feita a verificação do pilar bi-rotulado, apresentado na Figura 3.1. Figura Pilar verificado no exemplo 1 Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 19

22 O arquivo de entrada de dados utilizado é o seguinte valor indicando pilar bi-rotulado número seções analisadas comprimento total do pilar coeficiente de fluência "A" tipo de aço, fyk, Es, fck 5 2 seção 1: número vértices seção de concreto número de barras de armadura Pv(x), Ph(x), M(x), p(x) uma linha para cada vértice da poligonal fechada, indicando suas coordenadas uma linha para cada barra, indicando suas coordenadas 5 2 seção seção seção seção seção Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 20

23 seção seção seção seção seção seção seção Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 21

24 seção seção As unidades dos dados fornecidos devem ser coerentes. No exemplo. foram usados kn como unidade de força e cm como unidade de comprimento. Os valores, em cada linha, devem ser separados por espaços em branco. O texto em itálico, colocado ao final de cada linha, é apenas comentário e não deve aparecer no arquivo de entrada de dados. Ao rodar o programa, aparecerá, na tela do computador, a saída de resultados da forma seguinte resultados da iteracao 13 x y(x) N(x) V(x) M(x) b(x) 1 0,0 0,00-400,00 70,00 800,00 0, ,0 1,14-400,00 62, ,74 0, ,0 2,20-400,00 53, ,24 0, ,0 3,12-400,00 45, ,29 0, ,0 3,87-400,00 35, ,71 0, ,0 4,42-400,00 25, ,85 0, ,0 4,77-400,00 15, ,42 0, ,0 4,91-400,00 4, ,15 0, ,0 4,82-400,00-7, ,91 0, ,0 4,50-400,00-19, ,61 0, ,0 3,97-400,00-31, ,58 0, ,0 3,23-400,00-44, ,12 0, ,0 2,29-400,00-58, ,35 0, ,0 1,20-400,00-72, ,79 0, ,0 0,00-400,00-87,50 801,00 0, Segundo exemplo de utilização do programa No segundo exemplo, é feita a verificação do pilar engastado-livre, conforme apresentado na Figura 3.2. Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 22

25 Figura Pilar verificado no exemplo 2 O arquivo de entrada de dados utilizado é o seguinte valor para pilar engastado-livre número seções analisadas comprimento total do pilar coeficiente de fluência "A" tipo de aço, fyk, Es, fck 5 2 seção 1: número vértices seção de concreto número de barras de armadura Pv(x), Ph(x), M(x), p(x) uma linha para cada vértice da poligonal fechada, indicando suas coordenadas seção seção Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 23

26 seção seção seção seção seção seção Ao rodar o programa, aparecerá, na tela do computador, a saída de resultados da forma seguinte resultados da iteracao 15 x y(x) N(x) V(x) M(x) b(x) Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 24

27 1 0,0-10, ,00 20, ,00 0, ,0-7, ,00 20, ,88 0, ,0-5, ,00 20, ,86 0, ,0-3, ,00 20, ,97 0, ,0-2, ,00 20, ,83 0, ,0-1, ,00 20, ,78 0, ,0-0, ,00 20, ,32 0, ,0-0, ,00 20, ,59 0, ,0 0, ,00 20, ,07 0, Terceiro exemplo de utilização do programa 3.3. No terceiro exemplo, é feita a verificação de outro pilar engastado-livre, conforme apresentado na Fig. Figura Pilar verificado no exemplo 3 O arquivo de entrada de dados utilizado é o seguinte "A" Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 25

28 Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 26

29 Ao rodar o programa, aparecerá, na tela do computador, a saída de resultados da forma seguinte resultados da iteracao 20 x y(x) N(x) V(x) M(x) b(x) 1 0,0-24,51-160,00 35,00 0,00 0, ,0-18,42-160,00 35, ,75 0, ,0-13,10-640,00 38, ,18 0, ,0-9,53-640,00 38, ,63 0, ,0-6,44-640,00 38, ,61 0, ,0-3,80-640,00 38, ,66 0, ,0-1,77-640,00 38, ,94 0, ,0-0,46-640,00 38, ,82 0, ,0 0,00-640,00 38, ,61 0, Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 27

30 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto: NBR6118. Rio de Janeiro, CAMPOS FILHO, A. Dimensionamento e verificação de seções poligonais de concreto armado submetidas à flexão oblíqua composta. Porto Alegre, PPGEC/UFRGS COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Manual of Buckling and Instability. Paris, 1978 (Bulletin d Information, 123). COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Codes of Practice for Structures, Volume I: Common unified rules for different types of construction and materials. Volume II: CEB-FIP Model Code for Concrete Structures. Paris, 1978 (Bulletin d Information, 124/125). COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Bending and Compression. d Information, 141). COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Buckling and Instability. d Information, 155). Paris, 1981 (Bulletin Paris, 1983 (Bulletin COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Model Code Lausane, 1991 (Bulletin d Information, 203/204/205). DUMONT, N.A. & MUSSO JR., F. Dimensionamento e verificação de seções de concreto armado e protendido e verificações da estabilidade de vigas-colunas no estado limite último com o uso de microcomputadores. Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil da PUC/RJ, FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: solicitações normais. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, HOFFMANN, J.R. Pilares esbeltos de concreto armado: método exato. Porto Alegre, Curso de Pós- Graduação em Engenharia Civil, UFRGS, CT Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 28