APOSTILA 2015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA - 2º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR

APOSTILA 05 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

Sumário.Sequências...4. Sequências numéricas.... Progressão Aritmética...6. Classificação de uma P.A...6. Termo geral de uma P.A...6. Propriedades de uma P.A...7.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.A...0.Progressão Geométrica.... Fórmula do termo geral.... Propriedades principais...4. Soma dos n primeiros termos de uma P.G...6.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.G infinita...6 4. Matrizes...9 4. Representação genérica de uma matriz...9 4. Lei de formação de uma matriz...0 4. Tipos de matrizes...0 4.4 Operações com matrizes...5 4.5 Matriz inversa... 5. Determinantes...4 5. Determinante de ordem...4 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

5. Regra de Sarrus...4 5. Teorema de Laplace...6 6. Sistemas Lineares...4 6. Equações lineares...4 6. Sistemas lineares...4 6. Método do escalonamento...4 6.4 Matrizes associadas a um sistema linear...4 6.5 Regra de Cramer...44 7. Trigonometria na circunferência...5 7. Arcos e ângulos...5 7. Medidas de arcos e ângulos...54 7. Conversão entre graus e radianos...54 7.4 Comprimento da circunferência...55 7.5 Congruência de arcos...55 7.6 Razões trigonométricas...59 7.7 Funções trigonométricas...6 7.8 Outras razões trigonométricas...67 7.9 Relações trigonométricas...69 Eercícios de vestibulares...7 Referências bibliográficas...06 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

. Sequências Em nossas aulas estudaremos as sequências, na qual seus elementos estão dispostos em uma determinada ordem pré-estabelecida.. Sequências numéricas Os elementos de uma sequência numérica devem ser apresentados entre parênteses, conforme os eemplos abaio: (, 4, 6, 8, 0,,... ) é uma sequência de números pares positivos. (0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,...) é uma sequência de números naturais. (0, 0, 0, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 0. (0, 5, 0, 0,5,40) é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 45. Eistem dois tipos de sequências, as sequências finitas e as sequências infinitas: Sequência finita é uma sequência numérica na que tem um último elemento, ou seja, tem fim, como por eemplo, a sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 45. Sequência infinita é uma sequência que não possui um último termo, ou seja, seus elementos seguem ao infinito, por eemplo: a sequência dos números naturais. Denominamos o primeiro termo de uma sequência numérica por a, o segundo termo por a, o terceiro por a e assim segue. O último elemento de uma sequência finita é representado por a n. A letra n determina o número de elementos da sequência. (a, a, a, a4,..., an,... ) sequência infinita. (a, a, a, a4,..., an) sequência finita. Os elementos de uma sequência numérica são determinados por uma lei matemática. Por eemplo: Determine os cinco primeiros elementos de uma sequência tal que a n = n +, n N*. a =.() + = + = a =.() + = 4 + = 5 a =.() + = 6 + = 7 a 4 =.(4) + = 8 + = 9 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 4

a 5 =.(5) + = 0 + = Portanto, a sequência será: (,5,7,9,). Eercícios sobre sequências numéricas - Escreva os cinco primeiros termos das sequências cujos termos gerais estão epressos a seguir: a) a n n b) c) an a n n n n - Escreva os quatro primeiros termos da sequencia a () n. n. - Calcule o 5º termo da sequência cujo termo geral é: a n. n 4- Calcule o 0º termo da sequência cujo termo geral é: a n. n 5- Obtenha o décimo quarto termo da sequência em que A n n 0. 6- Determine o quarto termo da sequência, em que n A n.5. n 7- Determine os sete primeiros termos de uma sequência tal que a 0. n 8- Determine o 5º termo da sequência a ( ) n. n 9- Qual a posição do termo de valor 0 na sequência dada por a 6n? n MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 5

0- Qual a soma dos quatro primeiros termos da sequência dada por an n.( ) n?. Progressão Aritmética Denominamos Progressão Aritmética (ou PA) qualquer sequência numérica cujo termo seguinte, é igual ao anterior somado com um valor constante, denominado razão. Por eemplo: (, 5, 8,, 4, 7,...) é uma PA de razão.. Classificação de uma P.A: Uma progressão aritmética é dita crescente se um termo qualquer for maior que seu anterior, ou seja: a n > a n-. Uma progressão aritmética é dita decrescente se um termo qualquer for menor que seu anterior, ou seja: a n < a n-. Outra forma de determinar se a PA é crescente ou decrescente é a partir da sua razão, se r > 0 a PA é crescente, se r < 0 a PA é decrescente.. Termo Geral de uma PA Considere a PA genérica (a, a, a,..., a n,...) de razão r. Conforme a definição, um termo é a = a +.r a = a + r = (a + r) + r = a + r a4 = a + r = (a + r) + r = a + r a n = a n- + r = a n = a + (n ). r Denominamos a epressão: a n = a + (n ). r como o termo geral da PA. Onde a n é o termo de ordem n (n-ésimo termo), r é a razão e a é o primeiro termo da Progressão Aritmética. Cálculo da Razão de uma PA: Para saber a razão de uma PA qualquer (a, a, a,..., a n,...), podemos utilizar uma das epressões utilizadas para determinar o termo geral da PA: MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 6

a n = a n- + r r = a n - a n- Dessa maneira podemos deduzir que a razão é obtida a partir da diferença entre quaisquer termos consecutivos, como por eemplo: r = a n a n - = a n- a n - = = a a = a a Eemplos: Qual o centésimo termo da PA (, 5, 9,, 7,...)? Primeiro termo: a = Razão: r = a a =5 = 4 Como queremos o centésimo termo, n = 00 Para calcular o centésimo termo, utilizaremos a epressão que nos dá o Termo Geral da PA. a n = a + (n ). r a 00 = + (00 - ). 4 = + 99.4 = + 96 = 97. Portanto 97 é o centésimo termo da PA. Qual o número de termos da PA: (00, 98, 96,..., )? Como queremos saber o número de termos da PA, sabemos que esse número é dado por n, então essa é a incógnita que queremos encontrar. Temos a = 00, r = 98-00 = - e a n = Substituindo na fórmula do termo geral, temos: = 00 + (n - ). (- ) - 00 = - n + - 00 - = - n - 80 = - n n= 40 Portanto, a PA possui 40 termos.. Propriedades de uma P.A P. Cada termo de uma PA pode ser dado pela média aritmética entre seu anterior e seu posterior. Eemplo: MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 7

. PA: (m, n, r); pela propriedade acima, temos:.. Na PA (,,) calcule o valor de. Pela propriedade anterior, temos: P. A soma dos termos equidistantes dos etremos de uma PA é constante.. Eemplo: PA: (a, b, c, d, e, f), pela propriedade, temos: a+f = b+ e = c + d. Qual o segundo termo da PA (,t,5,,7) Pela propriedade anterior, temos: t+ = +7 t+ = 0 t = 0 t = 9 Eercícios sobre Progressão Aritmética - Escreva: a) Uma P.A de oito termos em que a 6 e r 4. b) Uma P.A de sete termos em que a 4 e r. r. c) Uma P.A de quatro termos em que a a e a - Calcule o número real de modo que a sequência (+, -, +,...) seja uma P.A. - Encontre o termo geral das seguintes Progressões Aritméticas: a) (, 7,...) b) (, 9,...) c) (-,,...) d) (,5,...) MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 8

7 e),,... 4 4- Qual é o décimo quarto termo da P.A(4,0,...)? 5- Qual é o quadragésimo número natural ímpar? 6- Qual é o nono termo da P.A ( a, a m, a 4m,...)? 7- Calcule três números em P.A tais que sua soma seja 6 e seu produto 4. 8- Escreva uma P.A de três termos, de modo que a sua soma seja igual a - e seu produto seja igual a 8. 9- Obtenha três números em P.A de modo que sua soma seja e seu produto 48. 0- Um estacionamento no centro de São Paulo cobra R$ 0,00 pela primeira hora de estacionamento. A partir da segunda, há um decréscimo dos preços segundo uma progressão aritmética. O preço da segunda hora é R$ 8,00 e o preço da quarta hora é R$,00. Assim, se um automóvel ficar estacionado 6 horas nesse estacionamento, qual valor deverá ser pago pelo proprietário do carro estacionado? - Numa P.A de razão 5, o primeiro termo é igual a 4. Qual é a posição do termo igual a 44. - Considere a P.A(00, 9, 86,...). Determine a posição do termo de valor 7. - Quantos termos tem a P.A(4,7,0,...,57)? 4- Quantos termos tem a P.A(-,,...,86)? 5- Interpole cinco meios aritméticos entre 6 e 0. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 9

6- Interpole oito meios aritméticos entre 6 e -. 7- Insira cinco meios aritméticos entre -5 e. 8- Insira quatro meios aritméticos entre 0 e. 9- Quantos múltiplos de 4 eistem entre 5 e 00? 0- Quantos números ímpares há entre 8 e 7? - Um corpo, em queda livre, percorre 4,9m durante o º segundo. Depois disso, em cada segundo percorre sempre 9,8m a mais do que no segundo anterior. Quantos metros o corpo percorrerá em 8 segundos? - Quantos são os múltiplos de 6 compreendidos entre 00 e 000? - Determine quantos múltiplos de eistem entre e 00. 4- Quantos múltiplos de 5 eistem entre 00 e 500? 5- Quantos múltiplos de 6 maiores que 7 e menores que 97 eistem?.4 Soma dos n primeiros termos de uma PA Seja a PA genérica (a, a, a,..., a n-, a n ). A soma dos n primeiros termos S n = a + a + a +... + a n- + a n, pode ser deduzida a partir da propriedade P: Temos: S n = a + a + a +... + a n- + a n MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 0

Aplicando a propriedade P: S n = (a + a n ) + (a + a n- ) +... + (a n + a ) Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor (são iguais à soma dos termos etremos a + an), de onde concluímos inevitavelmente que:. Sn = (a + an). n, onde n é o número de termos da PA. Daí então vem finalmente que: Eemplo: Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.A(4,7,0,...). A n A A 0 0 A 4 9. ( n ). r S S S n n 0 ( a an ). n (4 ).0 75 Eercícios sobre soma dos termos de uma P.A 6- Calcule a soma dos trinta primeiros números ímpares positivos. 7- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.A(7,4,...). 8- Calcule a soma dos cem primeiros números naturais pares. 9- Determine a soma dos 5 primeiros termos da P.A (-7,-9,-,...). MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

40- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.A em que o primeiro termo é e a razão. A e 4- Obtenha a soma dos vinte primeiros termos de uma P.A, sabendo que r. 4- Calcule a soma dos múltiplos positivos de 4 formados por dois algarismos. 4- Calcule a soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 6 e 9. 44- Obtenha a soma dos múltiplos de entre e 00. 45- Calcule a soma dos números ímpares compreendidos entre 00 e 58. 46- Calcule a soma dos números pares compreendidos entre 00 e 57. 47- Determine a soma dos números pares positivos, menores que 0. 48- Qual é a soma de todos os números pares positivos de a 450? 49- Determine a epressão que fornece a soma dos n primeiros números ímpares positivos. 50- (FGV-SP) Epaminondas corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendose que ao final de 5 dias ele correu um total de 67500 metros, quantos metros ele percorreu no final do º dia? MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

. Progressão Geométrica Entenderemos por progressão geométrica -PG - como qualquer sequência de números reais ou compleos, onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão. Eemplos: (,,4,8,6,,... ) PG de razão (5,5,5,5,5,5,5,... ) PG de razão (00,50,5,... ) PG de razão / (,-6,8,-54,6,...) PG de razão -. Fórmula do termo geral Seja a PG genérica: (a, a, a, a 4,..., a n,... ), onde a é o primeiro termo, e a n é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever: a = a. q a = a. q = (a. q). q = a. q a 4 = a. q = (a. q ). q = a. q...... Infere-se (deduz-se) que: a n = a. q n-, que é denominada fórmula do termo geral da PG. Genericamente, poderemos escrever: a j = a k. q j-k Eemplos: a) Dada a PG (, 4, 8,...), pede-se calcular o décimo termo. Temos: a =, q = 4/ = 8/4 =... =. Para calcular o décimo termo ou seja a 0, vem pela fórmula: a 0 = a. q 9 =. 9 =. 5 = 04 b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 0 e o oitavo termo é igual a 0. Qual a razão desta PG? Temos a 4 = 0 e a 8 = 0. Logo, podemos escrever: a 8 = a 4. q 8-4. Daí vem: 0 = 0. q 4 Então q 4 =6 e portanto q =. Nota: Uma PG genérica de termos, pode ser epressa como: (/q,, q), onde q é a razão da PG. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

. Propriedades principais P - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior. Eemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G) Temos então: B = A. C; C = B. D; D = C. E; E = D. F etc. P - o produto dos termos equidistantes dos etremos de uma PG é constante. Eemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G) Temos então: A. G = B. F = C. E = D. D = D Eercícios sobre P.G 5- Escreva: a) Uma P.G de cinco termos em que A e b) Uma P.G de cinco termos em que 5 q. A e q. 5- Determine de modo que a sequência (+6, -, -4,...) seja uma P.G. 5- A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado formam, nessa ordem, uma P.G. Quanto mede o lado desse quadrado? 54- Encontre três números em P.G, sendo 6 a sua soma e 6 o seu produto. 55- Três números reais formam uma P.G de soma e produto 7. Determine esses números. 56- Encontre o termo geral da P.G(, 5,...). 57- Calcule: 4 a) O quinto termo da P.G,4,,.... b) O décimo termo da P.G (8,-6,,...). 58- Determine o oitavo termo da P.G (,,,...). 64 6 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 4

59- Insira seis meios geométricos entre e 84. 60- Insira sete meios geométricos entre e 768. 6- Insira cinco meios geométricos entre 4 e 56. 6- Insira três meios geométricos entre 9 e. 9 6- Determine o primeiro termo de uma P.G em que A 7 50 e q 5. 64- Quantos termos eistem na P.G(, 6,..., 56)? 65- Quantos termos eistem na P.G(, 6,..., 07)? 66- Em uma P.G cujo º termo é e a razão é -, qual é a posição do termo -486? 67- Calcule a razão de uma P.G, sabendo que A 5 405, A 5 e que a P.G possui 5 termos. 68- Numa P.G, dados A, q 5 e A 50, calcule n. n 69- Quantos termos possui a P.G onde A 6, 84 A e n q. 70- Em uma colônia de bactérias, uma bactéria divide-se em duas a cada hora. Determinar o número de bactérias originadas de uma só bactéria dessa colônia depois de 5 horas. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 5

. Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a, a, a, a 4,..., a n,...). Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S n, vamos considerar o que segue: S n = a + a + a + a 4 +... + a n- + a n Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: S n. q = a. q + a. q +... + a n-. q + a n. q. Logo, conforme a definição de PG podemos reescrever a epressão acima como: S n. q = a + a +... + a n + a n. q Observe que a + a +... + a n é igual a S n - a. Logo, substituindo, vem: S n. q = S n - a + a n. q Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma: Se substituirmos a n = a. q n-, obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja: Eemplo: Calcule a soma dos 0 primeiros termos da PG (,, 4, 8,...) Temos: Observe que neste caso a =..4 Soma dos termos de uma PG infinita Considere uma PG ILIMITADA (infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos a n = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos: MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 6

Eercícios sobre soma dos termos de uma P.G 7- Calcule a soma dos 0 primeiros termos da P.G(-5, -5, -5,-5,...). 7- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.G,,,...., 7- Determine a soma dos termos da P.G (-8, -6, -, -64, -8, -56, -5). 74- Considere a P.G(7, 4, 8, 56,...). Calcule a soma dos oito primeiros termos dessa P.G. 75- Calcule a soma dos 0 primeiros termos da P.G(, 6,,...). 76- Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G(, 4, 8,...). 77- Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G(,, 9,...). 78- Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G(-, -6, -,...). 79- Determine a soma dos dez primeiros termos da P.G(000, 00, 0,...). 80- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.G(, 6, 8,...). 8- Quantos termos tem a P.G finita (,, 9,..., ), se a soma de todos os seus termos é 09? 0 8- Calcule a soma dos 9 primeiros termos da P.G(,,,...). 0 8- Calcule a soma dos 5 primeiros termos da P.G(,,,...). MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 7

84- Calcule a soma 4 6 8 0. 85- Determine a soma de cada P.G infinita: a),,,... 6 8 b),,,... c) 00,50,5,... a a d) a,,,... 4 86- Calcule a soma dos infinitos termos da P.G(, 8,,...). 87- A soma dos termos da P.G (5,5a,5 a,5a,...) é. Determine o valor de a. 88- Escreva a fração geratriz das seguintes dízimas: a) 0,555... b) 0,... c),44... d) -,66... 89- Determine a fração geratriz da dízima periódica,49494949... 90- Qual é a geratriz da dízima periódica,78888... MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 8

4. Matrizes As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Na álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Chamamos ordem de uma matriz a relação entre linhas e colunas, uma matriz que tenha n linhas e m colunas é uma matriz da ordem n m, para obter o número de elementos de uma matriz, basta multiplicar m.n. Observe os eemplos de matrizes abaio:, matriz de ordem. ( linhas e coluna), o número de elementos dessa matriz é = 4 5 6 = 6, matriz de ordem. ( linhas e colunas), o número de elementos dessa matriz é 4, matriz quadrada de ordem. O número de elementos dessa matriz é = 4 4. Representação genérica de uma matriz Seja A uma matriz qualquer de ordem m n, podemos representar A por: Ou também, o índice de coluna., onde i {,,m} é o índice de linha e j {,, n} é Quanto aos elementos de cada matriz lê-se: a : A um, um. a : A um, dois. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 9

A : A dois, um. a mn : A m, n. 4. Lei de formação de uma matriz Chamamos lei de formação de uma matriz, a sentença matemática que determina quais serão cada um dos elementos da mesma, definida da maneira: (a ij ) m n Lei de Formação Por eemplo: temos que: (a ij ) = j i, é uma matriz onde cada elemento é obtido através da lei j i, vamos resolver a lei para cada elemento da matriz: (a )= () = = (a )= () = 4 = (a )= () = 6 = 5 (a )= () = = 0 (a )= () = 4 = (a )= () = 6 = 4 Logo a matriz a a a 5 A a a a 0 4 4. Tipos de matrizes Matriz linha: Qualquer matriz com uma única linha. Esse tipo de matriz pode tem sempre ordem m. Por eemplo, a matriz A =[,,, 4], do tipo 4. Matriz coluna: Qualquer matriz com uma única coluna. Esse tipo de matriz pode tem sempre ordem m. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 0

Por eemplo, a matriz B do tipo. Matriz quadrada: Chamamos matriz quadrada de ordem n a toda matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas. Por eemplo, a matriz quadrada de ordem. 8 C é do tipo, isto é, Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n +. Veja: Observe a matriz a seguir: a = - é elemento da diagonal principal, pis i = j = a = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + ( + = + ) Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0 m n. Por eemplo,. Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por eemplo: MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a e os demais são nulos; é representada por I n, sendo n a ordem da matriz. Por eemplo: Assim, para uma matriz identidade. Matriz transposta: matriz A t por colunas ou as colunas por linhas. Por eemplo: obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas Desse modo, se a matriz A é do tipo m n, A t é do tipo n m. Note que a ª linha de A corresponde à ª coluna de A t e a ª linha de A corresponde à ª coluna de A t. Eercícios sobre construção e definição de matrizes 9- Dada a matriz: MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

A 8 0 4 4 5 a- Qual é a sua ordem? b- Quantos elementos ela possui? c- Dê o valor dos seguintes elementos: a, a, a, a. d- Calcule o valor de a a a a. e- Ela é uma matriz quadrada? Justifique 9- Dê o tipo de cada matriz: a) 8 7 9 b) 4 0,5 c) 4 9 8 5 7 6 6 d) 5 8 7 5 9 6 0, 7 6 8 4 7 5 6 ( ) 9- Construa a matriz A= ij a, sendo i j a ij. ( ) 94- Construa a matriz A= ij a, sendo i j. a ij MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

( a ) 95- Construa a matriz A= ij, sendo a ij i j. C ( c ij ) 96- Construa a matriz, com c ij i j. 97- Determine a matriz A= ( a ij ) tal que: a) aij 0, se i j e aij, se i j. b) a ij i, se i j e a ij j, se i j. 98- Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal ( a ij ) secundária da matriz A em que i j. a ij 99- Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 6? 00- Dê a matriz transposta de: a) A 6 b) 0 B 7 5 c) C 8,5 0 8 0, 8 4 7 6 0 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 4

4.4 Operações com Matrizes Igualdade de matrizes Sejam A e B duas matrizes reais, temos que A e B serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Logo teremos: Eemplo: determine e y para que as matrizes A e B sejam iguais 4 A, B y 5 8 5, Solução: 4 y 8 y 0 Adição de matrizes Assim como nos números, equações e funções que vimos até agora, podemos realizar algumas operações com matrizes e a soma é uma delas, podemos somar duas matrizes desde que elas sejam de um mesmo tipo. Sejam A e B duas matrizes de ordem m n, chamamos matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B. Sejam as A e B as matrizes abaio, vamos definir A + B: A a a a e B b b b a a a b b b a a a b b b a b a b a b A B a a a b b b a b a b a b MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 5

Eemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B: 4 9 5 9 A e B 8 6 Solução: 4 9 5 9 4 5 9 ( 9) A B = 8 6 8 ( 6) ( ) = 5 0 AB -4 Propriedades da adição Sendo A, B, C e O (matriz nula) são matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades: - Comutativa: A+B = B+A - Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C - Elemento neutro: A+O = O+A = A Subtração de matrizes Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferença (A-B) a matriz obtida subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B. Sejam as A e B as matrizes abaio, vamos definir A - B: a a a A e B b b b a a a b b b MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 6

a a a b b b a b a b a b A B a a a b b b a b a b a b Eemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B: 4 9 5 9 A e B 8 6 Solução: 4 9 5 9 4 5 9 ( 9) A B = 8 6 8 ( 6) ( ) = 9 8 AB 4 0 Multiplicação de uma Matriz por um número escalar Seja k um número escalar real qualquer, definimos que a multiplicação de k por uma matriz A será dada pela multiplicação de cada elemento de A pelo número real k, assim: a a a a a a k. a k. a k. a A k. A k. a a a a a a k. a k. a k. a Eemplo: seja A, a matriz dada abaio, calcule.a: A 4 0 Solução:.( ).. A. 4 0.( 4).0 0 Matriz oposta MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 7

Chama-se matriz oposta de A a matriz A, cuja soma com A resulta na matriz nula. A matriz oposta é a multiplicação de uma matriz A por (-), Então: a a a a a a a a a A A ( ). A ( ). a a a a a a a a a Eemplo:. Obtenha A, dada a matriz A 9, Então: A ( ) A ( ) 9 9 Observe que, sempre que tivermos uma matriz oposta A+(-A) = O (Matriz Nula) Solução Temos acima que: A e -A 9 9, Então: ( ) 0 0 A ( A) O (Matriz Nula) 9 9 ( ) 9 9 0 0 Multiplicação de matrizes Sendo A uma matriz do tipo mn e B uma matriz do tipo np, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz: Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e, a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaio: MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 8

O produto entre duas matrizes A e B é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim: O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade (I). Eercícios sobre operações com matrizes 0- Calcule os valores de e y nas seguintes igualdades: a) 6 6 6 y 8 5 y b) 0 0 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 9

00 c) y 6 8 6 0 A 4 0- Dada a matriz 0 matriz A com a sua transposta., obtenha a matriz X tal que a matriz X seja a soma da 0- Considere as seguintes matrizes: A, definida por i j ( a ij ) a ij elemento C da matriz C A B. e ( b ij ) B, definida por i j b ij. Determine o 04- Dada a matriz 4 A, determine A T I. 0 0 5 ( a ij ) 05- Sendo A B. A tal que i j e B ( b ij ) tal que i j a ij b ij, calcule 7 06- Se A e B 4 6 0, determine a matriz X em cada caso: a) A X B b) X B A c) X B A d) A X B 0 0 07- Dadas as matrizes A e B, calcule C B A dos elementos da diagonal principal dessa matriz.. Calcule o produto MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 0

08- Dadas as matrizes: A 6 4 e 5 B determine: a) B A b) A B c) T T A B d) A. B e) B. A f) A g) B 0 09- Dada a matriz A, determine A. A 0. 0- Dada a matriz A 0 0 0 0 0, calcule A. - (UFRJ) Seja A 0. Determine o valor de A. 4 4 - Dadas as matrizes M, N 4 e 4 5 ( M N). P. P, calcule 4 - São dadas as matrizes A e 0 B. a) Calcule A. B. b) Calcule B.A. c) Calcule A. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

4.5 Matriz Inversa Considere que A é uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos A de uma matriz inversível se eistir uma matriz B, tal que: AB B A I n Nessas condições dizemos que B é inversa de A, e indicamos por A -. Eemplos: Determine a Inversa de A, dado: A 4 Temos que A -, é uma matriz quadrada de ordem, com elementos ainda desconhecidos, portanto: a b A c d, tal que A A I, então: a b 0 a c b d 0 A A 4 c d 0 4a c 4b d 0 Para identificarmos a, b, c e d precisamos resolver, baseados no conceito de igualdade de matrizes: a6c a, c 5 a c 0 5 5 b6d 0 b, d 5 b d 5 0 Portanto 5 5 A 5 0 Eercícios sobre matriz inversa 4- Calcule a matriz inversa de: MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

8 a) B 5 0 b) D 5- Dada a matriz A T, determine a matriz X tal que: X A A. 6- São dadas as matrizes A e B 7 5. Calcule A. B A. 7- Calcule ( A A ), sendo A. 4 5 8- Dada a matriz A, determine o valor de A A. 9- Calcule a matriz inversa de B sua inversa é igual à matriz identidade.. Prove que a multiplicação da matriz B pela 0 0- Dadas as matrizes A e M : a) Determine M. b) Determine o traço da matriz M. A. M, sabendo que o traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05

5. Determinantes Uma das partes mais interessantes do estudo de matrizes são os Determinantes, esses são a associação de uma matriz quadrada com um número real, através dos determinantes podemos definir se uma matriz tem ou não matriz inversa, de forma que caso o determinante de uma matriz A seja igual a 0 (zero) a matriz A não é inversível. Para representação do determinante temos a inserção de uma nova simbologia. O determinante de uma matriz A, será dado como abaio: Seja a b A c d uma matriz, seu determinante será representado por det a b A c d. 5. Determinante de ordem Seja A uma matriz quadrada de ordem, o valor do determinante será dado por: a b a b A det A a d b c c d c d 5. Regra de Sarrus Para obter o determinante de uma matriz quadrada de ordem, podemos utilizar a regra de Sarrus, para definirmos a regra de Sarrus vamos primeiro às definições de Diagonal Principal e Diagonal Secundária. Na figura abaio temos as duas diagonais destacadas, de maneira que: Diagonal principal: a, a e a. Diagonal secundária: a, a, a. Para aplicação prática da regra de sarrus, devemos repetir as duas primeiras colunas do determinante e traçar a partir delas três diagonais principais e três diagonais secundárias. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 4

O determinante será calculado por meio da diferença entre a soma do produto das três diagonais principais e a soma do produto das três diagonais secundárias. Conforme abaio: Somatório da Diagonal principal (a. a. a ) + (a. a. a ) + (a. a. a ) Somatório da Diagonal secundária (a. a. a ) + (a. a. a ) + (a. a. a ) Cálculo do Determinante D = {(a. a. a ) + (a. a. a ) + (a. a. a )} {(a. a. a ) + (a. a. a ) + (a. a. a )} Eemplo:. Calcule o determinante de A 0 4 utilizando a regra de Sarrus: Det( A) 0 0 4 4 Somatória das diagonais principais: p [.( ).4] (.0.) (..) 0 0 Somatória das diagonais secundárias: s (..) (.0.) [.( ).( )] 6 0 8 Regra de Sarrus: Det(A) = p s =0 8= -8 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 5

5. Teorema de Laplace O teorema de Laplace consiste num método de calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n utilizando o cofator. Lembrando que o cofator do elemento a ij de uma matriz quadrada é o número: Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n utilizando o Teorema de Laplace, devemos proceder da seguinte forma:. Escolha qualquer fila (linha ou coluna) da matriz M.. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator.. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M será a soma dos produtos dos elementos da fila pelos seus respectivos cofatores. Como já dispomos de métodos práticos para o cálculo do determinante de matrizes quadradas de ordem e, é interessante aplicar o Teorema de Laplace para matrizes de ordem maior ou igual a 4. Para melhor eplicação do método vamos a um eemplo numérico de sua aplicação. Eemplo. Calcule o determinante da matriz abaio utilizando o dispositivo prático de Sarrus e o Teorema de Laplace. Solução Devemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz M. Nesse caso, escolheremos a linha. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 6

Agora, multiplicaremos cada elemento da linha pelo seu respectivo cofator: Logo, o determinante será a soma desses produtos, ou seja: D = 6 + +( ) = 4. Observe que nesse caso o dispositivo prático de Sarrus torna o cálculo do determinante bem mais simples que o Teorema de Laplace, como foi dito anteriormente. Eercícios sobre determinantes - Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes: a) A b) B 4 4 c) C 6 6 4 d) D e) E 6 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 7

f) F ( a ij ) - Calcule o determinante da matriz A tal que a ij i j. - Se A, encontre o valor do determinante de A. A 0. 4- (Vunesp-SP) Dadas as matrizes A e B 4 matriz A. B., calcular o determinante da 5- Resolva as equações: 5 7 a) 0 b) c) 4 8 d) 4 4 0 6- Utilizando a Regra de Sarrus calcule o determinante das seguintes matrizes: a) 5 A 4 4 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 8

b) 0 B 4 0 5 c) C 7 0 8 5 4 5 7- Calcule o determinante das matrizes: A tal que A ij i j ( A ij ) a) ( B ij ) b). B tal que B ij i j ( C ij ) c). C tal que i j C ij. A ( A ij ) 8- Se tal que a ij i j, calcule o valor de det A e t det A. 9- Determine o valor de para que: a) 4 0 b) 5 0 4 c) 4 0 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 9

0- Para que valores de o determinante 0 0 0 0 é positivo? - Dada a matriz A 0 4, determine: a) cof a ) ( b) cof a ) ( c) cof a ) ( d) cof a ) ( e) cof a ) ( f) cof a ) ( - Dada a matriz A 0 4 6 5 6, determine a soma dos cofatores dos elementos da ª linha. - (UFSC) Dada a matriz 0 5 A 4 8 4 0 0 7 0 0 0, calcule o determinante dessa matriz. 4- Utilizando o Teorema de Laplace calcule o determinante das seguintes matrizes: 4 a) A 7 8 4 b) B 5 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 40

MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 4 c) 4 0 0 0 C d) 0 0 0 D e) 0 0 0 4 0 0 E 5- Resolva as equações: a) 0 0 0 0 5 b) 0 5 0 7 0 4 6 0 0 4 0

6. Sistemas Lineares 6. Equações lineares Chamamos equações lineares a toda equação da forma: a + a + a +... + a n n = b de maneira que a, a, a,..., a n são números reais, que são chamados coeficientes das incógnitas,,,..., n, e b é um número real chamado termo independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea). Seja k o grau das incógnitas, a equação é denominada linear, se e somente se, k =. Eemplos. São equações lineares a) + y = b) y = 0 c) y + = 7. Não são equações lineares a) ² - 4 = - b) ³ y = 7 c) ² + y² = 6. Sistemas lineares Um conjunto de equações lineares da forma: é denominado um sistema linear de m equações e n incógnitas. Um sistema linear tem n soluções, representadas pela n-upla de números reais (r, r, r,..., r n ) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 4

MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 4 Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções da seguinte forma: Sistema linear possível: quando admite solução. Sistema linear impossível: quando não admite solução. Um sistema linear possível pode ser classificado em: Determinado: quando admite uma única solução. Indeterminado: quando admite infinitas soluções. 6. Método do escalonamento Um sistema linear é dito escalonado quando está disposto nas seguintes formas: 0 4 y y 7 0 0 5 0 z y z y z y O processo de resolução de um sistema linear que envolve a eliminação de incógnitas é denominado método do escalonamento. Eemplo: Escalone e resolva o seguinte sistema linear: 9 5 8 4 y y. Primeiro multiplicamos a segunda equação por -4 para eliminamos a incógnita : 9 5 44 9 5 6 8 0 4 4 y y y y y y Como já achamos o valor de y, basta substituir esse valor na outra equação: y 6.4 Matrizes associadas a um sistema linear

Podemos associar determinadas matrizes a um sistema linear, sendo essas de dois tipos, a matriz incompleta e a matriz completa. Matriz incompleta Seja o sistema linear abaio: a b y c z d a b y c z d a b y c z d Podemos associar ao sistema dado uma matriz A, chamada incompleta, quando formada apenas pelos coeficientes das incógnitas, conforme abaio: a b c A a b c a b c Matriz completa Seja o mesmo sistema linear utilizado acima, podemos associar ao sistema dado uma matriz B, chamada matriz completa, de maneira que basta adicionar uma ultima coluna à matriz A, com os termos independentes de cada equação. a b c A a b c a b c 6.5 Regra de Cramer Consideremos um sistema linear de n equações e n incógnitas: a a a... an n b a a a... a b a a a... a b a a a... a b n n n n n n n nn n n MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 44

Como vimos esse sistema linear pode ser associado a uma matriz incompleta A, de maneira que cada um de seus coeficientes seja um elemento da matriz, seja a matriz A, eiste um determinante D, tal que: b a a a n b a a a n D b a a a n b a a a n n n nn a b a a n a b a a n D a b a a n a b a a n n n nn a a a b a a a b D a a a n b a a a b n n n n a a a a n a a a a n D a a a a n a a a a n n n nn Seja D i o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita i ( i =,,,..., n), pelos termos independentes b, b,..., b n, assim sendo: Segundo a regra de Cramer: Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D i, ou seja: i Di D Eemplos Para resolver um sistema linear pelo método de escalonamento, precisamos ter conhecimentos de algumas propriedades fundamentais dos sistemas lineares, pertinentes à equivalência de dois ou mais sistemas lineares.. A permutação entre as linhas de um sistema linear não alteram o sistema em si, uma vez que sua solução permanece a mesma. Eemplo Os sistemas de equações lineares y 7 5 y 5 y e y 7 São sistemas lineares equivalentes, fica óbvio que a dupla ordenada (, ) satisfaz a ambos. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 45

. Podemos multiplicar a um sistema linear qualquer valor k, e podemos garantir que seu resultado não será alterado. Eemplo Os sistemas de equações lineares y 7 y 7 5 y e 0 4y O segundo sistema tem a segunda linha sendo o dobro do sistema anterior, no entanto, afirmamos que esses sistemas lineares são equivalentes, a dupla ordenada (, ) satisfaz a ambos.. Um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T. Eemplo: Os sistemas 5 y 5 y 5 y e 9y -74 São obviamente, pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( - ). Seja o sistema de equações lineares: + y - z = (e) - y + z = (e) 4 + y - 5z = 6 (e) SOLUÇÃO: - Aplicando a transformação T, permutando as posições das equações e, vem: - y + z = + y - z = 4 + y - 5z = 6 - Multiplicando ambos os membros da equação, por (- ) - uso da transformaçãot - MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 46

somando o resultado obtido com a equação e substituindo a equação pelo resultado obtido - uso da transformação T - vem: - y + z = 7y - z = 6 4 + y - 5z = 6 - Multiplicando ambos os membros da equação por (-), somando o resultado obtido com a equação e substituindo a equação pela nova equação obtida, vem: - y + z = -7y + 5z = 6 5y - 7z =-8 4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem: - y + z = -5y+5z = 0 5y -49z =-6 5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem: - y + z = -5y+5z = 0-4z = -96 96 6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z= 4, ou seja, z = 4. 4 Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas: Teremos: - 5y + 5(4) = 0 y =. Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica: - + 4 = = 5. Portanto, = 5, y = e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 47

ordenado (5,,4) : S = { (5,, 4) } Verificação: Substituindo os valores de, y e z no sistema original, teremos: 5 + () - (4) = (5) - () + (4) = 4(5) + () - 5(4) = 6 o que comprova que o terno ordenado (5,4,) é solução do sistema dado. 6- Dada a equação 4 y 5 Eercícios sobre sistemas Lineares, determine a solução em que 5 y. 7- Verifique se (,-4,5) é solução da equação 5 y z 4. 8- Determine o valor de k para que (-, 0,) seja solução da equação y z 5 k. 9- Ache duas soluções da equação: y 0. 40- Calcule a, de modo que (-, a+, ) não seja solução da equação 4y z 0. 4- Verifique se cada um dos pares ordenados é solução para este sistema: a) (0,0,0) y z 0 y z 0 y z 0 MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 48

MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 49 b) (0,, -) c) (,,) 4- Quais as matrizes incompletas e completas dos sistemas abaio? a) 5 0 c b a c a c b a b) 5 4 0 t z y t z y t y t z y 4- Represente o sistema 5 y y na sua forma matricial e, depois, resolva-o. 44- Resolva os sistemas a seguir utilizando a Regra de Cramer: a) 6 5 4 4 y y b) 5 7 y y c) y y

MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 50 d) 9 z y z y z y e) 5 0 z y y z y f) 4 0 6 z y z y z y 45- Escalone, e resolva se possível, os sistemas: a) 6 y y b) 5 7 y y c) y y d) 4 6 y y 46- (Fuvest-SP) 8 6 5 4 4 z z y z y, o valor de é igual a:

a) 7 b) c) 0 d) - e) 47- A solução do sistema y 4z 5 y z 8 y z 7 é: a) (-, -,) b) (-,, -) c) (,-,-) d) (,, -) e) (,-,) 48- (FUVEST-SP) Dado o sistema linear abaio: 4z 7 y 8 y z Calcule o valor de y z. 49- A soma de dois números inteiros é 0 e a diferença entre eles é. Quais são esses números? 50- (Faap-SP) Ache dois números reais cuja soma é 9 e cuja diferença é 9. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 5

MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 5 5- Certa escola de ensino médio tem 07 alunos nas ª e ª séries, 74 nas ª e ª séries e 9 nas ª e ª séries. Qual o total de alunos dessa escola? 5- (UEL-PR) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00, dois artigos A mais um C custam R$ 05,00 e a diferença de preço entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual é o preço do artigo C? 5- Classifique os sistemas em impossível, possível e determinado ou possível e indeterminado: a) 5 4 5 y y b) 9 0 6 z y z y z y 54- Determine o valor de a para que o sistema 9 5 5 ay y seja possível e determinado. 55- Determine o valor de k de modo que o sistema k y y 6 seja impossível.

7. Trigonometria na circunferência Considere o ponto de origem do plano, e a partir dele uma medida denominada raio que mede uma unidade, sendo assim com o movimento de rotação do raio pela origem temos a circunferência trigonométrica. 7. Arcos e Ângulos Considere a circunferência de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B. Então, tomando um terceiro ponto M, distinto dos anteriores. A circunferência fica dividida em duas partes, cada uma das quais é um arco de circunferência: Arco de circunferência AMB, e Arco de circunferência AM'B. A partir de agora consideraremos apenas os arcos orientados do ciclo trigonométrico com origem no ponto A=(,0), que são chamados arcos trigonométricos. O ponto A=(,0) é chamado origem dos arcos. Os eios e y do sistema cartesiano dividem a circunferência trigonométrica em quatro quadrantes, que são partes iguais, com angulação 90º cada uma. Assim, na figura acima, I Q representa o primeiro quadrante, II Q o segundo quadrante e assim por diante. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 5

7. Medidas de arcos e ângulos Eistem maneiras diferentes de se medir ângulos e arcos, nesse curso utilizaremos as mais usuais, graus e radianos. Grau Graus é a forma como usualmente medimos ângulos, esses tem medida igual a /60 da circunferência que contém o arco. Assim sendo uma circunferência tem medida 60 o Radiano O radiano (notação: rad) é definido como a medida de um ângulo central subtendido por um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco. A circunferência toda contém π raios, o que significa que seu comprimento é igual a πr e que a medida dela (correspondente ao arco de uma volta) é de π rad. 7. Conversão entre graus e radianos Podemos relacionar determinados valores inicialmente em graus para radianos e vice-versa, para isso utilizaremos procedimentos matemáticos simples, sim a partir de uma regra de três simples podemos converter de graus para radianos e de radianos para graus, observe. Para todos os efeitos, temos que π r tem o mesmo valor que 60 o, assim sendo, temos facilmente que: πr = 80 o, utilizaremos essa notação e nossas conversões. Observe o eemplo: Eemplo. Converta 45 o em radianos: Solução: Considerando que as 80 o equivale a π rad, sabemos que 45 o tem um valor rad correspondente em radianos, assim sendo, podemos dizer: o 80 80 4 o 45 45 4 Então temos que 45 o equivalem a 4 rad.. Converta radianos em graus Solução: MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 54

Da mesma forma temos que πr = 80 o, então podemos relacionar as medidas de para graus. o 80 80 80 80. 60 Então, temos que radianos equivalem a 60o. 7.4 Comprimento da circunferência O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro foi concluído que a razão entre os comprimentos de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro será sempre uma mesma constante. E essa constante foi provada pelo matemático grego Arquimedes de Siracura que seria aproimadamente,4, e como esse valor não era eato foi estipulado que poderia ser representado pela letra do alfabeto grego, facilitando os cálculos. Sendo C o comprimento da circunferência, temos: circunferência. C.. r, onde r é o raio da 7.5 Congruência de arcos Dois arcos são considerados côngruos (ou congruentes) quando têm a mesma posição no círculo trigonométrico, diferindo-se apenas no número de voltas inteiras. Então, se um arco mede α rad, a epressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por α + kπ em que k Z. Na figura abaio eibimos vários arcos côngruos ao arco de 60º ou de π/ rad. Como por eemplo, temos um arco de 60º (ou π/ rad) MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 55

E abaio, seus côngruos: Para identificar os valores representantes na primeira volta de um ângulo côngruo, basta subtrair o valor de 60º quantas vezes forem necessárias, até que 0 60 o. Eemplo. Encontre o representante côngruo de 00º. Solução: Reduzindo uma volta: 00º - 60º = 840º Como 840 > 60, podemos continuar reduzindo. Reduzindo mais uma volta, temos: 840º - 60º = 480º. Repetindo o procedimento, temos: 480º - 60º = 0º. o Como 0 0 60 o, temos que o representante côngruo a 00º na primeira volta do ciclo trigonométrico é 0º. Eercícios sobre trigonometria na circunferência 56- Converta em radianos: MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 56

a) 0º b) 60º c) 0º d) 0º e) 5º f) 00º g) 5º h) 0º 57- Converta em graus: 4 a) rad b) rad 8 7 c) rad 6 d) rad 7 e) rad 4 58- Epresse: a) º para radianos b) 75º para radianos c) d) para graus 5 5 para graus 59- Um atleta percorre um terço de uma pista circular, correndo sobre a linha de uma circunferência. Determine a medida do arco percorrido em graus e radianos. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 57

60- Calcule o comprimento das seguintes circunferências: a) Raio igual a 0 cm b) Raio igual a 7,5cm c) Diâmetro igual a 8 cm d) Diâmetro igual a cm 6- Ronycleisson dá 8 voltas em torno de uma pista circular de diâmetro 8 m. Qual a distância percorrida por Ronycleisson? 6- A bicicleta é um veiculo com duas rodas presas a um quadro movido pelo esforço de um ciclista por meio de pedais. Em alguns lugares ela é bastante utilizada no dia a dia por ser um meio de transporte barato, ecológico e saudável. a) Se as rodas de uma bicicleta tiverem 60 cm de diâmetro, qual a distância, em metros, que ela percorrerá dando uma volta inteira? b) Se a roda dianteira der 600 voltas, quantos quilômetros a bicicleta percorrerá? 6- Determine a que quadrante pertencem os seguintes arcos: a) 00º b) 440º c) -640º d) e) f) 4 8 7 7 6 64- Quantas voltas completas dá e em que quadrante pára um móvel que, partindo da origem dos arcos, percorre, na circunferência trigonométrica, um arco de: MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 58

a) 80º? b) 50º? c) -00º? 7 d) rad 8? 65- (UFGD-MS) Um dispositivo mecânico pode girar no sentido horário e anti-horário, e um contador registra o ângulo, em graus, que mede o quanto o dispositivo girou em relação ao ponto de partida. Se o contador marca um ângulo de 5000º negativos, o ângulo positivo correspondente é: a) º b) 0º c) º d) 40º e) 8º 7.6 Razões trigonométricas Conhecemos as definições de seno, cosseno e tangente para o triângulo retângulo, agora iremos ampliar esses conceitos à área onde eles foram originalmente concebidos, o circulo trigonométrico, ou a circunferência de raio unitário. Seno No plano cartesiano consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante que determina um arco AM correspondente ao ângulo central a. Chamamos de seno do ângulo a, à medida da projeção ortogonal de AM no eio y, indicamos por sen(a). MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 59

O sinal dos senos será positivo no primeiro e segundo quadrante, e negativo no terceiro e quarto: Cosseno Considerando o mesmo sistema anterior, chamamos de cosseno do ângulo a, à medida da projeção ortogonal de AM no eio, indicamos por cos (a). O sinal dos cossenos será positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e terceiro: MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 60

Tangente Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(,0). Tal reta é perpendicular ao eio OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a. Quando o arco é apresentado no segundo ou terceiro quadrantes, podemos representá-los no primeiro ou quarto quadrante, dessa maneira, por eemplo, caso queiramos indicar a tangente de um ângulo a no segundo quadrante, basta ver tg (a + 80º), sendo que esses valores de tangente são equivalentes. Assim como os valores de um ângulo a no terceiro quadrante, são equivalentes aos valores da tangente no primeiro quadrante, nesse caso basta ver a tg (a - 80º). Com isso podemos deduzir que o sinal da tangente será positivo no primeiro e terceiro quadrante, e negativo no segundo e quarto. 7. Funções trigonométricas Podemos associar nossos conhecimentos adquiridos recentemente com funções, no caso das funções trigonométricas, essas têm um grupo específico de funções, as funções trigonométricas, que estudaremos de agora em diante. Função seno MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 6

Definição Denominamos função seno a função f:, que a cada número real, associa o seno desse número: f:, f() = sen Domínio de f() = sen ; D(sen ) =. Imagem de f() = sen ; Im (sen ) = [-,], pois o raio no círculo trigonométrico mede. Sinal da Função Assim como já vimos, referente ao sinal dos senos, o valor de sen() será positivo no primeiro e segundo quadrante, e negativo no terceiro e quarto, assim como em seus valores côngruos. Gráfico Chamamos ao gráfico da função seno de senóide, para sua construção podemos utilizar o meio de construção através de pontos notáveis e tabela. Função cosseno Definição Denominamos função cosseno a função f:, que a cada número real, associa o cosseno desse número: f:, f() = cos. Domínio de f() = cos ; D(cos ) = Imagem de f() = cos ; Im (cos ) = [-,]. Sinal da Função MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 6

O sinal de f() = Cos () será positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e terceiro quadrantes. Gráfico Chamamos ao gráfico da função cosseno de cossenóide, para sua construção podemos utilizar o meio de construção através de pontos notáveis e tabela. Função tangente Definição Denominamos função tangente a função f:, que a cada número associa a tangente desse número: f:, f() = tg. Domínio de f() = tg ; D(tg ) = / ½ Imagem de f() = tg ; Im (tg ) =. Sinal da Função O sinal da função tg () será positivo no primeiro e terceiro quadrante, e negativo no segundo e quarto. Gráfico MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 6

Chamamos o gráfico da função tangente de Tangentóide, também podendo ser construído ponto a ponto. Eercícios sobre seno, cosseno e tangente 66- Determine o valor do seno e do cosseno dos seguintes arcos: a) b) 40º c) 00º d) 5º e) 5º f) 50º g) 6 h) 7 i) j) 9 4 cos sen 4 sen cos 67- Calcule o número A. MATEMÁTICA - º ANO ENSINO MÉDIO REGULAR - 05 64