NÚMEROS REAIS 8º ANO Segmentos de reta incomensuráveis. Pontos irracionais da reta numérica. Nuno Marreiros Comensurável VS Incomensurável A medida pode ser comparada com um padrão. A medida não pode ser comparada com um padrão. 1
Comensurável VS Incomensurável Quando se mede algum objeto estamos, na realizada, a fazer uma comparação relativamente a uma unidade padrão. Sabemos, por exemplo, que: 1 km = 1000 m 1 m = 100 cm 1 cm = 10 mm 1 in = 2,54 cm (1 polegada = 2,54 centímetros) Comensurável VS Incomensurável Já não se consegue comparar o seguinte: «a distância de 2km e volume de 500m³» uma vez que não é possível traduzir a distância (grandeza linear) e o volume (grandeza tridimensional) na mesma unidade de medida. 2
Segmentos de reta incomensuráveis Muitos conceitos matemáticos são aplicados e entendidos de forma incorreta no nosso dia a dia. A comensurabilidade é um destes. Geralmente associamos a palavra incomensurável a algo muito grande, que não pode ser contado/medido. Segmentos de reta incomensuráveis É comum ouvirmos frases do tipo: O Universo tem um número incomensurável de estrelas. Fomos fazer um piquenique no campo, mas um número incomensurável de formigas atacou a comida. Nestas duas frases, a palavra incomensurável passa a ideia de uma quantidade tão grande que não podemos contar. Esta interpretação, no entanto, está matematicamente incorreta. Para este tipo de afirmações deveríamos ter usado a palavra imensurável: que não se pode medir: "a imensurável extensão do universo", ou ainda, que está além do cálculo e da medida (incomputável, incalculável, inestimável...): "imensurável riqueza". 3
Segmentos de reta incomensuráveis Nada pode ser incomensurável sozinho: algo só pode ser (in)comensurável em relação a outra coisa! Tem de existir uma referência, uma unidade, um termo de comparação Definimos que dois segmentos de reta, [AB] e [CD], só serão comensuráveis, em relação a uma medida padrão, se existirem dois números naturais, m e n, tal que, m AB n CD Por exemplo: 3 AB 1 CD Segmentos de reta incomensuráveis Assim sendo, um segmento [AB] é dito comensurável com a unidade dada pelo segmento [CD], quando existe uma subunidade de medida que cabe um número inteiro de vezes em [AB] e em [CD]. Dois quaisquer segmentos [AB] e [CD] são incomensurável quando nenhuma unidade de medida cabe um número exato de vezes em [AB] e em [CD]. 4
Dos segmentos de reta incomensuráveis aos números irracionais A descoberta dos segmentos incomensuráveis com o segmento unitário causou uma enorme crise na Matemática do mundo antigo. Até então, os matemáticos gregos acreditavam que todos os segmentos eram comensuráveis com a unidade. Por volta de 450 a.c. descobriram que a diagonal de um quadrado de lado unitário não é comensurável à medida do lado pois, se fosse, deveria haver um número racional igual à raiz quadrada de 2, o que é um absurdo (não existe)! Não existe nenhum número natural de tal modo que: m 1 n 2 Dos segmentos de reta incomensuráveis aos números irracionais Esta descoberta levou, também, a uma crise filosófica, pois a escola Pitagórica acreditava que as leis do Universo eram regidas por leis matemáticas expressas como razões de números naturais. Assim, a solução da crise foi a descoberta dos números irracionais, simbolizando um grande passo para o desenvolvimento da Matemática. 5
Pontos irracionais da reta numérica Vamos representar, sobre a reta numérica, um quadrado de lado 1 e a respetiva diagonal. Com um compasso, marcamos o ponto A na reta numérica, tal que a distância de O a A é igual ao comprimento da diagonal do quadrado. O quadrado fica decomposto pela diagonal em dois triângulos retângulos isósceles, em que a hipotenusa e cada um dos catetos não são comensuráveis. Pontos irracionais da reta numérica Como os catetos têm comprimento igual a 1 (e, portanto, racional), não existe nenhum número racional que represente o comprimento da diagonal, e, portanto, OA. Assim... Não existe nenhum número racional que corresponda ao ponto A da reta numérica. Os pontos com esta propriedade designam-se por pontos irracionais. 6
Aplica Solução: Páginas 71 49. 50. Exercícios 7
Será racional? 8