MATEMÁTICA (11º ano) Exercícios de Exames e Testes Intermédios Equações de retas e planos 1 Seja um número real. Considere, num referencial o.n., a reta e o plano definidos, respetivamente, por e Sabe-se que a reta é paralela ao plano Qual é o valor de? Teste Intermédio 11º ano 09.02.2012 2 Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n., a pirâmide quadrangular regular Seja o centro da base da pirâmide. o ponto tem coordenadas o vetor tem coordenadas a reta é definida pela condição 2.1 Escreva uma condição cartesiana que defina a reta Nota Não necessita de apresentar cálculos. 2.2 Mostre que o plano pode ser definido pela equação 2.3 Sabe-se que a condição define a reta Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto Teste Intermédio 11º ano 09.02.2012 3 Considere, num referencial o.n., a reta definida por Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta? (A) (B) (C) (D) Teste Intermédio 11º ano 24.05.2011 4 Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n., parte de um plano Cada um dos pontos, e pertence a um eixo coordenado. O plano é definido pela equação Seja a reta que passa no ponto e é perpendicular ao plano Determine uma equação vetorial da reta Teste Intermédio 11º ano 06.05.2010 Página 1 de 9
5 Na figura, está representada, num referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular cuja base está contida no plano o vértice tem coordenadas o vértice tem coordenadas o plano é perpendicular à reta definida pela condição Determine o volume da pirâmide. Nota Pode ser-lhe útil determinar uma equação do plano Teste Intermédio 11º ano 24.05.2011 6 Na figura está representado, em referencial o.n., o poliedro, que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano o ponto pertence ao eixo o ponto tem coordenadas o plano é definido pela equação 6.1 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma condição cartesiana que o defina. 6.1.1 Plano paralelo ao plano e que passa na origem do referencial. 6.1.2 Plano perpendicular à reta e que passa no ponto 6.1.3 Reta perpendicular ao plano e que passa no ponto 6.1.4 Superfície esférica de centro em e que passa no ponto 6.2 Determine o volume do poliedro Teste Intermédio 11º ano 27.01.2011 7 Considere, num referencial o.n., a reta e o plano, definidos, respetivamente, por: e Qual é a intersecção da reta com o plano? (A) É o ponto (B) É o ponto (C) É o conjunto vazio (D) É a reta Teste Intermédio 11º ano 27.01.2010 Página 2 de 9
8 Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. regular cuja base está contida no plano o ponto pertence ao eixo o ponto tem coordenadas, uma pirâmide quadrangular o ponto pertence ao plano de equação é uma equação do plano é uma equação do plano 8.1 Determine o volume da pirâmide. 8.2 Determine as coordenadas do ponto, sem recorrer à calculadora. 8.3 Seja o ponto de coordenadas Seja a reta que contém o ponto e é perpendicular ao plano Averigue se a reta contém o ponto Teste Intermédio 11º ano 27.01.2010 9 Na figura ao lado está representado um referencial o.n.. Cada um dos pontos, e pertence a um eixo coordenado. O ponto pertence ao plano. O plano é definido pela equação Seja a reta que contém o ponto e é perpendicular ao plano. Determine uma equação vetorial da reta. Teste Intermédio 11º ano 07.05.2009 10 Considere, num referencial o. n., a superfície esférica de equação A intersecção desta superfície com o plano é é (A) o conjunto vazio (B) um ponto (C) uma circunferência (D) um círculo Teste Intermédio 11º ano 29.01.2009 11 Considere, num referencial o.n., a reta definida por Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta? (A) (B) (C) (D) Teste Intermédio 11º ano 06.05.2008 12 Num referencial o. n., sejam e os planos definidos pelas equações: e A intersecção dos planos e é (A) o conjunto vazio (B) um ponto (C) uma reta (D) um plano Teste Intermédio 11º ano 24.01.2008 Página 3 de 9
13 Na figura ao lado está representado, em referencial o. n., um cone de revolução. a base do cone está contida no plano de equação o vértice do cone tem coordenadas o ponto é o centro da base do cone 13.1 Determine uma equação do plano que contém o vértice do cone e que é paralelo ao plano 13.2 Seja o plano definido pela equação Averigue se os planos e são perpendiculares. 13.3 Seja o ponto simétrico do ponto, em relação ao plano. Indique as coordenadas do ponto e escreva uma condição que defina o segmento de reta. 13.4 Sabendo que o raio da base do cone é igual a, determine o volume do cone. Sugestão: comece por escrever uma condição que defina a reta que contém o vértice do cone e que é perpendicular ao plano e utilize-a para determinar as coordenadas do ponto. Teste Intermédio 11º ano 29.01.2009 14 Na figura está representada, em referencial o.n., uma pirâmide quadrangular. Admita que o vértice se desloca no semieixo positivo, entre a origem e o ponto de cota, nunca coincidindo com qualquer um destes dois pontos. Com o movimento do vértice, os outros quatro vértices da pirâmide deslocam-se no plano, de tal forma que: a pirâmide permanece sempre regular o vértice tem sempre abcissa igual à ordenada sendo a abcissa de e sendo a cota de, tem-se sempre Admita agora que. Indique, para este caso, as coordenadas dos pontos, e e determine uma equação cartesiana do plano ABE. Teste Intermédio 11º ano 24.01.2008 15 Considere, em referencial o.n., o ponto Seja o plano que contém o ponto e é perpendicular à reta de equação vetorial Determine a área da secção produzida pelo plano Sugere-se que: Determine uma equação do plano. Mostre que o centro da esfera pertence ao plano. Atendendo ao ponto anterior, determine a área da secção.. na esfera definida pela condição Teste Intermédio 11º ano 10.05.2007 Página 4 de 9
16 Na figura estão representadas, em referencial o. n., uma reta e uma circunferência com centro na origem e raio igual a Os pontos e pertencem à circunferência. O ponto também pertence ao eixo das abcissas. Admitindo que o declive da reta é igual a, resolva as três alíneas seguintes: 16.1 Mostre que uma equação da reta é 16.2 Mostre que o ponto tem coordenadas 16.3 Seja o ponto de coordenadas Verifique que o triângulo é retângulo em Teste Intermédio 11º ano 24.01.2008 17 Na figura está representado, em referencial o. n., um cubo de aresta O vértice do cubo coincide com a origem do referencial. Os vértices, e do cubo pertencem aos semieixos positivos, e, respetivamente. O triângulo escaleno é a secção produzida no cubo pelo plano de equação 17.1 Escreva uma condição que defina a reta que passa por e é perpendicular ao plano 17.2 Seja a amplitude, em graus, do ângulo. Determine Apresente o resultado arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Sugestão: comece por determinar as coordenadas dos pontos e Teste Intermédio 11º ano 24.01.2008 18 Na figura está representada, em referencial o.n., uma pirâmide regular. a base é um quadrado de área com centro na origem do referencial; a aresta é paralela ao eixo ; o vértice tem coordenadas. Mostre que a reta definida pela condição ao plano e escreva uma equação deste plano. é perpendicular Teste Intermédio 11º ano 19.05.2006 Página 5 de 9
19 Na figura está representado, em referencial o.n. O vértice é a origem do referencial. O vértice pertence ao eixo. O vértice pertence ao eixo. O vértice pertence ao eixo. O vértice tem de coordenadas. Seja a reta de equação Qual é o ponto de intersecção da reta com o plano?, um paralelepípedo retângulo. (A) O ponto (B) O ponto (C) O ponto (D) O ponto Exame Matemática 2001, 2ª Fase 20 Na figura está representado, em referencial o.n., um octaedro. O vértice tem de coordenadas O vértice tem de coordenadas O vértice pertence ao plano O vértice tem de coordenadas 20.1 Mostre que a reta definida pela condição é perpendicular ao plano. 20.2 Determine uma equação da superfície esférica que contém os seis vértices do octaedro. 20.3 Seja um plano definido pelo eixo e pelo ponto. A secção produzida no octaedro pelo plano é um quadrilátero. Caracterize esse quadrilátero e determine o seu perímetro. Exame Matemática 2001, 2ª Fase 21 Para um certo número real, as retas e, definidas em referencial o.n., pelas condições e são coincidentes. Qual é o valor de? Exame Matemática 2001, 1ª Fase, 2ª Chamada 22 Considere, num referencial o.n., duas retas, e de equações e, respetivamente. 22.1 Justifique que as retas e definem um plano. 22.2 Mostre que o plano definido pelas retas e é paralelo ao plano de equação 22.3 Determine a amplitude do ângulo formado pelas retas e. Apresente o resultado em graus, aproximado às unidades. Nota: Sempre que nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. Exame Matemática 2001, 1ª Fase, 1ª Chamada Página 6 de 9
23 Na figura está representada, em referencial o.n. pirâmide quadrangular regular., uma A base da pirâmide está contida no plano de equação. O vértice pertence ao eixo. O vértice pertence ao plano. O vértice pertence ao plano. O vértice tem de coordenadas. A altura da pirâmide é. 23.1 Mostre que uma condição que define a reta é 23.2 Determine uma equação do plano que contém o ponto e é perpendicular à reta 23.3 Determine a área da secção obtida na pirâmide pelo plano. 24 Na figura está representada, em referencial o.n., um cubo. O vértice é a origem do referencial O vértice pertence ao eixo O vértice pertence ao eixo O vértice pertence ao eixo é o centro da face Uma equação do plano que contém os pontos, e é Qual é a medida da aresta do cubo? Exame Matemática 2001, 1ª Fase, 2ª Chamada Exame Matemática 2001, 1ª Fase, 1ª Chamada 25 Num referencial o.n., considere os planos definidos pelas equações e. Qual das equações seguintes define uma superfície esférica tangente aos dois planos? (A) (C) 26 Num referencial o.n., considere o plano, de equação. (B) (D) Qual dos seguintes pontos é simétrico do ponto, em relação ao plano? Exame Matemática 2000, 2ª Fase Exame Matemática 2000, 1ª Fase, 2ª Chamada 27 Num referencial o.n., considere os pontos e. Qual dos pontos seguintes pertence ao plano mediador do segmento de reta? Exame Matemática 2000, 1ª Fase, 1ª Chamada Página 7 de 9
28 Na figura abaixo está representada, em referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular. O vértice é a origem do referencial O vértice pertence ao eixo O vértice pertence ao plano O vértice tem coordenadas Uma equação vetorial da reta que contém a altura da pirâmide é 28.1 Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação 28.2 Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas 28.3 Determine o volume da pirâmide. 29 Considere dois planos e. Exame Matemática 2000, 2ª Fase Sejam e vetores normais a e, respetivamente. Seja um vetor com a direção da reta de interseção de e. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) é paralelo a e é paralelo a. (B) é paralelo a e é perpendicular a. (C) é perpendicular a e é paralelo a. (D) é perpendicular a e é perpendicular a. Exame Matemática 2000, 1ª Fase, 2ª Chamada 30 Na figura está representado, em referencial o.n., um prisma triangular regular. o vértice coincide com a origem do referencial o vértice pertence ao semieixo positivo o vértice pertence ao semieixo positivo o segmento tem comprimento 30.1 Indique, justificando, o valor do produto escalar 30.2 Determine uma equação vetorial da reta de interseção do plano com o plano de equação 30.3 Sabendo que a área lateral do prisma é, determine as coordenadas do ponto Exame Matemática 2000, 1ª Fase, 2ª Chamada 31 Num referencial o.n., qual das seguintes retas interseta os três planos coordenados (, (A) (C) e )? (B) (D) Exame Matemática 2000, 1ª Fase, 1ª Chamada Página 8 de 9
32 Considere num referencial o.n., um poliedro com doze faces que pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares. o vértice é a origem do referencial; o vértice do poliedro tem de coordenadas ; a altura de cada uma das pirâmides é igual ao comprimento da aresta do cubo. 32.1 Justifique que o ponto não pertence à superfície esférica de diâmetro. 32.2 Mostre que a reta é perpendicular ao plano. 32.3 Determine a área da secção definida no poliedro pelo plano. Exame Matemática 2000, 1ª Fase, 1ª Chamada Página 9 de 9