Oficina de Geometria Regina Maria Pavanello PCM/UEM SBEM/PR 1
A GEOMETRIA As formas convivem com o homem desde os tempos mais remotos da Humanidade e foram utilizadas por ele nas mais diferentes situações: na tecelagem, na cerâmica, na demarcação de propriedades, na representação de cenas do dia a dia, na construção de instrumentos ou construções que o auxiliassem no seu trabalho ou em sua defesa contra aos mais variados inimigos, animais ou humanos. Foi mediante a observação das formas presentes na natureza que o ser humano desenvolveu sua capacidade de representação espacial. Ainda hoje, questões relacionadas com as formas, sua representação e dimensão, com as relações entre diferentes formas e dimensões, estão presentes em nossa vida sem que tenhamos muita consciência disso: nos logotipos das empresas, nas operações de compra e venda de terrenos, nas plantas de terrenos e casas, nos diferentes motivos utilizados em vários tipos de artesanato, nas coreografias de um balé, nas linhas demarcatórias da quadra de basquetebol ou de futebol. Até mesmo em atividades escolares como a leitura e a escrita, as formas estão presentes. 2
A GEOMETRIA Em nossa sociedade atual, tal como ocorreu em sociedades que a antecederam no tempo, os homens vivenciam situações que lidam com as possibilidades de ocupação de espaço - como dispor móveis em uma sala de modo a facilitar a passagem das pessoas entre eles - e com a localização e a trajetória de objetos nesse espaço. Em inúmeras ocasiões, precisamos observar o espaço tridimensional e elaborar modos de comunicar essas observações. Por essas e outras razões que não cabe discutir aqui é que a geometria tem uma função essencial na formação dos indivíduos, pois ela possibilita uma interpretação mais completa do mundo, uma comunicação mais abrangente de idéias e uma visão mais equilibrada da matemática. 3
A GEOMETRIA Para formar e transformar figuras espaciais, a criança precisa ir além do estágio de imagens como base de representação, pois é impossível um pensamento geométrico mais avançado para um sujeito que somente concebe um conjunto de imagens estáticas. Por isso é que se insiste na importância das ações, dos movimentos (mesmo que apenas no nível das representações mentais), para superar o estatismo próprio das imagens visuais na construção e representação do espaço pela criança. 4
O Ensino da Geometria A Geometria é talvez, a parte da Matemática mais intuitiva, concreta e ligada à realidade. Porém, por ter sido apresentada, desde o início de sua introdução como conteúdo escolar, em sua forma final, formalizada, repleta de teoremas e demonstrações, pouco a pouco, foi deixando de ser percebida como uma ferramenta para descrever e atuar no espaço em que vivemos. Além disso, a educação, desde a última metade do século passado, vem enfatizando a participação ativa do aluno na construção de seu conhecimento e, consequentemente, a apresentação de uma coleção de axiomas e teoremas não se encaixa neste novo paradigma educacional. O resultado é que, freqüentemente, a Geometria foi perdendo seu espaço dentro do currículo de Matemática na maioria dos países, ficando seu ensino restrito a poucos itens sobre figuras simples e suas propriedades, quando não é totalmente ignorada. 5
O Ensino da Geometria Atualmente, matemáticos e educadores matemáticos concordam que o estudo da Geometria deve receber maior ênfase, dentre outras razões por causa do grande emprego de novas tecnologias como a computação gráfica. Com as máquinas começando a desenhar, as formas geométricas e suas propriedades adquirem maior importância, passando a influenciar não apenas as ciências e artes, mas também muitos aspectos de nosso cotidiano. Para estar verdadeiramente incluído no atual contexto, o indivíduo necessita de uma educação visual adequada, que permita compreender as diferentes representações gráficas disponíveis. Outro ponto em que há concordância entre os educadores matemáticos é que, devido a enorme diversidade de aspectos que a Geometria abrange como utilidade, beleza, harmonia e possibilidades cognitivas, seu ensino pode (e deve) começar na Educação infantil. 6
O Ensino da Geometria E isso está acontecendo? Ao analisarmos os currículos de Matemática das escolas brasileiras, constata-se que o ensino de Geometria não recebe o mesmo tratamento que o da aritmética, por exemplo, ficando mesmo relegado a um segundo plano. As razões mais indicadas para este fato são: 1. A desatenção com o ensino da Geometria nos cursos de formação de professores para a educação básica, levando, por isso, os professores a não conhecerem o assunto. Como conseqüência, não a ensinam. 1. A metodologia do ensino da geometria não tem acompanhado as diversas tendências de renovação do ensino da matemática e, por não ter se renovado, apresenta-se desinteressante tanto para quem aprende, quanto para quem ensina; 1. O desconhecimento das muitas possibilidades da geometria, tanto no que se refere às aplicações práticas, quanto ao próprio desenvolvimento cognitivo da criança. 7
Ensino de Geometria Geralmente esquecida ou deixada como último tópico do ano na Educação Básica, principalmente em função do despreparo do professor, a Geometria atualmente, ocupa papel de destaque nas discussões em Educação Matemática e isto porque, além de seus objetivos próprios enquanto conteúdo específico, o trabalho com formas geométricas contribui para as crianças adquirirem senso de organização e orientação espacial, desenvolve a coordenação viso-motora e auxilia na leitura e compreensão de gráficos, mapas e outras informações visuais típicas da sociedade contemporânea. Abordamos a seguir, o quê e como se ensinar em Geometria. 8
Formas geométricas planas Por volta dos dois/três anos, as crianças começam a perceber os ângulos das figuras, pois antes eram capazes de identificar somente os seus contornos fechados ou abertos. Entretanto, o desenho das formas é ainda mais demorado, uma vez que é necessária não só a descentralização perceptiva de contornos abertos e fechados, mas também realizar correspondências entre lados e ângulos. O mais importante nesta etapa é levar a criança não apenas a conhecer as formas, mas generalizar este conhecimento (ser capaz de perceber as formas na realidade). 9
As formas geométricas e sua representação Muitas crianças dizem, por exemplo, que Triângulo é uma figura que tem 3 lados, porém somente reconhece como triângulos apenas aquelas figuras de três lados que são apresentadas de uma forma especial: elas devem ser o mais regular possível (ter os três lados do mesmo tamanho, ou, quase) e devem estar com um dos vértices voltados para cima. Um triângulo escaleno, ou mesmo um eqüilátero, mas que esteja com um dos vértices voltado para baixo nem sempre é reconhecido como sendo um triângulo. Em outras ocasiões, as crianças reconhecem como triângulos figuras que não o são, como uma figura na forma de um V maiúsculo invertido ou de um quadrilátero côncavo. 10
Por que isto ocorre? As crianças são mais concretas, seu pensamento não tem a flexibilidade do pensamento do adulto. Se os livros didáticos e, talvez, os próprios professores apresentam os triângulos sempre de uma certa maneira, a imagem mental que as crianças vão formar do triângulo é essa. Algumas pesquisas mostram também que muitos alunos acreditam que colocar uma figura em uma posição diferente, modifica a figura. Por exemplo, se um quadrado é colocado com dois vértices opostos em uma linha vertical à base da lousa ou do caderno, imediatamente ele passa a ser um losango. Ou ainda, um retângulo de 4 cm de largura e 3 cm de comprimento é diferente do que tem 4 cm de comprimento e 3 cm de largura. 11
Por que isto ocorre? Muitas das dificuldades dos alunos têm origem no material utilizado em sala de aula: o livro didático e folhas de papel com as figuras já desenhadas. Nesses materiais as figuras estão fixas no papel, sem qualquer mobilidade, de modo que não é possível girá-las, colocá-as em posições diferentes ou umas sobre as outras para facilitar sua comparação. Raramente os alunos são levados a observar o seu meio ambiente aí identificando as formas geométrica nele existentes e que, muitas vezes, não se encontram nas mesmas posições em que elas são costumeiramente apresentadas em sala de aula. Por outro lado, o fato de a coleção de figuras apresentadas ser muito limitada - quadrado, triângulo, retângulo, losango, circulo e, às vezes, trapézio não contribui para os alunos terem a oportunidade de reconhecer as propriedades geométricas das figuras: número de lados, vértices ou diagonais; os lados serem todos do mesmo tamanho ou não (ou seja, as figuras serem regulares ou não); a existência ou não de paralelismo ou perpendicularismo dos lados; etc. 12
Formas geométricas planas Para as dificuldades dos alunos serem superadas seria preciso que os professores trabalhassem não só com desenhos das figuras, que estão fixos no papel, mas com outros tipos de material, como figuras variadas, recortadas em papel cartão ou mesmo em papel sulfite, que têm mobilidade e poderiam ser facilmente rodadas ou colocadas umas sobre as outras quando se quiser comparar seu tamanho. As próprias crianças poderiam recortar diferentes figuras a partir de um desenho apresentado na lousa ou numa folha de papel pelo professor ou por outro aluno. Algumas vezes se poderia dar uma figura para que o aluno traçasse seu contorno no papel e depois a recortasse. Outras vezes se poderia apresentar um desenho e pedir para que o reproduzir de modo a conservar a forma da figura desenhada. 13
Formas geométricas planas Exemplos de atividades: trabalho com blocos lógicos, identificar formas; colorir os círculos de azul, os triângulos de vermelho; montar figuras com os blocos lógicos, identificar as formas geométricas utilizadas e reproduzir graficamente estas figuras; classificar as figuras geométricas; reproduzir com os blocos lógicos a planificação de maquetes e representá-las graficamente; continuar seqüências de blocos lógicos que foram iniciadas pelo professor e representá-las graficamente. Estas seqüências podem ser organizadas por semelhanças ou por diferenças. O trabalho com seqüências, entre outros objetivos, permite a percepção de regularidades que, além de serem fundamentais para a compreensão da multiplicação, de múltiplos e divisores, das regras de potenciação, também serão úteis na construção de conceitos matemáticos importantes, entre os quais, o de função. 14
Formas geométricas planas O que é importante nestas atividades é a criança descobrir que os objetos têm formas e cores (conhecimento físico). É necessário aplicar este conhecimento descobrindo as formas dos objetos. O desenho das formas aparece nas crianças ouvintes por volta dos quatro/cinco anos, ainda assim, com certa dificuldade de caracterizar seus ângulos. É comum, desenharem um triângulo de forma arredondada, representando o telhado de uma casa. Neste ponto, podemos ter gratas surpresas com as crianças surdas. Por terem uma percepção visual mais acurada, elas representam graficamente figuras geométricas com maior precisão. 15
Formas geométricas planas As formas planas (quadrado, círculo), formas espaciais (cubos, cilindros) constituem o domínio básico da geometria e têm inúmeras aplicações: cálculo de perímetros, áreas, volumes, traçado de itinerários e mapas; projetos de peças e motores; urbanização e construção de edifícios. Saber os nomes das formas é uma parte mínima do conhecimento geométrico. O fundamental é conhecer as propriedades dessas formas. Só se pode ter certeza de que as crianças entenderam tais propriedades se elas puderem percebêlas por si mesmas. Para isso é necessário participar de atividades variadas que envolvam as figuras geométricas. Essas atividades devem ser significativas para as crianças. Isso acontece quando elas podem criar um desenho bonito, quando podem brincar com quebracabeças, etc. Por isso, estamos sempre pedindo que a criança pinte e recorte. 16
Geometria O trabalho com formas geométricas contribui para as crianças adquirirem senso de organização e orientação espacial, desenvolve a coordenação viso-motora e auxilia na leitura e compreensão de gráficos, mapas e outras informações visuais típicas da sociedade contemporânea. Além dos conteúdos tradicionais devem ser exploradas atividades com padrões geométricos pois estes, mais do que a descoberta de regularidades, permitem à criança compreender a noção de ritmo ao visualizar a duração (quantas vezes se repete o padrão) e sucessão (o que vem antes e o que vem depois), elementos constituintes do tempo, outro conceito de difícil construção pela criança. 17
Padrões Geométricos De maneira geral, trabalhar com padrões geométricos permite a percepção de regularidades que, conforme já foi dito, é a habilidade exigida nas atividades com seqüências. Perceber regularidades é fundamental para compreender a seqüência da numeração e desenvolver o cálculo mental. É também uma das bases do raciocínio científico. Além disso, a descoberta de um padrão geométrico exige mais que a simples observação de figuras: é preciso estabelecer relações entre elas. Ao serem capazes de dizer como será a figura seguinte, os alunos estarão utilizando experiências anteriores, isto é, realizando uma abstração. 18
Exemplos Ache as regras e continue os desenhos: 19
Exemplos 2) Pinte esta figura. Use só duas cores! Cuidado! Peças vizinhas têm que ser de cores diferentes. 3) Agora, use três cores. Peças vizinhas têm que ser de cores diferentes. 20
Exemplos 4) Escreva o número de quadradinhos que cada figura tem. Faça as figuras 3 e 4. 21
5) Complete com figuras iguais até chegar ao número 6. 1 Na figura pronta, conte quantos quadradinhos tem de cada cor: vermelhos... azuis... pretos... verdes... 22
6) Veja com atenção:- Conte os quadradinhos de cada figura. Faça a 3ª, a 4ª e a 5ª figura. A B 23
Agora, conte os quadradinhos de cada figura. No desenho A: 1ª...2ª...3ª...4ª...5ª... No desenho B: 1ª...2ª...3ª...4ª...5ª... No desenho C: 1ª...2ª...3ª...4ª...5ª... No desenho D: 1ª...2ª...3ª...4ª...5ª... No desenho E: 1ª...2ª...3ª...4ª...5ª 24
Regularidades Complete a tabela com o número de quadradinhos de cada figura: FIG A B C D E 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 10ª 25
Vistas de Objetos Confecção de mapas de bairros, plantas de residências e desenhos de trajetos, são exemplos de situações envolvendo vistas superiores. No mundo de hoje, saber interpretar representações visuais, é imprescindível para todos os indivíduos. Uma boa atividade nessa direção é dispor cubos sobre uma mesa, empilhando-os de forma não uniforme, solicitando para que crianças, localizadas em diferentes pontos da sala de aula, desenhem o que estão vendo. Além de possibilitar a discussão referente às propriedades geométricas observadas, ao confrontar os desenhos que, certamente revelarão diferentes vistas do mesmo objeto, é possível encaminhar a discussão sobre como um mesmo objeto (ou fato) pode ser visto de diferentes maneiras, sem que, necessariamente, uma delas seja a correta e deva prevalecer sobre as demais. 26
Vistas de Objetos Um exemplo que me ocorre é o da planta baixa, tão utilizada e tão pouco compreendida por tanta gente. Se há tantos adultos que não a compreendem, imagine as crianças... Qual é afinal a dificuldade apresentada por essa representação? Bem, primeiro é necessário que as crianças entendam porque elas são necessárias e para que são utilizadas. Depois, para confeccionar uma planta baixa (ou um mapa), a criança precisa ver os objetos que vão ser representados de cima, mas isso em geral não pode ser feito como olhar de cima uma sala de aula, por exemplo? Outra dificuldade é conseguir elaborar atividades que tenham sentido para a crianças, que sejam problematizadoras, mas que possibilitem à crianças superar as dificuldades inerentes ao conteúdo. 27
Associe as figuras geométricas às suas vistas superiores: Observe cada desenho de pilha. Ligue cada um à sua vista superior. 28
Na mesa, existem vários cubos empilhados. Desenhe no caderno, as três vistas de cada pilha Quantos cubos há na pilha A? E na B? E na C? Sem contar, quantos cubos há empilhados na mesa? A B C Quantas caixas há em cada caminhão? A B 29
Ainda vistas... Veja o desenho desta cidade. O desenho abaixo é a vista superior da cidade. A vista superior de uma cidade é a planta da cidade 30
Outras atividades A vista superior de um edifício é a planta do edifício. Procure nos jornais, plantas de apartamentos. Desenhe a planta da sua escola. Faça a planta da sua casa. Faça a planta do seu bairro. Observações:- São muitas as possibilidades a serem trabalhadas com vistas, especialmente os mapas. Para as séries iniciais, os mapas das cidades devem ser simples, como plantas. Podem ser exploradas noções de paralelismo, perpendicularismo e concorrência. A questão da simbolização também é tratada, ao criarmos símbolos para a escola, a igreja, o hospital, etc. Problemas envolvendo trajetos e itinerários de viagens podem e devem ser explorados. Podem ser articuladas atividades com a geografia e com ciências. 31