Dep. Matemática Pura. FCUP. ÁLGEBRA LINEAR e GEOMETRIA ANALÍTICA

Dep. Matemática Pura. FCUP ÁLGEBRA LINEAR e GEOMETRIA ANALÍTICA Resumo das aulas teóricas e práticas 1. o ano da licenciatura em Matemática, Física Astronomia Ano lectivo de 2009/10 João Nuno Tavares

ÍNDICE: 1 ALGA I. Um curso rápido de ALGA apenas em R 2 2 1.1 Álgebra Linear em R 2......................... 3 1.2 Aplicações à geometria........................ 18 2 ALGA I. Álgebra Linear e Geometria Analítica em R 3 21 2.1 Álgebra Linear em R 3......................... 22 3 ALGA I. Espaços vectoriais 46 3.1 Espaços vectoriais........................... 46 3.2 Exemplos................................ 47 3.3 Subespaços vectoriais......................... 50 3.4 Exercícios................................ 54 4 ALGA I. Aplicações lineares. Isomorfismos lineares 57 4.1 Aplicações lineares. Isomorfismos lineares. Operadores lineares. Funcionais lineares. O espaço dual V................ 57 4.2 Exercícios................................ 59 5 ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão 61 5.1 Bases, coordenadas e dimensão.................... 61 5.2 Cálculos com coordenadas. Problemas................ 68 5.3 Mudanças de base e de coordenadas................. 71 5.4 Exercícios................................ 73 6 ALGA I. Representação matricial das aplicações lineares 79 6.1 Matriz de uma aplicação linear.................... 79 6.2 Cálculo do núcleo e imagem...................... 80 6.3 Matriz da composta.......................... 81 6.4 GL(n). Pontos de vista passivo e activo................ 82 6.5 Determinantes............................. 82 6.5.1 Definição e propriedades.................... 82 1

2 6.5.2 Determinante de um produto................. 85 6.5.3 Cálculo da matriz inversa. Matriz adjunta.......... 86 6.6 Regra de Cramer............................ 88 6.7 Determinante de um operador linear................. 88 6.8 Exercícios................................ 89 7 ALGA I. Espaços vectoriais com produto interno 92 7.1 Espaços Euclideanos reais....................... 92 7.2 Espaços Hermitianos (ou Unitários) complexos........... 95 7.3 Norma.................................. 96 7.4 Ortogonalidade............................. 98 7.5 Bases ortonormadas num espaço vectorial com produto interno.. 99 7.6 Método de ortogonalização de Gram-Schmidt............ 100 7.7 Decomposição ortogonal. Teorema da aproximação óptima................... 103 7.8 Aplicações. Mínimos quadrados................... 108 7.9 Método dos mínimos quadrados. Aproximação de dados por uma recta................................... 111 7.10 Transformações ortogonais e unitárias. Exemplos.......... 112 7.11 Transformações unitárias em C 2. Os grupos U(2) e SU(2)..... 114 7.12 Exercícios................................ 114 8 ALGA I. Subespaços invariantes. Subespaços próprios. Valores próprios 119 8.1 Conjugação............................... 119 8.2 Subespaços invariantes......................... 122 8.3 Valores e vectores próprios de um operador linear. Operadores diagonalizáveis.............................. 123 8.4 Cálculo de valores e vectores próprios................ 124 8.5 Sistemas dinâmicos lineares discretos................. 127 8.6 Números de Fibonacci. Número de ouro............... 128 8.7 Exercícios................................ 133 9 ALGA I. Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos). Teorema espectral 136 9.1 Operadores auto-adjuntos (simétricos e hermitianos)........ 136 9.2 Teorema espectral para operadores auto-adjuntos.................... 139 9.3 Diagonalização de formas quadráticas reais............. 141 9.4 Propriedades extremais dos valores próprios............. 143 9.5 Operadores comutativos........................ 145

1 9.6 Exercícios................................ 146 Referências 1. T.M. Apostol: Calculus, vol.1 e vol.2. Xerox College Publishing International Textbook series, 1969. 2. Postnikov M.: Leçons de Géométrie, vol.1 e 2. Éditions MIR, Moscou,1981. 3. Banchoff T., Wermer J.. Linear Algebra through Geometry. UTM, Springer-Verlag, New York, 1983. 4. Smith L.: Linear Algebra. UTM, Springer-Verlag, New York, 1978. 5. Curtis C.W.: Linear Algebra, An Introductory Approach. UTM, Springer-Verlag, New York, 1974. 6. Lipschutz S.: Linear Algebra. Schaum s Outline Series. McGraw-Hill Book Company,1968. 7. Hernández E.: Álgebra y Geometría (2. a edicion). Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid, 1994.

Módulo 1 ALGA I. Um curso rápido de ALGA apenas em R 2 Neste primeiro módulo vamos retomar alguns conceitos aprendidos no ensino secundário, e fazer uma ponte para os assuntos mais sofisticados que precisamos de aprender na disciplina de ALGA. Tentamos por agora usar as notações que são mais familiares ao leitor. Contents 1.1 Álgebra Linear em R 2................... 3 1.2 Aplicações à geometria.................. 18 Palavras chave Vectores. R 2 como espaço vectorial real. Subespaços. Dependência e indepêndencia linear. Base canónica. Bases, coordenadas e dimensão. Aplicações Lineares. Matriz de uma aplicação linear. Determinantes. Valores e vectores próprios. Geometria Euclideana em R 2. Produto interno (euclideano). Norma (euclideana). Ângulo. Ortogonalidade. Rectas vectoriais e afins. Projecção ortogonal. Interpretação geométrica de det e de det A. Reflexões numa recta. Transformações ortogonais em R 2. Os grupos O(2) e SO(2). Notações x, y, u, v, w... vectores, em vez de x, y, u, v,... a, b, c,..., λ, η, µ, ξ,... escalares, isto é, números reais (para já). Número de aulas 2 teóricas e 2 teórico-práticas. Objectivos Um forte intuição geométrica sobre os principais conceitos da ALGA. Resolver os sistenmas que aparecem obrigatoriamente pelo método de eliminação de Gauss. 2

1.1. Álgebra Linear em R 2 3 1.1 Álgebra Linear em R 2 Vectores 1.1 Um vector x em R 2 é por definição um par ordenado de números reais, representado, ou na forma x = (x 1, x 2 ), ou dispostos segundo uma matriz-coluna de duas linhas: ( ) x1 x = x 2 Os números reais x( i, i = ) 1, 2, dizem-se as componentes do vector x R 2. x1 Geomètricamente x = será representado como na figura seguinte: x 2 R 2 como espaço vectorial real ( ) ( ) x1 y1 1.2 Dados dois vectores x = e y =, em R x 2 y 2, define-se a respectiva soma vectorial, como sendo o vector x + y, dado por: 2 ( ) ( ) ( ) x1 y1 x1 + y x + y = + = 1 x 2 + y 2 x 2 Geomètricamente x + y é obtido através da seguinte regra do paralelogramo: ( ) x1 1.3 Dado um vector x = em R x 2, e um escalar (i.e., um número real) 2 λ R, define-se a multiplicação do escalar λ pelo vector x, como sendo o vector λx dado por: ( ) λ x 1 λx = λ x 2 y 2 1.4 É fácil provar que as duas operações definidas anteriormente, satisfazem as propriedades seguintes: [EV1]. x + y = y + x (1.1.1) [EV2]. (x + y) + z = x + (y + z) (1.1.2) [EV3]. 0 + x = x + 0 = x x R 2 (1.1.3) [EV4]. x, ( x) : x + ( x) = 0 (1.1.4) [EV5]. λ(x + y) = λx + λy (1.1.5) [EV6]. (λ + η)x = λx + ηx (1.1.6) [EV7]. λ(ηx) = (λη)x (1.1.7) [EV8]. 1x = x (1.1.8) ( ) 0 onde x, y, z R 2, λ, η R, 0 = é o vector nulo de R 0 2, e x = ( 1)x. Por isso, diz-se que R 2 é um espaço vectorial real.

1.1. Álgebra Linear em R 2 4 Exercício 1.1... Demonstre as 8 propriedades (2.1.1) a (1.1.8). Subespaços 1.5 Um subconjunto S R 2 diz-se um subespaço vectorial de R 2, se S é fechado relativamente às operações de soma de vectores e de multiplicação de escalares por vectores, i.e.: Se x, y S também x + y S (1.1.9) Se λ R, e x S também λx S (1.1.10) Em R 2 os subespaços são de dois tipos: triviais: S = {0} e S = R 2 não triviais: S = {λv : λ R}, onde v 0, que representa uma recta que passa na origem, gerada por v 0. Exercício 1.2... Diga quais dos seguintes conjuntos são subespaços vectoriais de R 2 : a) A = { (x, y) R 2 : x = y } ; e) E = { (x, y) R 2 : 3x y = 1 } ; b) B = { (a, a) R 2 : a R } ; f) F = { (x, y) R 2 : x + 2y = 3 } ; c) C = { (x, y) R 2 : x + y 2 } ; g) G = {(b, 2a + b) : a, b R}. d) D = { (x, y) R 2 : x + 5y = 0 } ; g) H = {(b, 2a + 1) : a, b R}. Combinação linear 1.6 Um vector x R 2 diz-se uma combinação linear dos vectores a e b de R 2 se existirem escalares λ, η R tais que: x = λ a + η b (1.1.11) O conjunto de todas as combinações lineares dos vectores a e b, isto é, de todos os vectores da forma λ a + η b, onde os escalares λ, η R são arbitrários, chama-se o espaço gerado por a e b e representa-se por span{a, b}: span{a, b} = {λ a + η b : λ, η R} (1.1.12) Exercício 1.3... span {a, b}: Em cada uma das alíneas que se seguem, verifique se x a) x = (1, 0), a = (1, 1), e b = (0, 1); b) x = (2, 1), a = (1, 1), e b = (1, 1); c) x = (1, 0), a = (1, 1), e b = (2, 2); d) x = (1, 1), a = (2, 1), e b = ( 1, 0); e) x = (4, 3), a = (1, 1), e b = ( 2, 2). f) x = (0, 0), a = (2, 1), e b = ( 4, 2); Exercício 1.4... Em cada um dos casos, calcule o subespaço gerado por a e b, onde a) a = (1, 1), b = (2, 2), em R 2 ; b) a = ((1, 0), b = (5, 0), em R 2 ; c) a = (2, 1), b = (1, 0), em R 2 ; d) a = (2, 1), b = (0, 0), em R 2 ;

1.1. Álgebra Linear em R 2 5 Dependência e independência linear 1.7 Dois vectores x e y em R 2, dizem-se linearmente dependentes, se um deles é múltiplo escalar do outro. Se x = 0 (ou y = 0) então x e y são linearmente dependentes. Geomètricamente x e y são linearmente dependentes, sse eles são colineares. 1.8 Dois vectores x e y em R 2, dizem-se linearmente independentes, se não são linearmente dependentes (o que implica que x 0 e y 0). Geomètricamente x e y são linearmente independentes, sse eles são não colineares. Simbolicamente: (x e y são linearmente independentes) (λx + ηy = 0 = λ = η = 0) Exercício 1.5... Verifique se os vectores que se seguem são linearmente dependentes ou independentes: a) (1, 0), (2, 1) em R 2 ; b) (1, 1), (2, 2) em R 2 ; c) (π, 0), (0, 1) em R 2 ; d) (1, 2), (2, 3), (1, 1) em R 2 ; Base canónica 1.9 Os vectores de R 2 : ( 1 e 1 = i = 0 ) ( 0 e e 2 = j = 1 ) são ( linearmente ) independentes, e têm a propriedade de que qualquer vector x = x1, se pode escrever como combinação linear de e x 1 e e 2. De facto: 2 x = ( x1 x 2 ) ( 1 = x 1 0 ) + x 2 ( 0 1 = x 1 e 1 + x 2 e 2 (1.1.13) ) Diz-se então que C = {e 1, e 2 } é uma base (ordenada) - a base canónica de R 2. Bases, coordenadas, dimensão 1.10 Qualquer conjunto B = {u 1, u 2 } constituído por dois vectores linearmente independentes, e que têm a propriedade de que qualquer vector x R, se pode escrever como combinação linear de u 1 e u 2 : x = x 1 u 1 + x 2 u 2 (1.1.14) para certos escalares (únicos) x 1, x 2 R, diz-se uma base de R 2.

1.1. Álgebra Linear em R 2 6 1.11 Todas as bases de R 2 têm sempre dois elementos, e, por isso, diz-se que a dimensão (real) de R 2 é 2: Os escalares x 1, x 2 R, que surgem em (1.1.14), dizem-se as componentes (ou as coordenadas) do vector x, na base B = {u 1, u 2 }. Neste caso escrevemos: ( ) x1 x = (x) B (1.1.15) x 2 Exercício 1.6... Verifique se os conjuntos que se seguem, são ou não bases de cada um dos espaços vectoriais indicados em cada alínea. Calcule as coordenadas de x = (1, 1) relativamente aos que são bases: a) {(1, 1), (3, 1)} em R 2 ; b) {(0, 1), (0, 3)} em R 2 ; c) {(2, 1), (1, 1), (0, 2)} em R 2 ; d) {(2, 1), (0, 0), (0, 1)} em R 2 ; B Exercício 1.7... Calcule uma base de cada um dos subespaços que se seguem, e depois as coordenadas do vector u em cada uma das bases: a) S = { (x, y) R 2 : x + y = 0 }, u = (3, 3); b) S = { (x, y) R 2 : 2x = y }, u = (4, 8); Aplicações Lineares 1.12 Uma aplicação A : R 2 R 2 diz-se uma aplicação linear, se A preserva as operações que definem a estrutura vectorial de R 2, i.e.: x, y R 2, e λ R. A(x + y) = A(x) + A(y) (1.1.16) A(λ x) = λ A(x) (1.1.17) 1.13 Dada uma aplicação linear A : R 2 R 2 define-se: o núcleo de A: ker A = {x R 2 : A(x) = 0} (1.1.18) a imagem de A: im A = {y : A(x) = y R 2, para algum x R 2 } (1.1.19) Exercício 1.8... Mostre que ker A e im A são subespaços de R 2. Exercício 1.9... Das aplicações A : R 2 R 2 que se seguem, indique aquelas que são lineares. Relativamente a essas, calcule o respectivo núcleo e diga quais as que são injectivas. a) A : (x, y) (x + y, x y) b) A : (x, y) ( x, y ) c) A : (x, y) (x + 1, x y) d) A : (x, y) (0, x + y) Exercício 1.10... Mostre que uma aplicação linear A : R 2 R 2 fica completamente determinada pelos valores que assume numa base. Mais concretamente, se {e 1, e 2 } é uma base e se A(e 1 ) = f 1, A(e 2 ) = f 2, onde f 1, f 2 são fixos de forma arbitrária, então estes dados determinam de forma única a imagem A(x) de um vector arbitrário.

1.1. Álgebra Linear em R 2 7 Exercício 1.11... Sabendo que A é uma aplicação linear, calcule em cada caso a imagem de um vector genérico: a) Sendo A : R 2 R 2 e A(1, 0) = (1, 1) e A(0, 1) = (1, 2); b) Sendo A : R 2 R 2 e A(1, 1) = (1, 2) e A(0, 3) = (2, 2); c) Sendo A : R 2 R 2 e A(2, 1) = ( 1, 0) e A( 1, 1) = (3, 2); Matriz de uma aplicação linear 1.14 Se B = {u 1, u 2 } é uma base fixa de R 2, podemos escrever que: A(u 1 ) = a u 1 + b u 2 (1.1.20) A(u 2 ) = c u 1 + d u 2 (1.1.21) A matriz: ( ) a c A = b d diz-se a matriz de A na base B, e nota-se por: (1.1.22) A = (A) B ( Se ) as coordenadas de um vector x R 2, na base B = {u 1, u 2 }, são x = x1, i.e., se: x 2 B x = x 1 u 1 + x 2 u 2 então as coordenadas de A(x) na base B obtêm-se da seguinte forma: A(x) = A(x 1 u 1 + x 2 u 2 ) = x 1 A(u 1 ) + x 2 A(u 2 ) = x 1 (a u 1 + b u 2 ) + x 2 (c u 1 + d u 2 ) = (ax 1 + cx 2 ) u 1 + (bx 1 + dx 2 ) u 2 (1.1.23) o que significa que as coordenadas de A(x) na base B: ( ) y1 (A(x)) B = obtêm-se matricialmente através de: ( ) y1 = y 2 ou mais sucintamente: B ( a c b d y 2 B ) ( x1 x 2 ) B (1.1.24) (A(x)) B = (A) B (x) B (1.1.25) Exercício 1.12... Em cada um dos seguintes casos determine a matriz da aplicação linear A na base indicada e calcule ker A e im A : a). b). c). A : R 2 R 2, (x, y) (3x y, x + 5y) na base C = {(1, 0), (0, 1)} A : R 2 R 2, (x, y) (3x y, x + 5y) na base B = {(1, 1), (1, 1)} A : R 2 R 2, (x, y) (3x, x + y) na base B = {(2, 1), (1, 1)}

1.1. Álgebra Linear em R 2 8 Determinantes ( ) a c 1.15 Dada uma matriz A =, definimos o seu determinante det A, b d como sendo o número real: ( ) a c det A = det = ad bc (1.1.26) b d ( ) ( ) a c Representemos por c 1 = e c b 2 = as colunas da matriz A, de tal d forma que: Um cálculo directo mostra que: e ainda que: det A = det [c 1 c 2 ] = ad bc (1.1.27) det [c 1 c 2 ] 0 sse c 1, c 2 são linearmente independentes (1.1.28) det [c 1 c 2 ] = det [c 2 c 1 ] (1.1.29) det [c 1 + c 1 c 2 ] = det [c 1 c 2 ] + det [c 1 c 2 ] (1.1.30) det [c 1 c 2 + c 2] = det [c 1 c 2 ] + det [c 1 c 2] (1.1.31) det [λ c 1 c 2 ] = λ det [c 1 c 2 ] = det [c 1 λ c 2 ] λ R (1.1.32) det I = 1 (1.1.33) det (AB) = det A det B (1.1.34) det (A 1 ) = (det A) 1 A inversível (1.1.35) det (P 1 A P ) = det A P inversível (1.1.36) det (A) = det (A t ) (1.1.37) ( ) 1 0 onde A t é a transposta de A e I = é a matriz identidade. 0 1 Além disso é possível provar que para uma matriz A: A é inversível se e só se det A 0 (1.1.38) Exercício 1.13... Demonstre todas as propriedades acima referidas. 1.16 Se A : R 2 R 2 é uma aplicação linear, define-se o respectivo determinante det A, como sendo o determinante da matriz de A, relativamente a uma qualquer base de R 2. Por (1.1.36) e (1.1.35), esta definição não depende da base escolhida. Exercício 1.14... exercício 1.12. Calcule o determinante das aplicações lineares descritas no Em breve veremos uma interpretação geométrica da noção de determinante. Produto interno (euclideano)

1.1. Álgebra Linear em R 2 9 ( ) ( ) x1 y1 1.17 Dados dois vectores x = e y =, em R x 2 y 2, define-se o 2 respectivo produto interno (Euclideano), como sendo o escalar x y R, dado por: x y = x 1 y 1 + x 2 y ( 2 ) y1 = (x 1 x 2 ) y 2 = x t y (1.1.39) 1.18 O produto interno (euclideano), que acabámos de definir, verifica as propriedades seguintes: é bilinear: (x + y) z = x z + y z x (y + z) = x y + x z λx y = x λy = λ(x y) (1.1.40) é simétrica: x y = y x (1.1.41) é não degenerada: x y = 0 y R 2 x = 0 (1.1.42) é definida positiva: x, y, z R 2, λ R. x x 0 (1.1.43) Exercício 1.15... Verifique que o produto interno (1.1.39) satisfaz as propriedades acima referidas. Norma (euclideana) 1.19 Define-se a norma euclideana x, de um vector x = através da fórmula: ( x1 x 2 ) R 2, x x x = x t x = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 (1.1.44) 1.20 A norma euclideana verifica as propriedades seguintes: é positiva e não degenerada: x 0 e x = 0 sse x = 0 (1.1.45) é homogénea (positiva): λ x = λ x (1.1.46)

1.1. Álgebra Linear em R 2 10 verifica a desigualdade triangular: x, y R 2, λ R. x + y x + y (1.1.47) 1.21 Todas as propriedades são de demonstração imediata com excepção da desigualdade triangular, que resulta imediatamente de uma outra importante desigualdade que passamos a enunciar: Desigualdade de Cauchy-Schwarz: x, y R 2. Demonstração... x y x y (1.1.48) Se y = 0 a desigualdade é trivial. Se y 0 consideremos o vector: u = x x y y 2 y de tal forma que u y = 0. temos então que: 0 u 2 = ( x x y y 2 y ) = x x = x 2 o que portanto demonstra a desigualdade, CQD. (x y)(y x) y 2 Demonstremos agora a desigualdade triangular (7.3.4): x + y 2 = (x + y) (x + y) = x x + x y + y x + y y = x 2 + 2(x y) + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 ( x x y y 2 y ) (x y)2 y 2 (1.1.49) x 2 + 2 x y + y 2, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (2.1.48) = ( x + y ) 2 e portanto x + y x + y, como se pretendia. Ângulo, ortogonalidade 1.22 Dados dois vectores não nulos x, y R 2, deduzimos da desigualdade de Cauchy-Schwarz que: 1 x y x y 1 (1.1.50) o que permite definir o ângulo (não orientado) θ [0, π], entre os referidos vectores não nulos x, y R 2, como sendo o único θ [0, π], tal que: cos θ = x y x y [ 1, 1] (1.1.51)

1.1. Álgebra Linear em R 2 11 Portanto: x y = x y cos θ (1.1.52) Dois vectores x, y R 2 dizem-se ortogonais se x y = 0. Rectas vectoriais e afins 1.23 Dado um vector não nulo a 0, o conjunto dos vectores x que são da forma: x = t a, t R (1.1.53) diz-se a recta (vectorial) gerada por a. Se a = [ a1 a 2 ], então (1.1.53) é equivalente ao sistema de equações: { x1 = t a 1 x 2 = t a 2, t R que se dizem as equações paramétricas da referida recta. Eliminando t nestas equações, obtemos a chamada equação cartesiana dessa mesma recta: o que exibe a recta como o conjunto dos vectores x = [ ] a2 ao vector n =, isto é, tais que: a 1 a 2 x 1 a 1 x 2 = 0 (1.1.54) x n = 0 ( x1 x 2 ) que são ortogonais 1.24 Dado um ponto A R 2 e um vector não nulo v 0, o conjunto dos pontos P que são da forma: x 2 P = A + t v, t R (1.1.55) diz-se a recta afim que passa em A e é gerada por v 0. ( ) ( ) [ ] x1 a1 v1 Se P =, A =, e v =, então (1.1.55) é equivalente ao a 2 v 2 sistema de equações: { x1 = a 1 + t v 1 x 2 = a 2 + t v 2, t R que se dizem as equações paramétricas da referida recta. Eliminando t nestas equações, obtemos a chamada equação cartesiana dessa mesma recta: v 2 (x 1 a 1 ) v 1 (x 2 a 2 ) = 0 (1.1.56) ( ) x1 o que exibe a recta como o conjunto dos pontos P = que são ortogonais x [ ] 2 v2 ao vector n =, e que passa em A, i.e., tais que: v 1 (P A) n = 0

1.1. Álgebra Linear em R 2 12 Exercício 1.16... Calcule a imagem do reticulado formado pelas rectas x = n e y = m, m, n Z, sob: (i). a aplicação linear A(x, y) = (2x, x + y). (ii). a aplicação linear B(x, y) = (x y, x + y). Valores e vectores próprios 1.25 Seja A : R 2 R 2 uma aplicação linear. Um escalar λ R diz-se um valor próprio de A se existir um vector não nulo v R 2 {0} tal que: A(v) = λ v (1.1.57) Neste caso, o vector não nulo v, diz-se um vector próprio associado (ou pertencente) ao valor próprio λ. 1.26 O conjunto constituído pelo vector nulo 0 e por todos os vectores próprios pertencentes a um certo valor próprio λ, de A, é um subespaço de R 2, chamado o subespaço próprio de A, pertencente ao valor próprio λ, e nota-se por: E(λ) = E A (λ) = {v : A(v) = λ v} (1.1.58) A restrição de A a E A (λ) é pois uma homotetia de razão λ (eventualmente λ pode ser 0), i.e.: A(u) = λ u u E A (λ) Em particular, a recta gerada pelo vector próprio v 0 fica invariante por A, isto é, a sua imagem por A é ela própria. 1.27 Em particular, se λ = 0 é valor próprio de A, isto significa que o núcleo de A; ker A = E A (0) não se reduz ao vector nulo 0, e portanto A é não inversível (ou singular), ou de forma equivalente, det A = 0. Quando λ 0, dizer que λ é valor próprio de A, é equivalente a dizer que 0 é valor próprio de A λ Id, o que, pelo parágrafo anterior, é equivalente a dizer que A λ Id é não inversível (ou singular), ou ainda que: det (A λ Id) = 0 (1.1.59) O polinómio p(λ) = det (A λ Id) diz-se o polinómio característico de A. Portanto as raízes reais da chamada equação característica de A: p(λ) = det (A λ Id) = 0 (1.1.60) (se existirem), são exactamente os valores próprios (reais) de A. Exemplo... Calcule os valores e vectores próprios (reais) da aplicação linear A : R 2 R 2, cuja matriz na base canónica de R 2 é: ( ) 3 4 A = 4 3

1.1. Álgebra Linear em R 2 13 A equação característica de A é: p(λ) = det (A λ Id) ( ) 3 λ 4 = det 4 3 λ = λ 2 25 = 0 (1.1.61) cujas raízes reais (os valores próprios de A) são λ 1 = 5 e λ 2 = 5. ( ) x1 Para calcular os vectores póprios v =, pertencentes ao valor próprio λ = 5, devemos resolver o sistema: isto é: cuja solução geral é: ( 3 5 4 4 3 5 x 2 ) ( x1 x 2 ) = { 2x1 + 4x 2 = 0 4x 1 8x 2 = 0 { x1 = 2t x 2 = t ( 0 0 t R Portanto os vectores póprios de A, pertencentes ao valor próprio λ 1 = 5, são da forma: ( 2 t 1 ) t R {0} ) Procedendo da mesma forma relativamente ao outro valor próprio λ 2 = 5, podemos calcular que os vectores póprios de A, pertencentes ao valor próprio λ 2 = 5, são da forma: ( ) 1 s s R {0} 2 ( ) ( ) 2 1 Note que neste exemplo os vectores próprios u 1 = e u 1 2 = formam uma 2 base B = {u 1, u 2} de R 2 relativamente à qual a matriz de A é diagonal: (A) B = ( 5 0 0 5 ) Exercício 1.17... Em cada um dos seguintes casos, determine, se existirem, os valores próprios de A, os subespaços próprios associados e as respectivas dimensões e diga se A é diagonalizável; no caso de o ser, indique uma base do domínio de A composta por vectores próprios e indique a matriz de A relativamente a essa base. a). c). A : R 2 R 2 (x, y) (2x y, y) A : R 2 R 2 (x, y) (3x + y, 12x + 2y) b). d). A : R 2 R 2 (x, y) ( x, y) A : R 2 R 2 (x, y) (x y, x + y) Projecção ortogonal

1.1. Álgebra Linear em R 2 14 Sejam a 0 e x dois vectores em R 2. Então existe um único vector u, na recta gerada por a, e um único vector v, ortogonal a a, tais que x = u+v. O vector u, notado por P a (x), diz-se a projecção ortogonal de x sobre a recta gerada por a, e é calculado da seguinte forma. Uma vez que u = P a (x) pertence à recta gerada por a, u é da forma u = λ a para um certo λ R, caracterizado pela condição de que: Obtemos então que t = x a a 2 (x λ a) a = 0 e portanto: P a (x) = x a a 2 a (1.1.62) 1.28 A aplicação P a : R 2 R 2 definida por (1.1.62), é linear e satisfaz a condição P 2 a = P a. É claro que P a (a) = a. Vemos pois que a é vector próprio de P a, pertencente ao valor próprio 1. Por outro lado, se considerarmos um qualquer vector b 0 ortogonal a a (i.e.: a b = 0), vemos que P a (b) = 0 e portanto: ker P a = {t b : t R} A matriz de P a na base {a, b} é pois: ( 1 0 0 0 ) Interpretação geométrica de det e de det A 1.29 A distância d de um ponto B R 2, com vector de posição b = OP, à recta vectorial gerada por a 0, é igual à norma do vector b P a (b): Pelo teorema de Pitágoras, e uma vez que P a (x) = x a a 2 a, tem-se que: e atendendo a (1.1.52): d 2 = b 2 d = b sin θ (b a)2 a 2 onde θ [0, π] é o ângulo entre a e b. A área do paralelogramo P(a, b), gerado por a e b é portanto igual a: área(p(a, b)) = a.d = a b sin θ (1.1.63) Por outro lado um cálculo simples mostra que o quadrado desta área (que é sempre 0, já que sin θ 0) é igual ao quadrado do determinante det (a b), donde se deduz que: det (a b) = área(p(a, b)) (1.1.64)

1.1. Álgebra Linear em R 2 15 1.30 Quando a e b são linearmente independentes, de tal forma que det [a b] 0, dizemos que a base ordenada {a, b} é: { positiva se det (a b) > 0 negativa se det (a b) < 0 1.31 Consideremos agora uma aplicação linear A : R 2 R 2. A imagem do quadrado Q, gerado pelos vectores da base canónica (que é positiva) {e 1, e 2 }: Q = {λ e 1 + η e 2 : 0 λ, η 1} é o paralelogramo A(Q), de lados adjacentes A(e 1 ) e A(e 2 ). [ ] [ a c Pondo A(e 1 ) = a e 1 + b e 2 = e A(e b 2 ) = c e 1 + d e 2 = d que a área deste paralelogramo é igual a: ], sabemos área A(Q) = det (A(e 1 ) A(e 2 ) ( ) a c = det b d = det A (1.1.65) Portanto: área(a(q)) = det A (1.1.66) Mais geralmente, se R é o paralelogramo gerado pelos vectores linearmente independentes u e v, então a imagem A(R) é o paralelogramo gerado por A(u) e A(v), e é fácil provar que a área desta imagem é igual a: isto é: área(a(r)) = det [A(u) A(v)] = det A área(r) (1.1.67) det A = área(a(r)) área(r) (1.1.68) 1.32 Diz-se que a aplicação linear A : R 2 R 2 : { preserva a orientação (ou é positiva) se det A > 0 inverte a orientação (ou é negativa) se det A < 0 Exercício 1.18... Calcule o determinante das aplicações lineares descritas no exercício 1.12, usando a fórmula (1.1.68). Reflexão numa recta

1.1. Álgebra Linear em R 2 16 1.33 Atendendo a (1.1.62), vemos que: Seja a um vector não nulo em R 2. A simetria relativamente à recta gerada por a, ou reflexão nessa recta, é a aplicação linear S a : R 2 R 2, definida pela condição: 1( Sa (x) + x ) = P a (x) x R 2 2 (1.1.69) isto é, o ponto médio do segmento que une x a S a (x) deve ser igual à projecção de x sobre a recta gerada por a. S a (x) = 2P a (x) x = 2 x a a 2 a x x R2 (1.1.70) Note que S 2 a = Id. Uma vez que P a (a) = a vemos que S a = a, e portanto a é vector próprio de S a, pertencente ao valor próprio 1. Se considerarmos um qualquer vector b 0 ortogonal a a (i.e.: a b = 0), vemos que P a (b) = 0 e portanto S a (b) = b. A matriz de S a na base {a, b} é portanto: ( 1 0 0 1 o que mostra que det S a = 1 < 0, i.e., S a inverte orientação (embora preserve o módulo da área de paralelogramos) ) Transformações ortogonais em R 2 1.34 Uma aplicação linear A : R 2 R 2 diz-se uma transformação ortogonal ou uma isometria de R 2, se A preserva o produto interno (Euclideano) usual de R 2, i.e.: A(x) A(y) = x y x, y R 2 (1.1.71) Esta condição é equivalente a: A(x) = x x R 2 (1.1.72) i.e., A preserva os comprimentos dos vectores. Se A é a matriz de uma tal transformação ortogonal, relativamente a uma qualquer base ortonormada {e 1, e 2 } de R 2 (por exemplo, a base canónica), A é uma matriz ortogonal, isto é, A t A = I. Portanto A O(2). Vejamos como é a forma geral de uma tal matriz. 1.35 Se c 1 = A(e 1 ), c 2 = A(e 2 ) são as colunas de A, então: c i c j = δ ij o que significa que c 1 e c 2 são ortonormais. Portanto A transforma bases ortonormadas em bases ortonormadas, preservando ou invertendo orientação, conforme det A = +1 ou det A = 1, respectivamente. Por exemplo, a simetria S a, descrita em (??), é uma transformação ortogonal com det igual a 1.

1.1. Álgebra Linear em R 2 17 ( ) a Como c 1 = A(e 1 ) é um vector de norma 1, sabemos que a 2 +b 2 = 1 b e portanto existe um único ϕ [0, 2π[ tal que a = cos ϕ e b = sin ϕ (ϕ [0, 2π[ é o ângulo polar de c 1, i.e., o ângulo orientado que c 1 faz com a parte positiva do eixo dos xx): [ ] cos ϕ Portanto c 1 =, e como c sin ϕ 2 = A(e 2 ) é também um vector unitário e ortogonal a c 1, dois casos podem ocorrer: (i). c 2 = [ sin ϕ cos ϕ ] [, ou (ii). c 2 = No primeiro caso, a matriz A tem a forma: [ ] cos ϕ sin ϕ A = sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ ] (1.1.73) cujo determinante é 1. Neste caso A diz-se uma rotação de ângulo ϕ (no sentido positivo), em torno da origem, e nota-se por R ϕ : No segundo caso, a matriz A tem a forma: [ ] cos ϕ sin ϕ A = sin ϕ cos ϕ [ ] [ ] cos ϕ sin ϕ 1 0 = sin ϕ cos ϕ 0 1 = R ϕ S e1 (1.1.74) cujo determinante é 1. Neste caso A pode ser interpretada como uma reflexão relativamente ao eixo dos xx seguida de uma rotação R ϕ. Essa reflexão fixa e 1 e transforma e 2 em e 2. Se então rodamos de ângulo ϕ, temos que: e 1 e 1 cos ϕe 1 + sin ϕe 2 e 2 e 2 ( sin ϕe 1 + cos ϕe 2 ) (1.1.75) De facto, neste caso A representa uma simetria relativamenta à recta que faz um ângulo ϕ 2 com a parte positiva do eixo dos xx. Exercício 1.19... Classifique as seguintes isometrias de R 2 : a) A(x, y) = ( 1 x + 3 y, 3 x 1 y). 2 2 2 2 b) A(x, y) = ( 1 x + 3 y, 3 x + 1 y). 2 2 2 2 c) A(x, y) = ( 4 x + 3 y, 3 x 4 y). 5 5 5 5 d) A(x, y) = (x, y). e) A(x, y) = ( y, x).

1.2. Aplicações à geometria 18 Exercício 1.20... Em cada um dos casos que se seguem, determine a simetria S relativamente à recta indicada, a matriz de S relativamente à base ( canónica ) de R 2 e uma 1 0 base B de R 2 relativamente à qual a matriz de S seja do tipo. 0 1 a) r é a recta de equação y = 2x; b) r é a recta de equação 3x y = 0; c) r é a recta de equação y = (tg π 5 )x; Exercício 1.21... Em cada um dos seguintes casos, mostre que a transformação linear A de R 2 é uma isometria linear e descreva A geomètricamente (isto é, diga se A é uma simetria ou uma rotação; no caso de ser uma simetria, diga relativamente a que recta, no caso de ser uma rotação determine o ângulo). a) A(x, y) = (y, x); b) A(x, y) = (y, x); c) A(x, y) = ( 2x 2y, 2x+ 2y ); 2 2 d) A(x, y) = (( cos π )x + (sin π )y, (sin π )x + (cos π )y); 8 8 8 8 Os grupos O(2) e SO(2) 1.36 O conjunto de todas as transformações ortogonais de R 2, constituem um grupo que se diz o grupo ortogonal O(2). Este grupo é isomorfo ao grupo das matrizes ortogonais, também notado por O(2). O subgrupo de O(2) constituído por todas as transformações ortogonais de R 2, que têm determinante 1 (isto é, constituído por todas as rotações R θ, θ [0, 2π[, em R 2 ) diz-se o grupo ortogonal especial e nota-se por SO(2). Este grupo é isomorfo ao grupo das matrizes ortogonais de determinante 1, também notado por SO(2). 1.2 Aplicações à geometria 1.37 Exemplo... As diagonais de um losango intersectam-se perpendicularmente. Dem.: Como OQRP é um losango, u = v. Pretende-se provar que QP OR, isto é que, (u v) (u + v) = 0. Mas: (u v) (u + v) = u 2 v 2 = 0

1.2. Aplicações à geometria 19 1.38 Exemplo [Lei dos cossenos]... Num triângulo plano (ABC), onde a = BC, etc. tem-se que: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C Dem.: Escolhamos um referencial com origem em C, e ponhamos u = CA e v = CB. Então AB = v u, e daí que: ou, com as notações referidas: AB 2 = v u 2 = v 2 2u v + u 2 c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C 1.39 Exemplo... Se R é um ponto sobre um círculo de diâmetro P OQ, mostre que P R QR. Dem.: Seja u = OQ, v = OR. Então Sabe-se que u = v e portanto: P R = OR OP = u + v QR = OR OQ = v u P R QR = (u + v) (v u) = v 2 u 2 = 0

1.2. Aplicações à geometria 20 1.40 Exemplo... As alturas de um triângulo intersectam-se num único ponto (chamado o ortocentro do triângulo). Dem.: Pretende-se encontrar um ponto X tal que: AX BC = 0, BX CA = 0, CX AB = 0 Identificando um ponto P com o seu vector de posição OP, relativamente a uma origem fixa O no plano, é fácil verificar a identidade seguinte: (X A) (C B) + (X B) (A C) + (X C) (B A) = 0 (1.2.1) Seja X o ponto de intersecção de duas das alturas, digamos, das alturas partindo de A e de B. Temos então que, lembrando que AX = X A, etc: Subtraindo (1.2.2) e (1.2.3) de (1.2.1), obtemos: como se pretendia. (X A) (C B) = 0 (1.2.2) (X B) (A C) = 0 (1.2.3) (X C) (B A) = 0 1.41 Exemplo... Dados dois pontos distintos A B no plano, mostrar que o lugar geométrico dos pontos P cuja distância a A é o dobro da distância a B é um círculo.

Módulo 2 ALGA I. Álgebra Linear e Geometria Analítica em R 3 Neste segundo módulo vamos retomar alguns conceitos aprendidos no ensino secundário, e fazer uma ponte para os assuntos mais sofisticados que precisamos de aprender na disciplina de ALGA. Tentamos por agora usar as notações que são mais familiares ao leitor. Contents 2.1 Álgebra Linear em R 3................... 22 Palavras chave Vectores. R 3 como espaço vectorial real. Subespaços. Dependência e indepêndencia linear. Base canónica. Bases, coordenadas e dimensão. Mudança de base e de coordenadas. Aplicações Lineares. Matriz de uma aplicação linear. GL(2). Pontos de vista passivo e activo. Conjugação. Determinantes. Valores e vectores próprios. Geometria Euclideana em R 3. Produto interno (euclideano). Norma (euclideana). Ângulo. Ortogonalidade. Rectas vectoriais e afins. Planos vectoriais e afins. Produto vectorial em R 3. Produto misto em R 3. Projecção ortogonal. Interpretação geométrica de det e de det A. Simetrias relativamente a uma recta e a um plano. Transformações ortogonais em R 3. Os grupos O(3) e SO(3). Notações x, y, u, v, w... vectores, em vez de x, y, u, v,... a, b, c,..., λ, η, µ, ξ,... escalares, isto é, números reais (para já). 21

2.1. Álgebra Linear em R 3 22 2.1 Álgebra Linear em R 3 Vectores 2.1 Um vector em R 3 é por definição um terno ordenado de números reais, representado na forma x = (x 1, x 2, x 3 ), ou dispostos segundo uma matriz-coluna de três linhas: x = x 1 x 2 x 3 Os números reais x i, i = 1, 2, 3, dizem-se as componentes do vector x R 3. R 3 como espaço vectorial real 2.2 Dados dois vectores x = x 1 x 2 x 3 e y = y 1 y 2 respectiva soma vectorial, como sendo o vector x + y, dado por: x + y = x 1 x 2 + y 1 y 2 = x 1 + y 1 x 2 + y 2 x 3 y 3 x 3 + y 3 y 3, em R 3, define-se a Geomètricamente x + y é novamente obtido através da regra do paralelogramo. 2.3 Dado um vector x = x 1 x 2 x 3 em R 3, e um escalar (i.e., um número real) λ R, define-se a multiplicação do escalar λ pelo vector x, como sendo o vector λ x dado por: λ x = λ x 1 λ x 2 λ x 3 2.4 É fácil provar que as duas operações definidas anteriormente, satisfazem mais uma vez as propriedades seguintes: [EV1]. x + y = y + x (2.1.1) [EV2]. (x + y) + z = x + (y + z) (2.1.2) [EV3]. 0 + x = x + 0 = x x R 3 (2.1.3) [EV4]. x, ( x) : x + ( x) = 0 (2.1.4) [EV5]. λ(x + y) = λx + λy (2.1.5) [EV6]. (λ + η)x = λx + ηx (2.1.6) [EV7]. λ(ηx) = (λη)x (2.1.7) [EV8]. 1x = x (2.1.8) 0 onde x, y, z R 3, λ, η R, 0 = 0 é o vector nulo de R 3, e x = ( 1)x. 0 Por isso, diz-se que R 3 é um espaço vectorial real.

2.1. Álgebra Linear em R 3 23 Subespaços 2.5 Um subconjunto S R 3 diz-se um subespaço vectorial de R 3, se S é fechado relativamente às operações de soma de vectores e de multiplicação de escalares por vectores, i.e.: Se x, y S também x + y S (2.1.9) Se λ R, e x S também λ x S (2.1.10) 2.6 Em R 3 os subespaços são de três tipos: triviais: S = {0} e S = R 3 rectas vectoriais: S = {λ v : λ R}, onde v 0, que representa uma recta que passa na origem, gerada por v 0. planos vectoriais: S = {λ u+η v : λ, η R}, onde u e v são dois vectores não colineares em R 3, que representa um plano que passa na origem, gerado por u e v. Exercício 2.1... Diga quais dos seguintes conjuntos são subespaços vectoriais de R 3 : a) A = { (x, y, z) R 3 : x + y + z = 0 } ; e) E = { (a, a, 5a) R 3 : a R }. b) B = { (x, y, z) R 3 : x + y = 3z } ; f) F = { (a, a + 1, 5a) R 3 : a R }. c) S = { (x, y, z) R 3 : x y = 3z e z = 2y } ; g) G = {(b, 2a + b, 1) : a, b R}. d) D = { (x, y, z) R 3 : 0 x 2 + y 2 z } ; h) H = { (a 2, b, 2a + b) : a, b R }. Combinação linear 2.7 Dados n vectores em R 3, digamos {a 1, a 2,, a k }, um vector x R 3 dizse uma combinação linear dos vectores {a 1, a 2,, a k } se existirem escalares λ 1, λ 2,, λ n R tais que: x = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ k a k (2.1.11) 2.8 O conjunto de todas as combinações lineares dos vectores a 1, a 2,, a k, isto é, de todos os vectores da forma λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ k a k, onde os escalares λ i R são arbitrários, chama-se o espaço gerado pelos vectores a 1, a 2,, a k e representa-se por span{a 1, a 2,, a k }: span{a 1, a 2,, a k } = {λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + + λ k a k : λ 1,, λ n R} (2.1.12) Exercício 2.2... Mostre que S = span{a 1, a 2,, a k } é um subespaço de R 3. Exercício 2.3... span {a, b, c}: Em cada uma das alíneas que se seguem, verifique se x a) x = (1, 0, 0), a = (1, 1, 1), b = ( 1, 1, 0) e c = (1, 0, 1); b) x = (1, 0, 0), a = (1, 1, 2), b = ( 1, 1, 0) e c = (1, 0, 1); c) x = (1, 1, 1), a = (0, 1, 1), b = (1, 1, 0) e c = (1, 0, 2); d) x = (0, 0, 1), a = (1, 1, 1), b = ( 1, 1, 0) e c = (1, 0, 1); e) x = (1, 2, 3), a = (1, 1, 1), b = ( 2, 2, 0) e c = (0, 0, 1). f) x = (1, 0, 0), a = (1, 1, 1), b = (2, 2, 0) e c = (1, 0, 1).

2.1. Álgebra Linear em R 3 24 Exercício 2.4... Em cada um dos casos, calcule o subespaço gerado por a, b e c, onde a) a = (1, 1, 1), b = (2, 2, 2), c = (0, 0, 0), em R 3 ; b) a = ((1, 0, 1), b = (5, 0, 1), c = (0, 1, 0), em R 3 ; c) a = (2, 1, 1), b = (1, 0, 1)c = (1, 0, 1), em R 3 ; d) a = (2, 1, 2), b = (0, 0, 0), em R 3 ; Dependência e independência linear 2.9 Dois vectores x e y em R 3, dizem-se linearmente dependentes, se um deles é múltiplo escalar do outro. Se x = 0 (ou y = 0) então x e y são linearmente dependentes. Geomètricamente x e y são linearmente dependentes, sse eles são colineares. 2.10 Três vectores x, y e z em R 3, dizem-se linearmente dependentes, se um deles é múltiplo escalar dos restantes. Se x = 0 (ou y = 0, ou z = 0) então x, y e z são linearmente dependentes. Geomètricamente x, y e z são linearmente dependentes, sse eles são coplanares. 2.11 Dois vectores x e y em R 2, dizem-se linearmente independentes, sse não são linearmente dependentes (o que implica que x 0 e y 0). Geomètricamente x e y são linearmente independentes, sse eles são não colineares. Simbolicamente: (x e y são lin. indep.) (λx + ηy = 0 = λ = η = 0) 2.12 Três vectores x, y e z em R 3,, dizem-se linearmente independentes, sse não são linearmente dependentes (o que implica que x 0, y 0 e z 0). Geomètricamente x, y e z são linearmente independentes, sse eles são não coplanares. Simbolicamente: (x, y e z são lin. indep.) (λ x + η y + µ z = 0 = λ = η = µ = 0) Exercício 2.5... Verifique se os vectores que se seguem são linearmente dependentes ou independentes: a) (1, 0, 1), (2, 1, 1) em R 3 ; b) (1, 0, 1), (2, 2, 0) em R 3 ; c) (0, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2) em R 3 ; d) (1, 1, 2), (2, 3, 0), (1, 1, 1) em R 3 ; Base canónica 2.13 Os vectores de R 3 : e 1 = i = 1 0 0 e 2 = j = 0 1 0 e e 3 = k = 0 0 1 são linearmente independentes, e têm a propriedade de que qualquer vector x = x 1 x 2, se pode escrever como combinação linear de e 1, e 2 e e 3. De facto: x 3 x = x 1 x 2 = x 1 1 0 + x 2 0 1 + x 3 0 0 x 3 0 0 1 = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 (2.1.13)

2.1. Álgebra Linear em R 3 25 Diz-se então que C = {e 1, e 2, e 3 } é uma base (ordenada): a base canónica de R 3. Bases, coordenadas, dimensão 2.14 Qualquer conjunto B = {u 1, u 2, u 3 } constituído por três vectores linearmente independentes, e que têm a propriedade de que qualquer vector x R 3, se pode escrever como combinação linear de u 1, u 2 e u 3 : x = a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 (2.1.14) para certos escalares (únicos) a 1, a 2, a 3 R, diz-se uma base de R 3. Os escalares a 1, a 2, a 3 dizem-se as coordenadas do vector x na base B escreve-se: x = a 1 a 2 (2.1.15) a 3 Todas as bases de R 3 têm sempre três elementos, e por isso, diz-se que a dimensão (real) de R 3 é 3. Exercício 2.6... Verifique se os conjuntos que se seguem, são ou não bases de cada um dos espaços vectoriais indicados em cada alínea. Calcule as coordenadas de x = (1, 1) relativamente aos que são bases: a) {(1, 1, 1), (1, 1, 5)} em R 3 ; b) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 1, 1)} em R 3 ; c) {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (3, 1, 0), (2, 1, 2)} em R 3 ; d) {(1, 1, 2), (1, 2, 5), (5, 3, 4)} em R 3 ; B Exercício 2.7... Calcule uma base de cada um dos subespaços que se seguem, e depois as coordenadas do vector u em cada uma das bases: a) S = { (x, y, z) R 3 : x + y + z = 0 }, u = (1, 1, 2); b) S = { (x, y, z) R 3 : 2x y = z }, u = (3, 2, 4); b) S = { (x, y, z) R 3 : 2x y = 0 = x + y z }, u = ( 1, 2, 3); Aplicações Lineares 2.15 Uma aplicação A : R 3 R 3 diz-se uma transformação linear, se A preserva as operações que definem a estrutura vectorial de R 3, i.e.,: x, y R 3, e λ R. A(x + y) = A(x) + A(y) (2.1.16) A(λ x) = λ A(x) (2.1.17) 2.16 Dada uma aplicação linear A : R 3 R 3 define-se: o núcleo de A: ker A = {x R 3 : A(x) = 0} (2.1.18)

2.1. Álgebra Linear em R 3 26 a imagem de A: im A = {y : A(x) = y R 3, para algum x R 3 } (2.1.19) Exercício 2.8... (i). Mostrar que ker A e Im A são subespaços de R 3. (ii). Mostrar que A é injectiva se e só se ker A = {0}. Exercício 2.9... Das aplicações que se seguem, indique aquelas que são lineares. Relativamente a essas, calcule o respectivo núcleo e diga quais as que são injectivas. a) A : R 3 R 3 ; (x, y, z) (x + y, x y, x + z) b) A : R 3 R 3 ; (x, y) ( x, y, x z 2 ) c) A : R 3 R 3 ; (x, y, z) (x + 1, x y, 3) d) A : R 3 R 3 ; (x, y, z) (0, x + y, 0) Exercício 2.10... Sabendo que A : R 3 R 3 é uma aplicação linear, calcule em cada caso a imagem de um vector genérico: a) sendo que A(1, 0, 0) = (1, 1, 1), A(0, 1, 0) = (1, 2, 0); e A(0, 0, 1) = (1, 1, 1) b) sendo A(1, 1, 1) = (1, 2, 0) e A(0, 3, 1) = (2, 2, 0); e A(1, 0, 0) = (1, 1, 1) Matriz de uma aplicação linear 2.17 Vamos nesta secção introduzir pela primeira vez as notações que serão usadas na parte mais avançada do curso. À primeira vista, estas notações parecem muito complicadas mas, após algum treino, veremos que elas facilitam substancialmente os cálculos e as deduções teóricas que vamos estudar. E não fossem elas usadas intensivamente por Einstein... As principais diferenças são: para as coordenadas dos vectores usamos índices superiores x 1, x 2, x 3,... em vez de índices inferiores x 1, x 2, x 3,... O risco aqui é a possível confusão entre índices superiores x 1, x 2, x 3,... e expoentes. Neste contexto, por exemplo, x 2 não representa x ao quadrado mas sim a segunda componente do vector x. Não faça pois essa confusão e esteja atento ao contexto. o uso de índices superiores e inferiores A 1 1, A 3 2, A 3 3,... para as entradas de uma matriz, de tal forma que na matriz A = (A i j ), o índice superior i é o índice-linha - o que numera as linhas - enquanto que o índice inferior j é o índice-coluna - o que numera as colunas: i índice linha: numera as linhas de A Aj índice coluna: numera as colunas de A 2.18 Se B = {u 1, u 2 u 3 } é uma base fixa de R 3, podemos escrever que: A(u 1 ) = A 1 1 u 1 + A 2 1 u 2 + A 3 1 u 3 (2.1.20) A(u 2 ) = A 1 2 u 1 + A 2 2 u 2 + A 3 2 u 3 (2.1.21) A(u 3 ) = A 1 3 u 1 + A 2 3 u 2 + A 3 3 u 3 (2.1.22) A matriz: A = A1 1 A 2 1 A 1 2 A 2 2 A 1 3 A 2 3 A 3 1 A 3 2 A 3 3 (2.1.23)

2.1. Álgebra Linear em R 3 27 diz-se a matriz de A na base B, e nota-se por: A = (A) B 2.19 Se as coordenadas de um vector x R 2, na base B, são x = i.e., se: x = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 então as coordenadas de A(x) na base B obtêm-se da seguinte forma: A(x) = A(x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 ) = x 1 A(u 1 ) + x 2 A(u 2 ) + x 3 A(u 3 ) x1 x 2 x 3 = x 1 (A 1 1u 1 + A 2 1u 2 + A 3 1u 3 ) + x 2 (A 1 2u 1 + A 2 2u 2 + A 3 2u 3 ) +x 3 (A 1 3u 1 + A 2 3u 2 + A 3 3u 3 ) = (A 1 1x 1 + A 1 2x 2 + A 1 3x 3 ) u 1 + (A 2 1x 1 + A 2 2x 2 + A 2 3x 3 ) u 2 +(A 3 1x 1 + A 3 2x 2 + A 3 3x 3 ) u 3 (2.1.24) o que significa que as coordenadas de A(x) na base B: (A(x)) B = y1 y 2 y 3 se obtêm matricialmente através de: y1 y 2 = A1 1 A 1 2 A 1 3 A 2 y 3 1 A 2 2 A 2 3 A 3 1 A 3 2 A 3 3 ou mais sucintamente: B B x1 x 2 x 3 B B, (2.1.25) (A(x)) B = (A) B (x) B (2.1.26) ou ainda, em notação tensorial, pondo (A) B = (A i j ) e yi = (Ax) i : y i = 3 i=1 Ai j xj = A i j xj (2.1.27) onde, na segunda igualdade adoptamos a chamada convenção de Einstein que consiste em omitir o sinal de somatório, ficando subentendido que o facto de surgir o índice j repetido, uma vez em cima e outra em baixo, implica que se faça esse somatório no índice j. Determinantes 2.20 Dada uma matriz A = A1 1 A 1 2 A 1 3 A 2 1 A 2 2 A 2 3, definimos o seu determinante det A, como sendo o número real: A 1 1 A 1 2 A 1 3 det A = A 2 1 A 2 2 A 2 3 A 3 1 A 3 2 A 3 A 3 1 A 3 2 A 3 3 3 = A 1 1 A2 2 A 2 3 A 3 2 A 3 A1 2 A2 1 A 2 3 3 A 3 1 A 3 + A1 3 det A2 1 A 2 2 3 A 3 1 A 3 2 (2.1.28)

2.1. Álgebra Linear em R 3 28 Veremos en breve uma interpretação geométrica para det A. 2.21 Representemos por: A 1 1 c 1 = A 2 1, c 2 = A1 2 A 2 A 3 2 e c 3 = A1 3 A 2 1 A 3 3 2 A 3 3 as colunas da matriz A, de tal forma que: det A = det (c 1 c 2 c 3 ) (2.1.29) É possível mostrar as seguintes propriedades do det : (i). det (c 1 c 2 c 3 ) 0 sse c 1, c 2, c 3 são linearmente independentes. (ii). det [c 1 c 2 c 3 ] muda de sinal, sempre que se permuta um par de colunas. (iii). det (c 1 + c 1 c 2 c 3 ) = det (c 1 c 2 c 3 ) + det (c 1 c 2 c 3 ) (2.1.30) det (c 1 c 2 + c 2 c 3 ) = det (c 1 c 2 c 3 ) + det (c 1 c 2 c 3 ) (2.1.31) det (c 1 c 2 c 3 + c 3) = det (c 1 c 2 c 3 ) + det (c 1 c 2 c 3) (2.1.32) det (λ c 1 c 2 c 3 ) = λ det (c 1 c 2 c 3 ) = det (c 1 λ c 2 c 3 ) = det (c 1 c 2 λ c 3 ) λ R (2.1.33) e ainda que: (iv). onde A t é a transposta de A.. det I = 1 (2.1.34) det (AB) = det A det B (2.1.35) det (A 1 ) = (det A) 1 A GL(3) (2.1.36) det (P 1 A P ) = det A P GL(3) (2.1.37) det (A) = det (A t ) (2.1.38) (v). Além disso é possível provar que para uma matriz A: A é inversível se e só se det A 0 2.22 Finalmente, se A : R 3 R 3 é uma aplicação linear, define-se o respectivo determinante det A, como sendo o determinante da matriz de A, relativamente a uma qualquer base de R 3. Veremos, num próximo capítulo, que esta definição não depende da base escolhida. Veremos en breve uma interpretação geométrica para det A. Exercício 2.11... exercício??. Calcule o determinante das aplicações lineares descritas no

2.1. Álgebra Linear em R 3 29 Produto interno (euclideano) 2.23 Dados dois vectores x = x 1 x 2 x 3 e y = y 1 y 2 y 3, em R 3, define-se o respectivo produto interno (euclideano), como sendo o escalar x y R, dado por: x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = (x 1 x 2 x 3 ) y 1 y 2 y 3 = x t y (2.1.39) 2.24 O produto interno (euclideano), que acabámos de definir, verifica as propriedades seguintes: é bilinear: (x + y) z = x z + y z x (y + z) = x y + x z λx y = x λy = λ(x y) (2.1.40) é simétrica: x y = y x (2.1.41) é não degenerada: x y = 0 y R 2 x = 0 (2.1.42) é definida positiva: x, y, z R 3, λ R. x x 0 (2.1.43) Exercício 2.12... Verifique que o produto interno (2.1.39) satisfaz as propriedades acima referidas. Norma (euclideana) 2.25 Define-se a norma euclideana x, de um vector x = através da fórmula: x x x = x t x x 1 x 2 x 3 R 3, = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 (2.1.44)

2.1. Álgebra Linear em R 3 30 2.26 A norma euclideana verifica as propriedades seguintes: é positiva e não degenerada: x 0 e x = 0 sse x = 0 (2.1.45) é homogénea (positiva): λ x = λ x (2.1.46) verifica a desigualdade triangular: x, y R 2, λ R. x + y x + y (2.1.47) Todas as propriedades são de demonstração imediata com excepção da desigualdade triangular, que resulta imediatamente de uma outra importante desigualdade que passamos a enunciar, e cuja prova é em tudo análoga à que foi feita no capítulo anterior: Desigualdade de Cauchy-Schwarz: x, y R 2. x y x y (2.1.48) Ângulo, ortogonalidade 2.27 Dados dois vectores não nulos x, y R 3, deduzimos da desigualdade de Cauchy-Schwarz que: 1 x y x y 1 (2.1.49) o que permite definir o ângulo (não orientado) θ [0, π], entre os referidos vectores não nulos x, y R 3, como sendo o único θ [0, π], tal que: cos θ = x y x y [ 1, 1] (2.1.50) Portanto: x y = x y cos θ (2.1.51) Dois vectores x, y R 3 dizem-se ortogonais se x y = 0. Rectas vectoriais e afins 2.28 Dado um vector não nulo v 0, o conjunto dos vectores x que são da forma: x = tv t R (2.1.52)

diz-se a recta (vectorial) gerada por v. Se v =, então (3.3.4) é equivalente ao sistema de equações: x 1 = t v 1 x 2 = t v 2 x 3 = t v 3 2.1. Álgebra Linear em R 3 31 v 1 v 2 v 3 t R que se dizem as equações paramétricas da referida recta. 2.29 Dado um ponto A R 3 e um vector não nulo v 0, o conjunto dos pontos P que são da forma: P = A + t v t R (2.1.53) isto é, tais que AP = t v, diz-se a recta (afim) que passa em A e é gerada por v. Se P = x 1 x 2 x 3, A = ao sistema de equações: a 1 a 2 a 3, e v = x 1 = a 1 + t v 1 x 2 = a 2 + t v 2 x 3 = a 3 + t v 3 v 1 v 2 v 3, então (2.1.53) é equivalente t R que se dizem as equações paramétricas da referida recta. Resolvendo em ordem a t podemos escrever as chamadas equações homogéneas da referida recta, na forma: x 1 a 1 v 1 = x 2 a 2 v 2 = x 3 a 3 v 3 (2.1.54) Planos vectoriais e afins 2.30 Dados dois vectores u, v R 3 {0}, linearmente independentes, ao subespaço gerado por esses dois vectores, i.e., ao conjunto constituído por todas as combinações lineares de u e v: span{u, v} {x R 3 : x = λ u + η v λ, η R} (2.1.55) chama-se o plano (vectorial) gerado por u ev. Se P é um ponto genérico desse plano, com vector de posição OP = x =, e se u =, v =, a equação vectorial: x 1 x 2 x 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 x = λ u + η v λ, η R que define o referido plano, é equivalente às seguintes equações paramétricas: x 1 = λ u 1 + η v 1 x 2 = λ u 2 + η v 2 λ, η R (2.1.56) x 3 = λ u 3 + η v 3

2.1. Álgebra Linear em R 3 32 2.31 Dado um ponto A R 3 e dois vectores u, v R 3 {0}, linearmente independentes, ao conjunto dos pontos P que são da forma: P = A + λ u + η v λ, η R (2.1.57) chama-se o plano (afim) que passa em p e é gerada por u e v. As equações paramétricas de um tal plano, são do tipo: x 1 = a 1 + λ u 1 + η v 1 x 2 = a 2 + λ u 2 + η v 2 λ, η R (2.1.58) x 3 = a 3 + λ u 3 + η v 3 2.32 Dado um vector não nulo n R 3 {0}, o conjunto dos pontos P cujos vectores de posição OP = x R 3 são ortogonais a n: {x R n : x n = 0} (2.1.59) formam um subespaço de dimensão 2 em R 3, que se diz o plano (vectorial) ortogonal a n. Se x = x 1 x 2 e se n = n 1 n 2, a equação x n = 0, é x 3 n 3 equivalente à seguinte equação cartesiana: n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = 0 (2.1.60) 2.33 Dado um ponto arbitrário A R 3 e um vector não nulo n R 3 {0}, o conjunto dos pontos P que verificam a equação: AP n = 0 (2.1.61) diz-se o plano afim que passa em A e é ortogonal a n. Se OP = x = x 1 x 2, x 3 A = a 1 a 2 a 3 e n = n 1 n 2 n 3, a equação cartesiana de um tal plano é do tipo: n 1 (x 1 a 1 ) + n 2 (x 2 a 2 ) + n 3 (x 3 a 3 ) = 0 (2.1.62) 2.34 Exemplo... Calcular a distância entre um ponto P e um hiperplano afim em IE n.

2.1. Álgebra Linear em R 3 33 Res... Suponhamos que esse hiperplano é perpendicular ao vector u 0 e passa num ponto a e, portanto, tem equação: ou x u + c = 0, (x a) u = 0 c = a u A recta que passa em P OP = p e tem a direcção do vector u, tem equação: x(t) = p + tu O ponto desta recta que pertence ao plano referido, corresponde ao valor do parâmetro t que verifica: 0 = x(t) u + c = (p + tu) u + c = p u + t u 2 + c t = p u + c u 2 A distância entre um ponto P p e o hiperplano afim é pois dada por: d = p x(t) = p p + p u + c u 2 u p u + c = u Assim por exemplo: No plano, a distância entre um ponto P = (α, β) e a recta afim ax+by+c = 0 é: p u + c (α, β) (a, b) + c aα + bβ + c d = = = u (a, b) (a 2 + b 2 ) 1/2 No espaço, a distância entre um ponto P = (α, β, γ) e o plano afim ex + fy + gz + h = 0 é: d = p u + c u = (α, β, γ) (e, f, g) + h (e, f, g) = eα + fβ + gγ + h (e 2 + f 2 + g 2 ) 1/2 2.35 Exemplo... Calcular a distância entre um ponto P e uma recta afim em IE 3, quando: 1. essa recta é definida parametricamente. 2. essa recta é definida como intersecção de dois planos afins. Produto vectorial em R 3 2.36 Definamos agora o chamado produto vectorial de dois vectores em R 3 : Dados dois vectores x = x 1 x 2, y = y 1 y 2, em R 3, define-se o produto x 3 vectorial, x y, de x por y, como sendo o seguinte vector de R 3 : x y (x 2 y 3 x 3 y 2 )i + (x 3 y 1 x 1 y 3 )j + (x 1 y 2 x 2 y 1 )k (2.1.63) O produto vectorial x y, pode ser obtido desenvolvendo segundo a primeira linha, o determinante formal: i j k x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 y 3