RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO AULA 1 ESTUDO DA LÓGICA O estudo da lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto. A lógica tem sido freqüentemente definida como a ciência das leis do pensamento. Uma outra definição comum da lógica é que a caracteriza como a ciência do raciocínio. O raciocínio é um gênero especial de pensamento no qual se realizam inferências ou se derivam conclusões a partir de premissas. A LÓGICA MATEMÁTICA A lógica teórica, também chamada lógica matemática ou simbólica, é uma extensão do método formal da matemática no campo da lógica, se aplica nesta uma linguagem formal semelhante a que está sendo usada já há muito tempo nas expressões matemáticas. edificar uma disciplina matemática utilizando unicamente a linguagem usual - Os grandes progressos que se tem conseguido na matemática desde a Antigüidade se tem apoiado em parte. como uma condição essencial, no feito de que se tem conseguido encontrar um formalismo útil e eficaz. O que se tem conseguido na matemática graças a linguagem formal, a saber, um tratamento exato e científico de seus objetos, deve se conseguir também graças ao mesmo na lógica teórica. Os meios lógicos. que residem entre juízos, conceitos, etc, encontram representação mediante fórmulas cuja interpretação está livre da confusão que tem tão facilmente a expressão lingüística: O CÁLCULO PROPOSICIONAL O chamado cálculo de proposições constitui a primeira parte da lógica matemática. Entenderemos por proposição a qual quer expressão na qual se tenha sentido afirmar se seu conteúdo é verdadeiro ou falso. Por exemplo, são proposições: A neve é branca ; 10 é um número primo ; 3 > 5 ; 2>1. Note que proposições devem exprimir um sentido completo, por isso, expressões do tipo: É possível que o Iraque ganhe a guerra Talvez eu consiga tirar uma. boa nota na prova não são consideradas como proposições. 1
As proposições podem conectar-se com outras e formar novas proposições. Por exemplo, a partir das duas proposições 2 é menor que 3 e Pelé é jogador de futebol, podemos formar as seguintes proposições: 2 é menor que 3 e Pelé é jogador de futebol 2 é menor que 3 ou Pelé é jogador de futebol Se 2 é menor que 3 então Pelé é jogador de futebol 2 não é menor que 3 Pelé não é jogador de futebol 2 é menor que 3 se e somente se Pelé é jogador de futebol Nas frases acima formamos novas proposiç5es usando as palavras e ou, se...então......se e somente se... e na quarta e quinta frases negamos a proposição original. Essas palavras servem como acabamos de ver para formar novas proposições. Vamos agora representar cada uma dessas palavras por um símbolo apropriado. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES DE VERDADE Existem muitas maneiras de se operar com proposições para formar novas proposições. Vamos nos limitar apenas aquelas operações com proposições que são mais relevantes para a matemática e a ciência, ou seja, operações com funções de verdade. Diz-se que uma operação é com função de verdade se o valor-verdade (verdadeiro ou falso) da proposição resultante é determinado pelos valores-verdade das proposições a partir das quais foi construído. A investigação sobre as operações com funç~5es de verdade é chamada cálculo proposicional. NEGAÇÃO(~) Este é o exemplo mais simples de uma operação com função de verdade. Se p é uma proposição indicaremos a negação de p por ~p. Assim se p representa a proposição a neve é branca, ~p representará a proposição a neve não é branca. Note que se p uma proposição verdadeira entro ~p será uma proposição falsa, ~p será verdadeira quando p for falsa. Com o que foi dito acima.podemos descrever uma tabela que descreva como se comporta a operação com função de verdade chamada NEGAÇÃO. P ~p V F F V CONJUNÇÃO ( ) Essa operação som função de verdade evidencia o uso da palavra e na linguagem natural. Usaremos aqui o símbolo para denotar a conjunção de duas proposições. Assim se p e q se proposições. diremos que p q representa a conjunção de p e q. Diremos também que p e q são os conjuntivos da conjunção p q. 2
Como foi dito acima para a operação NEGAÇÃO, analisaremos o valor veritativo de acordo com valores verdade ( V ou F) que são atribuídos a p e q. p q de p q p q F V F F F F DISJUNÇÃO ( ) O uso da palavra ou. Na linguagem natural o uso da palavra ou é ambíguo. Podemos usar a palavra ou para conectar proposições e obter resultados distintos. Isso se deve ao fato da palavra ou poder ser usada em dois sentidos, a saber, inclusivo e exclusivo. Vamos exemplificar primeiramente o uso de ou no sentido inclusivo. Seja entro p representando a proposição João é muito esperto e q representando a proposição João é muito sortudo. A utilização de p ou q resultaria na seguinte proposição: João é esperto ou Jogo é muito sortudo. Vemos claramente que não se exclui a possibilidade de João ser tanto esperto como sortudo, isto é, o uso de "ou no sentido inclusivo faz com que a situação se prevaleça para p, para q, ou para ambos p e q. O uso inclusivo de ou é freqüentemente usado em documentos legais. pela expressão e/ou ( por exemplo, em talão de cheques). Essa situação não acontece com o uso do ou exclusivo. Seja p 1 representando a proposição João vai nadar no clube esta tarde e q 1 representando a proposição João vai estudar em casa a tarde toda. A proposição resultante pelo uso do ou exclusivo ficaria: João vai nadar no clube esta tarde ou Jogo vai estudar em casa a tarde toda. É evidente que não se tem o caso em que João vai, nadar e.joão vai estudar ao mesmo tempo, isso é o que caracteriza o uso exclusivo de ou, isto é, vale para p 1 vale para p 2 mas não é válido para ambos. De qualquer modo a ambigüidade da palavra ou é algo que não pode ser permitido em uma linguagem voltada para aplicações científicas. É necessário que se empreguem símbolos distintos para os diferentes significados de ou. Doravante usaremos apenas a palavra ou no sentido inclusivo, já que é este o uso mais freqüente em matemática. Logo para representá-lo usaremos o símbolo v. Portanto p v q representará p ou q ou ambos, e sua tabela será dada por: p q p q V F V F V V F F F Note que o único caso em que p v q = F é o caso onde p = q = F. Numa disjunção p v q. p e q são chamados de disjuntivos. 3
CONDICIONAL ( ) É muito comum em matemática usarmos a expressão Se... então..., vamos entro analisar o que acontece com a operação com função de verdade correspondente. Sendo p e q proposições, analisaremos o que acontece com se p então q. Usaremos para isso o símbolo, daí se p então q será representado simbolicamente por p q. Para facilitar a compreensão faremos a análise através de um exemplo. Seja p representando a proposição João pula de pára-quedas e seja q representando a proposição O pára-quedas aberto garantirá sua vida. À proposição resultante será Se João pular de pára-quedas entro o páraquedas aberto garantirá sua vida. É evidente que se o antecedente da condicional (p) for verdadeiro e o conseqüente da condicional (q ) for falso, a proposição toda será falsa, pois daí teríamos a seguinte situação: Se João pular de pára-quedas então o pára-quedas fechado garante sua vida, e está frase é falsa. Fica a cargo do leitor fazer uma análise dos casos restantes, assim como das seguintes frases: 1) Se todos os homens são mortais e Sócrates é um homem, então, Sócrates é um homem. 2) Se João é solteiro, entro, João não está casado. Como já foi dito, em p q, p é chamado de antecedente da condicional e q é chamado de conseqüente da condicional. Assim podemos montar uma tabela que represente a condicional. p q p q F V V F F V Nota-se que o único caso em que uma condicional é falsa, é o caso em que p = V e q = F. As proposições descritas acima mantém uma relação entre o antecedente e o conseqüente, mas isso E nem sempre acontece. Por exemplo, Se 2 é menor que 3, então Roma é a capital da Itália. Doravante o símbolo será usado para representar a implicação material~i5to é, se preocupará unicamente com os valores verdades atribuídos às variáveis e com a possível conexão que exista entre o antecedente e o conseqüente. Em outras palavras na implicação material tudo que e afirma é o fato de que, nunca se dá o caso de o antecedente ser verdadeiro e o conseqüente ser falso. É importante notar que a implicação material é uma operação com função de verdade, ou seja. o valor verdade resultante depende unicamente dos valores verdades das variáveis nas quais foi construído. 4
BICONDICIONAL ( ) Em matemática o uso da bicondicional é evidenciado pela expressão... Se e somente se.... A operação com função de verdade correspondente será por nós representada pelo símbolo,ou seja, p se e somente se q será designado por p q. Seja p representado por O aluno será aprovado e q representando A nota obtida for maior ou igual a 5. Neste caso p q torna-se 0 aluno será aprovado se e somente se a nota obtida for maior ou igual a 5. O que deve ser observado é que terras dois caminhos que devem ser satisfeitos, a saber, da esquerda para a direita, ou seja. Se o aluno foi aprovado então, a- nota obtida é maior ou igual a 5 ( p q ) e, o caminho da direita para a esquerda, isto é, Se a nota obtida é maior ou igual a 5, então, o aluno será aprovado ( q p ). A conjunção desses dois caminhos caracteriza a bicondicional. Portanto p q representa p q e q p. Uma tabela que represente a bicondicional é dada por: p q p q F V F F F V CONECTIVOS Selecionamos cinco operações com funções de verdade e introduzimos símbolos para elas: ~,,,,. Esses símbolos são chamados de conectivos. TAUTOLOGIAS E CONTRADIÇÕES Diz-se que uma fórmula é uma tautologia se ela assume o valor lógico V para todas as atribuições de valores verdade dados. Importante observar que para uma fórmula ser tautologia, a coluna final de sua tabela de verdade deve ter somente V. Chama-se Contradição àquelas que aparecem só F s. As fórmulas que não são nem tautologias e nem contradição é chamada de contigente. 5