Noções de Lógica Matemática

Transcrição

1 Notas de aulas 2009

2 Noções de Lógica Matemática Lógica é... A Lógica é a ciência que visa estudar e estabelecer leis formais que bem dirijam as operações da mente. A Lógica é a ciência que trata das formas do pensamento em geral (dedução, indução, hipótese, inferência etc...) e das operações intelectuais que visam à determinação do que é verdadeiro ou não.

3 Noções de Lógica Matemática Lógica (formal) se preocupa com a análise e prova da validade ou da invalidade de proposições, com atenção para a forma abstraindo-se totalmente do assunto. Lógica é o estudo dos métodos e princípios que permitem distinguir argumentos corretos e incorretos.

4 [2.1] Lógica Moderna Clássica [2.2.] Lógicas Modernas Não-Clássicas Lógica Predicativa Lógica Booleana Lógica Proposicional [2.2.1] Lógica Trivalorada [2.2.2] Lógica Multivalorada [2.2.3] Lógica Fuzzy [2.2.n] Muitas outras Lógicas Fonte: (Leite, 2005)

5 Lógica Aristotélica A história da Lógica começa com os trabalhos do filósofo grego Aristóteles ( a.c.) de Estagira (hoje Estarvo), na Macedônia. Para Aristóteles, o raciocínio (dedutivo) reduz-se essencialmente ao tipo determinado que se denomina silogismo.

6 Lógica Aristotélica Silogismo é dedução formal tal que, postas duas proposições, chamadas de premissas, delas, por inferência, se tira uma terceira, chamada conclusão. Exemplo: Premissa: Todos os animais são mortais. Premissa: O gato é um animal. Conclusão: O gato é mortal.

7 Princípios de Aristóteles 1 o Princípio da Identidade: O que é, é 2 o Princípio da Não-Contradição: Uma coisa não pode ser e não ser ao mesmo tempo. 3º Princípio no Meio Excluído ou Princípio do Terceiro Excluído: Toda coisa deve ser ou não ser, não existindo um meio termo Toda coisa deve ser ou não ser, não existindo uma terceira possibilidade.

8 [2.1] Lógica Moderna Clássica [2.2.] Lógicas Modernas Não-Clássicas Lógica Predicativa Lógica Booleana Lógica Proposicional [2.2.1] Lógica Trivalorada [2.2.2] Lógica Multivalorada [2.2.3] Lógica Fuzzy [2.2.n] Muitas outras Lógicas Fonte: (Leite, 2005)

9 Lógica Moderna Precursor da Lógica Moderna foi Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ). O início se dá com a publicação do livro "An Investigation of the Laws of Thought On which are founded the mathematical theories of Logic and Probabilities" no ano de 1854, por George Boole (1815/1864).

10 [2.1] Lógica Moderna Clássica [2.2.] Lógicas Modernas Não-Clássicas Lógica Predicativa Lógica Booleana Lógica Proposicional [2.2.1] Lógica Trivalorada [2.2.2] Lógica Multivalorada [2.2.3] Lógica Fuzzy [2.2.n] Muitas outras Lógicas Fonte: (Leite, 2005)

11 Lógica Proposicional Trabalha com sentenças da Linguagem Natural levando em conta apenas, aquelas sentenças que são denominadas proposições, isto é, as sentenças que possam ser classificadas como sendo verdadeiras ou falsas. Está preocupada apenas com os valores lógicos das proposições.

12 [2.1] Lógica Moderna Clássica [2.2.] Lógicas Modernas Não-Clássicas Lógica Predicativa Lógica Booleana Lógica Proposicional [2.2.1] Lógica Trivalorada [2.2.2] Lógica Multivalorada [2.2.3] Lógica Fuzzy [2.2.n] Muitas outras Lógicas Fonte: (Leite, 2005)

13 Lógica Booleana Criada por George Boole ( ), matemático e lógico inglês. Tem hoje grande aplicação no campo da Eletrônica e da Computação e, quando abordada a partir desta perspectiva, é estudada com o nome de Álgebra de Boole, devido aos componentes simbólicos e formais que a revestem, bem como à necessidade de validação de fórmulas e a obtenção de provas de diversos teoremas.

14 [2.1] Lógica Moderna Clássica [2.2.] Lógicas Modernas Não-Clássicas Lógica Predicativa Lógica Booleana Lógica Proposicional [2.2.1] Lógica Trivalorada [2.2.2] Lógica Multivalorada [2.2.3] Lógica Fuzzy [2.2.n] Muitas outras Lógicas Fonte: (Leite, 2005)

15 Lógica Predicativa Também conhecida como Lógica de Primeira Ordem Clássica. É uma extensão da Lógica Proposional que nos permitirá raciocinar também sobre as propriedades dos objetos arrolados naquelas proposições.

16 [2.1] Lógica Moderna Clássica [2.2.] Lógicas Modernas Não-Clássicas Lógica Predicativa Lógica Booleana Lógica Proposicional [2.2.1] Lógica Trivalorada [2.2.2] Lógica Multivalorada [2.2.3] Lógica Fuzzy [2.2.n] Muitas outras Lógicas Fonte: (Leite, 2005)

17 Lógica Não-Clássica Dois tipos: as que complementam e as que rivalizam com a lógica clássica. A principal característica das lógicas que complementam a lógicas clássicas é a de manterem como núcleo as leis fundamentais da lógica clássica. Muitas lógicas que rivalizam com as lógicas clássicas, as chamadas lógicas heterodoxas, foram sendo criadas ao longo do século XX, a partir da seguinte idéia: construir lógicas onde são derrogados (desconsiderados) um dos três princípios das Lógicas ditas Clássicas.

18 Princípios de Aristóteles 1 o Princípio da Identidade: O que é, é 2 o Princípio da Não-Contradição: Uma coisa não pode ser e não ser ao mesmo tempo. 3º Princípio no Meio Excluído ou Princípio do Terceiro Excluído: Toda coisa deve ser ou não ser, não existindo um meio termo Toda coisa deve ser ou não ser, não existindo uma terceira possibilidade.

19 Lógicas Heterodoxas As lógicas heterodoxas podem ser dos tipos paracompletas ou paraconsistentes. O prefixo grego para significa: perto de, ao longo de, em direção a, contra, desviado de etc. Este prefixo, modernamente, serve para indicar o desvio do modelo considerado como normal ou, desviado dos padrões ou dos modelos usuais.

20 Lógica Paracompleta Chama-se lógica paracompleta aquela em que se elimina o Princípio da Não-contradição ou se elimina o Princípio do Terceiro Excluído. No caso da eliminação do Princípio do Não-contradição, podem ocorrer proposições tais que nem elas nem suas negações sejam verdadeiras, ou que elas e suas negações sejam verdadeiras (daí a incompletude). No caso da eliminação do Princípio do Terceiro Excluído é que surgem as chamadas lógicas de mais de dois valores, as lógicas de múltiplos valores, e ainda as lógicas de infinitos valores, ou lógicas multivaloradas.

21 Lógica Paracompleta Exemplos: Lógicas Trivalentes Lógica dos Múltiplos Valores Lógica Nebulosa Lógica Modal Lógica Intuicionista

22 Lógica Paraconsistente Chama-se lógica paraconsistente aquela em que se eliminou o Princípio da Identidade. Esta lógica é inconsistente (daí o nome a paraconsistência) porque entre os seus teoremas pode existir pelo menos dois teoremas, um sendo a negação do outro, o que seria impossível na lógica clássica. Exemplo: Lógica Dialética