ANÁLISE GRÁFICA UNESP - Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá 0.. Introdução Neste capítulo abordaremos princípios de gráficos lineares e logarítmicos e seu uso em análise de dados. Esta análise possibilitará determinar parâmetros desconhecidos no experimento expressos em alguma fórmula matemática derivada de um modelo teórico deste experimento. O comportamento dos pontos experimentais em um gráfico pode ser sempre descrito por uma função matemática. A determinação desta função é chamado de ajuste ( fitting em inglês) e o método mais usado nesta processo é o método dos mínimos quadrados (MMQ). A função mais simples de ser ajustada é naturalmente a da reta, um polinômio do primeiro grau. Neste caso a aplicação do MMQ leva a fórmulas simples que estão dadas no Apêndice deste texto. Todas supẽm incerteza em y. Como na prática geralmente temos também incertezas em x é descrito ainda um método de transferir estas incertezas em x para y. A reta tem ainda outra particularidade: quando traçada manualmente com uma régua sobre pontos no gráfico, sem fazer nenhum cálculo e considerando todos os pontos igualmente relevantes, a reta desenhada se assemelha muito à reta matemática dada pelo MMQ. Isto faz com que o traçado manual seja um processo igualmente aceito para a análise de dados levando a valores aceitáveis dos parâmetros que estão sendo determinados. O MMQ no entanto é mais interessante pois os valores dos coeficientes da reta podem ser determinados com suas incertezas. A relação matemática ou fórmula utilizada em um experimento geralmente não apresenta uma relação linear entre as grandezas mensuráveis. Entretanto é possível definir como estas grandezas são representadas em cada eixo do gráfico e obter o traçado de uma reta. Este processo é chamado de linearização gráfica e será abordado neste capítulo. 0.2. Recordando gráficos Os gráficos a que nos referimos possuem dois ou três eixos perpendiculares entre si onde cada eixo representa uma grandeza dependendente ou independente. Cada eixo é definido segundo o formato: (0.) grandeza [unidade] Assim apenas o valor numérico é colocado no gráfico. A figura mostra um gráfico típico onde no eixo da ordenada temos a potência p/w e na abcissa a frequência f/hz. Ao se ler um valor numérico sobre o eixo, por exemplo 0, entende-se: (0.2) f = 0 f = 0 Hz Hz Material didático para o Laboratório de Eletricidade e Magnetismo elaborado por Milton E. Kayama, docente do Departamento de Física e Química.
2,2 0,9 f = 0 => Hz f = 0 Hz P / W 0,6 0,3 0,0 0 5 0 5 20 25 f / Hz Figura. Esboço de um gráfico da potência p em função da frequência f da voltagem em um circuito. Colocado em destaque a forma de atribuir o valor da grandeza referente a um ponto sobre um de seus eixos. Outras formas aceitas de definir os eixos é, neste exemplo, escrevendo com uma vírgula separando o símbolo da unidade f, Hz ou colocando a unidade entre parênteses f (Hz) 0.3. Gráficos ou fórmulas? Consideremos uma fórmula derivada de um modelo matemático de um experimento que contenha duas grandezas possam ser consideradas como como a variável dependente x e a variável independente y do experimento e uma terceira seja uma grandeza desconhecida z. Através do experimento determina-se os valores de x e y que substituidos na fórmula fornece o valor de z. O processo pode ser repetido várias vezes e com um conjunto grande de dados podemos apelar para métodos estatísticos de análise de dados. Geralmente assumimos uma distribuição gaussiana e atribuimos a z o valor médio dos valores obtidos. E para a incerteza adotamos o desvio padrão da média. O método estatístico supõe um conjunto grande de dados. Isto possibilita uma definição adequada da função distribuição e em consequência, da metodologia para a análise dos dados. No entanto este conjunto de dados é geralmente pequeno. Isto ocorre em muitas experiências em laboratório, como nas deste laboratório de ensino. Neste caso o método mais adequado para a análise de dados utiliza gráficos, que chamamos aqui de método gráfico. Para ilustrar o uso do método gráfico em uma análise de poucos dados vamos supor uma verificação da lei de Ohm dada por U = RI onde U, R e I são respectivamente a diferença de potencial, a resistência e a corrente em um elemento. A figura 2 mostra o gráfico U I considerando três pontos experimentais e duas retas, uma calculada usando o método dos mínimos quadrados (MMQ) e a outra obtida fazendo o cálculo do valor médio de R onde R = U/I. Como mostra a figura a reta usando MMQ se distribui entre os pontos experimentais enquanto que a reta traçada a partir do valor médio de R se aproxima dos primeiros pontos do
0.3. GRÁFICOS OU FÓRMULAS? 3 0 MMQ MÉDIA U / V 5 0 0 2 4 I / A Figura 2. Reta na lei de Ohm calculada usando método dos mínimos quadrados (MMQ) e por valor médio de resistência R no caso de três pontos experimentais. 2 MMQ MÉDIA U / V 0 0 2 I / A Figura 3. Reta na lei de Ohm calculada usando método dos mínimos quadrados (MMQ) e por valor médio de resistência R no caso de 6 pontos experimentais. gráfico. Isto indica que a primeira representa melhor a dependência entre U e I e sua inclinação seria o melhor valor a ser atribuído à resistência do circuito. Consideremos agora um número grande de dados; o gráfico é mostrado na figura 3. Observa-se que as retas calculadas pelos dois métodos convergem, ou seja, torna-se indiferente neste caso usar um método ou outro para a análise de dados. Um outro motivo para usar o método gráfico é que este possibilita verificar a validade e o limite do modelo matemático usado para descrever um dado experimento. Algumas restrições experimentais impostas pelo modelo e não atendidas durante a coleta de dados são geralmente perceptíveis nos gráficos.
4 z / m 400 300 200 z / m t / s 5,0 45 3,0 25 5,0 245 7,0 405 9,0 00 0 0 2 4 6 8 0 t / s Figura 4. Esboço do gráfico z t. 0.4. Linearização gráfica A linearização gráfica consiste em definir as variáveis y e x ao longo de cada eixo de modo que estas apresentem uma relação linear na forma: (0.3) y = ax + b onde a e b são constantes. Tanto x e y como a e b possuem dimensão e unidade. Não podemos mais escrever a = tanθ. Chamamos agora a de coeficiente angular ou inclinação da reta e b de coeficiente linear da reta. Para ilustrar o processo de linearização gráfica considere uma experiência onde é feita a medição do deslocamento z em função do tempo t de um corpo com aceleração constante g governado pela equação: (0.4) z = 2 gt2 Os pontos experimentais colocados em um gráfico z t obedecem a esta equação tendo uma forma parabólica como ilustra a figura 4. Podemos linearizar e obter uma reta fazendo por exemplo: (0.5) (0.6) (0.7) y = z x = t 2 a = 2 g Desta forma a equação fica y = (/2)ax e o gráfico y x ou z t 2 será uma reta como mostra a figura 5. Os pontos experimentais precisam ser recalculados o que leva a um aumento na incerteza dos mesmos. Embora existam diversas formas de se definir os eixos deve-se buscar aquelas que possibilitem redefinir as grandezas nos eixos com menor incerteza. Para isto se evita usar potências elevadas ou grandezas resultantes de muitas operações aritméticas.
0.5. GRÁFICOS EM ESCALA LOGARITMICA 5 z / m 400 z / m t 2 / s 2 300 200 5,0 2 45 3,0 2 25 5,0 2 245 7,0 2 405 9,0 2 00 0 0 20 40 60 80 t 2 / s 2 Figura 5. Esboço do gráfico z t 2. Example 0.. Linearize a fórmula do periodo T do pêndulo simples dada por:: l (0.8) T = 2π g onde l é o comprimento do fio do pêndulo e g a aceleração da gravidade local. Resp: Podemos reescrever 0.8 e associá-la a equação da reta da seguinte forma: T = 2π g l }{{} }{{} }{{} y = a x Fazendo então (0.9) (0.0) (0.) y = T x = l a = 2π g teremos uma reta em um gráfico T l. [a] = /[ g]=sm /2. A unidade do coeficiente angular é 0.5. Gráficos em escala logaritmica Gráficos em escala logaritmica são também muito usados em análise de dados. No apêndice é explicado como esta escala é criada e como utilizá-la. Para ilustrar esta escala exemplificamos a seguir o uso do gráfico monolog e dilog. 0.5.. Função exponencial e gráficos monolog. Consideremos a função exponencial: (0.2) y = a 0 exp( b 0 x ) = a 0 e b 0x
6 onde a 0 e b 0 são constantes. A relação entre x e y não é linear. Podemos no entanto linearizar fazendo: ln y = ln a 0 b 0 x ou conforme y = ax + b com: (0.3) (0.4) (0.5) (0.6) }{{} }{{} }{{} y = b a x y = ln y x = x a = b 0 b = ln a 0 Desta forma o gráfico y x ou ln y x resulta em uma reta. Utilizamos para este fim uma escala logaritmica em um dos eixos. Se em uma folha gráfica, uma do tipo monolog. No gráfico é sempre colocado o valor numérico. Por exemplo, na equação da corrente i na carga do capacitor no circuito RC-série é i = I 0 e t/τ onde I 0 = ε/r e τ = RC sendo R, C, ε e t respectivamente a resistência, capacitância, a fem da fonte e o tempo. Ao fazer o gráfico colocamos na ordenada, no eixo em escala logarítmica, ln(i/a) e na abcissa, no eixo na escala linear, t/s. É possível também escrever ln(i/i 0 ) = e τt e trabalhar com a corrente normalizada que é adimensional. Example 0.2. As placas de um capacitor com capacitância C são carregadas por uma bateria com fem ε ligada em série a um resistor de resistência R. O instante t=0 corresponde ao instante em que o circuito é fechado. A corrente é dada por i = I 0 e t/τ onde I 0 = ε/r e τ = RC. São realizadas medições da corrente em diversos instantes. Os dados da corrente e do tempo (i; t), respectivamente em ampere e segundo, são: (4,0;,0), (2,5;2,0), (,8;3,0), (,0;4,0) e (0,4;6,0). Faça o gráfico da corrente em uma folha monolog. Resp: Figura 6. 0.5.2. Coeficiente angular em gráfico monolog. Considere dois pontos P =(x, y ) e P 2 =(x 2, y 2 ) sobre uma reta no papel monolog. A reta é descrita por ln y = ax + b e portanto: (0.7) (0.8) ln y = ax + b ln y 2 = ax 2 + b Subtraindo a primeira da segunda obtemos o coeficiente angular: (0.9) a = ln y 2 ln y x 2 x Como o numerador é adimensional a unidade deste coeficiente é o inverso da unidade de x, ou, [x]. Example 0.3. Calcule o coeficiente angular da reta obtida do ajuste do exemplo anterior em uma folha monolog. Resp.: Na figura 7. 0.5.3. Gráficos dilog. Para ilustrar o uso do gráfico em escala dilog (ou loglog), considere a relação entre x e y dada por: (0.20) y = c x n
i / A 0,0 8,0 6,0 4,0 2,0,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0.6. APÊNDICE 7 i,/a t / s 4,0,0 2,5 2,0,8 3,0,0 4,0 0,4 6,0 0, 0,0,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 t / s Figura 6. Esboço do gráfico monolog da i t durante a carga de um capacitor em um circuito RC onde c e n são constantes. Vamos supor que se deseja obter o valor de n. Para isso aplicamos o logaritmo em ambos os membros e obtemos: ln y = ln c + n ln x }{{} }{{} }{{} y = b + n x Temos assim uma reta em um gráfico de ln y versus ln x. O coeficiente angular da reta é o próprio coeficiente angular da reta. Dois pontos sobre esta reta tem coordenadas P = (x, y ) e P 2 =(x 2, y 2 ). A equação da reta é ln y = ln c + n x e portanto ln y = ln c + n x e ln y 2 = ln c + n x 2. Então: (0.2) n = ln y 2 ln y ln x 2 ln x Esta equação equivale a medir no gráfico, com uma régua, a distância entre y 2 e y e entre x 2 e x e depois dividir os dois valores. 0.6. Apêndice 0.6.. Papel com escala logarítmica. Para ilustrar a construção de uma folha em escala logarítmica considere os números naturais de a 0, a saber, (,0;2,0;3,0;4,0;5,0;6,0;7,0;8,0;9,0;0,0). Calculando o logaritmo de cada um deles obtemos o conjunto (0,0;0,69;,09;,38;,6;,79;,94;2,08;2,9;2,30). Calculado
8 5 0 ln 0, 4 - ln 5 5,7-0,7 = -0,505 a = -0,505 s - i / A 0,4 0, 0 2 4 6 0,7 5,7 t / s Figura 7. Coeficiente angular no esboço do gráfico monolog da i t durante a carga de um capacitor em um circuito RC com logaritmo na base 0 o conjunto é (0,0;0,30;0,47;0,60;0,69;0,77;,84;0,90;0,95;,0). Estes valores colocados em um eixo com escala linear é mostrado na figura 8. Pela figura vemos que as marcas (os ticks ) dos valores sucessivos vão se aproximando a medida que o número aumenta. Pode-se ver que esta característica se mantêm, independente da base em que o logaritmo foi calculado. Para verificar o que ocorre com decadas sucessivas repetimos fazemos os mesmos cálculos para o intervalo de 0, até 00. O resultado encontra-se no gráfico da figura 9. Pode-se ver que, independente da base em que o logaritmo foi calculado, ocorre a mesma aproximação das marcas com o aumento do número dentro de cada década. Além disso, a distribuição destas marcas é igual para todas as décadas. Assim, em um papel com escala logarítmica, em cada marca do limite de década, a potência de 0 aumenta de uma unidade. O inicio de cada década é identificado pela distância maior entre duas marcas sucessivas. Se esta for, por exemplo, a potência 0 3 a próxima é esta multiplicada por 0, ou seja, 0 2. E assim, sucessivamente. Não existe o zero na escala logarítmica. 0.6.2. Método dos mínimos quadrados. Em um gráfico y versus x podemos usar o Método dos Mínimos Quadrados para ajustar os pontos a uma função qualquer. No caso de uma reta os coeficientes da reta são obtidos analiticamente.
0.6. APÊNDICE 9 Figura 8. Valores de logaritmos na base e=2,7 (superior) e na base 0 (inferior) de números de a 0 colocados em um eixo em escala linear. Figura 9. Valores de logaritmos na base e=2,7 (superior) de números em três décadas colocados em um eixo em escala linear. O desenho inferior ilustra a colocação dos números nas marcas da escala logarítmica.
0 Aqui colocamos apenas os resultados prontos para serem utilizados. De modo geral os pontos estão ajustados a uma equação na forma: (0.22) y = ax + b onde a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear da reta. A seguir mostramos as fórmulas para diversas situações práticas. O caso geral é quando o conjunto de pontos é formado por N pares (x i, y i ) com incertezas diferentes em y. Temos para cada ordenada y i a incerteza σ i, ou: x, y ± σ x 2, y 2 ± σ 2 x N, y N ± σ N Os coeficientes angular a e linear b da equação da reta são dados por: (0.23) a = β (0.24) b = β onde (0.25) β = ( N σ 2 i ( N x i y i σ 2 i y i σ 2 i σ 2 i σ 2 i σ 2 i x i y i σ 2 i σ 2 i x i σ 2 i ( N x i σ 2 i x i y i σ 2 i As incertezas σ a e σ b nestes dois coeficientes são dadas respectivamente por: ) 2 ) ) (0.26) σ 2 a = β σ 2 i σ 2 b = β σ 2 i Um caso mais simples é quando as incertezas em y são iguais. σ = σ 2 =...σ N = σ e os dados ficam como: Neste caso x, y ± σ x 2, y 2 ± σ x N, y N ± σ Os coeficientes angular a e linear b da equação da reta são dados por: ( (0.27) a = N x i y i β N x i y i )
(0.28) b = β onde ( N (0.29) β = N 0.6. APÊNDICE y i N x i ( N ) 2 x i x i y i ) As incertezas σ a e σ b dos dois coeficientes são dadas respectivamente por: (0.30) σ 2 a = N β σ2 σ 2 b = σ2 β 0.6.2.. Reta passando pela origem. Consideremos um conjunto de N dados formados por pares (x i, y i ) onde para cada ordenada y i temos uma incerteza correspondente σ i, ou: x, y ± σ x 2, y 2 ± σ 2 x N, y N ± σ N Para a reta passando pela origem temos b=0. incerteza σ a são dadas por: O coeficiente angular a e a (0.3) (0.32) a = σ 2 a = N N N x iy i σ 2 i σ 2 i Com incertezas iguais em y, ou σ = σ 2 =...σ N = σ, os dados ficam como: σ 2 i x, y ± σ x 2, y 2 ± σ x N, y N ± σ O coeficiente angular a e sua incerteza σ a são: (0.33) (0.34) N a = x iy i σ 2 a = N x2 i σ 2 N x2 i
2 0.6.3. Transferência de incerteza do eixo x ao eixo y. Consideremos um conjunto de N dados formados por pares (x i, y i ) com suas respectivas incertezas σ xi e σ yi. Incorporando as incertezas em x para as incertezas em y teremos o conjunto apenas com incerteza σ yi neste último, ou: x ± σ x, y ± σ y x 2 ± σ x2, y 2 ± σ y2 x N ± σ xn, y N ± σ yn x, y ± σ y x 2, y 2 ± σ y2 x N, y N ± σ yn Supondo x e y são estatisticamente independentes e um comportamento linear de y em torno de cada ponto em x a incerteza transferida σ yi é dada por [( ) ] 2 dy (0.35) σ yi 2 = σyi 2 + σxi 2 dx A derivada pode ser calculada usando o método das diferenças finitas. No ponto x i : ( ) dy = y i+ y i (0.36) dx i 2 x onde x = x i+ x i = x i x i. Para o primeiro e último ponto: (0.37) (0.38) ( dy dx ( ) dy dx ) N i = y 2 y x = y N y N x Caso os pontos sejam ajustados a uma reta utiliza-se o cálculo dos coeficientes e suas incertezas usando o MMQ.