IFBA/Introdução aos Processos Estocásticos/ Prof. Fabrício Simões 1 Lista 1: Processo Estocástico I 1. Esboce o espaço amostral do processo estocástico x(t) = acos(ωt + θ), em que ω e θ constantes e a é uma variável aleatória uniforme no intervalo (-A,A). Verifique se o processo é estacionário. Justifique a sua resposta. 2. Repita o problema anterior considerando a e θ constantes e ω, uma variável aleatória uniforme no intervalo (0,100). 3. Esboce o espaço amostral do processo aleatório x(t) = at + b no qual b é uma constante e a é uma variável aleatória uniforme no intervalo ( 2, 2). Apenas observando o espaço amostral, verifique se o processo é estacionário. 4. Determine E[x(t)] e R x (t 1, t 2 ) para o processo aleatório da questão 1 e determine se o processo é estacionário no sentido amplo. Considere a e θ constantes e ω, uma variável aleatória uniforme no intervalo (0,100). 5. Um processo estocástico dado pela equação X(t) = Y cos(w o t + θ), no qual Y, w o e θ são variáveis aleatórias estatísticamente independentes. Assuma que Y tem uma média igual a 3 e variância igual a 9, que θ é uniformemente distribuído no intervalo [ π, π] e w o é distribuída uniformemente no intervalo [ 6, 6]. (a) Encontre E[x] e E[x 2 ]; (b) O processo é estacionário no sentido amplo? 6. Dado o processo aleatório x(t) = k, no qual k é uma variável aleatória modelada por uma densidade de probabilidade uniforme no intervalo [-1,1], responda: (a) Valor médio de x(t); (b) O processo é estacionário no sentido amplo? (c) O processo é ergódico? (d) Se for estacionário no sentido amplo, qual a sua potência? 7. Repita o problema anterior considerando o processo estocástico x(t) = acos(w c t + φ), nos quais, w c é constante e a e φ são variáveis aleatórias independentes e modeladas por densidade de probabilidade uniforme nos intervalos [-1,1] e [0,2π], respectivamente. 8. O processo aleatório tem função amostral da forma X(t) = A cos(ωt + θ), onde A e ω são constantes e θ é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [ π, π]. Prove que o processo é estacionário no sentido amplo.
IFBA/Introdução aos Processos Estocásticos/ Prof. Fabrício Simões 2 9. Os processos x(t) e y(t) são conjuntamente estacionários no sentido amplo. Defina z(t) = x(t)cos(ω c t) + y(t)sin(ω c t) Quais as condições, em termos de médias e funções de correlação de x(t) e y(t), para que z(t) seja estacionário no sentido amplo? 10. A autocorrelação R x (t) pode ser visualizada como uma medida de similaridade entre x(t) e x(t + τ). Para ilustrar esse ponto, forme o processo y(t) = x(t) ρx(t + τ) e determine o valor de ρ que minimiza o valor quadrático de y(t). 11. Calcule a correlação cruzada entre os processos u(t) = x(t) + y(t) e v(t) = x(t) y(t), dado que x(t) e y(t) têm média zero e são estatisticamente independentes. 12. Encontre a correlação entre os processos V (t) e W(t) definidos abaixo, em que X e Y são variáveis aleatórias independentes com média nula e variância σ 2. V (t) = X cos(ω o t) Y sin(ω o t) W(t) = Y cos(ω o t) + X sin(ω o t) 13. Dois processos estacionários e independentes têm funções amostrais X(t) e Y (t) com funções de autocorrelação dadas por R x (τ) = 25e 10 τ cos(100πτ) R y (τ) = 16 sen50πτ 50πτ Encontre a função de autocorrelação de Z(t) = X(t) + Y (t) e as potências AC e DC de Z(t). 14. A variável aleatória c é unforme no intervalo (0, T). Encontre a correlação R x (t 1, t 2 ) de x(t) = δ(t c). 15. Para cada função a seguir, indique quais podem ser uma densidade espectral de potência de um processo estocástico real. (a) ω 2 (b) ω (c) δ(ω + ω o ) δ(ω ω o ) (d) δ(ω) + 1 16. Um sinal aleatório tem uma densidade espectral de potência dada por Determine a potência deste sinal. S x (ω) = πv 2 2 δ(ω + ω c) + πv 2 17. A função amostral de um processo estocásticos tem a forma x(t) = M, t T 2 δ(ω ω c) A variável aleatória M é uniformemente distribuuida no intervalo [ 6, 18]. a) Encontre o valor médio do processo aleatório; b) Encontre a transformada de Fourier da função amostral; c) Encontre o valor esperado da transformada de Fourier; d) O que acontece com a transformada de Fourier quando T.
IFBA/Introdução aos Processos Estocásticos/ Prof. Fabrício Simões 3 18. Um processo estacionário tem a densidade espectral de potência dada por Encontre o valor médio quadrático do processo. S x (ω) = 1 ω 8π 19. Encontre o valor médio quadrático de um processo estocástico estacionário com densidade espectral de potência dada por S x (ω) = ω2 + 10 ω 4 + 5ω 2 + 8πδ(ω) + 2πδ(ω 3) + 2πδ(ω + 3) + 4 20. Os processos X(t) e Y (t) são conjuntamente estacionários no sentido amplo. Defina Z(t) = X(t)cos(ω c t) + Y (t)sen(ω c t) Quais as condições, em termos das médias e funções de correlação de X(t) e Y (t), para que Z(t) seja estacionário no sentido amplo? Com as condições acima encontre a densidade espectral do processo Z(t). Qual o espectro para o caso de X(t) e Y (t) serem descorrelacionados? 21. Um sinal digital X(t) tem a autocorrelação a seguir R x (τ) = A 2 [1 τ T b ][u(τ + T b ) u(τ T b )], No qual T b é o período do bit. Esboce a função de autocorrelação e determine a potência AC do sinal. Calcule e esboce a densidade espectral de potência do sinal. 22. Dado o sinal X(t) = A[cos(ω 1 t + φ) + sen(ω 2 t + φ)], ache sua função de autocorrelação e densidade espectral de potência. A fase é aleatória com distribuição Uniforme no intervalo [0, 2π]. As freqüências são determinísticas, assim como a amplitude. 23. Calcule a autocorrelação e a densidade espectral de potência do sinal X(t) = A cos(ω o t+θ)+bsen(ω o t+φ), em que A, B e ω o são constantes. As variáveis aleatórias θ e φ são independentes e têm distribuições uniformes no intervalo [0, 2π]. 24. Um sinal X(t) tem autocorrelação R x (τ) = e τ. Calcule a autocorrelação e a densidade espectral de potência do sinal Y (t) = AX(t) + BX(t T) 25. O sinal digital X(t) com autocorrelação a seguir passa por um circuito derivador. R x (τ) = A 2 [1 τ T b ][u(τ + T b ) u(τ T b )], Determine e esboce a função de autocorrelação do sinal de saída. Calcule e esboce a densidade espectral de potência desse sinal. 26. Calcule a autocorrelação do sinal X(t) = V cos 2 (ω o t+φ), em que φ é uma variável aleatória com distribuição Uniforme no intervalo [0, 2π]. A partir da autocorrelação determine a densidade espectral de potência. Faça os gráficos da autocorrelação e da densidade espectral de potência.
IFBA/Introdução aos Processos Estocásticos/ Prof. Fabrício Simões 4 Respostas 1. O processo não é estacionário 2. O processo não é estacionário 3. O processo não é estacionário 4. E[x(t)] = a 100t [sin(100t + θ) sin(θ)] a R x (t 1, t 2 ) = 2 200(t 1 +t 2 ) [sin(100(t a 1+t 2 )+2θ) sin2θ] 2 200(t 1 t 2 ) [sin100(t 1 t 2 )] Não é estacionário no sentido amplo 5. E[x] = 0, E[x 2 ] = 9, e Estacionário no sentido amplo. 6. (a) Média zero (b) O processo é estacionário no sentido amplo (c) Não é ergódico (d) 1/3 7. (a) Média zero (b) Sim (c) Não é ergódico (d) 1/6 8. 9. 10. ρ = Rx(0) σ 2 x 11. R uv (τ) = R x (τ) R y (τ) 12. R V W (τ) = σ 2 sen(ω o τ) 13. R z (τ) = 25 10 τ cos(10πτ) + 16 sen50πτ 50πτ P DC = 0W P AC = 41W 14. 15. (a) e (d) podem ser uma densidade espectral de potência. 16. Pot. total = V 2 2 W 17. a)6, b)x(ω) = 2T M sinc(ωt) c)12t sinc(ωt) d)12πδ(ω) 18. E[x 2 ] = 4 W 19. E[x 2 ] = 47/6 W 20. E[X(t)] = E[Y (t)] = 0 R xy (t 2 t 1 ) = R yx (t 2 t 1 ) = 0 R x (t 2 t 1 ) = R y (t 2 t 1 ) S z (ω) = Sy(ω±ωc) 2 21. Pac = A 2 A 2 T b sinc 2 (ft b ) 22.
IFBA/Introdução aos Processos Estocásticos/ Prof. Fabrício Simões 5 23. R x (τ) = S x (ω) = ( ) A 2 +B 2 ( 2 A 2 +B 2 2 cos(w o τ) ) π[δ(ω ± ω o )] 24. R x (τ) = (A 2 + B 2 )e τ + ABe τ T + ABe τ+t 25. S x (ω) = 2(A2 +B 2 ) 1+ω 2 + 4AB 1+ω 2 cos(ωt) 26. R x (τ) = V 2 4 + V 2 8 cos(2ω oτ) S x (ω) = 2π V 2 4 δ(ω) + V 2 8 πδ(ω ± ω o)