Álgebra Linear - Prof a na Paula TRNSFORMÇÃO LINER Definição: T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, T : V W, se cada vetor v V tem um só vetor imagem w W, que será indicado por w Tv Definição: Sejam V e W espaços vetoriais Uma aplicação T : V W é chamada de transformação linear de V em W se: 1) Tu v Tu Tv para u, v V 2) Tu Tu para u V 3) T0 0 Exemplos: São transformações lineares: 1) T : 2 3 onde Tx, y 3x,2y, x y 2) T : 2 2 onde Tx, y x, y (Transformação identidade) 3) T : 3 2 onde Tx, y, z x 2y z, z 4) T : 2 M 2 onde Tx, y x y 2x y 3x 5y 5) T : V W onde Tv 0 (Transformação nula) 6) T : 2 3 onde Tx, y 3x, x 2y, 3x 6y 7) T : onde Tx 3x 8) D: P n P n onde Df f sendo f a derivada de f Exemplos: Não são transformações lineares: 1) T : onde Tx 3x 1 2) T : 3 2 onde Tx, y, z 3x 2, 2y z 3) T : 2 2 onde Tx, y x 2, 3y 4) T : 2 onde Tx, y x OBS: 1) Uma transformação linear de V em V é chamada operador linear sobre V 2) Se T0 0 não implica que T é uma transformação linear 3) Uma matriz mxn sempre determina uma transformação linear: T : n m E uma transformação linear T : n m sempre pode ser representada por uma matriz mxn Propriedades: Seja T : V W uma transformação linear: 1) Ta 1 v 1 a 2 v 2 a 1 Tv 1 a 2 Tv 2 para v 1, v 2 V 2) Ta 1 v 1 a 2 v 2 a n v n a 1 Tv 1 a 2 Tv 2 a n Tv n para v i V 3) Sejam v 1, v 2,,v n uma base do domínio V e v V tal que v a 1 v 1 a 2 v 2 a n v n plicando a transformação linear T, tem-se Tv a 1 Tv 1 a 2 Tv 2 a n Tv n 33
Exemplo: Seja T : 3 2 uma transformação linear e B v 1, v 2, v 3 uma base do 3, sendo v 1 0, 1, 0, v 2 1, 0, 1 e v 3 1, 1, 0 Determinar T(5,3,-2), sabendo que Tv 1 1,2, Tv 2 3, 1 e Tv 3 0, 2 Resp: (-10,20) Exercício 1: Seja T : 3 3 definida por: Tx, y, z x 2y 2z, x 2y z,x y 4z a) Determinar o vetor u 3 onde Tu 1, 8, 11 Resp: 1, 2,3 b) Determinar o vetor v 3 onde Tv v Resp: z2,1, 1, z Exercício 2: Seja T : 2 3 uma transformação linear onde T1,1 3, 2,2 e T1, 2 1, 1, 3 Determinar Tx, y Resp: 7x 4y, 3x y, x y Matriz de uma Transformação Linear Sejam T : V W uma transformação linear, onde dimv n e dimw m Sejam uma base de V e B uma base de W plicando a transformação linear em v a 1 v 1 a 2 v 2 a n v n V, tem-se Tv a 1 Tv 1 a 2 Tv 2 a n Tv n, onde v a 1, a 2,,a n Mas Tv W, portanto, precisa encontrar Tv B Portanto, Tv B T B v onde T B é a matriz de T em relação às bases e B de ordem mxn, onde cada coluna é formada pelos componentes das imagens dos vetores de em relação à base de B: T B Tv 1 B Tv 2 B Tv n B OBS: 1) Fixadas as bases de V e W, a matriz T B é única 2) No caso de serem e B as bases canônicas de V e W, respectivamente, representa-se a matriz simplesmente por T, que é chamada de matriz canônica de T 3) Para um operador linear sobre V, T : V V, a matriz de T em relação à base é representada por T Exemplos: s matrizes canônicas das transformações lineares são: 1) T : 2 3 onde Tx, y 3x,2y, x y matriz canônica é dada por: 3 0 0 2 1 1 34
2) T : 2 2 onde Tx, y x, y (Transformação identidade) matriz canônica é dada por: 1 0 0 1 3) T : 3 2 onde Tx, y, z x 2y z, z matriz canônica é dada por: 1 2 1 0 0 1 4) T : V W onde Tv 0 (Transformação nula) matriz canônica é dada por: 0 5) T : 2 3 onde Tx, y 3x, x 2y, 3x 6y matriz canônica é dada por: 3 0 1 2 3 6 Exemplo: Seja T : 3 2 definida por: Tx, y, z 2x y z, 3x y 2z Considere 1, 1, 1,0, 1, 1,0, 0, 1 base de 3 e B 2, 1,5, 3 base do 2 a) Determine T B b) Se v 3,4, 2 (em relação à base canônica do 3 ), calcular Tv B, utilizando a matriz encontrada Resp: a) 4 5 13 2 2 5 b) (31,-10) Exemplo: Encontrar T para Tx, y 3x 2y, 4x y, x onde e B são as bases canônicas do 2 e 3 Resp: 3 2 4 1 1 0 Exercício 3: Dadas as bases 1, 1,1, 0 do 2 e B 1, 2, 0,1, 0,1,1,1, 3 do 3 Determinar a transformação linear T : 2 3 cuja matriz T B 2 0 1 2 1 3 Resp:x y, 3x 8y, 11x 15y) 35
Operações dição: Sejam T 1 : V W e T 2 : V W Chama-se a soma de transformações lineares por: T 1 T 2 : V W v T 1 T 2 v T 1 v T 2 v Se e B são bases de V e W, respectivamente, temos: T 1 T 2 B T 1 B T 2 B Multiplicação por escalar: Sejam T : V W e Chama-se o produto de T pelo escalar por: T : V W v Tv Tv Se e B são bases de V e W, respectivamente, temos: T B T B Composição: Sejam T 1 : V W e T 2 : V U Chama-se aplicação composta de T 1 em T 2 por: T 2 ot 1 : V U v T 2 ot 1 v T 2 T 1 v Se, B e C são bases de V, W e U respectivamente, temos: T 2 ot 1 C T 2 C B T 1 B Exemplo: Sejam T 1 : 2 3 e T 2 : 2 3 e 1, 0,0, 1 uma base do 2 e B 1, 0, 0,0, 1, 0,0, 0, 1 base do 3 T 1 x, y x 2y, 2x y, x T 2 x, y x, y, x y Determinar a) T 1 T 2 b) 3T 1 2T 2 Resp: a) (2y,2x,2xy) b) (5x6y, 6x-5y, x-2y) Exemplo: S e T operadores lineares do 2 Determinar: a) SoT b) ToS Resp: a) (2x, x-y) b) (2x, 2x-y) definidos por Sx, y 2x, y e Tx, y x, x y 36
OBS: 1) ToS SoT, em geral Isto é, não é comutativa 2) Composição de 3 ou mais transformações lineares, como T T 3 ot 2 ot 1 matriz canônica da transformação composta será T T 3 T 2 T 1 Transformação Linear Inversa Definição: Seja T : n n um operador linear T é uma transformação linear inversível, isto é, T 1 : n n se e somente se a matriz canônica de T é inversível, isto é, det 0 e a matriz canônica de T 1 é T 1 Exemplo: Seja T : 2 2 a) Encontre T 1 x, y b) Calcule T 1 5, 5 onde Tx, y 2x y, 3x 4y OBS: Se T é inversível e T 1 é a sua inversa Então ToT 1 T 1 ot I (identidade) Exemplo: Seja T : 2 2 onde Tx, y 4x 3y,2x 2y a) Mostre que T é inversível b) Encontre T 1 x, y b) 1 3 2 1 2 Transformações lineares especiais Entende-se por transformações lineares planas as transformações de 2 em 2 e transformações lineares no espaço as transformações 3 em 3 lgumas delas têm interpretações geométricas e têm especial importância São elas: reflexões, diltações e contrações, projeções, cisalhamentos e rotações Para transformações lineares de 2 em 2 : reflexão leva cada ponto x, y para sua imagem simétrica em relação aos eixos dos x, y, das retas y x ou da origem Vejas as transformações 1 a 5 na tabela dilatação acontece quando 1Isto é, aumenta o comprimento do vetor Se 1, além de dilatar, muda o sentido do vetor contração acontece quando 1 Se 1, a transformação é a identidade Veja as transformações 6 a 8 na tabela Se 0, a transformação será uma projeção ortogonal sobre o eixo x ou sobre o eixo yveja as transformações 7 e 8 na tabela O efeito do cisalhamento é transformar um retângulo em paralelogramo de mesma base e mesma altura Veja as transformações 9 e 10 na tabela rotação gira um vetor de sua posição inicial em torno da origem em relação a um ângulo 37
imagem do vetor tem o mesmo comprimento Veja a transformação 11 na tabela Para transformações lineares de 3 em 3 : reflexão leva cada ponto x, y, z para sua imagem simétrica em relação aos planos coordenados, aos eixos coordenados ou da origem Veja as transformações 12 a 18 na tabela s transformações de dilatação, contração e projeção ortogonal são equivalentes em 2 Veja a transformação 19 na tabela O efeito do cisalhamento é equivalente em 2 rotação no 3 é efeita em torno dos eixos coordenados x, y ou z, fazendo o vetor descreve um ângulo Veja as transformações 20 a 22 na tabela Exercício: O plano sofre uma rotação de um ângulo seguir experimenta uma dilatação de 3 fator 4 na direção do eixo x e, posteriormente, uma reflexão em torno da reta y x Qual a matriz que representa a única transformação linear e que tem o mesmo efeito do conjunto das três transformações citadas? Exercício: plique a transformação anterior nos seguintes vértices de um triângulo eqüilátero: 2, 1, B6, 1 e C4 3, 2 3 Faça a figura da transformação Exercício: Calcular o ângulo formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno dos eixos dos z de um ângulo, nos seguintes casos: 1) 180 e v 3, 0, 3 2) 90 3 e v, 2, 2 2 2 4 2 38