REPRESENTAÇÃO DE SUPERFÍCIES Introdução ao Projeto e Manufatura assistido por Computador PROF. ALTAMIR DIAS 17/4/2001 1
Introdução Superfícies são usadas: projeto de forma e representação de objetos complexos descrição mais precisa dos objetos pode ser extendida para projeto geométrico usada para cálculo de propriedades de engenharia massa, interferência, secções transversais, malhas, etc. Criação exige mais dados requer no mínimo entidades em wireframe ex: uma ou duas curvas; A escolha depende das aplicações não há uma solução simples para todos os problemas deve ser adequada para projeto e representação 2
Modelos baseados em superfícies são mais complexos são menos ambíguo são mais rico em dados Comparado ao modelo wireframe podem ser considerado uma extensão do modelo wireframe Diferenças modelos de superfícies definem somente a geometria do objeto não há informação armazenada --> somente topológica a criação se dá pelo uso de entidades wireframe a partir delas se cria a própria superfície, conectando-as apropriadamente Construção modelos deve ser criados numa vista isométrica torna mais claro o processo de criação e visualização a criação deve ser orientada, para asegurar uma superfície correta 3
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Entidades podem ser:» analíticas: planos, ruled, revolução e tabuladas» sintéticas: Hermite, B-spline, Bezier, Coons, Gordon são baseadas nas propriedades matemáticas» capacita o usuário escolher adequadamente a superfície para a aplicação» permite o usuário entender melhor a documentação e os modificadores associados a cada entidade 5
Planos: são definidos por três pontos não colineares gera secções transversais é um elemento auxiliar na construção de modelos de superfícies 6
Ruled (Lofted): também é uma superficie linear resulta de uma interpolação linear entre duas curvas 7
De revolução: gera um objeto axisimétrico definido pela rotação de uma entidade planar em torno de um eixo 8
Cilindro Tabulado translação de uma curva plana ao longo de uma direção especificada a curva plana é perpendicular à diretriz 9
Superfícies de forma livre: Bezier: é uma superfície que aproxima um conjunto de dados não passa por todos os pontos tem-se o controle global da superfície 10
B-spline: idêntica a formulaçõa à Bezier possui controle local da superfície 11
Coons: geradas por um conjunto de curvas fechadas 12
Conectores de superfícies (fillets) Offset: cópia de superfícies 13
Representação de Superfícies são descritas no espaço Cartesiano 3D, por equações paramétricas ou não paramétricas dado um conjunto de pontos, a superfície pode ser: interpolante sem interpolação: pontos são usados para gerar a superfície aproximada Formulação Geral: P=[ x y z ] T =[ x y f x, y ] T» P é um ponto sobre a superfície» a forma natural de f(x,y) ao passar pelos pontos dados é uma polinomial do tipo: p z= f x, y = m=0 q n=0 a mn x m y n» x, y formam uma grade com (p+1) x (q+1) pontos. 14
Formulação paramétrica P u =[ x y z ] T =[ x u, v y u, v z u, v ] T u min u u max, v min v v max o espaço paramétrico E 2 é mapeado no espaço cartesiano E 3 as variáveis u e v são restritas a um intervalo finito superficies podem ser modeladas a partir de segmentos de superfície os segmentos podem ser retangular ou triangular» segmentos triangulares são mais flexíveis: não requerem ordenação dos pontos de entrada são definididas como analíticas ou sintéticas, como já foi mostrado na definição das entidades métodos para gerar superfícies sintéticas: tensor, racional, e por ajuste 15
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Método tensorial mais usado, mais simples e mais difundido envolve o produto de funções bases univariadas (polinomiais) as propriedades podem ser deduzidas da base das curvas mapeia um domínio retangular (u,v) serve para gerar segmentos de superficies com quatro lados (retangulares*) define uma orientação única da superfície Condições de fronteiras associados ao segmentos de superfícies quatro vetores de posição dados nos cantos oito vetores tangentes nos cantos quatro vetores de torção dados nos cantos Geração da superfície fixa-se uma coordenda (u) e gera a curva em v, e vice-versa. Especifica-se uma malha (n x m) curvas para visualizar a superf. 17
Análise geométrica» vetores tangentes: ajuda a determinar caminho de ferramentas sobre superfícies» vetores normais: usados para aproximação e afastamento da superfície Usa-se geometria diferencial» comprimentos, áreas, ângulos e curvaturas Vetor tangente: P u u, v = P u = x u y u z u P v u, v = P v = x v y v z v Vetor torção: mede a taxa de variação de P u com respeito a v P uv u, v = 2 P u v = 2 x u v 2 y u v 2 z u v 18
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O vetor torção depende: das características geométricas da superfície da parametrização P uv 0 não implica torção Vetor normal N u, v = P u P v =P u P v normal à superficie igual a zero significa:» ponto de reversão, estreitamento ou autointersecção da superfície» ou ainda P u e P v são paralelas 20
Cálculo da distância entre dois pontos dois pontos podem ser conectados por diferentes caminhos vamos usar o caminho mínimo: ligados por uma linha reta assim: a distância entre o ponto (u,v) e (u+du, v+dv) sobre a superfície dá: ds 2 =P u P u du 2 2 P u P v dudv P v P v dv 2» ou ds 2 =Edu 2 2 Fdudv Gdv 2» E, F e G definem a primeira forma fundamental da superfície, ou coeficientes da superfícies» definem a base para medidas de comprimentos, áreas, e especificação de direções e ângulos sobre uma superfície. Distância entre dois pontos: S= t a 2 2 t b E u 2 F u ' v ' G v dt» u =du/dt, v =dv/dt S -> distância geodésica 21
A primeira forma fundamental dá a distância ds no plano tangente da superfície; a distância perpendicular ao plano tangente da superficie é dado por: 1 2 dh 2 =n P uu du 2 2 n P uv dudv n P v dv 2 ou 1 2 dh 2 =Ldu 2 2 Mdudv Ndv 2 que define a segunda forma fundamental da superfície e forma a base para o cálculo da curvatura da mesma --> usa derivadas segunda da equação da superfície 2 2 2 2 v L u 2 M u ' v ' N E u 2 F u ' v ' G v k= = 1 k 22
Curvatura Gaussiana e curvatura média K= LN M 2 EG F 2 H= EN GL 2 FM 2 EG F 2 as curvaturas principais são dadas por: k max =H H 2 K k min =H H 2 K Curvatura Gaussiana pode ser:» positiva, negativa ou zero» superficie com curvatura gaussiana em qualquer lugar são chamada de desenvolvíveis Plano Tangente: n Q P = P u P v Q P =0 23
Superficies analíticas Planos: a)definido por três pontos no espaço: P u, v =P 0 u P 1 P 0 v P 2 P 0 b) definidos por dois vetores r e s: L P u, v =P 0 ul u r vl v s u e L v definem as dimensões do plano c) definido por dois planos e paralelo ao vetor r: P u, v =P 0 u P 1 P 0 vl v r d) passa por P 0 e normal a n: P P 0 n=0 a base de dados inclue: normal n, um ponto P 0 e os eixos u e v dados no MCS 24
Superficie Ruled é gerada pela junção linear (uma linha reta) de duas curvas (G (u), Q(u)) no espaço geração da superfície em u=u i juntando os pontos de G i e Q i generalizando: Superfície de Revolução rotação de uma curva plana de um ângulo v em torno de um eixo de rotação P u i, v =G i v Q i G i P u, v =G u v Q u G u» para cada ponto da curva se tem um circulo, com raio r z (u)» assume-se o eixo z como o eixo de rotação P u, v =r z u cos v r z u sin v z u 25
Superfície ruled Superfície de revolução 26
Cilindro Tabulado translação de uma curva ao longo de uma direção» curva plana é a diretriz» linha reta é a geratriz a linha reta fica paralela ao vetor que define o cilindro P u, v =G u vn v» G(u) é curva que define o cilindro» v é o comprimento do cilindro» n v é o eixo do cilindro Base de dados do cilindro 27
Superfícies Sintéticas Superfície de Hermite usando uma formulação bi-cúbica 3 3 P u, v = i=0 j=0 c ij u i v j 0 u 1 0 v 1 na forma matricial P u, v =U T CV onde C é uma matriz do tipo: [c33 c3 c3 c30 2 1 c 2 3 c 22 c 21 c 2 0 c 13 c 12 c 1 1 c 10 c 03 c 0 2 c 0 1 c 00 ] 28
Usando condições de contorno é possível escrever a equação da superficie de Hermite em termos de condições de fronteira: P u, v =U T M H BM H V onde B fornece as condições de fronteira: P0 P0 Pv Pv 0 1 0 0 0 1 P B=[ 1 0 P 1 1 P v1 0 P v1 1 ] P u 0 0 P u 0 1 P uv 0 0 P uv0 1 P u1 0 P u1 1 P uv1 0 P uv1 1 as submatrizes acima são obtidos a partir das condições de contorno nos cantos do segmento de superfície 29
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A polinomial cúbica pode ser escrita como: P u, v =[ F 1 u F 2 u F 3 u F 4 u ] [ B ][F1 v F 2 v F 3 v F 4 v ] suas derivadas: P u u, v =[ G 1 u G 2 u G 3 u G 4 u ] [ B ][F 1 v F 2 v F 3 v F 4 v ] P uv u, v =[ G 1 u G 2 u G 3 u G 4 u ] [ B ][G1 v G 2 v P v u, v =[ F 1 u F 2 u F 3 u F 4 u ] [ B ][G1 v G 2 v G 3 v G 4 v ] G 3 v G 4 v ] F é uma polinomial cúbica e G sua derivada primeira 31
Condições de continuidade entre segmentos de superfícies Superfície de Ferguson B=[ P0 0 P01 Pv00 Pv01 assume que os vetores torção são nulos nos cantos P 1 0 P 11 P v1 0 P v1 1 ] P u 00 P u01 0 0 P u10 P u1 1 0 0 facilita cálculo de caminho sobre a superfície» a tangente nos cantos pode ser aproximado pela posição e a corda que junta os pontos» tem características similar as curvas cúbicas splines 32
Superfície de Bezier é uma extensão das curvas de Bezier um conjunto de pontos ordenados é usado para construir um segmento de superfície retangular a equação é dada por: n m P u, v = i=0 j =0 P ij B i, n u B j, m v 0 u 1 0 v 1 P ij são os pontos de controle B i,k são as funções de Bernstein para cada direção características:» interpolas os pontos de controle dos cantos» possui um casca convexa em torno dela (poliedro) 33
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Superfície B-spline o método anterior pode ser extendido para descrever uma superfície B-spline um conjunto de pontos cria a superficie forma um contorno convexo (poliedro) controla a forma da superfície pode aproximar ou interpolar os vértices do poliedro o grau da superfície independe do número de pontos de controle a continuidade é mantida através da superfície devido as funções de ajuste n m P u, v = i=0 j=0 P ij N i, n u B j, m v 0 u u max 0 v v max 35
n m P u, v = i=0 j=0 P ij N i, n u B j, m v B j, m v são funções bases splines 0 u u max 0 v v max 36
Superfície de Coons um segmento de superfície de Coons é uma forma de interpolação transfinita interpola um número infinito de pontos: todos os pontod de um segmento de curva para gerar a superfície é usado em ajustar quatro contornos numa superfície dado P(u,0), P(1,v), P(u,1) e P(0,v) gerar um superfície que função P(u,v) ajusta melhor as curvas? Usar um interpolação bilinear entre dois contornos gerando duas superfícies: resultando em: P 1 u, v = 1 u P 0, v up 1, v P 2 u, v = 1 v P u,0 vp u,1 P u, v =P 1 u, v P 2 u, v 37
P 1 u, v = 1 u P 0, v up 1, v P u, v =P 1 u, v P 2 u, v P 2 u, v = 1 v P u,0 vp u,1 38
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O segmento de superfície resultante não satisfaz as condições de contorno P u,0 =P u,0 [ 1 u P 0,0 up 1,0 ] P u,1 =P u,1 [ 1 u P 0,1 up 1,1 ] os termos entre colchetes teriam que ser eliminados para se ter o segmento de curva em v = 0 e v = 1. Eles definem o terceiro termo da equação P 3 u, v = 1 v [ 1 u P 0,0 up 1,0 ] e assim: v [ 1 u P 0,1 up 1,1 ] P u, v =P 1 u, v P 2 u, v P 3 u, v 40
A equação anterior define o segmento bilinear de Coons P u, v = [ 1 1 u u ][ 0 P u,0 P u,1 ][ P 0, v P 0,0 P 0,1 P 1, v P 1,0 P 1,1 1 ] 1 v v esta superfície admite somente continuidade C 0 Para garantir continuidade C 1, pode ser usado polinomiais de Hermite, na equação bilinear P 1 u, v = 2 u 3 3u 2 1 P 0, v 2 u 3 3u 2 P 1, v P 2 u, v = 2 v 3 3 v 2 1 P u,0 2 v 3 3 v 2 P u,1 Isso implica que a nova superficie de Coons, com continuidade C 1 é dada por: 41
Superficie de Coons com continuidade C 1 P u, v = [ 1 F 1 u F 2 u ][ ][ 0 P u,0 P u,1 P 0, v P 0,0 P 0,1 P 1, v P 1,0 P 1,1 1 F 1 v F 2 v ] Formulação de superfície de Coons com informação de derivadas nos cantos são dadas na equação Formulações mais sofisticadas existem na literatura. Ajuste de Superfícies conexão de duas superfícies ou segmentos inclue usar o conceito de continuidade é fornecido os pontos nos cantos e suas tangentes. 42
Offset de uma superfície dado uma superfície achar a superfície offset P u, v offset =P u, v n u, v d u, v n(u,v) - normal à superfície original d(u,v) - distância da nova superfície Segmento Triangular útil quando a superfície não poder ser modelada por segmento retangulares usa três parâmetros u,v,w são usados no domínio paramétrico são chamadas de coordenadas baricêntricas w é dependente de u e v (u+v+w = 1) um segmento de Bezier é dado por: P u,v, w = i, j, k P ijk B i, j, k, n u, v, w 0 u 1 0 v 1 0 w 1 43
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As funções de Bernstein são dadas por: P i,j,k são pontos de controle;» o número é dado por: (n+1)(n+2)/2 -- n é a ordem do segmento de Bezier a ordem de entrada dos pontos segue uma organização piramidal Superfície Paramétrica Racional P u, v = B i, j, k, n = n! i! j! k! ui v j w k n m j=0 i=0 n m i=0 j=0 P ij h ij F i u F j v h ij F i u F j v 45
Manipulações de Superfície Exibição: mais simples: gerar malhas de curvas um parâmetro é feito constante de cada vez pode se ter um modificador de tamanho da malha usar normais a superfície: melhora a exibição usa-se segmentos de retas sombreamento ver técnicas mais adiante ( Ammeraal) Cálculo de pontos sobre a superfície determinar o valor de u e v no espaço paramétrico o método de diferenças finitas de curvas, também pode ser usado método inverso: dado x, y e z achar u, v solução de sistemas não lineares - via método numérico 46
Segmentação reparametrização de uma superfície, mantendo o grau de suas polinomiais seja um segmento de superfície definido u = u 0, u m e v = v 0, v m deseja-se dividir a superfície no ponto P 1, dado em (u 1, v 1 )» se o ponto é dado em coordenadas cartesianas a solução inversa deve ser achada: determinar (u 1, v 1 ) introduzindo novas variáveis u 1 e v 1 entre (0, 1) pode ser escrito u 1 =u 0 u 1 u 0 u v 1 =v 0 v 1 v 0 v Subsegmento 1» os outros segmentos são determinados de forma similar 47
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Recorte de superficie pode ser como um problema de segmentação ou intersecção dado dois pontos na fronteira: tem-se o problema de segmentação dado outra superficie interceptante: problema de intersecção Intersecção envolve resolver um problema não linear intersecção superfície/curva intersecção superfície/superfície intersecção superfície/curva P u, v P w =0 P(u,v) = 0 e P(w) = 0 são equações paramétricas» fornece três equações, onde u, v, w são desconhecidas» uma solução: usar método de Newton-Raphson 49
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Intersecção superfície/superfície P u, v P t, w =0 P(u,v) = 0 e P(t,w) = 0 são equações das superfícies tem-se três equações escalares em função de quatro variáveis problema sobrespecificado:» é preciso reduzir a solução ao problema de intersecção superfície curva» ou introduzir uma nova restrição Projeção projetar pontos, retas, curvas e superficies Projeção de um ponto ao longo de uma direção r e calcular a coordenada do ponto Q ( projetado ) equação do plano: equação da reta projetada: resolver: P u, v =a bu cv P w =P 0 rw P u, v P w =0 51