Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas
Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Objetivos desta Unidade Esta unidade tem o objetivo de dar continuidade ao estudo das funções, abordando as funções exponenciais e logarítmicas, frequentemente utilizadas para resolver problemas de administração e, em especial, aqueles envolvendo cálculos financeiros. Complementarmente se estudará as progressões aritméticas e geométricas, que são a base para o cálculo de juros na matemática financeira. Funções Exponenciais Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número a estão definidas por: a é chamada de base da potência e n o seu expoente. Na prática, um expoente fracionário é equivalente a se tirar a raiz do número. Veja o exemplo: Se a for negativo, então algumas das potências fracionárias de a terão valores fora do campo dos números reais, como por exemplo: 2 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Este tipo de consideração, no entanto, foge ao escopo de nosso estudo, pelo que para expoentes fracionários sempre consideraremos a condição de a 0. Nestas condições, uma função ou equação exponencial nunca terá uma raiz (terá como resultado de cálculo um valor igual a zero). Por consequência, a função sempre será positiva. Comportamento das Funções Exponenciais Considerando o valor de a, temos duas condições: Quando a está compreendido entre 0 e 1, a função é decrescente. Quando a é maior que 1, a função é crescente. Veja os gráficos: Figura 14 - Potências de Bases Maiores Que 1 Figura 15 - Potências de Bases Entre 0 e 1 Observe que se a = 1, teremos uma função constante. 3 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Propriedades das Funções Exponenciais A seguir se apresenta as principais propriedades das funções exponenciais. As propriedades básicas, das quais todas as outras derivam, são: O produto de exponenciais de mesma base é igual a esta base elevada à soma dos expoentes dos fatores multiplicados: A divisão de exponenciais de mesma base é igual a esta base elevada à diferença entre o expoente do numerador e o expoente do denominador. Outras propriedades derivadas das propriedades básicas são: Qualquer número diferente de zero, elevada a zero resulta em 1: Qualquer número elevado 1 é igual e este mesmo número: Qualquer potência de um número, elevada a outra potência, é igual a este número elevado ao produto das duas potências: Duas potências iguais de bases diferentes, quando multiplicadas, dão como resultado o produto das bases elevado àquela potência: 4 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Equações Exponenciais Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. São exemplos de equações exponenciais: Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases. Assim, considerando a equação como um todo, podemos dizer que os expoentes também serão iguais. Observe a resolução da seguinte equação exponencial: Se fatorarmos o número 2187, teremos que ele é igual a 3 7. Substituindo isto na equação original, temos: E, considerando-se a igualdade como um todo, podemos concluir que x = 7. Vejamos outra equação: Após a fatoração de 1024, temos: 5 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Exemplo 1 Para igualarmos as bases, é preciso lembrar que qualquer base elevada a zero é igual a 1. Então teremos: Disto resulta que: Para saber o(s) valor(es) de x, basta resolver a equação do 2º grau que acabamos de determinar. Funções Logarítmicas Toda função é denominada função logarítmica de base a se for definida pela lei de formação: Lê-se a expressão acima como logaritmo de x na base a. Em especial, a variável x neste caso recebe o nome de logaritmando ou antilogaritmo. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Na prática, achar um logaritmo de um número equivale a achar o expoente que transforma a base considerada neste número. Veja o exemplo: 6 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
A resposta para esta equação exponencial é simples: x deve ser igual a 2 para que a igualdade seja verdadeira. Mas muitos não sabem que estamos resolvendo um problema de logaritmos quando tratamos equações exponenciais deste tipo: Se dizer que o logaritmo de 9 na base 3 é igual a 2 significa que 3 elevado a 2 será igual a 9. Na prática, se pode transformar qualquer problema de logaritmos em um problema exponencial equivalente. Gráfico de Uma Função Logarítmica Assim como procedemos com as funções exponenciais, devemos dividir as considerações da representação gráfica das funções logarítmicas em dois casos: Quando a base do logaritmo for maior que 1, teremos uma função crescente. Figura 16 - Log em uma Base Maior Que 1 7 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Quando a base do logaritmo estiver entre 0 e 1, teremos uma função decrescente. Figura 17 - Log Em uma Base ente 0 E 1 Note que em qualquer situação, o gráfico da função logarítmica está sempre à direita do eixo y e que a raiz da função logarítmica, em qualquer base, é 1. Propriedade da Função Logarítmica As propriedades da função logarítmica são totalmente equivalentes às propriedades das funções exponenciais. Veja a tabela comparativa: Tabela 8 Relação entreas Propriedades dos Logaritmos e as das Exponenciais 8 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Eis alguns exemplos de logaritmos: Mudança de Base As calculadoras existentes no mercado conseguem calcular o logaritmo de qualquer número, mas trabalham em geral, apenas em duas bases: a base decimal e a base neperiana. A base neperiana é assim chamada porque o valor da base é igual à constante de Neper: 2,71828183. Esta constante é frequentemente referenciada em cálculos financeiros ou de economia, entre outros, daí se dar destaque ao uso dela quando é utilizada como base para cálculo dos logaritmos. Neste ponto vale a pena se mencionar duas convenções utilizadas quando se trabalha com logaritmos. Assim como acontece com as operações de raiz, onde sempre que queremos calcular a raiz quadrada de um número não se precisa indicar o 2 na raiz, no caso dos logaritmos temos duas convenções equivalentes. Quando a base do logaritmo desejado é 10, usualmente não se escreve a base: E quando usamos a base neperiana, ao invés de se escrever log, escreve-se ln : 9 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Agora, suponha que você queira calcular o logaritmo de 49 na base 7: É claro que, pela definição inicial, a resposta para isto é 2, porque 7 elevado ao quadrado é igual a 49. Mas vamos supor que você não soubesse disto e desejasse calcular este resultado com uma calculadora que tenha uma função logarítmica: decimal ou neperiana. Neste caso, existe um recurso simples. Para todo e qualquer logaritmo em uma base se pode escrever: Isto significa que, se não temos como calcular o logaritmo de um número em uma determinada base, porque não se tem uma calculadora que o faça de forma direta, temos o recurso de calcular o logaritmo deste número em outra base; calcular o logaritmo da base original nesta outra base; e se dividir um resultado pelo outro, conseguindo da resposta ao problema original: Para o nosso caso teríamos: O mesmo vale para uma calculadora que só tenha a função logarítmica na base neperiana (que é o caso da calculadora HP 12c): Resumidamente, temos um problema típico de logaritmo quando nossa incógnita está em um expoente. 10 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Exemplo 2 Se um cavalo engorda 10% ao mês. A partir de um peso inicial (x), quando ele irá dobrar o seu peso (x)? Primeiramente devemos entender como cresce o peso do cavalo do problema. Se o peso inicial dele era 100 kg, a tabela a seguir mostra a evolução do peso ao longo dos três primeiros meses: Tabela 9 Evolução do Peso de um Cavalo Note que para cada mês se deve multiplicar o peso anterior por 1,1. Neste caso para o mês m se deverá multiplicar o peso inicial m vezes por 1,1. E quando se espera que o peso esteja dobrado, teremos a equação: Neste caso se percebe que não importa qual o peso inicial do cavalo, porque para resolver a equação podemos simplificar o fator P nos dois lados da equação: 11 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Agora, já que temos uma igualdade, se aplicarmos a mesma operação dos dois lados da igualdade, continuaremos a ter uma igualdade. A operação que iremos aplicar é o logaritmo: Usando-se a propriedade dos logaritmos, referente ao logaritmo de uma potência, nós teremos: Substituindo-se esta expressão na igualdade inicial: Isto significa que o cavalo levará pouco mais de 7 meses para dobrar de peso. Você precisa fixar este tipo de encaminhamento de solução de problemas, porque o mesmo raciocínio se aplica ao cálculo do tempo necessário para que uma determinada aplicação tenha um rendimento previamente desejado. Progressões Aritméticas Sequência numérica é todo conjunto de números cujos elementos obedecem a uma determinada ordem. Existem sequências infinitas como, por exemplo, a sequência dos números naturais pares em ordem crescente: (0, 2, 4, 6, 8,...). C Cada elemento de uma sequência também pode ser denominado de termo da sequência e em uma sequência, o termo que ocupa a posição de número n é indicado pelo símbolo a n. 12 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Isto é: a 1 indica o primeiro termo da sequência; a 2 indica o segundo termo da sequência; a 3 indica o terceiro termo da sequência;... a n indica o enésimo termo da sequência. Toda sequência numérica tem uma Lei de Formação, isto é, um conjunto de informações capazes de determinar todos os termos da sequência, assim como a ordem em que se apresentam. Consideremos, agora, a situação descrita a seguir. Quando a quantidade de água de um reservatório atinge o mínimo de 5 m 3, é aberto um registro, automaticamente, despejando-se 4 m 3 de água por hora neste reservatório, até completar sua capacidade, que é de 45 m 3. A sequência a seguir apresenta a quantidade, em metros cúbicos, contida no reservatório, de hora em hora, a partir do instante que foi atingida a quantidade mínima: (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45) Essa sequência numérica é chamada de Progressão Aritmética (PA), porque se adicionando uma mesma constante a cada termo, obtém-se o termo seguinte: neste caso a constante adicionada é 4. Progressão Aritmética é, então, toda sequência numérica em cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo precedente (anterior) com uma constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética. 13 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
As Progressões Aritméticas podem ser: Crescentes: quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a razão seja positiva. Exemplo: (2, 4, 6, 8...). Decrescentes: quando em cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecedente. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a razão seja negativa. Exemplo: (15,12, 9,6...). Constantes: quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a razão seja igual a zero. Exemplo: (5, 5, 5, 5...). Termo Geral de uma PA Consideremos a PA de razão r : (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,... a n...) Qualquer termo dessa PA pode ser representada em função de a e de r : observe: (a 1 + 0r; a 1 + 1r, a 1 + 2r, a 1 + 3r,...), Isto quer dizer, que qualquer termo an é igual à soma de a1 com o produto: (n-1) r Ou seja, a fórmula do termo geral da PA pode ser expressa como: a n =a 1 +(n-1) r Desta fórmula se pode deduzir que numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Veja o exemplo anterior: (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45) Temos então: 5+45=9+41=13+37=17+33=21+29 14 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
E se a PA tiver um número de termos ímpar, o termo central será igual à metade da soma dos extremos: Soma dos n Primeiros Termos de uma PA A soma S n dos n primeiros termos da PA (a 1, a 2, a 3,... a n...) é dada por: E se você substituir an pela expressão do termo geral terá outra fórmula equivalente: Com o uso das fórmulas do termo geral e da soma dos n primeiros termos de uma PA, os problemas de PA (e também de PG, como veremos a seguir) se resumem a identificar três das grandezas que são utilizadas na primeira fórmula, para se calcular a quarta grandeza. Vamos a um exemplo. Calcular a soma dos termos da PA (2, 5, 8,... 65). O problema nos fornece a 1 (2), r (3) e a n (65). Para calcularmos a soma precisamos saber quantos termos tem a PA, ou a ordem do último termo. Nos falta n. Usando a fórmula do termo geral, temos: 15 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Substituindo os valores na fórmula da soma, temos: Progressões Geométricas Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo precedente (anterior) por uma constante q. O número q é chamado de razão da Progressão Geométrica. Vejamos um exemplo de uso de PG. Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado durante cinco anos à taxa de juros composto de 20% ao ano. A seguir, se apresenta os montantes (resultado acumulado do investimento), em reais, ano a ano, a partir do início da aplicação: 16 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Tabela 10 Montantes de Uma Aplicação Financeira Essa sequência é numérica é chamada de Progressão Geométrica (PG), porque, multiplicandose cada termo por uma mesma constante, obtém-se o termo seguinte: nesse caso, multiplicouse cada termo pela constante 1,2. As Progressões Geométricas podem ser: Crescentes: quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a 1 >0 e q>1, ou a 1 <0 e 0<q<1. Exemplo: (2, 4, 8, 16...). Decrescentes: quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a 1 >0 e 0<q<1, ou a 1 <0 e q>1. Exemplo: (250, 50, 10, 2...). Constantes: quando os seus termos são iguais. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que sua razão seja 1 ou que todos os seus termos sejam nulos. Exemplo: (5, 5, 5, 5...). Oscilante: quando todos os seus termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais opostos. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a 1 0 e q< 0. Exemplo: (2, -4, 8, -16...). 17 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Propriedade dos Termos de uma PG Uma sequência de três termos, em que o primeiro é diferente de zero, é uma PG se, e somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois, isto é, sendo a 0, temos: Termo Geral de uma PG Consideremos a PG de razão q : Qualquer termo dessa PG pode ser representada em função de a e de r : observe: Isto quer dizer, que qualquer termo an é igual ao produto de a1 pela exponencial: Ou seja, a fórmula do termo geral da PA pode ser expressa como: Soma dos n Primeiros Termos de uma PG A soma dos n primeiros termos de uma PG não constante, com o primeiro termo a1 e a razão q é dada por: Existe um caso particular de emprego desta fórmula, quando a razão está compreendida entre 0 (zero) e 1; e o número de termos é infinito. 18 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Neste caso, o termo qn (a razão elevada ao número de termos) tende a ficar tão pequeno que pode ser desprezado, o que reduz a fórmula a: Assim como no caso da PA, com o uso das fórmulas do termo geral e da soma dos n primeiros termos de uma PG, os problemas se resumem a identificar três das grandezas que são utilizadas na primeira fórmula, para se calcular a quarta grandeza. Note que para se determinar o valor de n, em uma PG, por se tratar que uma variável que aparece em um expoente, em alguns casos se pode (ou tem de) lançar mão do uso de logaritmos. Aplicações de Progressões As progressões aritméticas e geométricas são modelos matemáticos cujas aplicações nos ajudaram a entender muitos comportamentos de evolução de valores em diversos ramos da atividade humana. Exemplo 3 A companhia que administra uma rodovia quer colocar radares eletrônicos de controle de velocidade ao longo de 500 quilômetros. Dessa forma, segue a tabela com os seguintes dados: O primeiro radar será colocado no quilômetro 10. Um novo radar será instalado a cada 40 km, a partir da colocação do primeiro. Quantos radares eletrônicos serão colocados no trecho planejado? 19 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Seguindo-se o procedimento proposto, devemos levantar o tipo de progressão envolvida no problema e que dados temos em mãos. Como a distância entre os radares é constante, se pode assumir que se trata de um problema de PA. E os dados disponíveis são: a 1 : 10 a n : estima-se que seja 500, já que não se sabe se o último radar coincidirá com o término da rodovia, mês estará dentro dela. r: igual a 40 km. n: é o que se deseja calcular. Usando a fórmula do termo geral, teremos: Este resultado sugere que o último radar não coincidiria com o final da estrada, mas se teria 13 radares instalados. E o último radar seria colocado no quilômetro: Exemplo 4 Num jogo de basquete, pudemos observar que com 10 minutos de jogo o time A tinha 4 pontos marcados no placar, com 20 minutos de jogo o mesmo time tinha 8 pontos, com 30 minutos tinha 16 pontos e assim sucessivamente. 20 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Ao término do jogo, que tem duração de 60 minutos, qual será a pontuação do time A? Fazendo-se o inventário do que se tem, conclui-se que os pontos crescem pela multiplicação do fator 2 (razão) e chega-se a seguinte situação: Usando-se a fórmula do termo geral da PG, temos: Exemplo 5 Em uma experiência de laboratório, um frasco recebe, no primeiro dia do mês, 3 gotas de um determinado líquido; no segundo dia recebe 9 gotas; no terceiro dia recebe 27 gotas; e assim por diante. No dia em que recebeu 2187 gotas ficou completamente cheio. Em que dia do mês isso aconteceu? Fazendo-se o inventário do que se tem, conclui-se que os pontos crescem pela multiplicação do fator 3 (razão) e chega-se a seguinte situação: 21 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Usando-se a fórmula do termo geral da PG, temos: Pode-se resolver esta equação de duas maneiras: Fatorando 729 e verificando se podemos igualar as bases. Ao se usar este método se pode perceber que 729 é igual a 36. Aplicando-se o logaritmo dos dois lados e isolando-se o termo n-1 : Exemplo 6 Uma pessoa aplicou a importância de R$500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$3.500,00? 22 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
No regime de juros compostos, o rendimento é sempre calculado sobre o saldo atualizado da aplicação: Na prática, a cada período, se deve multiplicar o valor investido atualizado por: Onde i é a taxa da aplicação. Neste caso, temos uma aplicação típica de PG. Mas se deve tomar um cuidado: o valor inicial corresponde ao instante inicial da aplicação, logo no mês 1 já temos rendimento. Isto pode ser representado pela fórmula do termo geral da PG adaptada: Em matemática financeira M designa o montante ou total do saldo do investimento e C representa o valor inicial investido. Então teremos: Em matemática financeira M designa o montante ou total do saldo do investimento e C representa o valor inicial investido. Então teremos: 23 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Exemplo 7 Uma máquina comprada por uma indústria sofre uma depreciação de 8% ao ano. Após quantos anos, aproximadamente, essa máquina estará valendo um quarto de seu valor inicial? Este problema é muito semelhante ao anterior, mas ao invés de se somar a porcentagem relativa à depreciação a 1, se deve diminuir este valor, resultando a cada mês um valor total do bem menor que o do mês anterior. Nossa expressão geral ficaria assim: Onde V a seria o valor da máquina no ano a e V0 seria o valor inicial da máquina. A máquina terá um quarto de seu valor original em aproximadamente 17 anos (16,6). 24 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Exercícios de Fixação 1- Qual é o número para o qual deve convergir a soma: (Soma de uma PG com infinitos termos) 2- Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? 3- Um investimento foi realizado sob uma taxa fixa de 3% ao mês (juros compostos). Após quanto tempo o montante final será igual ao DOBRO do capital inicial? Respostas dos Exercícios 1. ¾ ou 0,75. 2. 23,45 anos. 3. 2 anos. 25 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
Bibliografia IEZZI, G. Fundamentos da Matemática Elementar, São Paulo, 1993. IEZZI, G. et al. Matemática, São Paulo, 1995. SILVA, S. M. D. Matemática Básica Para Cursos Superiores, São Paulo, 2002. ZOLD, H. H. N.; CORRÊA, S. Novíssimo Curso Vestibular, São Paulo, I e II, 1991. 26 Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Universidade Anhembi Morumbi
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