Curvas e Superfícies no Espaço através de Exemplos Fernando Deeke Sasse UDESC-Joinville 1. Reta tangente, plano normal, vetor normal Curva dada por função vetorial 1. Encontrar o vetor tangente, a equação da tangente e a equação do plano normal à curva dada por Solução:, em t=3. Ilustre graficamente. restart: with(linearalgebra): with(plots): r:=[t^(2/3),t,ln(t)+10]; rf := unapply(r,t); rf(3)[1]; vtan:=unapply(diff(rf(t),t),t); (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3) (1.1.4) Em : tp:=3: vtanp:=evalf(vtan(tp)); (1.1.5) A reta tangente é a reta que passa pelo ponto e tem a direção de. eqreta:=[x-rf(tp)[1]=k*vtan(tp)[1],y-rf(tp)[2]=k*vtan(tp) [2],z-rf(tp)[3]=k*vtan(tp)[3]]; (1.1.6)
retat:=simplify([op(2,isolate(eqreta[1],x)),op(2,isolate (eqreta[2],y)),op(2,isolate(eqreta[3],z))]); Plano normal: PlanoNormal:=(x-rf(tp)[1])*vtan(tp)[1]+(y-rf(tp)[2])*vtan (tp)[2]+(z-rf(tp)[3])*vtan(tp)[3]=0; p1:=implicitplot3d(planonormal,x=-5..5,y=-10..10, z=0..15,axes=frame): c1:=spacecurve(r,t=-2..15,color=red,thickness=2): c2:=spacecurve(retat,k=-5..7,color=blue,thickness=2): display([c1,c2,p1],axes=frame,labels=[x, y, z],scaling= constrained); (1.1.7) (1.1.8) Curva dada pela intersecção de duas superfícies 2. Determine a reta tangente à curva dada pela intersecção das superfícies e no ramo correspondente a positivo. Em tal ramo escolha um ponto.
Faça um gráfico mostrando simultaneamente a reta tangente, a curva e as duas superfícies. Solução: s1:=x^2+y^2+z^2-25; s2:=x+y*z+y^2+z-17; (1.2.1) (1.2.2) ps1:=implicitplot3d(s1,x=-5..5,y=-5..5,z=-10..5): ps2:=implicitplot3d(s2,x=-5..5,y=-5..5,z=-10..5): display([ps1,ps2],axes=frame,labels=[x, y, z],scaling= unconstrained); diff(s1,x); (1.2.3) with(linalg): D1:=matrix([[diff(s1,y),diff(s1,z)],[diff(s2,y),diff(s2,z)] ]); (1.2.4)
D2:=matrix([[diff(s1,z),diff(s1,x)],[diff(s2,z),diff(s2,x)] ]); (1.2.5) D3:=matrix([[diff(s1,x),diff(s1,y)],[diff(s2,x),diff(s2,y)] ]); (1.2.6) vtan:=[det(d1),det(d2),det(d3)]; Transformando a lista acima numa função, vtanf:=unapply(vtan,[x,y,z]); Com ajuda do gráfico, vamos escolher um ponto de intersecção das duas superfícies que tenha coordenada. (1.2.7) (1.2.8) s10:=subs(y=2,s1); s20:=subs(y=2,s2); ss1:=solve({s10,s20},{x,z}); (1.2.9) (1.2.10) (1.2.11) ss2:=allvalues(ss1); (1.2.12) Cada uma dessas soluções corresponde a uma curva. Vamos escolher a curva correspondente à primeira solução: slist:=convert(ss2[1],list); (1.2.13) Um ponto de intersecção é portanto dado por p:=[op(2,slist[2]),2,op(2,slist[1])]; (1.2.14) O vetor tangente `a curva no ponto p é
vtanp:=evalf(vtanf(p[1],p[2],p[3])); (1.2.15) A reta tangente é dada por eqretat:=evalf([x-p[1]=k*vtanp[1],y-p[2]=k*vtanp[2],z-p[3]= k*vtanp[3]]); (1.2.16) retat:=simplify([op(2,isolate(eqretat[1],x)),op(2,isolate (eqretat[2],y)),op(2,isolate(eqretat[3],z))]); (1.2.17) Vamos agora montar a equação da curva sol2:=solve({s1,s2},{x,z}); (1.2.18) sol3:=allvalues(sol2); (1.2.19) subs(x=p[1],y=p[2],z=p[3],sol3[1]); subs(x=p[1],y=p[2],z=p[3],sol3[2]); (1.2.20) (1.2.21)
(1.2.21) O resultado acima mostra que pertence à parte da curva currespondente à primeira solução. Escolhemos então y como parâmentro em sol3[1]. y:=t; (1.2.22) curva1:=simplify([op(2,op(1,sol3[1])),t,op(2,op(2,sol3[1])) ]); (1.2.23) curva2:=simplify([op(2,op(1,sol3[2])),t,op(2,op(2,sol3[2])) ]); (1.2.24) r1:=spacecurve(retat,k=-0.1..0.1,color=blue,thickness=3): c1:=spacecurve(curva1,t=0..7,color=black,thickness=3, numpoints=1000): c2:=spacecurve(curva2,t=0..7,color=black,thickness=3, numpoints=1000): display([c2,c1,r1],axes=frame,labels=[x, 'y', z],scaling= unconstrained);
display([ps1,ps2,c1,c2,r1],axes=frame,labels=[x, y, z], scaling=unconstrained);
Parametrização por comprimento de arco, vetor normal Caso simples 3. Dada a curva dada pela função vetorial, (i) Grafique e parametrize a curva em termos do comprimento de arco a partir da origem nos sentidos positivos dos eixos x,y,z e calcule (ii) o comprimento da curva entre t=0 e t=3, (iii) o vetor tangente unitário em t=2, (iv) o vetor normal unitário em t=2. Solução: (i) restart: with(plots): r := [t^2, 4*t^3/3, t^4] ; Inicialmente vamos fazer a troca de variáveis: t:=u^(1/2): (1.3.1.1)
assume(u>0); r; (1.3.1.2) Façamos um gráfico da curva: spacecurve(r,u=0..2*pi,axes=frame,labels=[x, y, z], scaling=unconstrained,thickness=2,color=blue); O vetor tangente é dado por rt:=diff(r,u); Seu módulo é dado por rtm:=simplify((sum(rt[i]^2,i=1..3))^(1/2)); O comprimento de arco entre e é dado por (1.3.1.3) (1.3.1.4) eq:=s=int(rtm,u=0..u1); Temos duas soluções para : sol:=[solve(eq,u1)]; (1.3.1.5) (1.3.1.6)
O problema pede a parametrização para valores positivos das coordenadas, de modo que tomamos (1.3.1.6) sigma:=simplify(subs(u=sol[1],r)); (1.3.1.7) (ii) O comprimento de arco entre t=0 (u=0) e t=3 (u=9) é dado por Int(rtm,u=0..9)=int(rtm,u=0..9); (1.3.1.8) (iii) O vetor tangente em qualquer ponto é vt:=diff(r,u); Em t=2 (u=4) temos vt2:=subs(u=4,vt); (1.3.1.9) (1.3.1.10) (iv) Vamos usar o fato de que dt/ds=1/rtm para escrever o vetor tangente unitário l como for i to 3 do sigma[i]:=rt[i]*1/rtm od; (1.3.1.11) Tal vetor é de fato unitário: simplify((sum(sigma[m]^2,m=1..3))^(1/2)); 1 (1.3.1.12) Para calcular o vetor normal fazemos o mesmo : N:=[]: for j to 3 do
od: n[j]:=diff(sigma[j],u)*1/rtm; N:=[op(N),n[j]]; N:=simplify(N); (1.3.1.13) A ortogonalidade pode ser verificada: simplify((sum(sigma[e]*n[e],e=1..3))^(1/2)); 0 norma:=proc(l) local i; simplify(sqrt(sum(l[i]^2,i=1..3))): end; versor:=proc(u) local j,l,n; L:=[]; N:=norma(u); for j to 3 do L:=[op(L),simplify(u[j]/N)]: od; end; (1.3.1.14) (1.3.1.15) (1.3.1.16) O vetor normal unitário é então dado por NU:=versor(N); Verificando, norma(nu); Em (u=4), subs(u=4,nu); 1 (1.3.1.17) (1.3.1.18) (1.3.1.19)
(1.3.1.19) Parâmetro não integrável 4. Dada a curva definida pela função vetorial represente a curva em termos do comprimento de arco, calcule, no ponto correspondente a t=1, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário, a reta normal. Faça o gráfico da reta normal e da curva, simultâneos. Solução: Neste problema vamos ver que em geral a relação entre s e t não pode ser dada em termos de funções elementares. O gráfico da curva é dado por restart: with(plots): norma:=proc(l) local i; simplify(sqrt(sum(l[i]^2,i=1..3))): end; (1.3.2.1) versor:=proc(u) local j,l,n; L:=[]; N:=norma(u); for j to 3 do L:=[op(L),simplify(u[j]/N)]: od; end; (1.3.2.2) r:=[2*cos(t),4*sin(t),t]; (1.3.2.3) spacecurve(r,t=0.1..pi/1.1,axes=frame,labels=[x, y, z], scaling=unconstrained);
c1:=spacecurve(r,t=0.1..pi/1.1,axes=frame,labels=[x, y, z],color=red,thickness=2): O vetor tangente é dado por rt:=diff(r,t); Seu módulo é dado por rtm:=norma(rt); O comprimento de arco entre e é dado por s:=int(rtm,t=0..tau); (1.3.2.4) (1.3.2.5) (1.3.2.6) s:=value(s); (1.3.2.7) plot(s,tau=0..2);
6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 sf:=unapply(s,tau); Vemos acima que a relação entre e é dada em termos de integrais elíticas, ou seja não pode ser expressa através de funções elementares (sin, cos exp, log). Isso significa que a mudança de parametrização não é aconselhável. Vamos então usar o fato de que dt/ds=1/ para escrever o vetor tangente como for i to 3 do sigma[i]:=rt[i]*1/(5+12*cos(t)^2)^(1/2) od; (1.3.2.8) (1.3.2.9) Tal vetor deve ser unitário: normsigma:=norma(sigma); (1.3.2.10) Para calcular o vetor normal fazemos o mesmo : N:=[]: for j to 3 do n[j]:=diff(sigma[j],t)*1/(5+12*cos(t)^2)^(1/2);
od: N; N:=[op(N),n[j]]; (1.3.2.11) Podemos verificar que este vetor é realmente normal ao vetor tangente: simplify((sum(sigma[k]*n[k],k=1..3))^(1/2)); 0 (1.3.2.12) A reta que tem a direção do vetor tangente (ou rt) em um ponto qualquer é dada por eqretatan:=[x-r[1]=k*sigma[1],y-r[2]=k*sigma[2],z-r[3]=k* sigma[3]]; (1.3.2.13) retat:=simplify([op(2,isolate(eqretatan[1],x)),op(2, isolate(eqretatan[2],y)),op(2,isolate(eqretatan[3],z))]); (1.3.2.14) Vamos escrever a lista acima como uma lista de funções de : retatf:=unapply(retat,t); (1.3.2.15) Em temos
retat1:=evalf(retatf(1)); (1.3.2.16) A reta que tem a direção do vetor normal é dada por eqretanorm:=[x-r[1]=k*n[1],y-r[2]=k*n[2],z-r[3]=k*n[3]]; (1.3.2.17) Escrevendo em forma de lista, retan:=simplify([op(2,isolate(eqretanorm[1],x)),op(2, isolate(eqretanorm[2],y)),op(2,isolate(eqretanorm[3],z))] ); (1.3.2.18) retanf:=unapply(retan,t); (1.3.2.19)
Em, retan1:=evalf(retanf(1)); (1.3.2.20) Vamos agora fazer o gráfico da curva e das retas, simultaneamente. r1:=spacecurve(retat1,k=-3..3,color=blue,thickness=2): r2:=spacecurve(retan1,k=-3..3,color=black,thickness=2): display([r1,r2,c1],axes=frame,labels=[x, y, z],scaling= constrained); Exemplo utilizando o pacote VectorCalculus 1.Encontrar o vetor tangente, a equação da reta tangente, do vetor normal unitário e a equação do plano normal à curva dada por t=4. restart: with(vectorcalculus);, em t=3, e o comprimento da curva entre t=1 e (1.4.1)
Vetor tangente r := <t^(2/3), t, ln(t)+10>; (1.4.2) rt:=tangentvector(r,t); (1.4.3) vrt:=convert(rt,vector); (1.4.4) Em, rp:=subs(t=3,r); (1.4.5) rtp:=subs(t=3,rt); (1.4.6) Reta tangente TangentLine( vrt, t=3 ); (1.4.7)
(1.4.7) Vetor normal N:=PrincipalNormal( r ); (1.4.8) Np:=evalf(subs(t=3,N)); (1.4.9) Checando o produto escalar: evalf(dotproduct( Np, rtp)); (1.4.10) Vetor normal unitário Np; (1.4.11) (DotProduct( Np,Np))^(-1/2); 10.42262623 (1.4.12) NpU:=Np/((DotProduct( Np,Np))^(1/2)); (1.4.13)
(1.4.13) evalf(dotproduct( NpU,NpU)); 0.9999999998 Plano normal R:=<x,y,z>; plano:=evalf(dotproduct(r-rp,np))=0; (1.4.14) (1.4.15) (1.4.16) Comprimento de arco ArcLength(r,t=1..4); (1.4.17) evalf(%); 3.672889060 (1.4.18) Exercícios 1. Parametrize r( t ) = [ 2t, 6 sen t, 6 cos t ] pelo comprimento de arco a partir do ponto A(0,0,6) nos sentidos negativos de X, Y e Z. Em seguida, em t=2 calcule o vetor tangente unitário, a reta tangente, o vetor normal, a normal principal e o plano normal. Faça o gráfico ilustrando os resultados. 2. Dada a função vetorial r(t) = [ 2t, 2 sen t, 4 cos t ], determine, em t=2, calcule o vetor tangente unitário, a reta tangente, o vetor normal, a normal principal e o plano normal. Faça o gráfico ilustrando os resultados. 3. Calcule o comprimento da curva C(t) = [2t, 3, 3 ] do ponto A(4,24,12) ao ponto B(-2,-3,3). 4. Apresente a equação vetorial de: a) parábola 6x = y², z = 5 b) circunferência de raio 3 no plano y = 1, centrada no eixo (x = 7, z = 0) c) hélice circular centrada no eixo OX, de raio 4 e passo 6 d) hélice elíptica centrada no eixo OZ, de raios 1 na direção OX, 2 na direção OY e passo 3 e) elipsóide circular de raios 10 e 15, centrados na origem e eixo principal em OY. f) sela x² - y = 5z². 6. Parametrize as curvas do problema anterior pelo comprimento de arco e, no ponto determine o vetor tangente, a reta tangente, o vetor normal unitário, o plano normal e a reta normal no ponto correspondente a s=1.
2. Curvatura, torção, tríade de Serret-Frenet Cálculo de curvatura e torção a partir de primeiros princípios 1. Encontrar a curvatura e a torção da curva dada por, para qualquer t, fazendo os cálculos a partir de primeiro princípios, sem o auxílio de fórmulas prontas Solução: Inicialmente vamos determinar o vetor tangente unitário. restart: r := [t^(2/3), t, ln(t)+10]; (2.1.1) rt:=diff(r,t); (2.1.2) Notemos que, ou seja, Ds:=sqrt(rt[1]^2+rt[2]^2+rt[3]^2); (2.1.3) Não há necessidade de integrar tal equação. Tudo o que necessitamos é calcular sigma:=[seq(rt[i]/ds,i=1..3)]; (2.1.4) Podemos verificar que este vetor é unitário: norma:=proc(l) local i; simplify(sqrt(sum(l[i]^2,i=1..3))): end; (2.1.5) norma(sigma); 1 (2.1.6)
Outro modo de obter o mesmo resultado seria simplesmente calcular versor:=proc(u) local j,l,n; L:=[]; N:=norma(u); for j to 3 do L:=[op(L),simplify(u[j]/N)]: od; end: sigma2:=versor(rt); (2.1.7) norma(sigma2); O vetor normal é dado por 1 (2.1.8) N:=[]: for j to 3 do nn[j]:=diff(sigma[j],t)/ds; N:=[op(N),nn[j]]; od: N; (2.1.9)
Podemos verificar que este vetor é realmente normal ao vetor tangente: simplify((sum(sigma[k]*n[k],k=1..3))^(1/2)); 0 A curvatura K é dada pelo módulo de N, ou seja, K1:=norma(N); (2.1.10) (2.1.11) O vetor nomal unitário é n:=simplify(versor(n)); (2.1.12) norma(n); 1 (2.1.13) Para calcular a torção devemos calcular antes o vetor binormal, b = x : prodvect:=proc(a,b) local c ; c:=[a[2]*b[3]-a[3]*b[2],a[3]*b[1]-a[1]*b[3],a[1]*b[2]-a [2]*b[1]] ; end; (2.1.14)
(2.1.14) b:=prodvect(sigma,n); (2.1.15) norma(b); Devemos calcular agora 1 (2.1.16) dbs:=[]: for j to 3 do nnn[j]:=simplify(diff(b[j],t)/ds); dbs:=[op(dbs),nnn[j]]; od: dbs; (2.1.17)
(2.1.17)
A torção é dada por 1/ norma do vetor acima: T1:=1/norma(dbs); (2.1.18) Cálculo de curvatura e torção através de fórmulas 2. Encontrar a curvatura e a torção da curva dada por, para qualquer t, utilizando fórmulas. Solução: r := [t^(2/3), t, ln(t)+10]; rt:=diff(r,t); (2.2.1) (2.2.2) rtt:=diff(rt,t); (2.2.3) rttt:=diff(rtt,t); (2.2.4) A curvatura pode ser calculada através da fórmula: K2:=sqrt(norma(prodvect(rt,rtt))^2/(norma(rt)^6)); (2.2.5)
(2.2.5) Podemos comprovar que os dois cálculos estão de acordo: K1-K2; 0 (2.2.6) Vamos definir um procedimento para calular o produto escalar: dot:=proc(a,b) local i; simplify((sum(a[i]*b[i],i=1..3))): end: A torção pode ser dada por T2:=1/((dot(rt,prodvect(rtt,rttt))/(norma(prodvect(rt,rtt)) )^2)); (2.2.7) O cálculo anterior resultou em T1; (2.2.8) que coincide com o que fizemos aqui: simplify(t1,assume=positive); Façamos os gráficos da curvatura e torção: with(plots): p1:=plot(k1,t=0..5,color=blue): p2:=plot(t1,t=0..5,color=red): display([p1,p2],view=[0..5,-1..10] ); (2.2.9)
10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 t Cálculo de curvatura e torção utilizando o pacote VectorCalculus 3. Encontrar os vetores unitários tangente, normal e binormal, a curvatura e a torção da curva dada por, para qualquer t, utilizando o pacote VectorCalculus. with(vectorcalculus); (2.3.1)
r := <t^(2/3), t, ln(t)+10>; (2.3.2) A curvatura é dada por K3:=simplify(Curvature(r)); (2.3.3) Tal resultado é equivalente aos obtidos anteriormente, pois simplify(k1-k3,assume=positive); 0 Para torção temos T3:=1/simplify(Torsion(r)); (2.3.4) (2.3.5) simplify(t1-t3,assume=positive); Os vetores tangente, normal e binormal unitários são dados respectivamente por rt1:=simplify(tnbframe(r)[1]); 0 (2.3.6)
(2.3.7) n1:=simplify(tnbframe(r)[2]); (2.3.8) b1:=simplify(tnbframe(r)[3]); (2.3.9) Exercícios
1. Dada a função vetorial r(t) = [ 2t, 2 sen t, 4 cos t ], determine, em t=2, determine a tríade de Serret-Frenet, o plano osculador, a curvatura e a torção. Faça o gráfico ilustrando os resultados. 2. Faça o mesmo para as curva,,. 3. Encontrar os pontos da curva onde a curvatura possui um mínimo (local). 3. Superfícies Vetor normal e plano tangente a uma superfície 1. Determinar o vetor normal e o plano tangente à superfície em u=1, v= 1. Plotar os resultados. restart: with(plots): r := unapply([u, v, sin(v*u)],u,v); (3.1.1) plot3d(r(u,v),u=0..2,v=0..2,grid=[25,15],style=patch,axes= FRAME,labels=[x, y, z],scaling=unconstrained);
du:=diff(r(u,v),u); dv:=diff(r(u,v),v); (3.1.2) (3.1.3) prodvect:=proc(a,b) local c ; c:=[a[2]*b[3]-a[3]*b[2],a[3]*b[1]-a[1]*b[3],a[1]*b[2]-a [2]*b[1]] ; end: N:=unapply(prodvect(du,dv),u,v); (3.1.4) Np:=evalf(N(1,1)); rp:=evalf(r(1,1)); (3.1.5) (3.1.6) PlanoTangente:=(x-rp[1])*Np[1]+(y-rp[2])*Np[2]+(z-rp[3])*Np [3]=0; (3.1.7) eqreta:=[x-rp[1]=k*np[1],y-rp[2]=k*np[2],z-rp[3]=k*np[3]]; (3.1.8) RetaN:=simplify([op(2,isolate(eqreta[1],x)),op(2,isolate (eqreta[2],y)),op(2,isolate(eqreta[3],z))]); (3.1.9) p1:=implicitplot3d(planotangente,x=-3..3,y=-3..3, z=0..3,style=patch,axes=frame,color=orange): p2:=plot3d(r(u,v),u=-1..3,v=-1..3,grid=[15,15],style=patch, axes=frame,labels=[x, y, z],scaling=constrained,color=blue) : p3:=spacecurve(retan,k=-2..2,axes=frame,color=black, thickness=2): display(p3,p2,p1);
Superfície dada por 2. Determine o plano tangente a uma superfície dada por no ponto (1,2,1). Solução: Vamos escrever a equação da superfície como restart: with(plots): eq:=x^3+y^3+z^3= 10; implicitplot3d(eq,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,axes=frame, scaling=constrained,numpoints=2000); (3.2.1)
Vamos escolher e como parâmetros, de modo que. Definindo temos que Diff(z,x)=-Diff(phi,x)/Diff(phi,z);Diff(z,y)=-Diff(phi,y) /Diff(phi,z); (3.2.2) Com phi:=x^3+y^3+z^3-10; temos r:=unapply([x,y,z],x,y,z); (3.2.3) (3.2.4)
rx:=[1,0,implicitdiff(phi,z,x)]; (3.2.5) ry:=[0,1,implicitdiff(phi,z,y)]; (3.2.6) prodvect:=proc(a,b) local c ; c:=[a[2]*b[3]-a[3]*b[2],a[3]*b[1]-a[1]*b[3],a[1]*b[2]-a [2]*b[1]] ; end: N:=unapply(prodvect(rx,ry),x,y,z); (3.2.7) rp:=r(1,2,1); Np:=N(1,2,1); (3.2.8) (3.2.9) PlanoTangente:=(x-rp[1])*Np[1]+(y-rp[2])*Np[2]+(z-rp[3])*Np [3]=0; (3.2.10) eqreta:=[x-rp[1]=k*np[1],y-rp[2]=k*np[2],z-rp[3]=k*np[3]]; (3.2.11) RetaN:=simplify([op(2,isolate(eqreta[1],x)),op(2,isolate (eqreta[2],y)),op(2,isolate(eqreta[3],z))]); (3.2.12) p1:=implicitplot3d(planotangente,x=-10..10,y=-10..10, z=-10..10,style=patch,axes=frame,color=orange): p3:=spacecurve(retan,k=-2..2,axes=frame,color=blue, thickness=2): p2:=implicitplot3d(eq,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10,axes= frame,scaling=constrained,numpoints=6000): display(p3,p2,p1);
Exercícios Na questões 1 a 6 determine as equações do plano tangente e da normal às seguintes superfícies nos pontos M indicados. Faça o gráfico quando apropriado: 1., M(1,2,9), 2., M(3,4,12), 3., M(3,1,-1), 4., M( ), 5.,, (pseudo-esfera), ponto qualquer. 6.,,. 7. Determinar o plano tangente à superfícies que seja paralelo ao plano. 8. Mostrar que as superfícies, são ortogonais nos seus pontes de intersecção.