APLICAÇÕES " GEOMETRICAS

C P Í T U L O. PLICÇÕES " GEOMETRICS Neste capítulo são apresentadas algumas aplicações dos vetares à Geometria Euclidiana. o objetivo deste capítulo é dar uma idéia de como os vetores podem ser úteis na obtenção ;> resultados geométricos, e para isso faremos demonstrações de alguns fatos da Geometria Euclidiana técnica vetorial pode simplificar bastante a resolução de problemas geométricos, mas isso nã acontece sempre. O ideal é conhecer suas virtudes e suas limitações, para utilizá-ia em nos benefício. Exercicio > Prove que as diagonais de um paralelo gramo têm o mesmo ponto médio. Resolução Sendo CD um paralelogramo e M o ponto médio da diagonal C (Figura 5-1 (a)). valem as igualdades C = D e CM =.MÃ. Para concluir que M também é ponto médio da diagonal D, basta mostrar que lfm = MJ5: c Q7C Mr-------\ (a) (b) Figura 5-1

Capítulo 5 - plicações geométricas - 27 Exercicio Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro e tem a metade da sua medida. Resolução No triângulo C, sejam M o ponto médio de C e N o de C (Figura 5-1 (b)). ssim, podemos escrever MN=MC+ CN= ~C+~ i =~(C+ i) =~ li 2 2 2 2 Logo, MN// e IIMJVII= 11Ã1I/2. Em vários exercícios usaremos o conceito de razão em que um ponto P divide um segmento orientado não-nulo (,), que é o número real r tal que P = rjijj. É fácil ver que esse número /. P ' P S b di - IIPII d P so existe se pertence a reta e ;é. o essas con içoes, r = -=- quan o pertence ao IIPII IIPII segmento e r = - -=- quando nao pertence. IIPII _ Exercicio Seja r a razão em que o ponto P divide o segmento orientado não-nulo (,). Prove - r- que r ;é -1 e que P = --. 1 + r Resolução Se r fosse igual a-i, P seria o vetor oposto de P e, portanto, = P + jijj = 5, contradizendo a hipótese de que o segmento orientado (,) é não-nulo. -< Como P = rp, podemos escrever P = r(pã + li) = r(-p + ) = -rp + r --- -- -r- Logo, P + rp = r, ou seja, (1 + r)p = r e, portanto, P = --. 1 + r -Exercicio Sejam, e C pontos distintos e p um número real. Seja X o ponto tal que X = p. Exprima CX em função de C, C, p. Resolução CX= CÃ +X= CÃ + pli = C + p(c + C) = C + p(-c + C) = CÃ - pc + pc Logo,

28 - Geometria nalítica - um tratamento vetorial CX = (1- p)c + pc Faça figuras ilustrativas: uma, com, e C não-colineares, colineares e X ora interior, ora exterior ao segmento. outras, com, e C IIXERCÍCldS 5-1 Considerando,, C e X como no exercício resolvido anterior, seja m a razão em que X divide (,). Exprima CX em função de C, C, m. Exprima p em função de m. 5-2 Sejam OC um tetraedro e X o ponto definido por X = mc. Exprima OX e X em função de 6Ã,Oã,oc,m. 5-3 (a) No triângulo Cda Figura 5-2 (a), Mdivide (,) endivide (C,) na mesma razão r. Prove que MN//Ce IIMNII calcule-=-. IICII (b) No quadrilátero CO (eventualmente reverso, como na Figura 5-2 (b)), M divide (,), N divide (C,8), MNPQ é um paralelogramo. P divide (C,O) e Q divide (,O), todos na razão r. Prove que o quadrilátero (c) Suponha que o quadrilátero CO do item anterior seja um paralelogramo. Mostre que as quatro diagonais (as duas de CO e as duas de MNPQ) têm um ponto comum. M N C ngura 5-2 5-4 Sejam, e C pontos quaisquer, ~. Prove que: (a) X pertence à reta se, e somente se, existem a e fj tais que CX = ac + fjc e a + fj = 1; (b) X pertence ao segmento se, e somente se, existem a e fj tais que CX = ac +fjc, a ~ 0, fj~oea+fj=1; (c) X é interior ao segmento XÃ e Xã são de sentido contrário. (isto é, existe À tal que < À < 1 e X = À) se, e somente se, 5-5 Prove que X é um ponto interior ao triângulo de vértices, e C se, e somente se, existem a e fj tais que a > 0, fj > 0, a + fj < 1 e CX = ac + fjc. (Um ponto é interior a um triângulo é interior a um segmento que tem por extremidades um vértice e um ponto interior ao lado oposto.) se

Capítulo 5 - plicações geométricas - 29 5-6 Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não-paratelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a semi-soma das medidas das bases (Figura 5-3 (a)). 5-7 Prove que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a semidiferença das medidas das bases (Figura 5-3 (b)). D_~ C Dr-::- 7\C Mf-----------\ N I' (a) (b) Figura 5-3 5-8 Suponha que, no trapézio da Figura 5-3 (a), as razões em que M divide (D,) e N divide (C,) são iguais a r.mostre que MN = _r_ + _1_ MN é igual a rllii 1 + r + IIOCII 1+r 1+r OC. Deduza que MN// e que a medida de EJferdçio Reso1lf.ido :<-'5 os pontos médios dos lados, C e C do triângu- Sejam M, N e P, respectivamente, lo C (Figura 5-4). (a) Exprima P, N e CM em função de C, C. (b) Prove que as retas-suportes de duas medianas quaisquer do triângulo são concorrentes. (c) Prove que as três medianas têm um único ponto comum, que divide (,N), (,P) e (C,M) na razão 2 (conhecido como baricentro do triângulo). c p N L..- ~ -"" M Figura 5-4 Resolução, (a) Comecemos por lfp. Note que CP = CÃ/2, pois P é o ponto médio de C. Logo,

30 - Geometria nalítica - um tratamento vetorial -- - 1- nalogamente se obtém, para N, N = - C + - C 2 Quanto a CM, trata-se de um caso particular do Exercício 5-4, em que X=Mep= 1/2: Portanto, CM= C +M= CÃ + -.L 2 = C + -.L (C + CiJ) 2 = C - + - 1 (- C - + C) - 2-1- 1- = C - - C + - C 2 2-1- 1- CM= -C+-C 2 2 (Note que, com procedimento e notação diferentes, já havíamos obtido esse resultado no Exercício 3-8.) -< (b) Uma vez que as retas N e P são coplanares, para concluir que são concorrentes basta provar que N e P não são paralelos (e o procedimento é análogo para os outros pares de retas). Raciocinemos por redução ao absurdo: se esses vetores fossem paralelos, existiria (Proposição 3-6) um número real À. tal que P = À.N. Devido à parte (a), esta igualdade fornece - 1- - 1- -..1.- -C +- C = À.(-C + - C) = -À.C + - C 2 2 2 Sendo CÃ e CiJ não-paralelos, isso acarreta, pelo Corolário 3-11,-2 = À. = -1/2, o que é impossível. Concluímos que R e P não são paralelos. -< (c) Chamemos G o ponto comum às retas N e P, e H o ponto comum às retas N e CM. Provaremos que G = H e que esse ponto pertence às três medianas, isto é, aos segmentos N, P e CM. Sendo, G e N colineares, existe À.tal que G = À.N; logo, G = + À.N. Da mesma forma, existe fl tal que G = +flp. Portanto, +À.N= +flp. Como = +, podemos escrever Usando P I e P 2 (Proposição 4-2), concluimos que

Capítulo 5 - plicações geométricas - 31 Substituindo por C- C e R e P por suas expressões deduzidas na parte (a), obtemos Como C e C não são paralelos, podemos aplicar o Corolário 3-11: À -= 1-,u 2 Estas igualdades fornecem À =,li = 2/3 e, portanto, 2-2- G=+-N=+ -P 3 3 [5-1] Quanto a H, existem a e (3 tais que H = + a.n = C + (3CM.Um procedimento inteiramente análogo ao anterior leva à conclusão de que a = (3 = 2/3, de modo que [5-2] Comparando [5-1]e [5-2],vemos que o que acarreta 2-2- 2~ G=H=+ -N=+ -P= C+ -CM 333 [5-3] ssim, podemos concluir que G pertence às três medianas, já que O < 2/3 < 1. lém disso, da primeira igualdade de [5-3], obtemos e, portanto, G/3 = 2GN/3, ou seja, Isto quer dizer que G divide (,N) na razão 2. nalogamente, prova-se que G divide (,P) e (C,M) na razão 2, conforme foi enunciado. -( Exercicio Dado um triângulo C qualquer, mostre que existe outro com lados paralelos e congruentes às medianas do primeiro. Resoluçêo Usaremos a notação do Exercício 5-5 (acompanhe na Figura 5-5).

I I 32 - Geometria nalítica - um tratamento vetoria/ c x ~-----------L----------~ M Figura 5-5 Tomemos um ponto O qualquer. Sejam X = O + N, Y = X + P e Z = Y + em. Inicialmente, mostremos que Z = O. Usando as expressões obtidas na parte (a) do Exercício 5-5 paran, ifp e em, vemos facilmente quen + ifp + EM= Õ. Então, lém disso, como XY = P e YZ= em, decorre do Exercício 5-5 (b) que XV e yz não são paralelos. Logo, X, Ye Z, ou seja, X, Ye O, não são colineares. Existe, pois, um triângulo de vértices X, Ye O. Como OX =N, XY = P e YO = em, os lados do triângulo XYO são paralelos e congruentes a N, P e em. -( 5-9 (a) Mostre que o baricentro de um triângulo C (ponto comum às três medianas do triângulo) é também o baricentro dos pontos,, C, como foi definido no Exercício 4-13. (b) Sejam OC um tetraedro e X o baricentro do triângulo G. Exprima OX em função de O, OOe OCo 5-10 Os segmentos N, P e CM são dois a dois não-paralelos. Dê uma condição sobre os vetores N, f3 e em, que não envolva suas normas, para que exista um triângulo de lados paralelos e congruentes a N, P e CM. 5-11 (a) Dado o triângulo C, sejam M, N e P pontos tais que 2M = ã, 2N = 5C e 2CP= C. Exprima N, f3 e em em função de C e C, e prove que existe um triângulo paralelos a N, P e CM. de lados (b) Dado o triângulo C, sejam M, N e P pontos tais que M = aã, N = j3c e CP = yc, com a, 13 e y em [0,1]. Prove que existe um triângulo de lados paralelos e congruentes P e CM se, e somente se, a = 13 = y. a N, 5-12 O ponto Xdivide (, ) na razão a, Ydivide (,C) na razão 13 e Zdivide (C,) na razãoy. Exprima CX, V e Z em função de C, Cã, a, 13, y. 5-13 Dado o triângulo C, sejam X o ponto que divide (,) na razão 2 e Yo ponto que divide (,C) na razão 3.,_\ Cv",.im", r.x e V em função de ã, O.

Capítulo 5 - plicações geométricas - 33 (b) Prove que as retas CX e Y são concorrentes e exprima o ponto de concorrência P em função de,, C. 5-14 Dado o triângulo C, sejam X e Yos pontos tais que X = ac e V = f3c (Figura 5-6). (a) Prove que X//Y se, e somente se, (a - 1)(/3-1) = 1. (b) Mostre que, se X é interior ao lado C e Y é interior ao lado C, então as retas X e Y são concorrentes. Figura 5-6 5-15 Dado o triângulo C, tome O na reta C tal que C seja o ponto médio de O e Y na reta C tal que as retas O e Y sejam paralelas. ponto médio de Y. Exprima V em função de, C e mostre que C é o "~ xercicio Dado o triângulo C, seja ü = C/2 + C/3. (a) Explique por que existe e é único o ponto X da reta R tal que CX//ü (Figura 5-7). (b) Mostre que X pertence ao segmento e exprima CX em função de C, C. (c) Calcule IIXII e a razão em que X divide (,). 11XE11 Figura 5-7 Resolução (a) O vetor ü não é paralelo a Jj pois, se fosse, existiria um número real À, tal que CI2 + C/3 = ME = À,Ç4C+ C) = -À,C + À,C, e então -1/2 = À,= 1/3, o que é impossível. Conseqüentemente, a reta paralela a ü que contém C não é paralela à

34 - Geometria nalítica - um tratamento vetorial reta. Como se trata de retas coplanares, concluímos que elas são concorrentes e que, portanto, o ponto X existe e é único. «(b) Como X, e são colineares, podemos escrever X = a. Do Exercício 5-4 resulta Por outro lado, CX//ü;logo, existe À tal que cx= (l-a)c +ac [5-4] ~-À~À- CX= Àu = - C+ - C 2 3 [5-5] De [5-4] e [5-5], obtemos ~ -..1.-..1.- (1-a)C +ac= -C + -C 2 3 Como Ce Cnão são paralelos, concluímos que 1 - a = À/2 e a = À/3 (Corolário 3-11) e que, portanto,..1.=6/5 e a = 2/5. Logo, X = a e O< a < 1, o que garante que X pertence ao segmento. Voltando a [5-5], obtemos ~ 3 ~ 2- CX= -C+ -C 5 5 (c) Vimos em (b) que X = 2/5. Logo, X = 2(X + XJJ)/5 e, portanto, 3X/5 = 2X/5, ou seja, M= 3XÃ/2. Isso quer dizer que X divide (,) na razão 3/2. «Tomando normas, obtemos IIMII = 31tX4I1/2;logo, 2 _ IIXII _ IIXII 3 - IIMII - IIXII m~~rgícios.~~ 5-16 Sejam, e C vértices de um triângulo. (a) Prove que, se m + n "#- O, então existe um ponto X na reta tal que CX seja paralelo a mg + ng. Exprima CX em função de G, G, m, n. (b) Relacione o caso particular em que m + n = 1 com o Exercício 5-4. (c) Prove (algebricamente) que não existe o ponto X quando m + n = O. Interprete geometricamente este caso. 5-17 No triângulo C, sejam ü = G, v = G, W = ü - 2v. Calcule a para que X = C + aw pertença à reta. 5-18 Dado o triângulo C, seja X a interseção do lado com a bissetriz do ângulo interno de vértice C (Figura 5-8) e sejam a = IIGII e b = IlGII.

Capítulo 5 - plicações geométricas - 35 (a) Explique geometricamente por que CX é paralelo a CÃlb + Cãla. (b) Exprima CX em função de CÃ, Cã, a, b. Exprima X em função de, a, b... _ IIXII 11 XII (c) Mostre que X divide (,) na razao bla e conclua que -- = --. b a <. y x Figura 5-8 5-19 No triângulo da Figura 5-8, sejam a = llcãll e b = llcãii; suponhamos que a ;é b. Seja Ya interseção da reta com a bissetriz do ângulo externo de vértice C. (a) Explique geometricamente por que CY é paralelo a CÃlb - Cãla. (b) Exprima CY em função de CÃ, Cã, a, b. Exprima V em função de, a, b... _ IIVII IIavll (c) Mostre que Y divide (,) na razao -bla e conclua que -- = --. b a (d) O que ocorreria se llcãii e llcãll fossem iguais? 5-20 Prove que existe um único ponto comum às bissetrizes internas de um triângulo e que esse ponto, conhecido como incentro do triângulo, é interior a ele. 5-21 Dado o triângulo C não-retângulo, sejam a = tgâ, b = tg8 e c = tgê. (a) Sendo CX a altura relativa ao vértice C, prove que ax = bx e exprima CX em função de CÃ, Cã, a, b. (b) Sendo Ya altura relativa ao vértice e Z a altura relativa ao vértice, exprima V em função de CÃ, Cã, b, c, e Z em função de CÃ, Cã, a, c. 3 (c) Mostre que as retas-suportes das três alturas do triângulo C têm um único ponto comum (ortocentro). Sendo P este ponto, mostre que CP= a+ b CX a+b+c P= b+ c V a+ b+ c P= a+ c Z a+b+c (d) Prove que o ortocentro é interior ao triângulo se, e somente se, ele for acutângulo. (No caso em que o triângulo é retângulo, é imediato verificar que as três alturas têm um único ponto comum, que é o vértice do ângulo reto.) 5-22 Na Figura 5-9, IIMII = 211Mãll e 311NII = IINell. Exprima X em função de,, C. 15-23 Sejam,, C e O vértices de um quadrado, E um ponto de O e F um ponto de CO, tais que o triângulo EF seja eqüilátero. Calcule a razão em que E divide (,O) e a razão em que F divide (O,C).

36 - Geometria nalítica - um tratamento vetorial c N L-----------------~----~==~ M Figura 5-9 5-24 (a) Dado o triângulo C, sejam P, O e R pontos tais que = ap8, C = (3QC, apr = (30R. Prove que, se a ~ 1, então, C e R são colineares. (b) Sejam s, e t, duas retas concorrentes em, tangentes à circunferência de centro e raio r, (Figura 5-10). Com centro em um ponto P da sem i-reta de origem que contém, traça-se a circunferência de raio r 2 (menor que r,), tangente às retas s, e t,. Sejam $2 e ~ duas retas tangentes à segunda circunferência, concorrentes em R. Com centro em um ponto Q da semi-reta de origem R que contém P, traça-se a circunferência de raio r 3 (menor que r 2 ), tangente às retas $2 e t 2. Sejam $3 e t 3 as retas tangentes comuns à primeira e à terceira circunferências que tenham em comum um ponto C da reta O, exterior ao segmento O. Prove que, C e R são colineares. t, ~.""",----j'-::>'r~.------------:::;,...:='----=------t3 S2 S, t 2 Figura 5-10