ABR. MAI. JUN. 005 ANO XI, Nº 4 59-68 INTEGRAÇÃO 59 Ua abordage neurocoputacional na otiização de u sistea linear co restrições WALTER R. HERNANDEZ VERGARA* Resuo Nesta pesquisa discutios o problea de alocação de recursos selecionando eleentos reais co a presença de dados aleatórios. Foralizaos o problea nu odelo de rede neural coo u problea inverso utilizando ua estrutura analítica funcional e usaos o étodo da função de penalidade coo nosso étodo de otiização. Ua arquitetura de rede neural e o algorito associado, na fora de equações diferenciais ordinárias não lineares, fora desenvolvidos. Baseados na estrutura acia, observaos que a seleção dos eleentos no treinaento conduz a dois objetivos, a seguir: prieiro, elhorar a capacidade de generalização e, segundo, reduzir a variância dos erros co vistas a obter os elhores resultados no ajuste dos valores. O resultado final utiliza a inforação correlacionada a priori e características aleatórias, e a função original agrupa u eficiente esquea que pode ser utilizado e conjunto co os esqueas de aprendizage increental para posteriores trabalhos co a finalidade de obter ótias generalizações. Palavras-chave redes neurais, pesquisa operacional, étodo da função penalidade. Title A Neoro-Coputing Approach in the Optiization of a Linear Syste with Restrictions Abstract In this research we discuss the proble resources locating with the selection of actual eleents in the presence of rando data. We presented the proble in a pattern of neural net with an inverted proble, through the use of functional analytical structure, and we used the penalty function ethod as our optiization ethod. A neural net architecture and the algorith associated to it, as non-linear differential ordinary equations, have been developed. Based on this structure, we realized that the selection of eleents during training leads to two goals: first, the iproveent of generalization capacity; and secondly the reducing of error variation when trying to get the best results in the adjustent of value. The final result uses the a priori co-related inforation in rando characteristics, and the original function includes an efficient draft that ight. Keywords neural nets, operational research, penalty function ethod. Muitos probleas de otiização cobinatória requere explorar o estado de espaço para conduzir os cálculos a u sistea co N graus de liberdade. As ferraentas tradicionais inclue ua longa coleção de técnicas ateáticas (préprocessaento, deterinação dos valores das variáveis e processo de solução parcial ou global) co a finalidade de encontrar soluções razoáveis para probleas de otiização. E uitos casos é difícil dizer que espécie de ferraenta ajusta-se elhor a u deterinado tipo de problea. Os étodos de redes neurais artificiais torna possível a cobinação desses passos, porque são aptos a otiizar valores autoaticaente. Eles são utilizados na prática, porque são odelos co processaento nuérico não paraétrico arranjados e diferentes caadas. U problea geral de otiização, co restrições, é declarado coo (por exeplo, o problea de iniização co restrições): encontrar u estado x* ε R n tal que, Data de recebiento: 0/09/00. Data de aceitação: 06/05/005. * Professor doutor da Faculdade de Engenharia e Arquitetura da UPF, CP 6, Capus Universitár io, CEP 9900-50, P asso Fundo - RS. E-ail: vergara@up f.tche.br. Miniizar sujeito a: fx ( ) ri 0, i =,,...,. j h ( x) =,,,...,. i ai () x bi (), i n. i
60 INTEGRAÇÃO VERGARA Redes neurais e que x = (x, x,... x n ) ε R n e f(x) é a função objetivo. As funções ri(x) e hi(x) são as restrições de desigualdade e igualdade, respectivaente. Os valores a(i) e b(i) fora o espaço de pesquisa para cia e para baixo de x i. Esta pesquisa propõe u odelo de rede neural para iniizar custos de adequação de recursos que copõe u sistea de distribuição, para ua deanda projetada ao longo do horizonte de planejaento. Geralente, essas abordagens consiste e três passos. Prieiro, as restrições de u problea de otiização são convertidas e outro problea equivalente de otiização se restrições, isto é, as restrições zerou são substituídas por restrições de igualdade quadráticas côncavas co o objetivo de forçar as variáveis de decisão a ser zero ou u. Segundo, a partir do problea de otiização se restrições, u conjunto de equações diferenciais é derivado. Terceiro, segundo o sistea dinâico é ipleentada ua caada neural iterativa (CICHOCKI & UNBEHAUEN, 993). O odelo neural proposto visa a deterinação de ua política ótia de adequação dos recursos, considerando o estado atual de carregaento e a deanda prevista para o sistea no horizonte de planejaento adotado, utilizando as variáveis contidas no escopo do problea co o deslocaento ínio possível para viabilizar a solução proposta, de fora que se iniize o custo total, calculado sobre todas as rotas. Isto é, o odelo visa a deterinar u conjunto de pesos para as ligações da rede neural de fora que os valores que estão agrupados na solução possa convergir para u valor estável.. MODELO MATEMÁTICO DO PROBLEMA DE ATRIBUIÇÃO Existe centros de serviços e n consuidores. Cada consuidor te rj quantidades do requeriento de serviço, j =,,..., n, e este soente pode ser satisfeito por u centro de serviço. Cada centro de serviço te bi quantidades de capacidade de serviço, -i =,,...,, e estas quantidades não pode ser excedidas. Existe u custo cij entre cada centro de serviço e cada consuidor. Se o consuidor j é atendido por u centro de serviço i, i =,,..., ; j =,,..., n. A questão é a seguinte: quantos consuidores deve ser alocados aos centros de serviços de fora que o custo total seja ínio. Esse problea pode ser forulado coo u problea de prograação inteira zero-u. Min c ij x ij Sujeito às seguintes restrições: n xij =,,,... n. rx j ij bi,,,.... xij = 0 ou, i =,,..., ; j =,,... n. [] [] [3] [4] e que xij é variável de decisão zero-u, que assue o valor de se o consuidor j é servido pelo i-ésio centro de serviço e zero e outro caso, i =,,..., ; j =,,..., n. Cada consuidor soente pode ser servido por u centro de serviço (restrição ). O total de carga de cada centro de serviço não deve exceder sua capacidade (restrição 3). Na prática, é difícil encontrar ua função penalidade que seja efetiva e eficiente para substituir as restrições que falta. Na pesquisa de ua solução, o esforço requerido da função de penalidade para u problea dado pode obviar no processaento de dados u ganho e ua eventual solução de qualidade, coo foi observado por Siedlecki e Sklansky (989). Muitas dificuldades aparece porque a solução ótia freqüenteente encontra-se na fronteira da região factível.
ABR. MAI. JUN. 005 ANO XI, Nº 4 59-68 INTEGRAÇÃO 6 Muitas soluções siilares do genótipo da solução ótia não são confiáveis. Portanto, essa restrição às soluções prováveis torna difícil encontrar u esquea que leve dos resultados parciais a u ponto ótio. A ipleentação de odelos de redes neurais pode ajudar a resolver probleas de otiização e u curto período de tepo. Essa abordage neurocoputacional pode ser considerada coo ua etodologia inspirada que pode ser utilizada para resolver grandes probleas práticos (HOLZBAUR, 998; ZAK et al., 995). Na seção seguinte discutios a possibilidade de usar essa abordage neural para esses tipos de probleas.. ABORDAGEM DE REDE NEURAL ARTIFICIAL As Redes Neurais Artificiais (RNAs) são copostas de eleentos que realiza uitas funções análogas às funções eleentares do neurônio biológico (Figura ). As redes neurais pode odificar seu coportaento e resposta a seu abiente. Este fato, ais que qualquer outro, é responsável pelo interesse que ve recebendo. Diz-se então que ela pode aprender (learn). Existe ua grande variedade de algoritos de treinaento (aprendizado), todos co seus pontos fortes e fracos (FREEMAN & SKAPURA, 99; JAIN et al., 996). Ua vez treinada a rede neural, ua resposta pode ser insensível a pequenas variações e sua entrada. Essa habilidade é essencial para o reconheciento de padrões no undo real, por causa da freqüente ocorrência de ruídos ou distorções nos padrões. É iportante notar que os resultados das RNAs são obtidos a partir de sua estrutura, e não pelo uso de inteligência huana ebutida e algua fora de prograa de coputador. As redes neurais utiliza algoritos de aprendizage para iniizar o erro quadrático édio entre os valores atuais e os desejados da rede. A otiização é alcançada utilizando a técnica do gradiente descendente. Esses odelos ne sepre encontra o ínio global, as pode parar quando encontra u ínio local. A abordage de odelos de redes neurais artificiais pode ser utilizada na categoria de resolução de probleas de distribuição de recursos cujo objetivo é iniizar o custo total de transporte. As redes neurais artificiais são ua extensão nãolinear de étodos convencionais lineares de interpolação/extrapolação. E contraste, ela não explora parcial ou totalente as diferentes configurações de ua solução coo outros étodos de pesquisa ou algoritos. Esse fato pode ser observado na interpretação estatística dos resultados. O eleento-chave nesta abordage é a Aproxiação Média do Capo e estudo (AMC), Figura. U neurônio e u odelo de rede neural.
6 INTEGRAÇÃO VERGARA Redes neurais que pode ser observado coo a variação de u esquea. Os três passos básicos envolvidos Codificação do problea Linearização dinâica da AMC Solução das equações AMC utiliza funções de captura instantânea coo exeplos. O últio passo requer u trataento adicional, porque conté restrições co desigualdades. No caso desta pesquisa, atribuição de recursos, o odelo de rede neural é representado e ua atriz de n centros por consuidores. Os consuidores estão ligados a cada centro desde que não exista interferência. As restrições de interferência são representadas e ua atriz C, na qual os eleentos c ij representa o custo que existe no deslocaento de centro i a u consuidor j. Na estrutura da rede neural, os eleentos estão unidos por eio de ua alha copleta de ligações co pesos que condiciona a rede. Esse tipo de rede é conhecido coo a rede Hopfield (MAA & SHANBLATT, 99). Para eliinar as restrições do problea de prograação inteira e outro problea equivalente de prograação não-linear, deveos substituir as restrições zero-u por restrições de igualdade quadráticas côncavas não lineares. Assi, o problea é representado da seguinte fora: Min c ij x ij Sujeito às seguintes restrições: n xij =,,,... n. rx j ij bi,,,.... [5] [6] [7] x ij = (- x ij) = 0, i =,,..., ; j =,,... n. [8] O odelo descrito (5-8) é equivalente ao problea original [-4] de prograação inteira zero-u. Utilizando o étodo da função penalidade, as restrições do problea pode ser siplesente convertidas e outro utilizando a seguinte forulação (CICHOCKI & UNBEHAUE, 993): fx ( ), se g j( x), h i( x) = Fx ( ) = fx ( ) + KG( x) Gx ( ) = g( x) + h( x) j [9] [0] e que o fator K ε R é o parâetro de penalidade. O objetivo geral da função é aproxiar u problea de otiização co restrições e outro problea de otiização se restrições. A aproxiação é obtida adicionando à função objetivo ua parcela que estabelece ua penalidade pela violação das restrições (LOOI, 99). Essa parcela está associada ao parâetro K, que deterina a severidade dele para aproxiar o problea irrestrito ao problea original (restrito). Por outro lado, co essa transforação, F(x) serve coo ua função de ajuste no étodo de redes neurais. E uitos casos, de qualquer fora, a seleção do valor de penalidade é ua variável dependente, as não é ua regra geral na seleção do parâetro na função de penalidade. Ua fora cou na deterinação do valor de penalidade é o uso do processo de tentativa e erro. Ele deve ser aplicado até que o elhor valor seja encontrado. A vantage de utilizar algoritos para otiizar odelos baseados e redes neurais é que esse étodo fornece ua inforação útil acerca da função objetivo f(x i ) e das funções co restrição G(x). Conseqüenteente, podeos obter vantage quando deterinaos u valor de penalidade tal, que, se os valores f(x i ) e G(x) são grandes, então, K é pequeno. Obviaente, para k i
ABR. MAI. JUN. 005 ANO XI, Nº 4 59-68 INTEGRAÇÃO 63 ua escala de valores pequenos de K, o valor de F(x) resulta e ua superfície do espaço de pesquisa que escapa da elhor solução. De qualquer fora, se abos os valores são pequenos, então, para u valor de K grande, tabé ajudaria a afastar-se do ponto ótio global dentro do espaço de pesquisa possível. Utilizaos a expressão quadrática da função de penalidade co o objetivo de obter a função de energia do odelo; assi, teos, n n K ExK (, )= cx ij ij + xij K + in 0, b i n n K + xij x j r x i j ij = = [] e que o parâetro de desequilíbrio K é o fator de penalidade e in {} é o quadrado de in{}. O passo seguinte consiste e encontrar u procediento eficiente que iniize a expressão (), de fora que u ponto ínio local (ou global) seja obtido. O passo anterior pode ser realizado pela regra de atualização discreta utilizando odelos de redes neurais. Essa abordage é transparente devido a sua natureza binária. O problea pode ser apeado por u sistea de equações diferenciais ordinárias não lineares (CICHOKI & UNBEHAUE, 993; FORTI & TESI, 995; HOPFIELD & TANK, 985), e que os valores soluções são aproxiados por u procediento estocástico co soluções iterativas. A fora pela qual o critério de otiização é transferido interfere pouco na qualidade dos resultados obtidos pelo sistea de equações. Nesse sentido, o odelo de rede neural pode ser obtido pela derivação da função objetivo do sistea dinâico co o objetivo de iniizar a função de energia E(x, K) de penalidade. d dt x x Ex j j j x j K a ij r = µ ( ) = µ ϕ ( ) + i ψ( ), j ( ij) j =,,..., n [] e que µ j > 0 ϕ j x j j ( ) = x fx ( ) ' P ri ψ i ( r i ) = É a taxa de aprendizado. ( ) se r i 0 0 para outro valor É a função de ativação dos neurônios de saída. [3] Função de ativação dos neurônios de entrada. [4] A rede consiste e duas caadas processando unidades. A prieira caada calcula os residuais r i (x) e os erros ψ (r i (x)), enquanto as variáveis de interesse x j são calculadas na segunda caada, que cobina e integra os erros de ψ ( r i ) no tepo de processaento. Assi, a função obtida está coposta de u conjunto de equações diferenciais co a seguinte estrutura: d n dt x c K x Kr = µ( + ( + ) in 0, b r x pq pq iq q p j pj + Kx pq ( x pq )( x pq)) [5] e que µ é o parâetro da taxa de aprendizado e p =,,..., e - q =,,..., n. E cada nó, u neurônio binário é atribuído. O prieiro tero da esquerda da expressão (5) iniiza as conexões entre os nós, enquanto os outros teros penaliza as configurações não balanceadas. A estrutura da rede neural pode ser observada na Figura. Essa espécie de rede neural é denoinada penalidade RN. O tero penalidade alcança seu valor ais alto quando é aior ou igual que K/3, e, neste caso, a trajetória do sistea dinâico ove-se de u ponto de ua solução possível para outro. K n ij x ( x ) ij [6]
64 INTEGRAÇÃO VERGARA Redes neurais Figura. Modelo de rede neural detalhado. O odelo é ipleentado de fora que, quando as entradas do neurônio são utilizadas, as saídas peranece estáveis, e vice-versa, garantindo assi que a rede coporte-se coo ua rede paralela. O sistea de equações lineares proposto interage nuericaente até ser atingida a condição de finalização que garante u custo de transporte ínio e na qual não existe violação de restrições. 3. METODOLOGIA BRANCH AND BOUND Esse étodo, inicialente, é utilizado para estiar ua solução considerada coo ótia. A etodologia desenvolve u algorito na pesquisa de ua solução e estados definidos e espaços (árvores). O objetivo é iniizar ua função f(x) e que x é ua restrição de ua região confiável definida por restrições explícitas ateáticas. A idéia da etodologia é dividir o espaço de soluções de tal fora, que exista ua chance de rejeitar u conjunto de soluções não-ótias se sere avaliadas. Suponha que desejeos resolver o seguinte problea: Miniize f(x), sujeito a x ε X, e que x é u conjunto finito de soluções possíveis. O problea original é dividido e u ou ais subprobleas e na i-ésia iteração é que se atinge a iniização de f(x) e x ε X i. Logo, dividios X i e subprobleas e continuaos desta fora até que u subproblea seja fácil de resolver. Na etodologia supoos que, para qualquer subproblea no qual f(x) é iniizado sobre u x ε X, e que X X, podeos calcular ua divisão para baixo de tal fora, que φ ( x ) in f ( x ) xx ε A pesquisa coeça quando u nó x é fixado coo ponto de partida no espaço de pesquisa. O algorito por eio de parâetros lógicos e restrições do problea deterina, perfeitaente, qual será o nó seguinte a visitar. Por exeplo, u filho de x e ua trajetória e profundidade ou o irão de x e ua pesquisa e largura. Nesse procediento a inforação é analisada e avaliada e serve para deterinar qual será o nó seguinte ais proissor de todos os nós vivos, isto é, aquele que vai conduzir ao próxio nó e expansão (BALAS & CARRERA, 996; BARNHART et al., 998). 4. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS ' Considere que ua copanhia produtora de frangos dispõe de estoque e três arazéns (A, B e C). E vista dos contratos de forneciento já assinados co oitos epresas exportadoras, a copanhia precisa transferir deterinadas quantidades. As deandas acordadas co cada distribuidor e os custos de transportar cada lote do produto pode ser observadas no Tabela. '
ABR. MAI. JUN. 005 ANO XI, Nº 4 59-68 INTEGRAÇÃO 65 Produção Tabela Inforações básicas para o problea de atribuição de recursos. 3 4 5 6 7 8 Distribuidor () [ b i ] 3, 6 6, 7 4, 9 9,, 8 5, 4 4, 8 3, 8 Deanda [ r ] j 3 A, 3, 6 4, 6 5, 7 0, 8 3, 3,, 8 4 B 6, 4 8, 3, 5 3, 4, 8, 4 4, 3, 5 7 C 3, 3, 9 5, 3,, 6,, 5 8, 3 Tendo e vista essas inforações, o objetivo da copanhia é deterinar quanto deveria despachar a cada distribuidor, de fora que seja satisfeitos seus contratos ao áxio. O étodo de Branch and Bound é utilizado para obter a prieira solução possível do problea co o enor custo possível (Tabela ). A função de penalidade () e o conjunto de restrições que copõe o sistea são utilizados co a finalidade de obter o ínio da função objetivo. Na avaliação, o valor da constante de penalidade (K) é 0 (ver Tabelas 3 e 4). A função que representa a rede neural de penalidade (5) é coposta por u conjunto de equações diferenciais ordinárias e é utilizada para obter o ínio da função objetivo. As equações diferenciais do sistea são resolvidas nuericaente pelo étodo de Runge-Kutta-Fehlberg de orde sexta. Os resultados ajustados a valores ínios e áxios para a solução variável são ostrados na Tabela 5. Os parâetros de aprendizage da rede neural de penalidade inclue a taxa de aprendizage, que é usada para especificar a agnitude de udança dos pesos; o fator de penalidade, que especifica a proporção de peso que é soada [ x ij (t)], na últia udança, ao peso novo [x ij (t+)]; e os pesos iniciais, que são usados para inicializar os pesos entre as conexões da rede no pior treinaento. E treino e teste, no caso do étodo da função de penalidade, a quantidade de vetores de entrada foi siulada por ua atriz de núeros aleatórios. Todos os processos nuéricos fora interropidos entre 300 e.000 iterações, segundo a etodologia utilizada. O sistea de equações diferenciais converge nua solução global. E todos os casos dos experientos foi utilizada ua taxa de aprendizado de. O valor do fator de penalidade considerado é 0. A convergência do odelo neural descrito é avaliada por sua capacidade de produzir previsões Tabela Resultados obtidos que iniiza a função objetivo. x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8.r j A 0 0 0 0 0,0 B 0 0 0 0 0 3,50 C 0 0 0 0 0 0 4,50 6,30
66 INTEGRAÇÃO VERGARA Redes neurais Tabela 3 Resultados iniciais obtidos co o fator de penalidade e 300 iterações. x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8.r j A 0,35 0,9 0,4 0,5 0,07 0,38 0,6 0,5 5,6370 B 0,45 0,4 0,30 0,47 0,4 0,09 0,38 0,66 4,530 C 0,63 0,4 0,0 0,54 0,40 0,88 0,8, 08 7,700,43,39 0,9,6 0,88,35 0,8,09 40,7770 Tabela 4 Resultados iniciais obtidos co o fator de penalidade e.000 iterações. x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8.r j A 0,33 0,4 0,9 0,3 0,04 0,7 0,03 0,9,5000 B 0,4 0 0,88 0,56 0,3 0,36 0,09 0,6 4,660 C 0,4 0,64 0, 0,6 0, 0,0 0,83 0,5 6,6540 0,88,05,7,50 0,38,09 0,95 0,70 38,8700 Tabela 5 Resultados de equilíbrios obtidos co a função de penalidade neural. (µ =, K = 0, taanho de passo = 0,00, iterações = 300) x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8.r j A 0 0 0 0 0,0 B 0 0 0 0 0 0 8,70 C 0 0 0 0 0 9,30 4,50
ABR. MAI. JUN. 005 ANO XI, Nº 4 59-68 INTEGRAÇÃO 67 acuradas durante o processo de ajuste dos pesos entre as conexões das caadas da rede neural. Vinte casos fora analisados co diferentes taxas de aprendizado e fatores de penalidade. O odelo de rede deduzido foi treinado e testado. Na ipossibilidade de apresentar todos esses estudos, o elhor experiento representativo para cada sistea foi escolhido para deonstrar a habilidade de convergência do odelo neural. Na avaliação da rede neural, o valor da função objetivo copara a precisão do odelo co os resultados do odelo de referência (Branch and Bound), no qual a predição representa, siplesente, os valores de todos os padrões de entrada da aostra. U ajuste é perfeito ou o experiento é representativo quando o valor obtido para a função objetivo é enor que o valor do odelo de referência, e u ajuste pobre ocorre quando ele é aior. As aostras geradas aleatoriaente não são representativas do odelo quando as predições da rede neural não são boas e, e conseqüência, os valores da função objetivo são não significativos. Todas as siulações fora realizadas e Matlab 5.. 5. CONCLUSÕES Nesta pesquisa foi apresentado o processo de transforar u problea de prograação linear inteira e outro siilar, utilizando o étodo da função de penalidade. Ua rede neural foi deduzida a partir desta nova forulação. Utilizando u conjunto de equações diferenciais ordinárias coo eleentos não-lineares no sistea dinâico, o resultado elhorou consideravelente pelo aprendizado da rede. A avaliação realizada co o odelo de rede neural sobre diferentes bases de aprendizado deonstra claraente a iportância do uso destes odelos não-paraétricos. O resultado é a pesquisa de valores locais e globais na otiização de u sistea, apesar de que uitas vezes as restrições pode estar definidas e fora incopleta. Os estudos realizados deonstra que odelos de redes neurais pode ser utilizados co vantage no processo de alocação de recursos. Tabé na pesquisa aplia-se a definição de novas perspectivas que estão e fase de estudos, coo a possibilidade de utilização de odelos de redes neurais e prograação inteira. De qualquer fora, os resultados nesta pesquisa deve ser considerados coo preliinares, ebora aplaente proissores. O passo seguinte consistirá e experientar co odelos de u sistea da vida real para ganhar experiência. Referências bibliográficas BALAS, E. & CARRERA, M. C. A dynaic subgradientbased branch-and-bound, procedure for set covering. Operations Research, Vol. 44, 996, pp. 875-90. BARNHART, C; JOHNSON, G. L.; SAVELSBERGH, M. W. P. & VANCE, P. H. Branch and price colun generation for solving high integer progras. Operations Research, Vol. 46, 998, pp. 36-9. CICHOCKI, A. & UNBEHAUEN, R. Neural network for optiization and signal processing. Chichester, Wiley & Sons, 993. FORTI, M. & TESI, A. New conditions for global stability of neural network with application to linear and quadratic prograing proble. IEEE Trans, Circuits Syst., Vol. 4, 995, pp. 354-66. FREEMAN, J. A. & SKAPURA, D. M. Neural networks Algoriths, applications and prograing techniques. Addison Wesley, 99. GARFINKEL, R. & NEMHAUSER, G. L. Integer prograing. Nova York: John Wiley and Sons, 97. HOLFIELD, J. J. & TANK, D. W. Neural coputation of decisio n in optiizing probles. Biological Cybernetics, Vol. 5, 985, pp. 4-5. HOLZBAUR, C. A specialized, increental solved for algorith for systes of linear inequalities, Technical Reports TR-94-97, Austrian Research Institute for Artificial Intelligence. Viena: Universidade de Viena, 998. JAIN, A. K.; JIANCHANG MAO & MOHIUDDIN, K. M. Artificial neural networks: A tutorial. Cop uter, arço de 996, p. 3. LOOI, C. K. Neural network ethods in cobinatorial optiizations. In: Journal of Coputer and Operations Research, Vol. 9, nº 3/4, 99. MAA, C.Y. & SHANBLATT, M. Linear and quadratic prograing neural network analysis. IEEE Trans, Neural Networks, Vol. 3, julho de 99, pp. 580-94. RAVINDRAN, A.; PHILLIPS, D. T. & SOLBERG, J. Operations research, principles and practice. Nova York: John Wiley & Sons, 987. SIEDLECKI, W. & SKLANSKY, J. Constrained genetic optiization via dynaic reward-penalty balancing and its use in pattern recognition. Proceedings of the Third International Conference on Genetic Algoriths, 989, pp. 4-50.
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