Capítulo 9 INTEGAÇÃO UPLA 9. Integração upla sobre etângulos enotemos por: um retângulo em. = [a, b [c, d = {(x, y) /a x b, c y d} Consideremos P = {x, x,..., x n } e P = {y, y,..., y n } partições de ordem n de [a, b e [c, drespectivamente, tais que: a = x < x <..... < x n = b e x i+ x i = b a n, y j+ y j = d c n. e c = y < y <..... < y n = d d y j+ y j ij c a x x i i+ b Figura 9.: Partição de. Oconjunto P P é denominadapartição doretângulo deordem n. 7
7 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA Sejam os n sub-retângulos ij = [x i, x i+ [y j, y j+ e c ij ij arbitrário (i, j =,..., n ). Considere a funçãolimitada f :. Asoma onde x = b a n S n = e y = d c n n i= n f(c ij ) x y, j= é dita soma de iemannde f sobre. efinição9.. Umafunção f : limitada é integrávelsobre se lim S n, n + existe independenteda escolha de c ij ij e da partição; em tal caso denotamos este limite por: f(x, y) dxdy, queédenominadaintegraldupla de f sobre. Teorema9.. Toda f : contínua é integrável. Aprova deste teorema pode servista em [EL. 9. Significado Geométrico da Integral upla Se f é contínua e f(x, y) para todo (x, y), a existência da integral dupla de f sobre tem um significado geométrico direto. Consideramos o sólido W definidopor: W = {(x, y, z) / a x b, c y d, z f(x, y)} Figura 9.: Osólido W.
9.. SIGNIFICAO GEOMÉTICO A INTEGAL UPLA 7 W é fechado e limitado superiormente pelo gráfico de z = f(x, y), inferiormente por e lateralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Se denotamos por V (W)ovolume de W, então: V (W) = f(x, y) dxdy e fato, escolhendo c ij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre ij (pois éfechado,limitadoef écontínua),então f(c ij ) x yéovolume doparalelepípedodebase ij ealtura f(c ij ). Figura 9.: Partição e os paralelepípedos de W, respectivamente. S n = n i= n f(c ij ) x y j= é o volume do sólido circunscrito a W. Analogamente se e ij é o ponto onde f atinge seu mínimo sobre ij (pois é fechado, limitado e f é contínua), então: s n = n i= n f(e ij ) x y j= é o volume do sólido inscrito em W. Como f é integrável, os limites das somas deiemann S n e s n independemda escolha de c ij e e ij : lim S n = lim s n = f(x, y) dxdy. n n Em outras palavras os volumes dos sólidos inscritos e circunscritos a W, tendem ao mesmo limite. Portanto, é razoável chamar este limite de volume de W.
74 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA Figura 9.4: econstrução do sólido. Figura 9.5: econstrução do sólido. Figura 9.6: econstrução do sólido. Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o significado geométrico da integral dupla independe da escolha da partição e dos pontos c ij e e ij. A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções de uma variável.
9.. INTEGAIS ITEAAS 75 Proposição 9... Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobre entãopara todo α, β, α f + β g éintegrável sobre, e: ( α f(x, y)+β g(x, y) ) dxdy = α f(x, y) dxdy+β g(x, y) dxdy.. Se f e gsãointegráveissobre eg(x, y) f(x, y),paratodo (x, y), então: g(x, y) dxdy f(x, y) dxdy.. Se ésubdivididoem k retângulos e f éintegrável sobrecada i, i =,..., k então f é integrável sobre e, f(x, y) dxdy = k i= i f(x, y) dxdy. 9. Integrais Iteradas Umaintegral iterada de f sobre éuma integral dotipo: d c [ b f(x, y) dx dy. Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral a b a f(x, y) dxcomointegral de uma veriável em x; o resultado é uma função de y que é novamente integrada em y,com limites deintegração c e d. Aintegral b a [ d Exemplos 9.. [ [ Calcule x y dy dx. c f(x, y) dy dx é calculada de forma análoga.
76 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA x y dy = x y dy = 4x e [ x y dy dx = 4x dx =. [ Calcule e π [ Calcule e [4 Calcule logo: π π [ π [ π cos(x + y) dx dy. cos(x + y) dx = sen(x + y) x=π x= cos(x + y) dx dy = [ π π 6 4 (x + y ) dx dy. π (x + y ) dx = ( x + xy) [ (x + y ) dx dy = [ 4 ρ e ρ sen(φ) dρ dφ. ρ e ρ sen(φ) dρ = sen(φ) = sen(y + π) sen(y), (sen(y + π) sen(y)) dy = 4. 4 x= x= = + y ( + y ) dy = 8. ρ e ρ dρ = sen(φ) eρ 4 ; e logo: π π 6 [ 4 4 ρ e ρ sen(φ) dρ == sen(φ) e64 ρ e ρ sen(φ) dρ dφ = e64 π π 6 sen(φ) dφ
9.4. TEOEMA E FUBINI 77 π π 6 [ 4 ρ e ρ sen(φ) dρ dφ = (e64 ) ( ). 6 [5 Calcule [ y y dx dy. y y dx = y e: e [ y y dx dy = ( y ) dy =. [6Seja a função f : [, [, definidapor: { se x Q f(x, y) = y se x / Q. Então: Logo, [ Por outro lado dy = dy dx =. dy = se x Q y dy = se x / Q. f(x, y) dxnãoexiste, exceto quando y = ; logo, [ dx dy não existe. Em geral, nada garante a existência das integrais iteradas. 9.4 Teorema de Fubini O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integrais iteradas, o que facilitará seu cálculo.
78 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA Teorema9.. (Fubini): Seja f : contínua sobre. Então: f(x, y) dxdy = Prova: Veja o apêndice. Observações 9.. d c [ b f(x, y) dx dy = a b a [ d c f(x, y) dy dx. Uma visualização geométrica do teorema de Fubini pode ser feita u- sando o princípio de Cavalieri: ado um sólido, se denotamos por A(y)aáreadaseçãotransversalaosólido,medidaaumadistância yde umplanodereferência,ovolumedosólidoédadopor: V = d A(y) dy, c onde cedsãoasdistânciasmínimaemáximaaoplanodereferência.. Se f é uma funçãocontínua e f(x, y) emtodo, então: representa ovolume dosólido W: f(x, y) dxdy W = {(x, y, z) /a x b, c y d, z f(x, y)}. a c d b Figura 9.7:. Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a uma distância x da origem, obtemos uma seção plana que tem como área
9.4. TEOEMA E FUBINI 79 A(x) = d f(x, y) dy. Pelo princípio de Cavalieri, o volume total do c sólido é: f(x, y) dxdy = b a A(x) dx = b a [ d c f(x, y) dy dx. 4. Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano xz a uma distância y da origem obtemos uma seção plana de área A(y) = b f(x, y) dxepeloprincípio decavalieri: a f(x, y) dxdy = d c A(y) dy = d c [ b f(x, y) dx dy. a Exemplos 9.. [ Calcule dxdy, onde = [a, b [c, d. dxdy = b a [ d c dy dx = numericamente a integral dupla b a (d c) dx = (b a) (d c); dxdy, corresponde a área de ou ao volume do paralelepípedode base e altura. [ Calcule f(x, y) dxdy,onde = [a, b [c, def(x, y) = h, hconstante positiva. f(x, y) dxdy = h dxdy = h A() = h (b a) (d c), onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedo de base e altura h. [ Calcule (xy + x ) dxdy, onde = [, [,. (xy + x ) dxdy = = [ [ y + (xy + x ) dx dy = dy = 7. [ x y + x x= dy x=
8 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA O número 7 representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função f(x, y) = xy + x e pelos planos coordenados. ((x, y) [, [, ). Figura 9.8: Exemplo[4. [4 Calcule xy dxdy, onde = [, [,. xy dxdy = [ xy dx dy = y dy = 6. [5 Calcule sen(x + y) dxdy, onde = [, π [, π. sen(x + y) dxdy = = π π [ π sen(x + y) dx dy (cos(y) cos(y + π)) dy =. [6 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = y e inferiormente peloretângulo definidopor x e y.
9.4. TEOEMA E FUBINI 8...5..5...5. Figura 9.9: Sólido do exemplo[6. O sólido está limitado superiormente pelo plano z = y e inferiormente peloretângulo = [, [, ;então, ovolume V é: V = ( y) dxdy = [ ( y) dx dy = ( y) dy = u.v. [7Calculeovolumedosólidolimitadopor z = x +y epelosplanos x =, x =, y = ey =. Figura 9.: Sólido do exemplo[7. = [, [,. Ovolume é: V = (x + y ) dxdy = [ (x + y ) dx dy = u.v. =unidades de volume. (9 + y ) dy = u.v.
8 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA [8Calculeovolumedosólidolimitadopor z = y epelosplanos x =, x =, y = e y =. = [, [,. O volume é: V = ( y ) dxdy = Figura 9.: Sólido do exemplo[8. [ ( y ) dx dy = 9.5 Extensão do Teorema de Fubini ( y ) dy = 8 u.v. Antes de estudar a integral dupla em regiões mais gerais enunciaremos uma genereralização do teorema 9.. efinição9.. Seja A, = [a, b [c, d. Oconjunto A temconteúdo nulo se existe um número finito de sub-retângulos i, ( i n) tais que A... n n e: onde i éaáreade i. lim n + n i = ; i= Exemplos 9.. [Se A = {p, p,..., p m }, p i,( i m). Oconjunto Atemconteúdo nulo. Utilizandoumapartição de ordem nde como antes, temos: i = (b a) (d c) n,
9.5. EXTENSÃO O TEOEMA E FUBINI 8 i n. Como cada ponto pode estar no máximo em quatro subretângulos, então: < n i i= 4 m (b a) (d c) n. Logo lim n + n i =. i= [ tem conteúdo nulo. d y j+ y j ij c a xi xi+ b Figura 9.:. Ospontos de estão distribuido em 4 n 4 sub-retângulos ij : < n i i= (4 n 4) (b a) (d c) n 4 (b a) (d c), n pois n n <. Logo: lim n + n i =. i= É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b tem conteúdo nulo.
84 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA Figura 9.: G(f). Teorema 9.. Se f : é uma função limitada e o conjunto onde f é descontínua tem conteúdo nulo, então f é integra vel sobre. Prova: Veja[EL na bibliografia. 9.6 Integração upla sobre egiões mais Gerais efiniremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utilizados para estender o conceito de integral dupla sobre retângulos a regiões mais gerais 9.7 egiões Elementares Seja. 9.7. egiões de tipoi é uma regiãode tipo Ise pode serdescrita por: = {(x, y) /a x b, φ (x) y φ (x)} sendo φ i : [a, b (i =, ) funções contínuas tais que φ (x) φ (x) paratodo x [a, b.
9.7. EGIÕES ELEMENTAES 85 φ φ a φ b a φ b Figura 9.4: egiões de tipo I. 9.7. egiões de tipoii éuma região detipo IIse pode serdescrita por: = {(x, y) /c y d, ψ (y) x ψ (y)} sendo ψ i : [c, d (i =, ) funções contínuas tais que ψ (y) ψ (y) para todo y [c, d. d ψ ψ ψ ψ c Figura 9.5: egiões de tipo II. 9.7. egiões de tipo III é uma região de tipo III se pode ser descrita como região de tipo I ou de tipo II. Observações 9... Asregiõesde tipos I,IIou IIIsão chamadaselementares.. As regiões elementares são fechadas e limitadas.
86 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA Exemplos 9.4. [ A região limitada pelas curvas y = x e y = 4 x x pode ser descrita como detipo I: A interseção das curvas é dada pela solução do sistema: { y = x y = 4 x x, do qual obtemos: x = e x = ; logo, = {(x, y) / x, x y 4x x }. 5 4.5..5. Figura 9.6: egiãodetipo I. [Seja a região limitada pelasseguintes curvas: y x = e y + x =. A região pode ser descrita por: = {(x, y) / y, y x y }; é uma regiãode tipo II...5..5.5..5. Figura 9.7: egião de tipo II.
9.7. EGIÕES ELEMENTAES 87 [ A região limitada pela reta x + y = e pelos eixos coordenados, no primeiro quadrante, pode ser descrita como de tipo II: = {(x, y) / y, x y}...5..5.5..5. Figura 9.8: egião de tipo III. [4Aregião limitadapelascurvas y = x ey = x+6,podeserdescrita como detipo II. A interseção das curvas é dada pela solução do sistema: { y = x y = x + 6, doqual obtemos: x = e x = 5; logo: = {(x, y) / y 4, y x y + }. Figura 9.9: egião de tipo II.
88 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA [5 Seja a região limitada pela curva x + y = ; esta região é do tipo III. e fato: etipo I: = {(x, y) / x, φ (x) = x y φ (x) = x }. etipo II: = {(x, y) / y, ψ (y) = y x ψ (y) = y }. 9.8 Extensão da Integral upla Seja uma região elementar tal que, onde é um retãngulo e f : umafunçãocontínua(logo limitada). efinamos f : por: f (x, y) = { f(x, y) se (x, y) se (x, y). f é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ; masse consiste de uma união finita de curvas que são gráficos de funções contínuas, pelo teorema 9., f éintegrável sobre. Figura 9.: Gráficos de f e f,respectivamente. efinição9.. f : é integrável sobre se f é integrável sobre e em tal caso definimos: f(x, y) dxdy = f (x, y) dxdy.
9.9. INTEGAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 89 Se é outro retângulo tal que e f : é definida como antes, então: f (x, y) dxdy = (x, y) dxdy, pois f = f = onde e diferem. f f* =f* = Figura 9.: Logo, f(x, y) dxdy nãodependeda escolha doretângulo. 9.9 Integral upla e Volume de Sólidos Proposição 9.. Se f : é uma função contínua e limitada sobre, então:. Se é uma região detipo I: f(x, y) dxdy = b [ φ (x) a φ (x) f(x, y) dy dx. Se é uma região detipo II: Para a prova, veja oapêndice. f(x, y) dxdy = d [ ψ (y) c ψ (y) f(x, y) dx dy
9 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA Corolário9.4. Se f(x, y) = em todo,então: efato, se éde tipoi, temos dxdy = Área() dxdy = b a [ φ (x) φ (x) dx = A(). Se f(x, y) eécontínuaem,podemosnovamenteinterpretaraintegral dupla de f sobre como o volume do sólido W limitado superiormente pelográfico de f e inferiormente por. W = {(x, y, z) /(x, y), z f(x, y)} é a projeção de W sobre oplano xy e: V (W) = f(x, y) dxdy 9.9. Exemplos [ Calcule dada. Observe que: [ e x dx dy. A integral não pode ser calculada na ordem y e x dxdy = [ y e x dx dy. Aregião,ondeestádefinidaaintegral, édetipoii: y ey x. Figura 9.: A região.
9.9. INTEGAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 9 A região é de tipo III; logo, também é de tipo I. e fato: x e y xe: [ x e x dxdy = e x dy dx = xe x dx = (e ). [ Calcule [ x sen(y) y dy dx. A região, onde está definida a integral é de tipo I: x e x y. Por outro lado, é de tipo III, logo também é de tipo II: y e x y: Figura 9.: Aregião. [ x sen(y) y [ Calcule primeiro quadrante. dy dx = [ y sen(y) y dx dy = sen(y) dy = cos(). y dxdy,onde éaregiãolimitadapor x + y = no Figura 9.4: Aregião.
9 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA Consideramos como região de tipo II: Pela proposicão: = {(x, y) / y, x y }. y dxdy = [ y y dx dy = ( y ) dy =. Note que se escrevemos como região de tipo I,aintegração é muito mais complicada. [4 Calcule (x + y) dxdy, se éaregião limitadapor y = x, y = x + eoeixodos y. Figura 9.5: A região. Asretasseintersectamnoponto (, ). Escrevendo comoregiãodetipoi: x, x y x +. (x + y) dxdy = = [ x x + (x + y) dy dx ((x + ) 8x ) dx = 6. [5etermineovolume dosólidolimitado por y x + z = e pelosplanos coordenados. Para ter uma visão geométrica do problema, fazemos o desenho do sólido, que é limitado superiormente pelo plano que passa pelos pontos (,, ), (,, ), (,, )einferiormente peloplano z =.
9.9. INTEGAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 9 - Figura 9.6: O sólido e a região, respectivamente. A integral dupla representa o volume do sólido limitado superiormente pelográficodafunção z = f(x, y) = +x y e,inferiormentepelaregião projeção de W no plano xy. W = {(x, y, z) / (x, y), z + x y}, onde = {(x, y) / x, volume é: y x + }éregiãodotipoi.seu V (W) = = ( + x y) dxdy = (x + ) dx = 6 u.v. [ x+ ( + x y) dy dx [6etermineovolumedosólidolimitadopor z = x+, x = y e x y =.
94 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA 5 5-4 - 4 4 4 4-4 - Figura 9.7: O sólido do exemplo[6. - Figura 9.8: A região. Observe que z = f(x, y) = x + e V (W) = ( x + ) dxdy, onde é a projeção do sólido no plano xy. Considerando como região dotipo II,ela é definidapor: = {(x, y) / y, y x y + }. Ovolume é:
9.9. INTEGAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 95 V (W) = = (x + ) dxdy = [ y+ y (5 y + 6 y 4 ) dy = 89 u.v. ( x + ) dx dy [7Calculeovolume dosólido que está acimado plano xy e élimitado por z = x + 4 y e x + 4 y = 4. Ográfico de z = x + 4 y éum parabolóide elíticoeode x + 4 y = 4 éum cilindro elítico. -.5 y.5 - -.5 y.5 z z - - x - - x Figura 9.9: O sólido do exemplo[7. - - Figura 9.: A região do exemplo[7. Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 4.
96 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA Figura 9.: A região. é a projeção do cilindro no plano xy. é do tipo I: x e y 4 x e, V = 4 = (x + 4y ) dxdy = 4 [ 4 x ( x 4 x + (4 x ) ) dx = 4 π u.v. (x + 4 y ) dy dx [8Calculeaáreadaregiãoplanalimitadapelascurvas y = x e y = 4 x x. Ospontos de interseção dascurvas são: (, )e(, 4). 5 4.5..5. Figura 9.: A região. é dotipo I: x e x y 4x x. A = dxdy = [ 4x x x dy dx = (x x ) dx = 8 u.a. [9Calculeovolumedosólidoobtidopelainterseçãodoscilindros: x +y = a e x + z = a, a. Osólido ésimétrico emrelação àorigem.
9.9. INTEGAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 97 Figura 9.: Interseção dos cilindros. Calculamos o volume da porção do sólido no primeiro octante e multiplicamos oresultado por8. Figura 9.4: O sólido no primeiro octante. Claramente é região do tipo I: x a e y a x. A altura do sólido W é dadapor z = f(x, y) = a x e:
98 CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA V = 8 = 8 = 8 a x dxdy a [ a x a (a x ) dx = a x dy dx 6 a. [ Calcule o volume do sólido limitado por x + 4 y =, z = x + y e situado acima do plano xy, no primeiro octante. 8 6 4 Figura 9.5: Sólido e região do exemplo[, respectivamente. é uma regiãodo tipoii: y 5 4y e x ; logo: V = = 8 = 8 (x + y ) dxdy = 5 5 5 [ 4 y [ y 5 [4 y 8 y + dy (x + y ) dx dy [86 y 75 y + 6 y 5 dy = 565 96 u.v. [ Calcule o volume do sólido limitado por z xy =, z =, y = x e y x =.
9.9. INTEGAL UPLA E VOLUME E SÓLIOS 99 Figura 9.6: Sólido do exemplo[. éuma região dotipo I: x e x y x, Logo: V = xy dxdy = Figura 9.7: egião. [ x x xy dy dx = [x x 5 dx = u.v.
CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA 9. Exercícios. Calcule f(x, y) dxdy, se: (a) f(x, y) = x y e = [, [, (b) f(x, y) = (x + y) (x y ) e = [, [, (c) f(x, y) = x + 4 y e = [, [, (d) f(x, y) = x e = [, [, y + (e) f(x, y) = e x y (x + y )e = [, [, (f) f(x, y) = xy y e = [, 5 [, 4 (g) f(x, y) = 5 xy e = [, [, 4 (h) f(x, y) = x + c y e = [, [, (i) f(x, y) = x y e = [, [,.. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função e inferiormente pelo retângulo dado: (a) z = 9 y e = [, 4 [, (b) z = x + y e = [, [, (c) z = y x e = [, [, (d) z = x + y + 6e = [, [, (e) z = a cos( θ) + bsen( α) e = [, π [, π (f) z = xsen(y) e = [, π [, π. Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: (a) (b) (c) [ y [ x [ x tg(x ) dx dy x y dy dx y dy dx (d) (e) (f) [ x [ y y sen(y ) dy dx e x dx dy [ 9 y cos(x ) dx dy y
9.. EXECÍCIOS 4. Calcule as seguintes integrais sabendo que é limitada pelas curvas dadas: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) y dxdy; y = x, y = x + x xy dxdy; x a + y b =, x, y xdxdy; x y =, x = dxdy x + ; y x =, y = (x + y ) dxdy; y =, y = x e x =, x = e x+y dxdy; y =, y = x e x = xcos(y) dxdy; y =, y = x e x = 4 y dxdy; y = x 6 e y = x (y x) dxdy; y = x e x = y (x + y) dxdy; y = x e y = x + ( + x) dxdy; x = y e y + x = dxdy; y = x e y = x
CAPÍTULO 9. INTEGAÇÃO UPLA
Capítulo MUANÇA E COOENAAS. Introdução Seja uma região elementarnoplano uv e: x, y :, onde x = x(u, v) e y = y(u, v)são funções contínuas e com derivadas parciais contínuas num retângulo aberto tal que. Estas duas funções determinam uma transformação do plano uv no plano xy. e fato: T :, onde T(u, v) = (x(u, v), y(u, v)). Atransformação T étambémdenotadapor: { x = x(u, v) y = y(u, v), (u, v). enotemos a imagende por T como = T( ), contida noplano xy.
4 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS v y * T u x Figura.: Mudança de coordenadas. Exemplos.. Seja = [, [, πet(r, t) = (r cos(t), r sen(t)). eterminemos = T( ) noplano xy. { x = y = r cos(t) r sen(t); logo: x + y = r ; então = {(x, y) /x + y }. t y π L T * x r Figura.: efinição.. Umatransformação T é injetiva em se: T(u, v ) = T(u, v ) implicaem u = u e v = v, para todo (u, v ), (u, v ).
.. JACOBIANO A MUANÇA E COOENAAS 5 No exemplo., temos que: = [, [, π e T(r, t) = (r cos(t), r sen(t)). A transformação T não é injetiva: e fato, T(, t ) = T(, t ) = (, ) para t t. Observe que: T(L) = (, ), onde L = {(, t)/ t π}. Masse = (, (, π, T é injetiva.. Jacobiano da Mudança de Coordenadas Seja T : uma transformação definidapor: { x = x(u, v) y = y(u, v), (u, v). Considere a seguinte matriz: x u J = y u x v y v onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v). J é chamada matriz Jacobiana (de Jacobi) da transformação T. efinição.. O determinante da matriz J, dito jacobiano de T, é denotado e definido por: (x, y) x y = det(j) = (u, v) u v x v y u onde asderivadasparciaissão calculadasnos pontos (u, v). Observação.. A importância da matriz Jacobiana de uma transformação deverá ser estudada com mais rigor, em disciplinas mais avançadas. Por enquanto citaremos a seguinte proposição, sem prova:
6 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS Proposição.. Se: (x, y) (u, v) (u, v ), (u, v ), então existe uma vizinhança do ponto (u, v ) tal que a restrição de T a esta vizinhança é injetiva. Exemplos.. [ No exemplo., temos que: = [, [, πet(r, t) = (r cos(t), r sen(t)). Logo, Note quepara todo (r, t) Ltemos (x, y) (r, t) = r. (x, y) (r, t) =. [Seja oquadrado = [, [, et(u, v) = (u + v, u v). { x = u + v y = u v. Se u =, então y = x; se v =, então y = x, se u = ; então y = x e se v =,então y = x. A região = T( ) é a região do plano xy limitada pelas curvas y = x, y = x, y = x e y = x. Ojacobiano: (x, y) (u, v) =. Figura.: egiões e,respectivamente.
.. MUANÇA E COOENAAS E INTEGAIS UPLAS 7 [ Seja a região limitada pelascurvas u v =, u v = 9, u v = e u v = 4 noprimeiro quadrante, sendo T(u, v) = (u v, u v). eterminemos T( ) =,fazendo: { x = u v y = u v; se u v =, então x = ; se u v = 9, então x = 9, se u v =, então y = e se u v = 4,então y = 4 4 5 9 Figura.4: egiões e,respectivamente. (x, y) (u, v) = (u + v ), quenão seanula em.. Mudança de Coordenadas e Integrais uplas O seguinte teorema nos ensina o comportamento das integrais duplas sob mudanças de coordenadas. Teorema.. Sejam e regiões elementares no plano, T uma transformação de classe C e injetiva em. Suponha que T( ) =. Então, para toda função integrável f sobre temos: f(x, y) dxdy = f(u, v) (x, y) (u, v) du dv onde: (x, y) (u, v)
8 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS é o valor absoluto do determinante Jacobiano e a função nas novas coordenadas f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)). Emparticular a área de é: A() = dxdy = (x, y) (u, v) du dv Observações... É possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetivanumsubconjuntodeconteúdonulode,comonocasode L, no exemplo.. Observe que podemos ir do plano uv ao plano xy e vice-versa, pois T ébijetiva..4 Mudança Linear de Coordenadas Consideremos a seguinte transformação: x = x(u, v) = a u + b v y = y(u, v) = a u + b v onde a b a b. Como: (x, y) (u, v) = a b a b, do teorema anterior, segue: Corolário.. Se f(u, v) = f(a u + b v, a u + b v),então: Emparticular, a áreade é: f(x, y) dxdy = a b a b f(u, v) du dv A() = a b a b A( )
.4. MUANÇA LINEA E COOENAAS 9 Observação.. Note que as inversas são: u = v = u(x, y) = b x b y a b a b v(x, y) = a x + a y a b a b, e que: (u, v) (x, y) = (x, y) (u, v). Exemplos.. [Seja aregiãolimitadapelascurvas y = x, y = x, y = x ey = x+, calcule: xy dxdy. Apresença dos termos x y e y xsugerem a seguinte mudança: { u = x y v = y x. A nova região é limitada pelas seguintes curvas: u =, u =, v = e v =. 4 Figura.5: egiões e,respectivamente. Note que:
CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS { x = u + v y = u + v, logo, (x, y) (u, v) = e f(u, v) = (u + v) (u + v) = u + u v + v. Então: xy dxdy = [ (u + u v + v ) du dv =. [Seja a região limitada pelacurva y + x = e peloseixos coordenados, calcule: e y x x+y dxdy. Apresença dos termos x + y e x y sugerem aseguinte mudança: { u = x + y v = y x. élimitadapelascurvas x =, y = ex+y = ;então, élimitadapelas curvas u = v, u = v e u =, respectivamente. Figura.6: egiões e,respectivamente. (u, v) (x, y) = e (x, y) (u, v) =, f(u, v) = e u;então: v
.4. MUANÇA LINEA E COOENAAS x+y dxdy = e y x = u du dv = v=u u e v u du e v = e e = e e. v= u u du [ u e v u dv du u [etermine a área daregião limitadapela curva fechada ( x 4 y + 7) + (x 5 y) = 6. Considere a mudança: { u = x 4 y v = x 5 y. éaregiãolimitadapelacurva (u+7) +v = 6queéumcírculocentrado em ( 7, )de raio 4. 6 4 - -5 4 8 6 4 4-6 Figura.7: egiões e,respectivamente. (u, v) (x, y) = 6; então (x, y) (u, v) = 6 e: A() = du dv = 6 6 A( ) = 8 πu.a. [4Seja a região limitada pela curva y + x = e pelos eixos coordenados, calcule:
CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS cos ( x y) dxdy. x + y Apresença dos termos x + y e x y sugerem aseguinte mudança: { u = x y v = x + y. - Figura.8: egiões e,respectivamente. é a região limitada pelas seguintes curvas: u = v, u = v e v =, (x, y) (u, v) = e f(u, v) = cos ( u) ; então: v ( ) y x cos dxdy = cos ( u x + y v = = [ v = sen(). v cos ( u v ) du dv ) du dv v ( sen() sen( ) ) dv = sen() [5Seja a região limitada pelascurvas y x =, y + x =, y x = e y + x =,calcule: y + x (y x) dxdy. v dv
.4. MUANÇA LINEA E COOENAAS Apresença dos termos y + xey xsugerem a seguinte mudança: { u = y + x v = y x. é aregião limitada pelasseguintescurvas: u =, u =, v = ev =. - -.5.5 Figura.9: egiões e,respectivamente. (x, y) (u, v) = 4 e f(u, v) = u v; então: y + x (y x) dxdy = u du dv 4 v = [ u 4 v du dv = 6. [5 Seja a região limitada pelas curvas y + x =, y + x = 4, x y = e x y =,calcule: (x + y) e x y dxdy. Apresença dos termos y + x e y xsugerem a seguinte mudança: { u = x + y v = x y. é aregião limitada pelasseguintescurvas: u =, u = 4, v = e v =.
4 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS..5...5.5. 4.5.5..5..5..5. Figura.: egiões e, respectivamente. (x, y) (u, v) = e f(u, v) = u e v ; então: + y) (x e x y dxdy = u e v du dv = [ 4 u e v du dv = (e e )..5 Mudança Polar de Coordenadas Um ponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares (r, θ) onde r é a distância da origem a P e θ é o ângulo formado pelo eixo dos xeosegmento de reta que liga aorigem a P. P y P r r θ x Figura.: Mudança polar de coordenadas.
.5. MUANÇA POLA E COOENAAS 5 Arelação entre ascoordenadas (x, y)e(r, θ) édadapor: Ou, equivalentemente: { r = x + y θ = arctg ( y) x { x = y = r cos(θ) r sen(θ). x. Esta mudança é injetiva em: com θ =constante. = {(r, θ)/r >, θ < θ < θ + π}, Note quearegião circular = {(x, y) /x + y a } corresponde, emcoordenadas polares, à região retangular: = {(r, θ) / r a, θ π} = [, a [, π. Exemplos.4. [ A cardióide é uma curva de equação cartesiana x + y = x + y y; em coordenadaspolares fica r = sen(θ), r. - - - Figura.: Cardióide. [ A lemniscata de Bernoulli é uma curva de equação cartesiana: (x + y ) = a (x y ); em coordenadaspolares fica r = a cos(θ).
6 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS Figura.: Lemniscata. [ O cilindro circular reto de raio a, em coordenadas cartesianas é definido como o seguinte conjunto: em coordenadas polares: C = {(x, y, z) / x + y = a, a }; C = {(r, θ, z) /r = a, θ π}. Calculemos o jacobiano da mudança de coordenadas polares: (x, y) (u, v) = r >. o teorema anterior, segue: Corolário.. Se f(r, θ) = f(r cos(θ), r sen(θ)), então: f(x, y) dxdy = r f(r, θ) dr dθ Esta igualdadeainda éválida se = {(r, θ)/r, θ θ θ + π}. Emparticular a área de é: A() = dxdy = r dr dθ.6 egiões Limitadas por Círculos Seja a >. A região, limitada pelo círculo x + y = a, em coordenadas polares é dada por: = {(r, θ) / r a, θ π}.
.6. EGIÕES LIMITAAS PO CÍCULOS 7 Figura.4: A região. Neste caso: f(x, y) dxdy = π [ a r f(r, θ) dr dθ Aregião,limitadapelocírculo (x a) +y a,emcoordenadaspolares é: = {(r, θ) / r a cos(θ), π θ π }. Figura.5: A região. Neste caso: f(x, y) dxdy = π π [ acos(θ) r f(r, θ) dr dθ Aregião,limitadapelocírculo x +(y a) a,emcoordenadaspolares é:
8 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS = {(r, θ) / r a sen(θ), θ π}. Figura.6: A região. Neste caso: f(x, y) dxdy = π [ a sen(θ) r f(r, θ) dr dθ Exemplos.5. [ Calcule (x + y ) dxdy,onde éaregião limitada pelascurvas: x + y =, x + y = 4, y = x x e y =, no primeiro quadrante. Figura.7: A região. Usando coordenadas polares, a nova região no plano rθ é determinada por:
.6. EGIÕES LIMITAAS PO CÍCULOS 9 = {(r, θ) / r, π 6 θ π 4 }. Como x + y = r, temos: [ Calcule (x + y ) dxdy = r dr dθ = π 4 π 6 [ r dr dθ = 5 π 6. ln(x + y ) dxdy, onde éaregião limitada pelascurvas: x + y = a e x + y = b, ( < a < b). Usandocoordenadas polarestemos que está determinada por: a r be θ π. Por outro lado, ln(x + y ) = ln(r), ln(x + y ) dxdy = r ln(r) dr dθ b = 4 π r ln(r) dr a b = π (r ( ln(r) )) a = π ( b ln(b) a ln(a) + a b ). [ etermine o volume do sólido situado acima do plano xy e limitado pelosgráficos de z = x + y e x + y = y. O gráfico de z = x + y é um parabolóide centrado na origem e o do cilindro circular reto x + y = y que é centrado em (,, ) e de raio, pois, podemosescrever x + y y = x + (y ).
CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS 4 x.5.5.75 z.5 y.5 Figura.8: O sólido do exemplo[. Logo = {(x, y) /x + (y ) }, emcoordenadas polares é: = {(r, θ) / r sen(θ), θ π}. O sólido W é limitado superiormente pelo parabolóide; logo: V = (x + y ) dxdy. Utilizandocoordenadas polares temos x + y = r e: V = = 4 (x + y ) dxdy = r dr dθ = π [ sen 4 (θ) dθ = 4 8 + cos(4θ 8 π = sen (θ) cos(θ) = π u.v. cos(θ) sen(θ) + θ π [ sen(θ) sen(θ π r dr dθ dθ [4Calculeovolume dosólido limitadoexternamentepor x + y + z = 5 einternamente por x + y = 9.
.6. EGIÕES LIMITAAS PO CÍCULOS 4 y z x 4 5 Figura.9: O sólido do exemplo[4. 5 5 Figura.: A região. Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o resultado por 8. V = 8 5 x y dxdy, onde é a projeção do sólido no plano xy. Usando coordenadas polares obtemos a nova região definida por: e 5 x y = 5 r : V = 8 5 x y dxdy = 8 = {(r, θ) / r 5, θ π } π [ 5 r 5 r dr dθ = 56π u.v.
CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS [5 Calcule + e x dx. Esta integral é muito utilizada em Estatística. Seja = [ a, a [ a, a. Então: e (x +y ) dxdy = a a Ográfico de f(x, y) = e (x +y ) é: [ a [ a [ a e x e y dy dx = e x dx e y dy. a a a a Figura.: a Se denotamospor L(a) = e u du = e u du, temos: a L (a) = e (x +y ) dxdy. Sejam e regiões elementares tais que onde é a região limitada pelo círculo inscrito em e é a região limitada pelo círculo circunscrito a : Figura.:
.6. EGIÕES LIMITAAS PO CÍCULOS Como f(x, y) = e (x +y ) écontínua em e e (x +y ) >,para todo x, y, e (x +y ) dxdy L (a) e (x +y) dxdy. Usandocoordenadas polares, é definida por r ae θ π, é definidapor r a e θ π: e (x +y ) = e r e: então, π [ a r e r dr dθ = π ( e a ); π ( e a ) L(a) π ( e a ). Como: a lim a + e u du = + e u du, temos: + e u du = π. [6Se = {(x, y) / (x y) +(x+y) 4, y, x+y },calcule: e x+y x y (x y) dxdy. Usamos mudança linear: { u = x y v = x + y. Logo,anovaregião élimitadapelascurvas u +v =, u +v = 4, v u e v:
4 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS (u, v) (x, y) = então (x, y) (u, v) = e Figura.: egião. e x+y x y (x y) dxdy = v e u u du dv. Usando coordenadas polares obtemos a região definida por: r e θ π 4 : e v u u du dv =.7 Aplicação r e tg(θ) r cos (θ) ln() dr dθ = (e ). Seja região do tipo II, limitada por curvas de equações (em forma polar): r = g(θ)er = h(θ) e definida por: = {(r, θ)/g(θ) r h(θ), θ θ θ }, onde g, h : [θ, θ sãofunções contínuastais que g(θ) h(θ). θ y h θ * θ r θ θ g x Figura.4:
.7. APLICAÇÃO 5 Então: f(x, y) dxdy = Em particular, a área de é: Exemplos.6. A() = dxdy = θ [ h(θ ) θ θ θ g(θ ) r f(r, θ) dr dθ [(h(θ)) (g(θ)) dθ [ Calcule o volume do sólido limitado pelo cone z = x + y e pelo cilindro r = 4 sen(θ), no primeiro octante. Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no plano r θ o cilindro projeta-se no círculo r = 4 sen(θ); logo r 4 sen(θ) e θ π. 4 4 y 4 z - -.5 x.5 Figura.5: V = r dr dθ = π[ 4 sen(θ) r dr dθ = 8 9 u.v. [ Calcule a área da região limitada pelo interior do círculo r = 4 sen(θ) e peloexterior docírculo r =.
6 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS - - Figura.6: Oscírculos se intersectam em: θ = π 6 e θ = 5π 6 e: A() = 5π 6 π 6 (6 sen (θ) 4) dθ = ( π + ) u.a. [Calculeaárea daregião limitada por r = ( + sen(θ)). 4 - - Figura.7: θ π. Logo: A() = π ( + sen(θ)) dθ = 6πu.a. [4Calculeaárea daregião limitada por r = sen(θ).
.8. EXECÍCIOS E MUANÇA E COOENAAS 7 θ π. Logo: A() = Figura.8: π sen (θ) dθ = π u.a..8 Exercícios de Mudança de Coordenadas Nesta seção apresentaremos mudanças de coordenadas não usuais. Lembremos, que utilizaremos o teorema de mudança de coordenadas e a fórmula: f(x, y) dxdy = f(u, v) (x, y) (u, v) du dv onde: (x, y) (u, v) é ovalor absoluto dodeterminante Jacobiano e f(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)). Exemplos.7. [ Calcule: [ x y e x dy dx. Primeiramente observamos que:
8 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS [ x y e x dy dx = y e x dxdy, onde = {(x, y) / x, y x}; éregião de tipoi. Figura.9: A região. Utilizemos a mudança de coordenadas: { x = u y = v; x = = u = x = = u = = y = = v = y = x = v = u. Logo, = {(u, v) / u, v u}. Figura.: Aregião.
.8. EXECÍCIOS E MUANÇA E COOENAAS 9 O jacobiano da mudança é: [ (x, y) u (u, v) = det = u; que énãonulo em e f(x, y) = y e x = v e u. Logo: y e x dxdy = u v e u du dv [ u = u v e u dv du = u e u du = 6 + 4 e ( ). [ Calcule: (x + y ) dxdy, onde élimitadapor xy =, xy = 4, x y = ex y = 9,noprimeiro quadrante. Figura.: A região. Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS { u = x y v = xy. Então = [, 9 [4, 8. Por outro lado: logo: e: [ (u, v) x y (x, y) = det y x [ Calcule: xy = = v = 4 xy = 4 = v = 8 = x y = = u = x y = 9 = u = 9. = 4 (x + y ) = (x + y ) (x, y) (u, v) = 4, (x + y ) dxdy = 4 = 4 = 8. (x, y) (u, v) = 4 (x + y ) ; du dv 9 8 (y + x ) (y x ) dxdy, 4 dv du onde é limitada por xy =, xy =, y = x e y = x, no primeiro quadrante...5..5.5..5. Figura.: A região.
.8. EXECÍCIOS E MUANÇA E COOENAAS Façamos a seguinte mudança de coordenadas: { u = xy v = y x = xy = = u = xy = = u = y = x = v = y = x = v =. Então = [, [,. Ojacobiano da mudançaé: [ (u, v) y x (x, y) = det = y + x (x, y) = x (u, v) = y + x. Então: logo: [4 Calcule: (y + x ) (y x ) (x, y) (u, v) = v, (y + x ) (y x ) dxdy = v du dv onde élimitada por x + y + xy. = =. e x x y y dxdy, v du dv Figura.: A região.
CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS Completando os quadrados: x + y + xy = ( x + y Utilizemos a mudança linear de coordenadas: u = x + y y v = ) + ( y). A região é dada por = {(u, v) / u + v }. Por outro lado, o jacobiano da mudança é: (u, v) (x, y) = det = (x, y) = (u, v) =. Então: e x x y y dxdy = e (u +v) du dv. Utilizando coordenadas polares, temos que = {(r, θ) / r, θ π}e: e x x y y dxdy = = = = π e (u +v) du dv r dr dθ e r π ( e ). r e r dθ dr [5 Calcule: (x y ) e xy dxdy,
.8. EXECÍCIOS E MUANÇA E COOENAAS onde é limitada por xy =, xy = 4, y = x e y = x + no primeiro quadrante. 4.5..5..5. Figura.4: A região. Façamos a seguinte mudança de coordenadas: { u = xy v = x + y. Logo a região = [, 4 [, : xy = = u = xy = 4 = u = 4 = x + y = = v = x + y = = v =. 4 Figura.5: Aregião. O jacobiano da mudança é: [ (u, v) y x (x, y) = det = x + y = (x, y) (u, v) = x + y ;
4 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS observe que como x, y >, temos: (x y ) e xy (x, y) (x y) (x + y) exy (u, v) = x + y = (x y) e xy = v e u. Então: (x y ) e xy dxdy = v e u du dv = 4 = (e e 4 ). v e u dv du [6 Calcule: e x +y xy dx dy, onde = {(x, y) / y x, x y }. Figura.6: A região. Façamos a seguinte mudança de coordenadas: { x = u v y = u v. Então: { y x = v x y = u.
.8. EXECÍCIOS E MUANÇA E COOENAAS 5 Aregião = [, [,. Poroutro lado: x + y = u + v e (x, y) xy (u, v) = u v. Então: e x +y xy dxdy = u v u +v e du dv = u v e u e v du dv [ = u v e u e v du dv = = (e ) [ v e v e u dv = (e ). v e v dv [7 Calcule: x y x 4 y 4 dxdy, onde = {(x, y) / x 4 + y 4 }, noprimeiro quadrante. Figura.7: A região. Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
6 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS O jacobiano da mudança é: { x = r cos(θ) y = r sen(θ). (x, y) (r, θ) = 4 sen(θ) cos(θ) Então: x y (x, y) x 4 y 4 (r, θ) = 4 cos(θ) sen(θ) r r Logo, = {(r, θ) / r, θ π } e: x y x 4 y 4 dxdy = cos(θ) sen(θ) r r 4 dr dθ = [ r [ π/ r 4 dr cos(θ) sen(θ) dθ = 6. [8etermineaáreadaregiãolimitadapor y = p x, y = q x, x = r y e x = s y taisque < p < q e < r < s. Figura.8: A região. Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
.8. EXECÍCIOS E MUANÇA E COOENAAS 7 u = y x v = x y y = p x = u = p y = q x = u = q = x = r y = v = r x = s y = v = s. Então = [p, q [r, s. Por outro lado: (u, v) (x, y) = det y x x y y x x y = 4 = (x, y) (u, v) = 4. Então: A() = 4 dxdy = du dv = 4 (q p) (s r). [9 etermine a área da região limitada por: y = bx a e y = 9 bx,tal que a, b >. a x y x y a + b =, a + b = 4, Figura.9: A região. Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
8 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS u = v = a y bx x y a + b a y = bx = u = a y = 9 bx = u = = x y a + b = = v = x y a + = 4 = v = 4. b Então = [, [, 4. Não é difícil calcular a inversa da transformação de coordenadas: a v x = ( + u) y = bu v ( + u). Logo: E: (x, y) (u, v) = det v a ( + u) v a ( + u) u v b ( + u) u v b ( + u) = 4 a buv ( + u) 4. A() = = = 55 a b = 95 a b 64. 4 a buv dxdy = 4 du dv ( + u) [ 4 4 a buv ( + u) 4 dv du u ( + u) 4 du [ Calcule o volume do sólido limitado pelo elipsóide: onde a, b, c. x a + y b + z c = ;
.9. OUTAS APLICAÇÕES A INTEGAL UPLA 9 Pela simetria do sólido calculamos o volume relativo ao primeiro octante; logo: [ x V = 8 c a + y dxdy. b A região é limitada pela porção de elipse x a + y = no primeiro quadrante. Usemos a seguinte b mudança: { x y = a r cos(θ) = b r sen(θ); o determinante Jacobiano da mudança é: [ (x, y) a cos (t) ar sin (t) (r, θ) = b sin (t) br cos (t) = a br. Por outro lado: [ x a + y = r b. Aregião = [, [, π : V = 8 a bc r r dr dθ = 4 a bcπ r r dr = 4 a bcπ u.v. Em particular, se a = b = c, temos umaesfera de raio aev = 4 π a u.v..9 Outras Aplicações da Integral upla Como em uma variável, outras aplicações, além do cálculo de volumes, podem ser definidas através de integrais duplas, tais como, massa total, centro de massa emomento deinércia.
4 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS. Massa Total Suponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar e consideremos que a massa está distribuida sobre com densidade conhecida, isto é, existe uma função z = f(x, y) > em que representa a massa por unidade de área em cada ponto (x, y). Se a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é constante. Neste caso a massa total da lâminaéoproduto dadensidadepela áreada lâmina. Quando a densidade f varia de ponto a ponto em e f é uma função integrável sobre, amassa total M() de édada por: M() = f(x, y) dxdy. Momento de Massa Omomentodemassadeumapartículaemtornodeumeixoéoprodutode sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentos demassadalâmina emrelaçãoaoeixodos xedos y sãorespectivamente: M x = y f(x, y) dxdy, M y = xf(x, y) dxdy y (x,y) x Figura.4:
.. MOMENTO E MASSA 4.. Centro de Massa Ocentro demassa da lâminaédefinidopor (x, y), onde: x = M y M(), y = M x M() Fisicamente (x, y) é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estar concentrada sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Se f(x, y) = k, (k > )em todo, (x, y) é chamadocentróide de. Neste caso ocentro demassa é ocentro geométrico daregião. Exemplos.8. [Calculeocentrodemassadoretângulo [, [, seadensidadeédada pelafunção: f(x, y) = e x+y. Amassa total de = [, [, é: [ M() = e x+y dx dy = e e +. Os momentos de massa respectivos são: M x = [ y e x+y dx dy = e e M y = [ xe x+y dx dy = e e ocentro de massa de é ( e, e ). [ etermine o centro de massa da região limitada por um semicírculo de raio a centrado na origem, sabendo que sua densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto à origem. Exe Figura.4:
4 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS f(x, y) = k x + y. Calculamos a massa total usando coordenadas polares. Anova região édefinida por: r ae θ π; x + y = r: M() = k π [ a Os momentos de massa respectivos são: M x = a [ π ocentro de massa de é (, r cos(θ) dθ dr = e M y = a k π ). r dr dθ = k π a. a [ π r sen(θ) dθ dr = a4 ; [ etermine o centróide da região limitada pelas curvas y = x e y = 4 x x. 4 Figura.4: Neste caso f(x, y) = para todo (x, y),onde: = {(x, y) / x, x y 4 x x } e M() = A() = 8. Esta áreajá foi calculada anteriormente. M x = [ 4x x x y dy dx = 6 e M y = [ 4x x x xdy dx = 8 ; ocentróide de é (, ). [4etermine ocentro demassadaregião limitadapelascurvas y = x + x, y = e x = se adensidadeem cada ponto éexe f(x, y) = y +x.
.. MOMENTO E INÉCIA 4 M() = M x = M y = [ x(x+) [ x(x+) [ x(x+) y + x dy y + x dy xy + x dy ocentro demassa de é ( 9 5, 6 75 ). dx = dx = dx =. Momento de Inércia (x + x ) dx =, (x 4 + x ) dx = 4 45, (x 5 + x 4 + x ) dx = 6 5 ; Sejam Lumaretanoplano, umalâminacomoanteseδ(x, y) = d((x, y), L), onde déadistância noplanoe(x, y). δ (x,y) L Figura.4: Se f(x, y) é a densidade em cada ponto de, o momento de inércia da lâminaem relação àreta Lé: I L = Em particular, se Léoeixo dos x: δ (x, y) f(x, y) dxdy
44 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS I x = y f(x, y) dxdy Se Léoeixodos y: I y = x f(x, y) dxdy Omomento deinércia polar emrelação à origem é: I = I x + I y = (x + y ) f(x, y) dxdy O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de resistir à aceleração angular em torno desse eixo. Exemplos.9. [ etermine o momento de inércia polar da região limitada pelas curvas y = e x, x =, y = ex=,se a densidadeemcada ponto é f(x, y) = xy. I x = I y = xy dxdy = yx dxdy = logo, omomento deinércia polaré: [ e x [ e x xy dy dx = 64 ( e4 + ), y x dy dx = 6 (e + ); I = I x + I y = 64 ( e4 + 4 e + ). [ Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por x + y = a e x + y = b, ( < a < b). Calculeomomentode inércia polarda lâmina. Usando coordenadas polares, a nova região é definida por: a r b e θ π eomomento de inércia polaré: π [ b I = k r dr dθ = k (b4 a 4 )π. a
.. EXECÍCIOS 45. Exercícios. etermine o volume dos seguintes sólidos: (a) Limitado superiormente por z = x + y e inferiormente pela regiãolimitada por y = x e x = y. (b) Limitado superiormente por z = x + y e inferiormente pela regiãolimitada por y = xex=y y. (c) Limitado por y + z = 4, x = y, x = e z =, no primeiro octante. (d) Limitadopor z = x + y + 4, x =, y =, z = ex + y =. (e) Limitado por x + y =, y = z, x = e z =, no primeiro octante.. Calculeaáreadaregiãolimitadapeloeixodos yeascurvas y = sen(x) e y = cos(x).. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas: (a) y = x, y = x + 5 4 (b) y = x 4, y = 8 (c) y = 5 x, y = x + (d) x = y, y = x +, y =, y = (e) y = x, y = x (f) y = x, y = x 4 (g) x = y +, y + x = 7 (h) y = 4 x, y = x 4 4. etermine o centro de massa da lâmina plana, no plano xy e densidadedada f: (a) é limitado por x + y = no primeiro quadrante e f(x, y) = xy (b) é limitado por y = x e y = x e f(x, y) = x + y 5. efinimosovalor médiode f sobre a região por: V M = f(x, y) dxdy, A onde Aéaárea de. Calcule V M se:
46 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS (a) f(x, y) = x,edoretângulodevértices (, ), (4, ), (4, )e (, ) (b) f(x, y) = x y e do retângulo de vértices (, ), (4, ), (4, ) e (, ) (c) f(x, y) = x y e do triângulo de vértices (, ), (4, ),e(, ) (d) f(x, y) = x y e do triângulo de vértices (, ), (, ),e(, ) Mudanças de Variáveis. Utilizandoamudança devariáveis: x = u + v e y = u v,calcule: [ ( x + y ) dx dy.. Utilizandoamudança devariáveis: x + y = u e x y = v, calcule: ( x + y ) (x y) dxdy, onde é limitadopeloquadradodevértices (, ), (, )e(, ).. Utilizandoamudança devariáveis: u = x y e v = x + y,calcule: ( x y ) sen (x + y) dxdy, onde = {(x, y)/ π x + y π, π x y π}. 4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas: (a) e x +y dxdy, sendo = {(x, y)/x + y } (b) ln(x + y ) dxdy, sendo = {(x, y)/x, y, a x + y b } sen( x (c) + y ) dxdy, sendo limitadas por x + y = π x + y e 4 x + y = π 5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x = 4 y e x + y 4 =.
.. EXECÍCIOS 47 6. Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pelas curvas: (a) r = e r = cos(θ) (fora acircunferência r = ). (b) r = ( + cos(θ))er = cos(θ). (c) r = ( cos(θ)) e r =. 7. Calcule sen(x + y ) dxdy, sendo o disco unitário centrado na origem. 8. Sendodadasaparábola y = x+eareta x+y =,calculeomomento deinércia emrelação acada eixoeomomento de inércia polar. 9. Calcule (x y ) dxdy,onde éaregiãolimitadapor x +y, y e x + y =. y +. Calcule x + (y + ) dxdy, onde é a região limitada por x + y e y. y ln(x + y). Calcule dxdy,onde éaregiãolimitadapor x+y =, x x + y =, y = xey =.. etermine a áreada região limitada por x + y x 6 y + =.. etermine a área da região limitada por xy = 4, xy = 8, xy = 5 e xy = 5. 4. Calcule cos(x + y) sen(x y) dxdy, onde é a região limitada por y = x, x + y = e y =. x + y 5. Calcule dxdy, onde é a região limitada por y =, x y y = xey = x. 6. etermineomomentodeinérciapolardaregiãolimitadapor x y =, x y = 9, xy = e xy = 4.
48 CAPÍTULO. MUANÇA E COOENAAS