Ressonância Ferromagnética Ressonância Ferromagnética Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 1 / 35
Ressonância Ferromagnética 1 Introdução 2 Teoria 3 Resumo e aplicações 4 Referências Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 2 / 35
Ressonância Ferromagnética Introdução Introdução Ressonância ferromagnética (FMR - FerroMagnetic Resonance): H τ P τ = M H τ = M H sin θ -M O momentum angular P precessiona sobre H com: θ ω = τ P sin θ = MH sin θ P sin θ Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 3 / 35
Ressonância Ferromagnética Introdução Introdução ω = MH P (não depende do ângulo θ) Campo H estático: todos os momentos precessionarão com a frequência ω, independente de θ Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 4 / 35
Ressonância Ferromagnética Introdução Introdução Lembrando da relação entre M e P: M = g µ 0e 2m P = γp onde g é o fator giromagnético, e/m a carga/massa da partícula, µ 0 a permeabilidade magnética e P o momentum angular. Substituindo M/P na expressão de ω, temos: ω = γh Isso vale para qualquer momento magnético (nuclear, eletrônico) Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 5 / 35
Ressonância Ferromagnética Introdução Introdução Pensando em termos na energia magnética: U = µh Para um campo H = H z : U = µ z H z U = γ P z H z Para spin 1 2, da diferença de energias magnéticas obtemos que as transições se dão para: ω = γh Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 6 / 35
Ressonância Ferromagnética Introdução Introdução Frequências de Larmor: Elétron: ν = 28 GHz/T Próton: ν = 42.58 MHz/T Nêutron MHz/T Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 7 / 35
Ressonância Ferromagnética Introdução Introdução Experimento: A amostra é colocada na extremidade de uma cavidade de microondas Um campo magnético estático é aplicado perpendicularmente ao campo alternado da cavidade A intensidade do campo estático é aumentada gradualmente Quando a intensidade do campo satisfaz a condição de ressonância há uma máximo na permeabilidade de rádio-frequência Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 8 / 35
Ressonância Ferromagnética Introdução Introdução FMR: permite obter o fator g observado pela primeira vez por J. H. E. Griffiths em 1946 e confirmado por W. A. Yager e R. M. Bozorth em 1947 foram observadas discrepâncias entre as frequências de ressonância teórica e experimental (ou no fator g) Griffiths encontrou frequência de Larmor para o spin do elétron 2 a 6 vezes maiores que o calculado Charles Kittel explicou estes resultados com um formalismo clássico e posteriormente Van Vleck confirmou os mesmos resultados através de um tratamento quântico do problema Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 9 / 35
Teoria Sabemos que: M = γj onde M é a magnetização e J a densidade de momentum angular. Na presença de campo magnético, a equação de movimento correspondente: dj dt = M H Que pode ser escrita como: dm dt = γ M H Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 10 / 35
Teoria: fator de forma Consideramos um elipsóide com eixos principais paralelos aos eixos x, y e z do sistema de coordenadas: z y os fatores desmagnetizantes são N x, N y e N z é aplicado um campo externo estático H z e um campo RF H x x Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 11 / 35
Teoria: fator de forma Assim, os campos efetivos dentro do material ferromagnético são: Hx eff Hy eff Hz eff = H x N x M x = N y M y = H z N z M z Substituindo esses campos na equação: dm dt = γ M H Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 12 / 35
Teoria: fator de forma Temos as componentes: dm x dt dm y dt dm z dt =γ[h z + (N y N z )M z ]M y =γ[m z H x (N x N z )M x M z M x H z ] =0 (1) Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 13 / 35
Teoria: fator de forma Resolvendo o conjunto de equações anteriores considerando uma dependência temporal e jωt, tem-se para a susceptibilidade magnética: χ x = M x H x = χ 0 1 (ω/ω 0 ) 2 onde: χ 0 = M z H z + (N x N z )M z e a frequência de ressonância é: ω 0 = γ[h z + (N y N z )M z ][H z + (N x N z )M z ] 1 2 Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 14 / 35
Teoria: fator de forma Casos particulares: Plano: N x = N z = 0; N y = 4π ω 0 = γ(b z H z ) 1 2 Esfera: N x = N y = N z = 4π 3 ω 0 = γh z Cilindro circular infinito: N x = N y = 2π; N z = 0 ω 0 = γ(h z + 2πM z ) Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 15 / 35
Teoria: fator de forma Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 16 / 35
Teoria: Amortecimento Se há amorteciemnto presente, o movimento de precessão só é mantido na presença de um campo oscilante. A dinâmica de tal sistema é descrita pela equação de Landau-Lifshitz: dm dt = γ(m H) 4πµ 0λ M 2 (M (M H)) onde o primeiro termo representa o torque e o segundo o amortecimento. Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 17 / 35
Teoria: Amortecimento Consideramos então o sistema com uma campo estático H z e um campo oscilante H 0 : H z φ H 0 τ z τ θ τ r Na presença do campo H 0 as componentes do torque τ, ficam: θ M τ r = MH 0 cos θ sin φ τ θ = MH 0 cos θ cos φ τ z = MH 0 sin θ sin φ Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 18 / 35
Teoria: Amortecimento Na presença do campo H z as componentes da equação de Landau-Lifshitz, ficam: dm r dt dm θ dt dm z dt = γmh 0 cos θ sin φ 4πλµ 0 H z sin θ cos φ = γmh 0 cos φ + γm sin θ = γmh 0 sin θ sin φ + 4πλµ 0 H z sin θ 2 Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 19 / 35
Teoria: Amortecimento No estado estacionário: dm r dt dm θ dt dm z dt = 0 = Mω sin θ = 0 Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 20 / 35
Teoria: Amortecimento Assim temos: γmh 0 cos θ sin φ 4πλµ 0 H z sin θ cos φ = 0 γmh 0 cos φ + γm sin θ = Mω sin θ γmh 0 sin θ sin φ + 4πλµ 0 H z sin θ 2 = 0 De onde obtemos: γmh 0 sin φ 4πλµ 0 H z sin θ = 0 H 0 cos φ cos θ H z sin θ = ω γ sin θ Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 21 / 35
Teoria: Amortecimento Podemos obter, das duas últimas expressões, para θ << π: sin θ = γm 4πλµ 0 H 0 H z sin φ = 1 α sin φ tan φ = 4πλµ 0 γm H z H z ω γ = α H z H z H r onde α 4πλµ 0 γm e H r = ω γ Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 22 / 35
Teoria: Amortecimento A susceptibilidade RF: χ i = M i H φ Pode ser decomposta nas partes real e imaginária: χ i = M H 0 sin θ cos φ χ i = M H 0 sin θ sin φ Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 23 / 35
Teoria: Amortecimento Substituindo a expressão anterior sin θ = 1 α sin φ nas susceptibilidades, encontramos: χ i = M αh z sin φ cos φ χ i = M αh z sin 2 φ Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 24 / 35
Teoria: Amortecimento Temos e χ i = M αh z sin φ cos φ χ i = M αh z sin 2 φ H z tan φ = α H z H r se H z aumenta e aproxima de H r tan φ tende a infinito - φ tende a 90 assim que H z se torna maior que H r, tan φ tende a menos infinito - φ tende a -90 com isso χ i muda de sinal em H r, emquanto χ i apresenta um máximo neste valor Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 25 / 35
Teoria: Amortecimento Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 26 / 35
Teoria: Amortecimento a largura do pico de absorção na metade da altura do valor máximo, é chamada largura de meio valor half-value width esta última pode ser obtida substituindo φ = 45, pois resulta na metade do valor do seno em χ i Assim têm-se para half-value width: H = 2(H H r ) = 8πλµ 0 γm 4πλµ 0 H r Ou seja, podemos determinar a frequência de relaxação λ com dados experimentais através do half-value width. Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 27 / 35
Teoria: Amortecimento Dentre os fatores que provocam o amortecimento do movimento de precessão, podemos citar: transições eletrônicas acoplamento spin-rede correntes de Focault geração de ondas de spin Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 28 / 35
Teoria: anisotropia cristalina Para cristais cúbicos, a energia de anisotropia é expressa da forma: E u = K 1 sin 2 θ onde K 1 é a constante de anisotropia de primeira ordem, θ é o ângulo entre a magnetização e os eixos do cristal. O tratamento adotado é feito usando o torque da energia de anisotropia como função de um campo efetivo: de u dθ = M Heff Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 29 / 35
Teoria: anisotropia cristalina Pode-se considerar a forma do material e ao invés de um campo, definir um fator desmagnetizante efetivo Por exemplo, para um cristal uniaxial, com H z ao longo do eixo, amostra de formato plano: [( ω 0 = γ H z + 4πM z + 2K 1 ) ( H z + 2K )] 1 2 1 M z M z Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 30 / 35
Teoria: anisotropia cristalina Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 31 / 35
Teoria: anisotropia cristalina Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 32 / 35
Ressonância Ferromagnética Resumo e aplicações FMR: panorama geral Permite obter informações sobre diversas propriedades magnéticas, como: fator giromagnético constantes de anisotropia tempos de relaxação excitações de ondas de spin Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 33 / 35
Ressonância Ferromagnética Resumo e aplicações FMR: outras possibilidades Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 34 / 35
Ressonância Ferromagnética Referências Referências http://www.physik.fu-berlin.de/einrichtungen/ag/agkuch/research/techniques/fmr.html Coey, J. M. D. Magnetism and Magnetic Materials (Cambridge University Press) Kittel, C. Introduction to Solid State Physics (Wiley, New York) Chikazumi, S. Physics of Magnetism (Wiley, New York) Kittel, C. Physical Review, 73, 155 (1948) Kittel, C. Physical Review, 71, 270 (1947) Resende, S. M. Ressonância Ferromagnética e Ondas de Spin. II Escola Brasileira de Magnetismo (1999) Phys. Rev. B 66, 060404(R) (2002) Deise Schäfer 14 de dezembro de 2011 35 / 35