Escola Secundária/ da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 00/04 Funções racionais - Revisões º Ano Nome: Nº: Turma: Uma representação gráfica de uma determinada função f pode ser visualizada numa calculadora gráfica no rectângulo de visualização [-, 5] [-, 7] Descreva de que forma é que cada um dos números representados na expressão da função g ( = f ( x 7) + 4 transforma o gráfico de f Qual o rectângulo de visualização apropriado para representar o gráfico de g? Na figura ao lado encontra-se representado o gráfico de uma função f A hipérbole tem por assimptotas as rectas de equações x = e y = a) Indique, justificando, qual das expressões pode definir f: [A] [B] [C] [D] = x x = x = + x x = x NOTA: Pretende-se que, sem utilizar a calculadora gráfica, utilize argumentos que lhe permita relacionar a expressão analítica com o gráfico b) Sem efectuar uma resolução analítica, determine, recorrendo a intervalos, o conjunto solução da condição: Exponha o raciocínio envolvido na sua resposta ( x 4) 0 SUGESTÃO: Esboce o gráfico da função x y = x 4 no referencial acima e repare que o primeiro membro da inequação é o produto de duas funções c) Sabendo que = +, comprove por via analítica o conjunto que indicou para solução da condição da x alínea anterior Considere as funções reais de variável real definidas por: x + = e x x 9 g ( = x 4 a) Caracterize a função g f b) Qual é o comportamento da função g quando x 4? c) Escreva g ( na forma gráfico de g c y = ax + b + e, identificando o seu tipo, indique as equações das assimptotas do x d
4 Segundo os testes de um laboratório técnico, a eficiência da pilhas M-ergy, quando são usadas num walkman, pode ser expressa por: 780 0 t E ( t) = t + 8 em que E é a eficiência em percentagem (%) e t é o tempo em horas de utilização NOTA: Pretende-se uma resolução analítica Não pode utilizar a calculadora gráfica a) Qual é a eficiência das pilhas após 0 minutos de utilização? b) O walkman só funciona em boas condições enquanto a eficiência das pilhas se mantiver acima dos 40% Quanto tempo podemos usar as pilhas nestas condições c) Se mantivermos o aparelho a funcionar mesmo em más condições, as pilhas continuam a dar energia até se esgotarem Quando acontecerá isso? d) Qual é o domínio da função (neste problema)? 5 Os gráficos que seguem representam, respectivamente as funções f e g, reais de variável real x f ( (função polinomial de grau ) x g( = x a) Determine ( g + f )( ) e ( g o f )( ) b) Indique o domínio das funções f g e g o f c) Esboce graficamente as funções y = g( e y = g( x ) Justifique que as funções anteriores são idênticas (iguais) d) Sabendo que f é uma função polinomial de grau, mostre que ao domínio de f o g x + ( f o g)( = para qualquer x pertencente x NOTA: Comece por obter a expressão analítica da função f Tenha em consideração o estudo feito no 0º ano sobre as funções polinomiais e) Resolva, gráfica e analiticamente, as condições: < 0 g( e g( x 6 Juntou-se ácido puro a 0 gramas de uma substância 0% ácida Seja x o número de gramas de ácido puro adicionado a) Determine uma expressão que represente a concentração do composto formado b) Represente graficamente a função da alínea anterior (tenha em atenção o domínio) c) Entre que valores varia a função? d) Qual a quantidade de ácido puro que devemos adicionar para produzir uma solução 75% ácida?
7 Carlos Altis, um atleta que está a começar a sua carreira em salto em altura, arranjou um treinador Este, depois de lhe fazer alguns exames e experiências, declarou que a altura a que conseguiria saltar se seguisse cuidadosamente o seu novo método de treino, evoluiria de acordo com a seguinte função t + 60 a ( t) = 5 t + 0 em que a é a altura em metros e t é o tempo em semanas desde o início dos treinos a) Que altura salta o Carlos no momento em que começa os treinos? b) O grande objectivo do Carlos é bater o recorde nacional, que é de,6 metros Conseguirá? Quando? c) O recorde do mundo está nos,0 metros Conseguirá o Carlos chegar lá? 8 Os serviços de jardinagem da Câmara plantaram uma nova árvore no parque da cidade Segundo os técnicos, a árvore cresce de acordo com a função h ( t) = em que h representa a altura em metros e t o tempo em anos desde que a árvore foi plantada no parque a) Qual era a altura da árvore no momento em que foi plantada no parque? b) Quando terá a árvore 5 metros de altura? c) Há uma altura máxima que a árvore nunca ultrapassará Qual é ela? d) A árvore fica bem integrada no parque quando tiver mais de 7 metros A partir de quando acontecerá isso? e) Em média, uma árvore destas deixa de estar em boas condições aos 70 anos e tem de ser substituída Que altura terá a árvore nessa altura? 9 A evolução do preço de um determinado produto é previsto pela função p ( m) = + m + em que p representa o preço em euros e m o tempo em meses a) Qual é o preço inicial do produto? b) Qual é o preço ao fim de um ano? c) Haverá uma altura em que o preço do produto seja,0? d) Represente graficamente a evolução do preço durante um ano 0 Uma avaria na central nuclear de Viladávila fez disparar o seu sistema de alarme Os técnicos imediatamente activaram os procedimentos de emergência Suponha que a temperatura da água do sistema de refrigeração do núcleo da central evolui a partir daí de acordo com a função 4x T ( = + 8x + 88 x + em que T é a temperatura em ºC e x é o tempo decorrido em horas a) Qual a temperatura da água quando se iniciou o procedimento de emergência? b) A sirene do alarme toca enquanto a temperatura for superior a 50 ºC Quando é que a sirene esteve a tocar? c) O sistema de refrigeração explode se a água atingir ao 00 ºC Se os técnicos não fizerem mais nada, quando é isso acontecerá?
A evolução da temperatura do ar em Lamego entre as 0 e as 4 horas do dia de Janeiro foi dada pela função com T em graus centígrados e h em horas T ( h) = 0 + h + h 5 a) Foi nessa passagem de ano ou na passagem para o dia de Janeiro que foi mais baixa a temperatura do ar? b) Determine qual o período em que a temperatura do ar foi superior a 0 ºC IMPORTANTE: Deve apresentar uma resolução analítica Não pode responder à questão com recurso à calculadora c) Utilizando a calculadora gráfica, determine, com aproximação ao minuto, o instante em que foi máxima a temperatura do ar nesse dia Descreva, de forma sucinta, o seu procedimento Apresente ainda um esboço do gráfico da função e indique a respectiva janela de visualização Sobre uma função f, real de variável real, sabe-se que: quando x, então f ( + quando x ±, então 5 g ( = f ( x + ) Então a função g admite as assimptotas de equações: [A] x = ; y = 4 [B] x = ; y = 6 [C] x = 5; y = 4 [D] x = 5; y = 6 Na figura estão representadas graficamente as funções s e t Qual das afirmações seguintes é verdadeira? [A] s é uma função par [B] ( t o s)(0) < t() s [C] 5 é um zero da função t [D] ( s o t)(5) = 4 Na figura ao lado estão representadas graficamente duas funções: f e g Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da função f o g? [A] [B] [C] [D] 4
5 De uma função g, de domínio IR, sabe-se que: g ( 0) = g é estritamente crescente em [ 0, + [ g é par Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira [A] O contradomínio de g é [, + [ 0 [B] g é estritamente crescente em IR [C] g é injectiva [D] g não tem zeros 6 Considere as seguintes representações gráficas Os gráficos das funções polinomiais f e g são os representados à esquerda A função h, cujo gráfico se encontra à direita, é: [A] g h = [B] h = f + g [C] h = g o f [D] h = f g f SOLUÇÕES O número provoca uma dilação no gráfico de f; o número 7 provoca uma translação do gráfico de f, segundo o vector u v = (7, 0) ; o número 4 provoca uma translação do gráfico de f, segundo o vector v r = (0, 4) O rectângulo de visualização apropriado para representar o gráfico de g é [4, ] [, 5] a) C b) = ], ] [ 0, [ ], + [ S c) a) f / g : IR \ {,,, 4} IR x 4 x x 4x + b) Quando x 4, g ( ; + quando x 4, g ( + ; c) 7 g ( = x + 4 + ; x 4 O gráfico de g possui uma assimptota vertical de equação x = 4 e outra oblíqua de equação y = x + 4 5
4 a) Após 0 minutos de utilização, a eficiência das pilhas é de aproximadamente 9,% b) Podemos usar as pilhas nestas condições durante 9 horas e minutos c) Isso acontecerá ao fim de 78 horas de utilização d) = [ 0, 78] D E 5 a) ( g + f )( ) = ; ( g o f )( ) = b) D f / g = IR \ {0} ; D go f = IR \ {,0} c) As funções y e y são idênticas, pois Dy = Dy = IR \ {0} e y( = y (, x IR \ {0}, visto que y = g( = = = g( x ) = y, x IR \ {0} x x d) Como f é uma função polinomial de grau, com dois zeros, x = 0 e x =, este último de multiplicidade dois, a sua expressão analítica é do tipo y = a( x + ) x Como o ponto de coordenadas (, ) é ponto do seu gráfico, será = a 4 a = Logo, = ( x + ) x + x x + Assim, ( f o g)( = f ( g( ) = ( + ) = =, x IR \ {0} x x x x x ( x + ) x g( x e) Ora, < 0 < 0 ( x + ) x < 0 x 0 x ], 0[ (Porquê?) x E, g ( x x 0 x [, 0[ [, + [ (Porquê?) x x (Para resolver cada uma das condições, é útil construir tabelas de variação de sinal de funções adequadas) 6 a) A massa total do composto é 0 + x, em gramas Sendo x + 9 gramas de ácido, x gramas do ácido puro 9 + x adicionado e 9 = 0% 0 gramas da substância ácida existente Logo, C( = 0 + x b) c), 0 d) 54 gramas de ácido puro: 9 + x C ( = = 4x + 6 = 90 + x x = 54 4 0 + x 4 6
7 a) metros b) Sim, na 4ª semana: t + 60 a ( t),6,6 t 4 5 t + 0 c) Não, pois t + 60 6 6 + a ( t) = = = =, <,, t IR0 5 t + 0 5 5( t + 6) 5( t + 6) 8 a) metro b) Nunca, pois t + 4 = 5 5t + 60 = t + 4 t = 56 e, como é dado, t 0 c) metros, pois ( ) 44 44 h ( t) IR + = = = <, t 0 d) Aproximadamente 4 anos e 0 meses (4,8 anos) t + 4 7t 8 5t 4 h ( t) > 7 > 7 > 0 > 0 Dado que t 0, vem 5t 4 > 0 t > 4 t > 4, 8 5 e) Aproximadamente,4 metros 9 a) 4 euros b),08, aproximadamente c) Sim, após 9 meses, pois p ( m) =, + =, = m = 9 m + m + 0 d) 0 a) 88 ºC b) Até hora após o disparo do sistema de alarme e mais tarde, 9 horas e 0 minutos depois do alarme, continuará a tocar se nada for feito 4x + 8x + 88 x + x 0, vem x [ 0, [ ] 9,5; + [ 4x 4x + 8 x + 4( x )( x 9,5) x + Repare que > 50 > 0 > 0 x ], [ ] 9,5; + [ c) Decorrido horas e 8 minutos, aproximadamente, depois do sinal de alarme, pois 4x + 8x + 88 4x 9x x = 00 = 0 x + x + e, sendo x 0, vem x, x ± 54 = 0 x = x + e, sendo 7
a) T ( 0) = 0 + 0 + 5, 7 e T ( 4) = 0 + 4 +, 45 5 4 5 Como T ( 4) < T(0), foi mais baixa a temperatura do ar na passagem do dia para o dia de Janeiro b) T( h) > 0 0 + h + > 0 h 5 0 + h + > 0 h 5 0h 50 + h 5h + > 0 h 5 h 5h + 50 > 0 5 ( h 0)( h h 5 > 0 h 5 h 5h + 50 = 0 5 ± 65 600 h = 5 ± 5 h = h = 0 h = 5 h 0 0 5 4 h 5h + 50 + + 0-0 + + h 5 - - - - - - - h 5h + 50 - - 0 + 0 - - h 5 Como a função foi definida para 0 t 4, podemos concluir que a temperatura do ar nesse dia foi superior a 0 ºC entre as 0 e as 5 horas, exclusive c) Depois de definir a função y = 0 + x + /( x 5) e a janela de visualização [0, 4] [-, ], construi-se o gráfico e usando o comando TRACE constatou-se que a temperatura máxima ocorreu pouco depois das horas Pretendendo-se uma maior aproximação, utilizou-se o comando G-SOLV+MAX e obteve-se para maximizante o valor x =,69 ( cd) (Em alternativa, poder-se-ia fazer um ZOOM conveniente e depois utilizar novamente o comando TRACE ou criar uma tabela de valores adequados à aproximação pedida) Portanto, nesse dia foi máxima a temperatura do ar às horas e 8 minutos, aproximadamente A D 4 B 5 D 6 A O Professor 8