Capítulo 9 Teoria da Aproximação 9.1 Introdução O estudo da teoria da aproximação envolve dois tipos de problemas genéricos: 1) Um problema ocorre quando uma função é dada de forma explícita, mas queremos encontrar um tipo de função mais simples, como uma função polinomial que possa ser utilizada para determinar valores aproximados da função dada. 2) O outro problema na teoria da aproximação é relativo ao ajuste da função aos dados encontrados, e a se encontrar a mehor função em uma determinada classe para representar todos os dados possíveis. 9.2 Mínimos Quadrados Considere o problema de se estimar os valores de uma função em pontos não tabulados, dados resultados de um experimento que se pode encontrar na tabela a seguir x i 1 2 3 4 5 6 y i 2, 9 5, 1 7, 2 8, 7 11, 5 13, 2 Vejamos o gráfico apresentando os valores dados acima 1 (9.1)
Uma rápida observação nos leva a crer que a relação entre x e y deve ser linear. A provável razão para que nenhuma curva una com precisão os pontos representativos dos dados deve-se ao fato de que existem erros na obtenção dos dados (erros experimentais). Portanto, devemos determinar a melhor aproximação linear envolvendo a busca de valores de a 0 e a 1 que minimizem E 1 (a 0, a 1 ) = 6 y i (a 1 x i + a 0 ). Essa quantidade é chamada de desvio absoluto. Na tentativa de minimizar esta função de duas variáveis recaimos num sério problema. A função módulo não é diferenciável em zero. A abordagem de mínimos quadrados busca as constantes a 0 e a 1 de modo a minimizar o erro dos mínimos quadrados E = E 2 (a 0, a 1 ) = (y i (a 1 x i + a 0 )) 2. Na obtenção do mínimo, façamos 0 = a 0 0 = a 1 (y i (a 1 x i + a 0 )) 2 = 2 (y i (a 1 x i + a 0 )) 2 = 2 Que resulta no seguinte sistema 2 2 a 0 m (y i a 1 x i a 0 ).( 1), (y i a 1 x i a 0 ).( x i ). + a 1 m x i = m y i a 0 m x i + a 1 m x2 i = m x iy i Por meio da resolução deste sistema podemos encontrar a curva dos mínimos quadrados que aproxima os dados apresentados anteriormente. Pois bem, utilizemos a seguinte tabela auxiliar: x i y i x 2 i x i y i 1 2, 9 1 2, 9 2 5, 1 4 10, 2 3 7, 2 9 21, 6 4 8, 7 16 34, 8 5 11, 5 25 57, 5 6 13, 2 36 79, 2 21 48,6 91 206,2 2
Temos portanto, o seguinte sistema: 6a 0 + 21a 1 = 48, 6 21a 0 + 91a 1 = 206, 2 A solução do sistema acima é a 0 = 0, 88, a 1 = 2, 06. Logo, P (x) = 2, 06x + 0, 88. Agora, calculemos E 2 = 6 (y i P (x i )) 2. P (x i ) 2, 94 5 7, 06 9, 12 11, 18 13, 24 (y i P (x i )) 2 0, 0016 0, 01 0, 1096 0, 1764 1024 0, 0016 0,3116 Portanto, E 2 = 0, 3116. Observe o gráfico: (9.2) O problema algébrico de se aproximar um conjunto de dados {(x i, y i ); i = 1,..., m}, com um polinômio algébrico P n (x) = a n x n +... + a 1 x + a 0, de grau n < m 1 é tratado de modo semelhante. Neste caso, devemos achar a 0,..., a n de modo a minimizar E 2 = (y i P n (x i )) 2. Isso resulta no seguinte sistema de n + 1 equações a 0 m + a 1 1 i + a 2 2 i +... + a n n i = y i a 0 1 i + a 1 2 i + a 2 3 i +... + a n n+1 i. a 0 x n i + a 1 x n+1 i + a 2 x n+2 i +... + a n x 2n i = i y i. = n i y i, onde escrevemos m =. 3
Exemplo 1. Ajuste os dados da tabela a seguir com um polinômio discreto de mínimos quadrados de 2 o grau. i 1 2 3 4 5 x i 0 0, 25 0, 5 0, 75 1, 00 y i 1, 0000 1, 2840 1, 6487 2, 1170 2, 7183 Solução: Utilizemos a seguinte tabela auxiliar: x i y i x 2 i x 3 i x 4 i x i y i x 2 i y i 0 1 0 0 0 0 0 0, 25 1, 2480 0, 0625 0, 015625 0, 00390625 0, 321 0, 08025 0, 50 1, 6487 0, 25 0, 125 0, 0625 0, 82435 0, 412175 0, 75 2, 1170 0, 5625 0, 421875 0, 31640625 1, 58775 1, 1908125 1, 00 2, 7183 1 1 1 2, 7183 2, 7183 2,5 8,7680 1,875 1,5625 1,3828 5,4514 4,4015 Temos portanto, o seguinte sistema: 5a 0 + 2, 5a 1 + 1, 875a 2 = 8, 7680 2, 5a 0 + 1, 875a 1 + 1, 5625a 2 = 5, 4514 1, 875a 0 + 1, 5625a 1 + 1, 3828a 2 = 4, 4015 Onde obtemos a 0 = 1, 0051, a 1 = 0, 86468 e 0, 84316. Logo, P 2 (x) = 0, 84316x 2 + 0, 86468x + 1, 0051 e E 2 = 2, 74.10 4. Use um soft para esboçar o gráfico de P (x) juntamente com os pontos. Ocasionalmente é apropriado assumir que os valores estão relacionados de forma exponencial. Assim, devemos obter uma função de aproximação da forma y = be ax. Aplicando ln a ambos os membro da função acima, temos: ln(y) = ln(be ax ) ln(y) = ln(b) + ax Y = B + Ax, onde Y = y, B = ln(b) e A = a. 4
Exemplo 2. Ajuste os dados da tabela a seguir com uma curva exponencial de mínimos quadrados. i 1 2 3 4 5 x i 1, 00 1, 25 1, 50 1, 75 2, 00 y i 5, 10 5, 79 6, 53 7, 45 8, 46 Solução: Utilizemos a seguinte tabela auxiliar: i x i ln(y i ) x 2 i x i ln(y i ) 1 1, 00 1, 629 1, 0000 1, 629 2 1, 25 1, 756 1, 5625 2, 195 3 1, 50 1, 876 2, 2500 2, 814 4 1, 75 2, 008 3, 0625 3, 514 5 2, 00 2, 135 4, 0000 4, 270 7,50 9,404 11,875 14,422 Portanto, obtemos o seguinte sistema 5B + 7, 50A = 9, 404 7, 50B + 11, 875A = 14, 422, cuja solução é dada por A = 0, 5056, B = 1, 122. Portanto, b = e 1,122 = 3, 071, a = 0, 5056 donde obtemos a seguinte função de aproximação y = 3, 071e 0,5056. Calcule E 2 e use um soft para esboçar os gráfico de y = 3, 071e 0,5056 juntamente com os pontos. 9.3 Exercícios Exercício 1. Encontre os polinômios de mínimos quadrados de graus 1, 2 e 3 para os dados apresentados na tabela a seguir. Calcule o erro em cada caso. Se possível use um soft para esboçar o gráfico dos polinômios. x i 1, 0 1, 1 1, 3 1, 5 1, 9 2, 1 y i 1, 84 1, 96 2, 21 2, 45 2, 94 3, 18 Respostas: y = 1, 219621x + 0, 6208950, E = 2, 719.10 5 ; y = 0, 01085343x 2 + 1, 253293x + 0, 5965807, E = 1, 801.10 5 ; y = 0, 01004723x 3 + 0, 03533252x 2 + 1, 185010x + 0, 6290193, E = 1, 741.10 5. 5
Exercício 2. Apresentados os dados x i 4, 0 4, 2 4, 5 4, 7 5, 1 5, 5 5, 9 6, 3 6, 8 7, 1 y i 102, 56 113, 18 130, 11 142, 05 167, 53 195, 14 224, 87 256, 73 299, 50 326, 72 a) Construa o polinômio de mínimo quadrado de grau 1 e calcule o erro. b) Construa o polinômio de mínimo quadrado de grau 2 e calcule o erro. c) Construa o polinômio de mínimo quadrado de grau 3 e calcule o erro. d) Construa a aproximação de mínimo quadrado da forma be ax e calcule o erro. e) Construa a aproximação de mínimo quadrado da forma bx a e calcule o erro. Respostas: a) y = 72, 0845x 194, 138, E = 329; b) y = 6, 61821x 2 1, 14352x + 1, 23556, E = 1, 44.10 3 ; c) y = 0, 0136742x 3 + 6, 84557x 2 2, 37919x + 3, 42904, E = 5, 27.10 4 ; d) y = 24, 2588e 0,372382x, E = 418; e) y = 6, 23903x 2,01954, E = 0, 00703. Observação 3. Observando as respostas dos itens a) e d) do Exercício 2 vemos que o ajuste linear e o ajuste exponencial não são adequados. Das escolhas feitas, a que melhor se adequa aos dados é o polinômio mínimo quadrado de grau 3, pois o erro é menor que nos demais itens. 6