CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o 16: Extremos Relativos e Absolutos. Método do Intervalo Fechado. Objetivos da Aula Denir e determinar Extremos Absolutos e Relativos de uma função. Exibir o Método do Intervalo Fechado para determinar extremos absolutos. Extremos Relativos e Absolutos Denição 1 (Extremos Absolutos ou Globais). Seja x = p um número no domínio de uma função f. Então x = p é chamado o (i) máximo absoluto de f se f(p) f(x) para todo x em D f. (ii) mínimo absoluto de f se f(p) f(x) para todo x em D f. Nestas denições, o número f(p) é denominado o valor máximo (ou mínimo) absoluto ou global de f e o ponto (p, f(p)) é chamado ponto de máximo (ou mínimo) global ou absoluto de f. Os máximos e mínimos absolutos ou globais de uma função recebem também o nome de extremos absolutos ou globais da função. Observe o gráco abaixo: Figura 1: Gráco da função f Note que o gráco da função exibida possui máximo absoluto em x = c e mínimo absoluto em x = d. Os pontos (d, f(d)) e (c, f(c)) são, respectivamente, o ponto mais baixo e o ponto mais alto no gráco. Exemplo 1. O gráco da função quadrática f(x) = x 2 4x + 3 é mostrado na gura abaixo: 1
Observe que em x = 2, temos f(x) = 1, que é o valor mínimo absoluto da função. Exemplo 2. Observe o gráco da função f(x) = x 3 3. Note que essa função não possui pontos máximo e mínimo absolutos. Denição 2 (Extremos Relativos ou Locais). Seja x = p um número no domínio de uma função f. Então x = p é chamado o (i) máximo relativo ou local de f se f(p) f(x) para todo x em (p δ, p + δ), para algum δ > 0. (ii) mínimo relativo ou local de f se f(p) f(x) para todo x em (p δ, p + δ), para algum δ > 0. Nestas denições, o número f(p) é denominado o valor máximo (ou mínimo) relativo ou local de f e o ponto (p, f(p)) é chamado ponto de máximo (ou mínimo) relativo ou local de f. Os máximos e mínimos relativos ou locais de uma função recebem também o nome de extremos relativos ou locais da função. Observe o gráco abaixo: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 2
Cálculo I Aula n o 16 Figura 2: Grá co da função f Note que o grá co da função exibida possui máximo local em x = a e mínimo local em x = b. Exemplo 3. Considere a função f (x) = x3 3x. Note que se tomamos δ = 0, 5, conseguimos obter um intervalo com centro em x = 1 e outro com centro em x = 1, ambos com raio δ, tal que esses pontos sejam, respectivamente, máximo e mínimo locais de f. Figura 3: Grá co da função f Observando o grá co acima, podemos perceber que a imagem dos elementos x pertencentes ao intervalo 1 3, são sempre maiores que a imagem de x = 1, garantindo que x = 1 é mínimo local. De modo análogo, 2 2 podemos veri car que x = 1 é máximo local. Observação 1. Nem toda função possui extremos absolutos, existe porém um teorema do cálculo que garante que toda função contínua de nida em um intervalo fechado [a, b] tem extremos absolutos neste intervalo. Teorema 1 (Weierstrass). Se f for contínua em um intervalo fechado [a, b], então f assume um valor máximo absoluto f (c) e um valor mínimo absoluto f (d) em certos números c e d em [a, b]. O Teorema de Weierstrass (também chamado de Teorema do Valor Extremo) garante a existência de valores máximos ou mínimo absolutos no intervalo [a, b] mas não diz como encontrá-los. Gra camente nos Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 3
Cálculo I Aula n o 16 pontos máximos e mínimos quando existe reta tangente passando por eles a mesma é paralela ao eixo dos x, isto é, f 0 (c) = 0 e f 0 (d) = 0. O teorema a seguir garante isso para funções diferenciáveis. Teorema 2 (Fermat). Se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f 0 (c) existir, então f 0 (c) = 0 em [a, b]. Exemplo 4. A função f (x) = xex possui um mínimo local em x = 1 e note que a reta tangente ao grá co de f no ponto ( 1, e 1 ) é paralela ao eixo x, isto é, f 0 ( 1) = 0. Uma informação importante é a de que a função não precisa ser derivável no ponto para que esse seja um ponto de máximo e mínimo. Para isso basta notar que na de nição de máximos e mínimos (tanto absolutos quanto relativos) não foi usado o conceito de derivada. O seguinte exemplo ilustra esse fato. Exemplo 5. A função f (x) = x tem seu valor mínimo (local e absoluto) em 0, mas o valor não pode ser encontrado por considerar f 0 (x) = 0 porque, f 0 (0) não existe. Observe o grá co: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 4
Observe também que a recíproca do Teorema de Fermat não é válida, pois podemos obter funções f que em x = c, (c D f ), tenhamos f (c) = 0, mas x = c não é máximo nem mínimo. Veja o exemplo abaixo: Exemplo 6. A função f(x) = x 3 tem derivada f (x) = 3x 2 e f (0) = 0, mas c = 0 não é máximo e nem mínimo. Observe gracamente: Contudo, o Teorema de Fermat sugere ao procurar os extremos de uma função, devemos pelo menos começar procurando nos números c, c D f, onde f (c) = 0 ou onde f (c) não existe. Esses números são chamados de números críticos. Denição 3 (Número Crítico). Um número crítico de uma função f é um número c no domínio de f tal que ou f (c) = 0 ou f (c) não existe. chamado ponto crítico. Exemplo 7. Encontre os pontos críticos de f(x) = x 2 4x + 3. Se x = c é um número crítico de f, então o ponto (c, f(c)) é Solução: Temos que o domínio de f é o conjunto R. Derivando f(x) e igualando a zero, temos: 2x 4 = 0 x = 2. f. Então c = 2 é um número crítico. Como f(2) = 1, então o ponto P = (2, 1) é um ponto crítico de Exemplo 8. Encontre os pontos críticos de f(x) = x + 1 x. Solução: Como f (x) = 1 1 x 2. Fazendo f (x) = 0, temos que x = ±1. Substituindo esses valores na função, obtemos P = (1, 2) e Q = ( 1, 2), pontos críticos de f. Em termos de pontos críticos, o Teorema de Fermat pode ser reescrito da seguinte forma: Teorema 3 (de Fermat). Se f tiver um máximo ou mínimo local em x = c, então (c, f(c)) é um ponto crítico de f. A próxima seção apresentará um método para determinar máximos e mínimos absolutos de uma função f em um intervalo fechado. Deixaremos os teoremas que determinam os extremos locais para as próximas aulas. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 5
O Método do Intervalo Fechado Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a, b]: 1. Encontre os valores de f nos números críticos de f em um intervalo aberto (a, b). 2. Encontre os valores de f em x = a e x = b. 3. O maior valor entre as etapas 1 a e 2 a é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto. Exemplo 9. Encontre os valores máximo e mínimos absoluto da função f(x) = x 3 3x 2 + 1 no intervalo [ 12, 4 ]. Solução: Note que f é uma função polinomial, logo é contínua no intervalo dado. Dessa forma, podemos utilizar o método do intervalo fechado. Temos que: f(x) = x 3 3x 2 + 1 f (x) = 3x(x 2). Uma vez que f (x) existe para todo x, os únicos pontos críticos ocorrem quando f (x) = 0, isto é, x = 0 ou x = 2. Note que cada um desses números críticos está no intervalo ( 12 ), 4. Os valores de f nestes números críticos são: f(0) = 1 e f(2) = 3. Os valores de f nas extremidades do intervalo são: ( f 1 ) = 1 e f(4) = 17. 2 8 Comparando esses quatro números, vemos que o valor máximo absoluto é f(4) = 17 e o valor mínimo absoluto é f(2) = 3. Observe gracamente: Exemplo 10. Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x) = x 2 cos(x) no intervalo [ π, π]. Solução: Note que f é contínua, pois é a soma de duas funções contínuas. Utilizando o método do intervalo fechado, temos: f(x) = x 2 cos(x) f (x) = 1 + 2 sen(x). Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 6
Uma vez que f (x) existe para todo x, os únicos pontos críticos ocorrem quando f (x) = 0, isto é, x = π 6 ou x = 5π 6. Temos que os valores de f nestes números críticos são: f ( π ) = π 6 6 3 2, 25 e f ( 5π 6 ) = 5π 6 + 3 0, 89. Os valores de f nas extremidades do intervalo são: f( π) = 2 π 1, 41 e f(π) = π + 2 5, 14. Comparando ( esses quatro números, vemos que o valor máximo absoluto é f(π) = 5, 14 e o valor mínimo absoluto é f π ) = 2, 25. Observe gracamente: 6 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.1 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios da seção 4.1 do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 7