Exercícios de Álgebra Linear ficha espaços lineares com produto interno Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico o semestre 011/1
Notação Produto interno usual em R n : x, y = x T y Num espaço linear munido de um produto interno, : Norma de um vector u: u = u, u Distância entre os vectores u e v: d(u, v) = u v Projecção ortogonal do vector w sobre o vector v: proj v w = w, v v v Matriz ortogonal: A T A = AA T = I Matriz hermitiana: A T = A Matriz unitária: A T A = AA T = I Observações Nos exercícios seguintes, sempre que se pressuponha um produto interno não indicado explicitamente, subentende-se que se trata do produto interno usual. No espaço P n (R), o produto interno usual é o definido por analogia com o produto interno em R n+1 : a 0 + a 1 t + + a n t n, b 0 + b 1 t + + b n t n = a 0 b 0 + + a n b n 1
Produtos internos em espaços lineares -1) Considere os vectores u = (4, 1, ) e v = (, 1, ) de R. Calcule: a) u + v b) u + v c) u 1 d) v v e) 1 v v f) (u, v) g) d(u, v) -) Sendo v = (,, 0, ), para que valores de α se verifica a igualdade αv = 5? -) Para que valores de α podemos afirmar que u e v são ortogonais? a) u = (, 1, ), v = (1, 7, α) b) u = (α, α, 1), v = (α, 5, ) -4) Determine dois vectores com norma igual a um que sejam ortogonais aos três vectores seguintes: u = (, 1, 4, 0) v = ( 1, 1,, ) w = (,, 5, 4) -5) Verifique a desigualdade de Cauchy Schwarz para os vectores u e v: u = (0,,, 1) v = ( 1, 1, 1, 1) -) Determine todos os vectores de R de norma unitária que fazem um ângulo de π/ radianos com o vector (, 5). -7) Sejam u e v vectores de R n. Prove que: u + v + u v = u + v Interprete geometricamente esta igualdade para n =.
-8) Identifique os casos em que as seguintes identidades (com u = (u 1, u, u ) e v = (v 1, v, v )) definem um produto interno em R. Nos restantes casos, indique as propriedades que não são satisfeitas. a) u, v = u 1 v 1 + u v b) u, v = u 1v1 + u v + u v c) u, v = u 1 v 1 + u v + 4u v d) u, v = u 1 v 1 u v + u v -9) Identifique os casos em que as seguintes identidades (com u = (u 1, u, u, u 4 ) e v = (v 1, v, v, v 4 )) definem um produto interno em R 4. Nos restantes casos, indique as propriedades que não são satisfeitas. a) u, v = u 1 v 1 + u v + u v + u 4 v 4 b) u, v = u 1v1 + u v + u v + u 4v4 c) u, v = u 1 v 1 + u v + 4u v + u 4 v 4 d) u, v = u 1 v 1 + u v -10) Seja {u, v} um conjunto ortogonal de vectores de R n tais que u = 1 e v =. Calcule d(u, v), e interprete geometricamente este resultado para n =. -11) Sejam u = ( 1, 1 ) e v = ( α, α ). Quais são os valores de α para os quais o conjunto {u, v} é ortonormal? -1) Calcule: a) proj (1,) ( 1, 1). b) proj (1,,) ( π, π, π). -1) Utilize o método de Gram Schmidt para obter uma base ortonormal a partir da base dada: a) {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} b) {(1, 0, 1, 0), ( 1,, 0, 1), (, 0,, 1), (,, 1, 1)}
-14) Considere C munido do produto interno usual. Utilize o método de ortogonalização de Gram Schmidt para obter uma base ortonormal de L{u 1, u }. a) u 1 = (1, i) u = (i, i) b) u 1 = (i, 0) u = (1 + i, 5i) -15) Considere a função, : R R R definida por u, v = u 1 v 1 + 5u v, com u = (u 1, u ) e v = (v 1, v ). a) Mostre que, é um produto interno em R. b) Calcule u e d(u, v), para u = ( 1, ) e v = (, 5). c) Determine o conjunto dos vectores u tais que u 1. -1) Seja φ : R R R definida por φ(x, y) = x 1 y 1 x 1 y + x 1 y x y 1 + x y + x y 1 + x y, com x = (x 1, x, x ) e y = (y 1, y, y ). a) Escreva φ na forma φ(x, y) = x T Ay. b) Verifique que A é uma matriz simétrica e definida positiva (isto é, x T Ax > 0 para x 0, ou equivalentemente, os valores próprios de A são todos positivos). c) Justifique que φ é um produto interno em R. As alíneas que se seguem dizem respeito ao produto interno φ. d) Verifique que os vectores e 1 = (1, 0, 0) e e = (0, 1, 0) não são ortogonais. e) Determine proj e1 e. f) Determine um vector ortogonal a e 1. g) Determine o ângulo entre e 1 e e. h) Utilize o método de ortogonalização de Gram Schmidt para obter uma base ortonormada de R a partir da base canónica de R. 4
-17) Seja W o subespaço linear de R definido por: W = {(x, y, z) : y = x x = y + z} Determine uma base e equações cartesianas de W. -18) Seja W o subespaço de R definido pela equação x y z = 0. a) Determine equações cartesianas de W. b) Calcule as distâncias do vector (1, 0, 1) a W e a W. -19) Considere o hiperplano de R 4 : W = {(x, y, z, w) R 4 : x y + z w = 0} a) Determine uma base para o subespaço linear W, e obtenha equações cartesianas de W. b) Exprima o vector w = (1,, 1, 1) na forma com w 1 W e w W. w = w 1 + w, c) Calcule as distâncias d ( (1,, 1, 1), W ) e d ( (1,, 1, 1), W ). d) Prove a igualdade: R 4 = W W 1 1-0) Considere a matriz A = 5 0 4. 1 1 0 a) Sem efectuar quaisquer cálculos, justifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações: i) dim L (A) + dim N (A T ) = 4. ii) dim C (A) + dim N (A T ) = 4. b) Determine uma base para o complemento ortogonal do núcleo de A. c) Determine uma base para o complemento ortogonal do núcleo de A T. 5
-1) Seja W o subespaço de R definido pelas equações paramétricas: x = t y = 5t (t R) z = 4t Determine a projecção ortogonal proj W (1, 0, 1) do vector (1, 0, 1) sobre o subespaço W. -) Determine equações cartesianas da recta que passa pelo ponto (, 1, ) e é paralela ao vector (, 1, ). -) Determine uma equação cartesiana do plano que contém o ponto (1,, ) e a recta definida por: x = t y = t + 1 (t R) z = + t -4) Determine a distância do ponto (, 1,, 1) ao hiperplano {(x, y, z, w) : x + y z w = 4}. -5) Em R, considere os pontos: P 0 = (1, 0, 1) P 1 = (0, 1, 0) P = (1, 1, 1) a) Determine equações cartesianas e paramétricas da recta que passa por P 0 e tem a direcção do vector u = (0, 1, ). b) Determine uma equação cartesiana do plano que passa por P 0 e é perpendicular à recta que passa por P 0 e tem a direcção do vector n = (1, 0, 1). c) Determine uma equação cartesiana e equações paramétricas do plano definido por P 0, P 1 e P. Determine ainda um vector normal a este plano. d) Determine a distância de (1, 1, 0) ao plano da aĺınea anterior. -) Determine o complemento ortogonal do subespaço linear de P gerado pelo polinómio p(t) = (t + 1), quando se considera definido em P o produto interno usual.
-7) Considere a operação, : P P R definida por para p, q P. p, q = p(0)q(0) + p(1/)q(1/) + p(1)q(1), a) Mostre que a função p, q é um produto interno em P. As alíneas que se seguem dizem respeito ao produto interno p, q. b) Calcule p, com p(t) = a 0 + a 1 t + a t. c) Calcule o ângulo entre os polinómios p(t) = 1 t e q(t) = 1 + t + t. d) Sendo W = L{1 t }, i) determine uma base de W. ii) determine a distância de q(t) = 1 + t + t a W e a W. e) Determine uma matriz simétrica A tal que a 0 p, q = [ b 0 b 1 ] b A a 1, a para p(t) = a 0 + a 1 t + a t e q(t) = b 0 + b 1 t + b t. -8) Seja U o subespaço de M constituído pelas matrizes A tais que A T = A (matrizes anti-simétricas). Considere a operação de M M em R definida por A, B = tr(a T B), (1) onde tr designa o traço de uma matriz. a) Mostre que, definido por (1) é um produto interno. b) Determine a dimensão de U e de U. c) Determine bases ortonormadas de U e de U. d) Determine as projecções ortogonais de [ 1 1 1 ] sobre U e sobre U. e) Qual a matriz anti-simétrica mais próxima de [ 1 1 1 ]? f) Determine a distância de [ 1 1 1 ] a U. 7
-9) Considere as transformações lineares definidas por T 1 : M (R) M (R) T : M (R) M (R) T 1 (A) = A + AT T (A) = A AT Mostre que a imagem Im(T 1 ) da transformação linear T 1 é o complemento ortogonal da imagem Im(T ) da transformação linear T, quando M (R) está munido com o produto interno A, B = tr(a T B). Diagonalização ortogonal e diagonalização unitária -0) Seja A uma matriz real m n. Prove que as colunas de A formam um conjunto ortogonal se e só se A T A é uma matriz diagonal. Prove ainda que esse conjunto é ortonormal se e só se A T A é a matriz identidade.. -1) a) Uma matriz real A de ordem n diz-se ortogonal se A T A = I. Prove que A é ortogonal se e só se as colunas de A formam uma base ortonormada de R n. b) Identifique todas as matrizes ortogonais de ordem. (Sugestão: Cada coluna de A é um vector de R situado na circunferência de raio unitário e centro na origem, que é determinado por um ângulo.) -) Mostre que se A é uma matriz real diagonalizável e admite uma matriz diagonalizante ortogonal, então A é simétrica. -) Mostre que se A é uma matriz simétrica real, então os valores próprios de A são reais. -4) Diagonalize ortogonalmente a matriz 1 1 A = 1 1. 1 1 Note que a soma das entradas de cada linha de A é constante. 8
-5) Seja A uma matriz unitária de ordem n, e seja T : C n C n a transformação linear que é representada pela matriz A na base canónica. Mostre que: a) T x, T y = x, y (x, y C n ) b) T x = x (x C n ) c) Se λ é valor próprio de A, então λ = 1. -) Diga se as matrizes seguintes são simétricas, anti-simétricas, hermitianas, antihermitianas ou unitárias. 1 5 1 i 5 0 1 0 [ ] A = 0 B = 1 0 C = 1 0 0 i i D = i i 5 1 5 1 0 0 1-7) Mostre que se A é uma matriz hermitiana, então os seus valores próprios são reais. -8) Determine α, β e γ de modo que a matriz A seja hermitiana. 1 α i A = 5i 0 γ β + 4i -9) Determine quais das seguintes matrizes são unitárias: [ ] i 0 a) 0 i ] b) c) d) [ i 1 i 1 [ 1 + i ] 1 + i 1 i 1 + i i i 0 i i i i i i 9
-40) Diagonalize unitariamente as seguintes matrizes, se possível. [ ] 4 1 i a) A = 1 + i 5 5 0 0 b) A = 0 1 1 + i 0 1 i 0 10
Soluções -1) a) 7 b) 1 + 14 c) 1 d) ( 14, 1 14, e) 1 f) arccos 1 14 1 g) 14 ) -) A igualdade verifica-se para α = 5 7 e para α = 5 7. -) a) α = b) α = e α = -4) ( 4 57, 44 57, 57, 11 57 ) e ( 4 57, 44 57, 57, 11 57 ) -5) 5, ou seja 5. -) ( 1 15, 5 + ) e ( 1 + 15, 5 ) -8) a) Não é produto interno. Falha a propriedade (v) na lista abaixo. b) Não é produto interno. Falham as propriedades (ii) e (iii). c) É produto interno. d) Não é produto interno. Falham as propriedades (iv) e (v). 11
i) u, v = v, u ii) u + v, w = u, w + v, w iii) αu, v = α u, v iv) u, u 0 v) u, u = 0 u = 0-9) a) É produto interno. b) Não é produto interno. Falham as propriedades (ii) e (iii) (ver lista do exercício anterior). c) É produto interno. d) Não é produto interno. Falha a propriedade (v). -10) d(u, v) = 5-11) α = 8-1) a) ( 5, 5 ) b) ( π, π, π) -1) a) {( 1, 1, 1 ), ( 1, 1, ), ( 1, 1, 0 )} -14) a) {( 1 10, 10 i), ( 10 + 9 10 i, 10 + 1 10 i)} b) {(1, 0), (0, 1)} -15) b) ( 1, ) = 48 d(( 1, ), (, 5)) = 47 c) {u R : u 1} = {(u 1, u ) R : u 1 + 5u 1} -1) e) proj e1 e = (, 0, 0) f) (1,, ) 1
g) arccos h) ( 1 1 (1, 0, 0), (, 1, 0), 1 ( 1, 1, 1) ) / -17) Base: {(, 1, 0), (1, 1, 1)) Equação: x y + z = 0-18) a) { x + y = 0 x + z = 0 b) d((1, 0, 1), W ) = 14 7 d((1, 0, 1), W ) = 4 7-19) a) Base: {(1, 1,, ) Equações cartesianas: x + y = 0 x + z = 0 x + w = 0 b) (1,, 1, 1) = ( 7 10, 10, 5, 5 ) + ( 10, 10, 5, 5 ) c) d((1,, 1, 1), W ) = 10 d((1,, 1, 1), W ) = 10 10-0) a) i) Falsa. ii) Falsa. b) {(1,, 1, ), (, 5, 0, 4)} c) {(1,, 1), (, 5, 1)} -1) ( 49 45, 10 45, 7 45 ) -) { x y = 5 y + z = 5 -) 11x y 4z = 9 1
-4) 5 10 x = 1-5) a) Equações paramétricas: y = t z = 1 t { x = 1 Equações cartesianas: y + z = 1 b) x + z = 0 x = 1 α c) Equações paramétricas: y = α + β z = 1 + α + β Equação cartesiana: x + y z = Vector normal: (1,, 1) d) 1 (t R) (α, β R) -) Trata-se do subespaço {( b c) + bt + ct : b, c R}. -7) b) a 0 + a 1 t + a t = (a 0 + a 0 a 1 + 5 a 0a + 9 4 a 1a + 5 4 a 1 + 17 1 a ) 1 c) arccos 7 5 09 d) i) { + t, + 14 8 t } ii) d(1 + t + t, W ) = 41 5 d(1 + t + t, W ) = 7 0 e) 5 4 5 9 4 8 5 4 9 8 17 1-8) b) dim U = 1 dim U = {[ ]} 0 1 c) Base o.n. de U: Base o.n. de U : 1 0 { [1 0 0 0 ] [ ] 0 1,, 1 0 14 [ ] } 0 0 0 1
d) proj U [ 1 1 1 ] = [ 0 1 proj U [ 1 1 1 ] = [ 1 0 e) [ 1 0 1 0 ] f) 5 1 0 ] 0 ] -0) Consideremos a matriz m n que abaixo se encontra descrita por colunas A = [ ] c 1 c... c n, onde c 1, c,..., c n R n, e calculemos A T A. A T A = [ ] T [ ] c 1 c... c n c1 c... c n = T c 1 T c. c n T [ ] c1 c... c n c T 1 c 1 c T 1 c... c T 1 c n c T c 1 c T c... c T c n =... c T n c 1 c T n c... c T n c n Temos assim que c 1, c 1 c 1, c... c 1, c n A T c, c 1 c, c... c, c n A =.., () c n, c 1 c n, c... c n, c n donde se conclui imediatamente que A T A é uma matriz diagonal se e só se para todo (i, j), com i, j = 1,..., n e i j, se tem c i, c j = 0. Por outras palavras, A T A é uma matriz diagonal se e só se o conjunto {c 1, c,..., c n } é um conjunto ortogonal. De modo semelhante, a equação () permite concluir que A T A é a matriz identidade I se e só se para todos os i, j = 1,..., n se tem { 0 se i j c i, c j = 1 se i = j. 15
Ou seja, A T A é a matriz identidade se e só se o conjunto {c 1, c,..., c n } é um conjunto ortonormal. -1) b) As matrizes ortogonais de a ordem são as matrizes da forma [ ] [ ] cos θ sen θ cos θ sen θ ou da forma com θ R. sen θ cos θ sen θ cos θ A matriz A = [ a c d b] é ortogonal se e só se a + c = b + d = 1 e ab + cd = 0. Como (a, c) está na circunferência de centro na origem e raio 1, existe θ R tal que a = cos θ e c = sen θ. Analogamente, existe ϕ R tal que b = cos ϕ e d = sen ϕ. Por conseguinte, [ ] cos θ cos ϕ A =. sen θ sen ϕ De ab + cd = 0, e recordando a fórmula para o co-seno de uma soma, obtemos: cos θ cos ϕ + sen θ sen ϕ = 0 cos θ cos( ϕ) sen θ sen( ϕ) = 0 cos(θ ϕ) = 0 cos(ϕ θ) = 0 ϕ = θ + π + kπ (k Z) cos ϕ = cos(θ + π ) cos kπ = sen θ cos kπ sen ϕ = sen(θ + π ) cos kπ = cos θ cos kπ Para k par, vem cos ϕ = sen θ e sen ϕ = cos θ. Para k ímpar, vem cos ϕ = sen θ e sen ϕ = cos θ. Observações As matrizes A em questão satisfazem a condição det A = 1. Os casos det A = 1 e det A = 1 correspondem, respectivamente, aos casos de k par e k ímpar. 1
Estas matrizes representam, na base canónica, transformações lineares de interpretação geométrica simples: Para k par, trata-se da rotação de θ radianos em torno da origem, e para k ímpar trata-se da reflexão em relação à recta que passa pela origem e tem declive tg θ. -4) D = SAS 1 5 0 0 D = 0 0 S = 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 Começamos por tentar calcular os valores próprios da matriz (pela regra de Sarrus, por exemplo): λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ = ( λ) + ( λ) A simples observação do polinómio característico não permite descobrir uma raiz. No entanto, a sugestão do enunciado traduz-se por: 1 1 5 1 1 + + 1 = 5 = 5 1, 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ou seja: 1 1 + 1 + 1 1 = 1 1 1 = 5 1 1 1 1 1 1 1 Verifica-se assim que 5 é valor próprio, correspondente ao vector próprio (1, 1, 1). A regra de Ruffini permite factorizar o polinómio característico, de modo que se obtém um polinómio de grau. Repare-se que os vectores próprios que surgem naturalmente no resto da resolução não são ortogonais entre si, pelo que será ainda necessário recorrer ao método de Gram Schmidt. -) A matriz C é unitária. 17
-8) α = + 5i, β = i, γ = 4i. -9) a) Sim (é matriz unitária). b) Sim. c) Não. d) Não. -40) a) D = UAU 1 [ ] 0 D = 0 U = [ 1 i 1 i 1 ] b) D = UAU 1 5 0 0 1 0 0 D = 0 1 0 U = 0 1+i 1 i 0 0 0 1 18