CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL

Universidade Federal Tecnológica do Paraná Francisco Beltrão Tereza Rachel Mafioleti CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL CÔNICAS Cônicas são figuras que resultam da intersecção de um cone com um plano. Por isso também, as cônicas são chamadas de seções cônicas. São elas: parábola, elipse e hipérbole. Parábola Uma parábola é o lugar geométrico de um ponto que se move num plano de maneira que a sua distância a uma reta fixa no plano é sempre igual à sua distância a um ponto fixo no plano e não situado sobre a reta. O ponto fixo é denominado foco e a reta fixa é denominada diretriz. A definição exclui o caso em que o foco se encontre sobre a diretriz. O eixo que passa pelo vértice da parábola é chamado eixo de simetria. 1 Exemplo 1: y x

No gráfico da parábola do exemplo 1, o ponto A é o foco, a reta horizontal, abaixo do eixo x é a diretriz, e o eixo de simetria é o eixo y. Perceba que o comprimento do segmento g, que vai do foco até a parábola é igual ao comprimento do segmento h, que vai da parábola até a diretriz. Ambos os segmentos estão em vermelho. O mesmo acontece para os segmentos em azul, i e j, e para os segmentos em verde, k e l. Isso acontece por causa da definição de parábola. Para fazer o gráfico de uma parábola, determinar a sua diretriz e seu foco, podemos usar o aplicativo GeoGebra, conforme os passos a seguir. Abra o aplicativo, e, no campo Entrada, no canto inferior esquerdo, digite a equação do Exemplo 1 da seguinte forma: y=0.5x^ Figura 1

Após dar enter, perceba, na lateral esquerda, que a equação da parábola recebeu o nome de c, e, note no próximo ao gráfico da parábola apareceu a letra c. Figura Ainda, na lateral esquerda, clique na seta à esquerda de Janela de Álgebra e, na aba que abre abaixo, clique na seta do meio e selecione Dependência. Figura 3

Observe, conforme a Figura, que a equação da parábola, nomeada por c, ficou dentro da seção chamada Objetos Livres, e, abaixo, foi aberta uma seção chamada Objetos Dependentes. Objetos dependentes são aqueles que dependem da parábola, os quais conforme vimos são o foco e a diretriz. O GeoGebra apresenta funções para determinar o foco e a diretriz diretamente. No campo Entrada digite foco. Observe que entre parênteses, aparece a palavra cônica. No local digite a letra c, porque é a letra que nomeia a parábola. Figura 4 Perceba que o ponto referente ao foco, foi marcado no gráfico, e, após dar enter, ele aparece na seção de Objetos Dependentes, nomeado pela letra A, a qual também aparece no gráfico. Da mesma maneira, podemos usar a função diretriz inserindo-a no campo Entrada e selecionando a cônica c, e assim, teremos a reta diretriz da parábola. Observe a Figura 5.

Figura 5 Clicando na lateral esquerda, com o botão direito sobre algum dos objetos, podemos renomeá-lo. Figura 6 Renomeamos c, A e f com parábola, foco e diretriz, respectivamente. Ao renomear os objetos, percebemos que os seus nomes são alterados no gráfico.

Figura 7 Agora, traçaremos dois segmentos de reta, o primeiro do foco até a parábola, e o segundo, da parábola até a diretriz. clicamos na seta no canto direito do botão Reta, o qual se encontra no canto superior esquerdo. Selecionaremos a opção Segmento, conforme a Figura 8. Figura 8 Após selecionar Segmento, clicamos no ponto foco e em algum ponto qualquer da parábola que desejarmos. Note, conforme a Figura 9, que o ponto no qual o segmento toca a parábola foi nomeado com a letra A e as suas coordenadas aparecem na seção de Objetos Dependentes à esquerda. O

segmento recebeu o nome de f, o qual pode ser visto pela letra no gráfico e, na seção dos Objetos Dependentes à esquerda, aparece o comprimento do segmento. Figura 9 Da mesma forma, traçamos um segmento que vai do ponto A até a diretriz. Perceba no gráfico, o ponto B, de intersecção do segmento com a diretriz. O segmento ficou nomeado com a letra g, e, na seção de Objetos Dependentes aparece o seu comprimento. Observe que os comprimentos de f e de g são iguais, conforme a Figura 10. Figura 10

Ainda, é possível alterar cores dos objetos e outras propriedades, clicando com o botão direito sobre o objeto na lateral esquerda e selecionando Propriedades, conforme a Figura 11. Figura 11 Uma aba do lado esquerdo é aberta, na qual é possível fazer algumas edições, tais como alterar a cor do objeto, por exemplo, conforme a Figura 1. Figura 1

As parábolas porém, não terão sempre concavidade para cima, conforme a parábola do exemplo. Elas também podem abrir para a direita, esquerda ou para baixo. Parábolas, em diversas posições, partindo da origem, são mostradas na Figura 13. Figura 13 Nas parábolas em posição padrão vistas na figura acima, os focos são os pontos (p, 0), (-p, 0), (0, p) e (0, -p), e, as suas respectivas diretrizes são as retas: x = -p, x = p, y = p e y = -p. A origem (0, 0) é o vértice de cada uma das parábolas. Passos para esboçar parábolas, que tenham a sua equação na forma padrão sem auxílio do GeoGebra: Determinar o eixo de simetria. Se tiver y, o eixo é o x, se tiver x é o eixo y. Determinar como a parábola se abre. Se o eixo de simetria for x, e os coeficientes de x forem positivos, abre-se para a direita, se negativo, para a esquerda. Se o eixo de simetria for y, e os coeficientes de y forem positivos, abre para cima, e se forem negativos, abre para baixo. Achar o valor de p, fazendo 4p = coeficiente de x, quando o eixo de simetria for x. A partir do vértice que é a origem do sistema, avançar p unidades na direção onde a parábola se abre e na p-ésima unidade marque p para cima e p para baixo. Esboçar a parábola passando pela origem e pelos p que estão acima e abaixo do eixo de simetria marcados. Exemplo : Esboçar a parábola x 1y, indicar o seu foco e a sua diretriz. Tente fazer manualmente, e depois confira com o auxílio do GeoGebra.

Exemplo 3: Esboçar a parábola y 8x, indicar o seu foco e a sua diretriz. Tente fazer manualmente, e depois confira com o auxílio do GeoGebra. Por vezes, a parábola não terá o seu vértice na origem do plano cartesiano. O deslocamento de quaisquer uma das cônicas se dá conforme explicado a seguir. Quando for necessário deslocar quaisquer das cônicas m unidades para a direita, basta diminuir do valor de x as m unidades, na equação da cônica. Caso seja necessário deslocar para a esquerda m unidades, basta diminuir ao valor de x as (-m) unidades na equação da cônica. Quando for necessário deslocar quaisquer das cônicas n unidades para cima, basta diminuir do valor de y as n unidades na equação da cônica. Caso for necessário deslocar para baixo n unidades, basta diminuir ao valor de y as (-n) unidades na equação da cônica. As equações padrão das parábolas deslocadas, com vértice no ponto (m, n) são: - eixo focal paralelo ao eixo y: ( x m) 4 p( y n) - eixo focal paralelo ao eixo x: ( y n) 4 p( x m) Exemplo 5: Esboçar o gráfico da parábola gráfico gerado pelo GeoGebra. ( y ) 1( x 1). Confira o teu resultado com o Exemplo 6: Esboçar o gráfico da parábola y 8x 6y 3 0, indicar o seu foco e a sua diretriz. Se quisermos fazer isso manualmente, precisamos escrever a equação na forma padrão, com o processo de completar quadrados: y 6y 8x 3.

Para obtermos um quadrado perfeito na esquerda da igualdade, precisamos somar 9 unidades. Faremos isto em ambos os lados para manter a igualdade: y 6y 9 8x 3 9. Arrumando: ( y 3) 8x 3. Tiramos o 8 em evidência do lado direito: ( y 3) 8( x 4). Temos que a parábola se abre para a direita em um eixo paralelo ao eixo x. O seu vértice é o ponto (4, 3). O valor de p é, logo, o foco é (4+, 3) = (6, 3) e a diretriz é a reta x 4 x. Exercício: 1. Esboce a parábola, indique o foco e a diretriz. a) y 4x b) x 8y c) y 10x d) x 4y e) ( y 3) 6( x ) f) ( x ) ( y ) g) y 6y x 1 0 h) x 4x y 1 Elipse Uma elipse é o lugar geométrico de um ponto que se move num plano de maneira que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos no referido plano é sempre igual a uma constante maior do que a distância entre os dois pontos fixos. Os dois pontos fixos são denominados focos da elipse. A definição de uma elipse exclui o caso em que o ponto móvel se encontra sobre o segmento retilíneo delimitado pelos focos. O eixo em que estão os focos é chamado eixo focal. Exemplo 7: x y 1 4 9

Na elipse do Exemplo 7, observa-se, o eixo maior, coincide com o eixo y, e passa pelos pontos (0, 3) e (0, -3). Isto porque o denominador de y é 9. O eixo menor, coincide com o eixo x, e passa pelos pontos (, 0) e (-, 0). Isto porque o denominador de x é 4. Para esboçar uma elipse, cuja equação esteja na forma padrão, conforme a do Exemplo 7, basta tirar as raízes dos denominadores de x e de y, e marcar os seus valores nos respectivos eixos x e y. Assim, o comprimento do eixo maior é 6 e o comprimento do eixo menor é 4. Os pontos F1 e F, cujas coordenadas aparecem nos Objetos Dependentes, são os focos da elipse. Observe que, os comprimentos dos segmentos f e g, ambos em vermelho, aparecem na seção dos Objetos Dependentes. A soma destes comprimentos é:,03 + 3,97 = 6. A soma dos comprimentos dos segmentos verdes, h e i, é 3 + 3 = 6. Ambas as somas são iguais ao comprimento do eixo maior da elipse. Isto acontece por causa da definição de elipse, pois, tomando qualquer ponto sobre a elipse, e somando as suas distâncias aos focos, sempre teremos o valor constante do comprimento do eixo maior. Faça o gráfico da elipse do Exemplo 7, no GeoGebra. Sugestão: no campo Entrada digite (x^/4) + (y^/9) = 1. Observe que após dar Enter, o GeoGebra pode alterar a configuração da equação digitada, mas ainda assim, ela é a mesma. Para obter os focos, selecione Objetos Dependentes, e digite o comando foco, selecionando para ele, a elipse, que você acabou de inserir. Selecione um ponto sobre a elipse, marque segmentos deste ponto até os focos. Verifique que a soma dos comprimentos destes segmentos é sempre igual ao comprimento do eixo maior. As elipses, em sua equação padrão, com centro na origem do plano cartesiano, assumem as equações e gráficos, conforme as figuras no quadro da Figura 14. Nas elipses em posição padrão da Figura 14, os focos da primeira elipse são (-c, 0) e (c, 0), e os focos da segunda elipse são (0, -c) e (0, c). Os valores de a, b e c obedecem à relação: a b c. Os pontos (-a, 0) e (a, 0) sobre o eixo focal na primeira elipse e os pontos (0, -a) e (0, a) sobre o eixo

focal na segunda elipse são chamados de vértices. O centro de ambas as elipses é a origem (0, 0). Os valores de a, b e c seguem a relação a b c. Figura 14 Técnica para esboçar elipses que tenham equação na forma padrão sem o auxílio do GeoGebra. Determinar o eixo maior (aquele que na equação tem maior denominador), pois a b. Achar os valores de a e de b (raiz quadrada dos denominadores). Desenhar uma caixa que se estenda por a unidades para cada lado a partir do centro ao longo do eixo maior, e b unidades a partir do centro ao longo do eixo menor. Esboçar a elipse fechada na caixa. Exemplo 8: Esboçar a elipse x y 1, determinar os seus vértices e os seus focos. Tente fazer 3 4 manualmente, e depois confira com o auxílio do GeoGebra. Exemplo 9: Esboçar a elipse x y 4, indicar os seus vértices e os seus focos. Tente fazer manualmente, e depois confira com o auxílio do GeoGebra. Sugestão: escreva a equação na forma padrão.

x y 4 x y Para isto, divida toda a equação por 4: 1 4 4 4 4 Com base nesta última equação, sabe-se que a 4 e que b. Para as coordenadas dos focos, fazemos a b c c ( ) c 4 6. Por vezes, a elipse não terá o seu centro na origem do plano cartesiano. O deslocamento de quaisquer das cônicas é feito da mesma forma que a parábola. (Leia na página??) As equações padrão das elipses deslocadas, com origem no ponto (m, n) são: ( x m) ( y n) - eixo focal ou eixo maior paralelo ao eixo y: 1 b a ( x m) ( y n) - eixo focal ou eixo maior paralelo ao eixo x: 1 a b ( x 1) ( y 3) Exemplo 10: Esboçar a elipse 1, determinar as coordenadas das extremidades 4 dos eixos maiores e menores e dos focos. Confira o teu resultado com o gráfico gerado pelo GeoGebra. Sugestão: em Objetos Dependentes, utilize o comando vértice, e o comando centro e em ambos os casos selecione a cônica digitada. Com o comando eixos é possível obter os eixos auxiliares que usamos para traçar a elipse deslocada. Exemplo 11: Escrever a equação 16x 9y 64x 54y 1 0 na forma padrão e esboçar a elipse. Confira o teu resultado com o gráfico gerado pelo GeoGebra. Sugestão: utilize o processo de completar quadrados.

Exercício:. Esboce a elipse indique os focos, os vértices, os extremos do eixo menor e o centro. a) x y 1 16 9 b) x y 5 4 1 c) 9x y 9 d) 4x y 36 e) 16( x 1) 9( y 3) 144 f) 9( x ) 4( y 1) 36 g) x 9y x 18y 1 0 h) 5x 9y 0x 54y 56 Hipérbole Hipérbole é o lugar geométrico de um ponto que se move num plano de maneira que o valor absoluto da diferença de suas distâncias a dois pontos fixos no referido plano é sempre igual a uma constante positiva menor do que a distância entre dois pontos fixos. Os dois pontos fixos são denominados focos da hipérbole. A definição de uma hipérbole exclui o caso em que o ponto móvel se encontre em qualquer lugar sobre a reta que passa pelos focos à exceção do segmento delimitado pelos focos. Além disso, os extremos (focos) e o ponto médio deste segmento retilíneo não podem se encontrar sobre o lugar geométrico. Exemplo 1: x y 1 5 9

Na hipérbole do Exemplo 1, perceba que, tomando o ponto C, sobre a hipérbole, em vermelho na figura. Se considerarmos a diferença entre os comprimentos dos segmentos CF1, marcado com a letra f pelo GeoGebra, e CF, marcado com a letra g, em valor absoluto teremos 13, 86 3,86 = 10. Porém, se tomarmos o ponto D sobre a hipérbole, e considerarmos o valor absoluto da diferença das suas distâncias até os focos F1 e F, teremos 10,91 0,91 = 10. O mesmo acontece para qualquer ponto que tomarmos sobre a hipérbole, por causa da definição. Além dos focos, uma hipérbole apresenta assíntotas, as quais são as retas concorrentes que orientam a abertura da hipérbole, conforme a Figura 15. Perceba ainda na Figura 15 que as assíntotas são as retas aparecem nomeadas com as letras j e k, e as suas equações aparecem na seção de Objetos Dependentes.

Figura 15 Faça o gráfico da hipérbole do Exemplo 1, no GeoGebra. Coloque um ponto sobre a hipérbole e verifique a condição da definição. Marque os focos e as assíntotas, com as funções do GeoGebra. As hipérboles, em sua equação padrão, com centro na origem do plano cartesiano, assumem as equações e gráficos, conforme as do quadro da Figura 16. Figura 16 Observe as hipérboles em posição padrão conforme a Figura 16. Os focos da primeira hipérbole são (-c, 0) e (c, 0), e os focos da segunda hipérbole são (0, -c) e (0, c). Os valores de a, b e c obedecem à relação: c a b. Os pontos (-a, 0) e (a, 0) sobre o eixo focal na primeira hipérbole e os pontos (0, -a) e (0, a) sobre o eixo focal na segunda hipérbole são chamados de vértices. O segmento de um vértice a outro é chamado de eixo transverso. O segmento de b até b é chamado de eixo conjugado. b b O centro de ambas as hipérboles é a origem (0, 0). As retas y x e y x são as assíntotas da a a a a primeira hipérbole, e as retas y x e y x são as assíntotas da segunda hipérbole. b b

Como esboçar hipérboles que estejam na forma da equação padrão sem o auxílio do GeoGebra. Determinar o eixo focal (é aquele eu tem sinal positivo na frente quando a equação está na forma padrão). Achar a e b, desenhar a caixa a unidades do centro ao longo do eixo focal e b unidades a longo do eixo focal conjugado. Desenhar as assíntotas com auxílio das caixas. Esboçar a hipérbole. Exemplo 13: Esboçar a hipérbole x y 1, determinar os focos, vértices e equações das 4 9 assíntotas. Verifique o seu resultado com o GeoGebra. Por vezes, a hipérbole não terá o seu centro na origem do plano cartesiano. O deslocamento de quaisquer das cônicas é feito da mesma forma que a parábola. (Leia na página??) As equações padrão das hipérboles deslocadas, com origem no ponto (m, n) são: ( x m) ( y n) - eixo focal paralelo ao eixo y: 1 b a ( x m) ( y n) - eixo focal paralelo ao eixo x: 1 a b ( y 3) ( x ) Exemplo 14: Esboçar a hipérbole 1, determinar as coordenadas do centro, dos 5 3 focos, dos vértices e as equações das assíntotas. Faça manualmente e confira o seu resultado no GeoGebra.

Exemplo 15: Escrever a equação x y 4x 8y 1 0 na forma padrão, esboçar o gráfico da hipérbole e encontrar a equação de suas assíntotas. Confira o seu resultado com o apresentado pelo GeoGebra. Sugestão: utilize o processo de completar quadrados. Exercício: 3. Esboce a hipérbole e indique os vértices, os focos e as assíntotas. a) x y 1 16 9 b) y x 9 5 1 c) 9y x 36 d) 16x 5y 400 e) 9( x ) 4( y 1) 1 f) 16( x 1) 9( y 3) 144 g) 4y x 40y 4x 60 h) 16x y 3x 6y 57 O quadro da Figura 17 a seguir mostra um resumo das formas cônicas, conforme o estudado neste material.

Exercício: 4. Com base na observação, indique se a qual cônica se refere a equação: parábola, elipse ou hipérbole. Após, isso, confira pelo GeoGebra se a sua resposta está correta. Com auxílio do aplicativo, indique algebricamente e geometricamente os seguintes elementos: centro, focos, vértices, assíntotas e diretriz. a) 1 y 1 x 4 b) x 3 4 y 5 16 c) 16 x 1 8 y 3 16 d) 1 1 x y 1 0 4 9 e) 4x y 8x 10y 13 f) 9x 4y 18x 4y 9 0 g) y 4 x 1 h) x y 4y 3 5 i) x 4y x 8y 7 0 j) y 4x 8x 5 k) 4x 9y 16x 54y 9 0

Espaço Tridimensional Consideramos três planos mutuamente perpendiculares (xy, xz, yz) interceptando-se em três retas mutuamente perpendiculares num ponto comum O. Os planos são planos coordenados, as três retas são os eixos coordenados x, y e z, e o ponto O é a origem. Os planos coordenados são designados pelos eixos que contém, ou seja, o plano xy contém os eixos x e y, o plano xz contém os eixos x e z, o plano yz contém os eixos y e z. Os três planos coordenados dividem o espaço em oito regiões denominadas octantes, que não são numerados, exceto o primeiro, que tem os semi-eixos coordenados positivos como arestas de contorno. Para determinar a posição de um ponto P (x, y, z) no espaço passa-se planos por P paralelos aos três panos coordenados cortando dos eixos x, y, e z respectivamente nos pontos A, B, e C. Estes planos juntamente com os planos coordenados formam um paralelepípedo retângulo. A posição de P é determinada por suas distâncias orientadas aos planos coordenados. Ou seja, x = AO, y = OB, z = OC. Se o ponto P assumir posição no espaço, ele deve deixar a sua posição no plano xy e sua localização pode ser determinada por sua distância, digamos z ao plano coordenado xy. Quando é atribuído a z o valor particular zero, o sistema tridimensional se reduz ao sistema bidimensional. Assim, o plano xy pode ser visto como um caso especial do espaço xyz.

Superfícies Se existe uma representação analítica para qualquer configuração geométrica a que nos referimos como uma superfície, verificar-se-á que tal representação consiste em uma equação retangular da forma F(x, y, z) = 0. Serão apresentadas as seguintes superfícies, com suas equações e representações gráficas: plano, superfície cilíndrica, elipsoide, hiperboloide de uma folha, hiperboloide de duas folhas, superfície cônica assintótica, paraboloide elíptico e paraboloide hiperbólico. Plano O plano tem por equação a forma geral Ax By Cz D 0 onde A, B, C e D são constantes, e [A, B, C] são os parâmetros diretores da sua normal. Exemplo: Faça um esboço do plano que tem por equação 4x + 6y + 3z 1 = 0. Figura 17 Observe que o plano da Figura 17 intercepta o eixo x, em vermelho, no ponto, o eixo y, em verde, no ponto 3, e o eixo z, em azul, no ponto 4. Estes valores são as intersecções do plano com os eixos coordenados.

Figura 18 A reta f, marcada em preto no gráfico da Figura 18, marca a intersecção do plano com o plano xy. O GeoGebra apresenta a sua equação na Janela de Álgebra na forma paramétrica. Para obter a equação desta reta na forma geral, fazemos o seguinte raciocínio: um ponto sobre o plano xy possui coordenada z igual a zero, ou seja, é da forma (x, y, 0). Por isso, para encontrar a intersecção do plano 4x + 6y + 3z 1 = 0 com o plano xy, basta fazer z = 0 na equação do plano e teremos 4x + 6y 1 = 0, z = 0. Obs.: - Quando queremos indicar a equação de alguma forma geométrica que esteja em algum dos planos 3 coordenados do, sabemos que a variável correspondente ao eixo que não está no plano coordenado será igual a zero, e precisamos indicar isso ao escrevermos a equação. Caso não indiquemos, estaremos entendendo que a variável que não aparece na equação poderá assumir qualquer valor real. - A intersecção de uma figura com um dos planos coordenados também é chamada de traço daquela figura com o plano coordenado. Exemplo: Ao indicar no GeoGebra a equação 4x + 6y 1 = 0, sem informar que o z valerá zero, será apresentada a equação do plano paralelo ao eixo z.

Figura 19 Faça o gráfico do plano 4x + 6y + 3z 1 = 0 no GeoGebra. Indique as intersecções deste plano com os eixos coordenados, e as suas intersecções com os planos coordenados xy, yz, e xz. Para isso, é necessário abrir a janela de visualização 3D. Exercício: 5. Encontrar, a partir da equação dada do plano, suas intersecções sobre os eixos coordenados e as equações de seus traços sobre os planos coordenados. Fazer o esboço do plano com auxílio do GeoGebra. a) x y z 1 0 b) x y z 0 c) 5x 3y 15z 15 0 d) x y z 0 e) x 3y 6 0 f) y 5z 5 0

Superfície Cilíndrica Uma superfície cilíndrica é uma superfície gerada por uma linha reta que se move, de maneira que é sempre paralela a uma reta fixa (eixo) e passa sempre por uma curva fixa dada. A reta que se move é denominada geratriz e a curva dada fixa é a diretriz da superfície cilíndrica. Qualquer posição da geratriz é denominada geratriz da superfície cilíndrica. A diretriz será uma curva que está no plano coordenado. Obs.: Se a geratriz é perpendicular ao plano da diretriz, tem-se uma superfície cilíndrica reta, caso contrário, é oblíqua. Cilindro Reto Cilindro Oblíquo!!! No nosso estudo, veremos apenas superfícies cilíndricas retas!!! Uma equação desprovida de uma variável representa uma superfície cilíndrica reta cuja reta geratriz é perpendicular ao plano coordenado em que não é medida a variável que falta na equação. Exemplo: Esboçar o gráfico de x z 1 no plano tridimensional.

Figura 0 Observe que a única variável que não aparece na equação é a variável y. No GeoGebra, o eixo verde corresponde ao eixo y, então, percebe-se na Figura 0, que a diretriz é uma reta paralela ao eixo y. Podemos também imaginar a construção da superfície cilíndrica, esboçando a sua geratriz, que é uma circunferência no plano xz, e arrastando tal circunferência na direção do eixo y. Uma equação que contém apenas duas variáveis representa uma superfície cilíndrica no sistema de coordenadas xyz. A superfície pode ser obtida fazendo-se o gráfico da equação no plano coordenado das duas variáveis que aparecem na equação e, então, transladando esse gráfico paralelamente ao eixo da variável que não aparece na equação. Obs.: Semelhantemente à superfície cilíndrica circular, temos superfícies cilíndricas parabólicas, elípticas e hiperbólicas. Pode-se também notar que um plano é uma superfície cilíndrica, cuja diretriz é uma linha reta. Exercício: 6. Diga em qual plano coordenado se encontra a diretriz e a qual eixo coordenado a reta geratriz é paralela e construa a superfície cilíndrica reta cuja equação é dada. Use o aplicativo GeoGebra para conferir os teus resultados. a) y z 4 b) x 4z 0 c) 9x 4y 36 d) 9y 4z 36 e) y z f) x y y 0 Superfícies Quádricas Conforme veremos a seguir, as superfícies quádricas que possuem como centro de simetria a origem são chamadas cêntricas, enquanto que não possuem centro de simetria são chamadas não cêntricas. A principal característica de uma superfície quádrica é que quando uma superfície quádrica é cortada por qualquer plano, a curva de intersecção é uma cônica ou uma forma limite de uma seção cônica, por isso, a superfície quádrica também é uma conicóide.

Superfícies Quádricas Cêntricas x y z A forma padrão de uma superfície quádrica cêntrica é: 1. a b c São características de tais superfícies: simetria em relação aos três planos coordenados, simetria em relação aos três eixos coordenados e simetria em relação à origem. A variação dos sinais na forma padrão nos dão os seguintes casos: Elipsoide: todos os sinais positivos. Hiperboloide de uma folha: dois sinais positivos e um negativo. Hiperboloide de duas folhas: um sinal positivo e dois negativos. Obs.: Observe que não existe lugar geométrico da equação da superfície quádrica cêntrica se todos os seus sinais forem negativos. Estudaremos cada um dos casos. Elipsoide x y z O elipsoide é uma superfície quádrica cêntrica cuja equação na forma padrão é: 1. a b c x y z Exemplo: Esboçar a elipsoide 1. 4 16 9 Figura 1 Perceba, na Figura 1, que as intersecções do elipsoide do exemplo com os eixos coordenados são as raízes dos denominadores da equação. Ou seja, o denominador de x é 4, então, o eixo x é cortado pela elipsoide nos pontos 4. Assim para os demais interceptos com os eixos.

Note, na Figura, que a intersecção da elipsoide com o plano coordenado xy é uma elipse laranjada. Um ponto que está no plano xy possui coordenada z igual a zero. Então, basta fazer z = 0 na equação do elipsoide para encontrar a equação da elipse que é a intersecção do elipsoide com o plano xy. Tal x y elipse é chamada de traço do elipsoide no plano xy. A sua equação é 1, z = 0. Lembre 4 9 3 que se não indicarmos que z = 0, teremos uma equação com duas variáveis, a qual no corresponde a uma superfície cilíndrica, com reta geratriz paralela ao eixo cuja variável não está na equação. Figura Ainda podemos esboçar a elipse que é o traço que do elipsoide no plano yz. O GeoGebra mostra de forma default o plano coordenado xy e o nomeia por xoyplane. Se quisermos fazer o gráfico do plano yz, fazemos o seguinte raciocínio: um ponto no plano yz possui coordenada x igual a zero, então x = 0 é a equação do plano yz. Na Figura 3 fazemos a inclusão do plano yz, digitando a equação x = 0 na Entrada. Para marcar a elipse que é intersecção do elipsoide com o plano yz, usamos o comando interseção e entre parênteses, colocamos a letra correspondente às equações do elipsoide e do plano. As equações das interseções são dadas em forma paramétrica na Janela de Álgebra, mas sabemos que a equação y z de tal elipse é 1, x = 0. 16 9

Figura 3 Perceba pela Figura 4, que para esboçarmos um elipsoide manualmente, basta esboçarmos as elipses que são os traços nos planos coordenados. Figura 4 x y z Exemplo: Faça manualmente o esboço do elipsoide 1. Determine os interceptos nos 4 16 9 eixos coordenados, e as equações dos traços nos planos coordenados. Confira teu resultado no GeoGebra, e no aplicativo faça o gráfico do plano xz e o traço da interseção de tal plano com o elipsoide.

Elipsoide resumidamente x y z 1 a b c As interseções com os eixos x, y, e z são a, b, c respectivamente. Os seis pontos de interseção A, A, B, B, C, C são os vértices. Todos os traços sobre os planos coordenados são elipses. As seções paralelas aos planos coordenados são elipses. A superfície está inteiramente dentro do paralelepípedo cujas faces estão nos planos x = a, y = b, z = c. Exercício: 7. Para cada elipsoide, indique as coordenadas dos vértices, as equações do traço do elipsoide com os planos coordenados, e faça um esboço da superfície. Use o GeoGebra como auxílio e para conferir os resultados. x y z x y z a) 1 b) 1 c) 36x 9y 4z 1 4 9 1 1 3 d) 4x y z 8x 0 Hiperboloide de uma folha x y z x y z Formas padrão dos hiperboloides de uma folha: 1, 1, e a b c a b c x y z 1. a b c z Exemplo: Esboçar o gráfico do hiperboloide de uma folha x y 1. 4

Figura 5 Perceba que os traços do hiperboloide de uma folha nos planos coordenados são: hipérbole no plano xz, hipérbole no plano yz e elipse no plano xy. Qualquer hiperboloide de uma folha se encontra ao longo do eixo coordenado correspondente à variável cujo coeficiente é negativo na forma padrão de sua equação. Para esboçar um hiperboloide de uma folha, basta esboçar os seus traços nos planos coordenados, conforme a Figura 6, a qual refere-se a equação deste último exemplo. Figura 6 z Exemplo: Determine as interseções do hiperboloide de uma folha x y 1 com os eixos 4 coordenados e dê as equações dos traços da superfície nos planos coordenados. Faça o gráfico desta quádrica no GeoGebra.

x y z Hiperboloide de uma folha 1 a b c resumidamente As interseções com os eixos x, y, são a, b respectivamente, não intercepta o eixo z. x z O traço no plano xz é a hipérbole 1, y = 0. c a y z O traço sobre o plano yz é a hipérbole 1, x = 0. c b x y O traço sobre o plano xy é a elipse 1, z = 0. a b As seções paralelas ao plano xy são as elipses x y k 1, z = k. Estas elipses aumentam c a b indefinidamente à medida que k cresce para o infinito. O eixo central é aquele que tem coeficiente negativo na forma padrão. Exercício: 8. Dadas as hiperboloides de uma folha a seguir, diga quais são as suas interseções com os eixos coordenados e com os planos coordenados. Faça um esboço do gráfico manualmente e confira os teus resultados no GeoGebra. x y z a) 1 b) x y z 4 c) x 3y z 6 1 4 9 d) x y 8z 8 0 Hiperboloide de duas folhas

x y z x y z Formas padrão do hiperboloide de duas folhas: 1, 1, e a b c a b c x y z 1. a b c Exemplo: Esboçar o hiperboloide de duas folhas x y z 1. 4 Figura 7 Observe, na Figura 7, que o hiperboloide de duas folhas do exemplo corta apenas o eixo x nos pontos 1, isto porque um ponto sobre o eixo x possui coordenadas y e z iguais a zero. Então, para encontrar a interseção do hiperboloide com o eixo x fazemos y = z = 0 na equação da superfície e temos: x 1 x 1. O hiperboloide de duas folhas não intercepta os eixos y e z. Pesquisando as interseções com estes eixos, da mesma forma que fizemos para o eixo x, encontramos equações sem y solução real: 1 e z 1. 4 Nota-se que qualquer hiperboloide de duas folhas se encontra ao longo do eixo correspondente à variável cujo coeficiente é positivo na forma padrão da sua equação. Para esboçar um hiperboloide de duas folhas manualmente, podemos desenhar os traços sobre os planos coordenados e teremos algo como na Figura 8. Perceba também, que não há traço da superfície no plano yz, uma vez que para obtermos este traço algebricamente fazendo x = 0, teríamos y uma equação sem solução: z 1 4

Figura 8 y Exemplo: Determine as interseções do hiperboloide de duas folhas x z 1 com os eixos 4 coordenados e dê as equações dos traços da superfície nos planos coordenados. Faça o gráfico desta quádrica manualmente e com o auxílio do GeoGebra.

x y z Hiperboloide de duas folhas 1 a b c resumidamente Intercepta o eixo z em c. Não intercepta os eixos x e y. x z O traço sobre o plano xz é a hipérbole 1, y = 0. a c y z O traço sobre o plano yz é a hipérbole 1, x = 0. b c Não há traço no plano xy, pois nenhum valor real de x e de y satisfaz x y 1 a b. As seções paralelas ao plano xy são as elipses x y k 1, z = k, onde k c. Não existem seções a b c paralelas para c < k < c. Se k = c as interseções são os pontos (0, 0, c) e (0, 0, -c). Qualquer hiperboloide de duas folhas se abre ao longo do eixo correspondente à variável cujo coeficiente é positivo na forma canônica de sua equação. Exercício: 9. Dados os hiperboloides de duas folhas a seguir, diga quais são as suas interseções com os eixos coordenados e com os planos coordenados. Faça um esboço do gráfico manualmente e confira os teus resultados no GeoGebra. x y z a) 1 b) x y z 6 0 1 4 9 Superfície cônica assintótica Assim como as hipérboles no admitem assíntotas para direcioná-las, os hiperboloides admitem superfícies assintóticas. As equações destas superfícies são as mesmas equações dos hiperboloides, porém, ao invés de igualadas a 1, na forma padrão, devem ser igualadas a zero. Exemplo: Esboçar o gráfico da superfície cônica assintótica z hiperboloide de uma folha x y 1. 4 Com o auxílio do GeoGebra, tem-se a Figura 9. x z y 0 correspondente ao 4

Figura 9 Ou apenas a superfície cônica assintótica, conforme a Figura 30. Figura 30 y Exemplo: Esboçar o gráfico da superfície cônica assintótica x z 0 correspondente ao 4 y hiperboloide de duas folhas x z 1. Determine as interseções desta superfície com os eixos 4 coordenados e com os planos coordenados. Utilize o GeoGebra.

x y z Cone elíptico 0 resumidamente a b c O único ponto de interseção com os eixos x, y e z é a origem (0, 0, 0). O traço sobre o plano xy é a origem, pois x = 0 e y = 0 são x y os únicos valores que satisfazem 0, z = 0. a b a O traço no plano xz são as retas z x, y = 0. b c O traço no plano yz são as retas z y, x = 0. b As seções paralelas ao plano xy são as elipses x y k 1, z = k. Estas elipses aumentam c a b indefinidamente à medida que k cresce para o infinito. O eixo central é aquele que tem coeficiente negativo na forma padrão. Exercício: 10. Dadas as superfícies cônicas assintóticas a seguir, diga quais são as suas interseções com os eixos coordenados e com os planos coordenados. Faça um esboço do gráfico manualmente e confira os teus resultados no GeoGebra. x y z x y z a) 0 b) 0 1 4 9 1 4 9

Superfícies Quádricas Não Cêntricas As formas padrão de uma superfície quádrica cêntrica são: y z ax b c. x y cz a b, x z by a c ou São características de tais superfícies: simetria em relação ao dois dos planos coordenados, simetria em relação a um dos três eixos coordenados e não possuem centro de simetria. A variação dos sinais na forma padrão geram os seguintes casos: Paraboloide elíptico: os coeficientes dos termos de segundo grau concordam em sinal. Paraboloide hiperbólico: os coeficientes dos termos de segundo grau são de sinais contrários. Paraboloide Elíptico x y Formas padrão de um paraboloide elíptico: cz ou a b x z by a c, y z y z ax ou ax b c b c. x y cz a b, x a z by ou c z Exemplo: Esboçar o gráfico do paraboloide elíptico x y. 4 Com o auxílio do GeoGebra tem-se o gráfico da Figura 31. Note que o paraboloide se abre ao longo do eixo correspondente à variável de primeiro grau na forma padrão da equação. Figura 31

z Exemplo: Determine as interseções do paraboloide elíptico x y com os eixos coordenados 4 e dê as equações dos traços da superfície nos planos coordenados. Faça o gráfico desta quádrica e dos seus traços manualmente e no GeoGebra. x y Paraboloide elíptico cz resumidamente a b O único ponto de interseção com os eixos x, y e z é a origem (0, 0, 0). O traço sobre o plano xy é a origem, pois x = 0 e y = 0 são x y os únicos valores que satisfazem 0, z = 0. a b O traço no plano xz é a parábola x a cz, y = 0. O traço no plano yz é a parábola y b cz, x = 0. As seções paralelas ao plano xy são as elipses x y ck, z = k, desde que z e k concordem em sinal. a b Estas elipses aumentam indefinidamente à medida que k cresce para o infinito. É simétrica em relação aos planos xz, yz e ao eixo z. O paraboloide se abre ao longo do eixo correspondente à variável de primeiro grau na forma padrão da sua equação. Exercício: 11. Dados os paraboloides elípticos a seguir, determine as suas interseções com os eixos coordenados e com os planos coordenados. Faça um esboço do gráfico manualmente e confira os teus resultados no GeoGebra. a) x z 4y b) 9x 4z 36y 0 c) 4y z x 0 d) x y x y z 4 6 18 13 0

Paraboloide Hiperbólico x y Formas padrão de um paraboloide hiperbólico: cz ou a b x z by a c, y z y z ax ou ax b c b c. x y cz a b, x a z by ou c Exemplo: Esboçar o gráfico do paraboloide hiperbólico O gráfico é apresentado na Figura 3. x z y. 4 4 Figura 3 Observe, na Figura 33 que o paraboloide hiperbólico do exemplo intercepta os eixos coordenados apenas na origem, e as interseções com o plano coordenado xy é uma parábola abrindo no sentido positivo do eixo y, com o plano yz é uma parábola abrindo no sentido negativo do eixo y e com o plano xz são duas retas concorrentes. Os planos xy e yz são os planos de simetria. O eixo de simetria é o eixo y.

Figura 33 Exemplo: Determine as interseções do paraboloide hiperbólico y x z com os eixos coordenados e dê as equações dos traços da superfície nos planos coordenados. Faça o gráfico desta quádrica e dos seus traços manualmente e no GeoGebra.

y x Paraboloide hiperbólico cz resumidamente b a O único ponto de interseção com os eixos x, y e z é a origem (0, 0, 0). O traço sobre o plano xy são as retas concorrentes b y x, z = 0. a O traço no plano xz é a parábola x a cz, y = 0. O traço no plano yz é a parábola y b cz, x = 0. As seções paralelas ao plano xy são as hipérboles y x ck, z = k, desde que k 0. b a É simétrica em relação aos planos xz, yz e ao eixo z. O paraboloide se encontra ao longo do eixo correspondente à variável de primeiro grau na forma padrão da sua equação. Exercício: 1. Dados os paraboloides hiperbólicos a seguir, determine as suas interseções com os eixos coordenados e com os planos coordenados. Faça um esboço do gráfico manualmente e confira os teus resultados no GeoGebra. a) x y z 0 b) x y x 4y z 6 0 Exercícios de Revisão: 13. Para as superfícies a seguir, classifique o traço indicado como elipse, hipérbole ou parábola. a) Superfície: 4x y z 9, traços : x = 0, y = 0, z = 1 b) Superfície: 4x y z 9, traços : x = 0, y = 0, z = 1 c) Superfície: 4x y z 9, traços : x = 0, y = 0, z = 1 14. Classifique cada superfície como plano, superfície cilíndrica, elipsoide, hiperboloide de uma folha, hiperboloide de duas folhas, cone elíptico, paraboloide elíptico ou paraboloide hiperbólico. Utilize o GeoGebra para verificar os teus resultados. x y x y x y a) z 0 b) z 1 c) z 0 36 5 36 5 36 5 x y x y x y d) z 1 e) z 0 f) z 1 36 5 36 5 36 5 g) 6x 3y 4z 1 h) y x 0 i) 9x y 9z 9 j) 4x y 4z 4 k) 1z 3x 4y l) z x 0 Deslocamento: Para deslocar quaisquer destas superfícies da origem, basta descontar o valor que se deseja deslocar da variável na equação em sua forma padrão.

( x 3) Exemplo: a superfície 4 ao eixo z passando pelo ponto (3, -1, 0). Conforme figura do GeoGebra. ( y 1) 1 é um cilindro elipsoidal reto com eixo na reta paralela Figura 34 ( y ) ( z 4) Exemplo: Diga a que superfície corresponde a equação x 0. Em qual ponto 4 9 ela está centrada? Verifique o teu resultado no GeoGebra. Cone elíptico, abrindo no sentido do eixo y, com ponto central em (0,, -4). Exemplo: Diga a que superfície corresponde a equação x y 4x 6y 18z 13 0. Para qual ponto houve o deslocamento da origem? Verifique o teu resultado no GeoGebra. Sugestão: escrever a equação da superfície na forma padrão pelo processo de completar quadrados.

Exercício: 15. Escreva a equação da superfície na forma padrão. Identifique a superfície e para qual ponto ela foi deslocada a partir da origem. Faça o gráfico no GeoGebra e confira. a) z ( x ) ( y 3) 9 b) z x y 1 c) 4x y 16( z ) 100 d) 9x y 4z 18x y 16z 10 e) z 4x y 8x y 4z f) 4z x z 6x 0 Os quadros a seguir resumem a maioria do que foi estudado nesta parte inicial do primeiro capítulo. Quádrica Cêntrica Mx + Ny + Pz = R R Coeficientes M, N e P Lugar Geométrico Todos positivos Elipsoide Todos negativos Não existe Dois positivos e um negativo Hiperboloide de uma folha Um positivo e dois negativos Hiperboloide de duas folhas R > 0 Um zero e dois positivos Superfície cilíndrica elíptica reta Um zero e dois negativos Não existe Um zero, um positivo e um negativo Superfície cilíndrica hiperbólica reta Dois zeros e um positivo Dois planos distintos paralelos Dois zeros e um negativo Não existe Todos com mesmo sinal A origem (0, 0, 0) Dois positivos e um negativo Superfície cônica reta R = 0 Um zero e dois de mesmo sinal Todos os pontos sobre um eixo coordenado Um zero e dois de sinais contrários Dois planos que se interceptam Dois zeros Dois planos coincidentes Quádrica não cêntrica: Mx + Ny = Sz ou Mz + Ny = Sx ou Mx + Nz = Sy S Coeficientes M e N Lugar Geométrico Todos de mesmo sinal Paraboloide elíptico S > 0 Sinais opostos Paraboloide hiperbólico Um zero Superfície cilíndrica parabólica reta De mesmo sinal Todos os pontos sobre um eixo coordenado S = 0 Sinais opostos Dois planos que se interceptam Um zero Dois planos coincidentes

Referências: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo: um novo horizonte. 8 Ed. Vol. II. Porto Alegre: Bookman, 007. LEHMAN, C; Geometria Analítica 9. Ed. São Paulo: Editora Globo, 1998.