INTERVALOS DE CONFIANÇA: DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 09 de outubro de 2017
Há situações em que o interesse do pesquisador é em comparar as médias de duas populações, sobre as quais ele realiza algum estudo; Pode-se fazer essa comparação através do intervalo de confiança para a diferença entre duas médias populacionais; O procedimento é análogo ao já visto para intervalo de confiança para uma população, coletando-se amostras independentes de cada uma das populações;
Consideremos duas amostras aleatórias, X 1, X 2,..., X n1 de tamanho e Y 1, Y 2,..., Y n2 de tamanho n 2, ambas com distribuição normal, médias µ 1 e µ 2 e variâncias σ1 2 e σ2 2 conhecidas, respectivamente. Assim, X N ( ) σ 1 µ 1, n1 e Y N ( ) σ 2 µ 2,. n2
Consideremos duas amostras aleatórias, X 1, X 2,..., X n1 de tamanho e Y 1, Y 2,..., Y n2 de tamanho n 2, ambas com distribuição normal, médias µ 1 e µ 2 e variâncias σ1 2 e σ2 2 conhecidas, respectivamente. Assim, X N ( ) σ 1 µ 1, n1 e Y N ( ) σ 2 µ 2,. n2 Daí, temos que, σ1 X Ȳ N µ 2 1 µ 2, + σ2 2 n 2
Assim, E daí, temos que Logo, P Z = (X Y ) (µ 1 µ 2 ) σ 2 1 + σ2 2 n 2 N(0, 1). z γ/2 X Ȳ (µ 1 µ 2 ) z σ 2 γ/2 = γ 1 + σ2 2 n 2 IC (γ100%) (µ 1 µ 2) = ( X Ȳ ) z γ/2 σ 2 1 + σ2 2 n 2 ; ( X Ȳ ) + z γ/2 σ 2 1 + σ2 2 n 2
Exemplo Estão sendo estudados dois processos para conservar alimentos, cuja principal variável de interesse é o tempo de duração destes. No processo A, o tempo X de duração segue a distribuição N(µ A, 100), e no processo B o tempo Y obedece à distribuição N(µ B, 100). Sorteiam-se duas amostras independentes: a de A, com 16 latas, apresentou tempo médio de duração igual a 50, e a de B, com 25 latas, duração média igual a 60. Pode-se dizer que os dois processos têm durações médias iguais a 95% de confiança?
Consideremos agora duas amostras aleatórias, X 1, X 2,..., X n1 de tamanho e Y 1, Y 2,..., Y n2 de tamanho n 2, com apenas uma diferença do caso anterior: as variâncias são desconhecidas, porém iguais, isto é, σ1 2 = σ2 2 = σ2. Temos que T = ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) s p 1 + 1 n 2 t n1 +n 2 2 em que s p = ( 1)s1 2 + (n 2 1)s2 2. + n 2 2
E daí, temos que P t (n1 +n 2 2;α/2) ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) t (n1 +n 2 2;α/2) = 1 α s p 1 + 1 n 2
E daí, temos que P t (n1 +n 2 2;α/2) ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) t (n1 +n 2 2;α/2) = 1 α s p 1 + 1 n 2 Logo, IC (1 α) (µ 1 µ 2) = (( X Ȳ ) t (a;α/2) s p 1n1 + 1n2 ; ( X Ȳ ) + t (a;α/2) s p 1n1 + 1n2 ) em que a = + n 2 2 graus de liberdade.
Exemplo 2 Os 36 alunos de uma turma são divididos ao acaso em dois grupos de 18. Para o primeiro grupo o ensino de Matemática é feito usando elementos de multimídia. Enquanto isso, no segundo grupo o ensino é feito pelo método tradicional (quadro negro e giz). No final do período é aplicado um teste, comum aos dois grupos, com os seguintes resultados: Grupo 1 7,3 8,2 6,0 7,7 8,0 6,1 5,6 5,3 5,9 5,8 5,8 7,1 5,1 8,0 7,6 8,3 4,9 6,5 Grupo 2 7,5 6,2 5,7 4,4 4,7 5,8 5,0 6,0 6,5 5,8 4,5 5,1 5,5 6,0 5,8 5,8 5,7 7,5 Considerando os dois grupos como amostras aleatórias de duas populações independentes e Normalmente distribuídas, com desvios-padrão idênticos, determine um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira diferença das médias populacionais dos dois grupos. Algum método obteve melhores resultados, em média, em relação ao outro?
Exercício 1 Um engenheiro civil tem a intensão de medir a força compressiva de dois tipos de concreto. De duas amostras aleatórias independentes de 10 elementos dos dois tipos resultaram: Tipo I 3250 3268 4302 3184 3266 3297 3332 3502 3064 3116 Tipo II 3094 3268 4302 3184 3266 3124 3316 3212 3380 3018 Considerando que as amostras provêm de populações normais com desvio padrão igual a 353 e 363, respectivamente, podemos considerar que os dois tipos de concreto são iguais em relação a força compressiva, considerando um nível de confiança de 90%?
Exercício 2 Um processo industrial usa uma ferramenta fabricada de aço tipo A, da qual uma amostra de 10 unidades apresentou vida média de 1400 horas e desvio-padrão de 120 horas. A mesma ferramenta passou a ser fabricada com aço tipo B e um lote de 20 unidades apresentou vida média de 1200 horas e desvio-padrão de 100 horas. Desde que o processo de fabricação da ferramenta não mudou, pode-se supor idênticos os desvios-padrão das populações normalmente distribuídas. Determinar o intervalo de confiança a 99% para a diferença entre as médias das populações de ambos os tipos de ferramenta e conclua.