Escola Superior de Tecnologia de Tomar Área de Matemática Investigação Operacional / Técnicas de Optimização e Decisão Engenharia Química, Engenharia do Ambiente, Engenharia Informática e Engenharia Civil Ano lectivo 2004/2005 Folha 3 1. Determine todas as soluções óptimas do seguinte programa linear max z = 10x 1 + 4x 2 s.a x 1 + x 2 100 10x 1 + 4x 2 600 2x 1 + 6x 2 300 2. O quadro seguinte refere-se a um problema de maximização: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 4 4 c 0 1 0 1 x 3 b 1 1 0 0 4 x 5 3 d 0 0 1 a f. o. 2 e 0 0 0 10 Diga a que condições devem obedecer a, b, c, d e e para que sejam verdadeiras as seguintes afirmações: (a) A solução é óptima. (b) Existem soluções óptimas alternativas. (c) A solução é não limitada. (d) A solução é degenerada. (e) A solução é não admissível. (f) Admitindo que a 0 e que a solução não é óptima, indique qual a variável que entra na base, a que sai e qual a variação na função objectivo para as várias hipóteses na mudança de base. 3. Utilize o método simplex para resolver cada um dos seguintes problemas de programação linear: (a) min z = 10x 1 + 8x 2 + 18x 3 s.a x 1 + x 2 + 2x 3 7 2x 1 + 3x 2 + x 3 4 1
(b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) min z = 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 s.a 5x 1 + 6x 2 + 4x 3 5 2x 1 + 3x 2 + 8x 3 5 min z = 7x 1 + x 2 + 4x 3 s.a 2x 1 + x 2 x 3 7 x 1 + x 2 + x 3 2 3x 1 x 2 + 2x 3 10 min z = 3x 1 + 6x 2 + 6x 3 s.a x 1 + 3x 2 + x 3 6 2x 1 3x 2 + 4x 3 8 x 1 2x 2 + x 3 10 min z = 6x 1 x 2 + 2x 3 s.a x 1 + x 3 5 x 1 + 2x 2 + x 3 6 2x 1 + x 2 + x 3 7 min z = 5x 1 2x 2 6x 3 s.a 2x 1 2x 2 5x 3 6 2x 1 + x 2 + 7x 3 30 x 1 x 3 10 max z = x 1 x 2 + x 3 + 5x 4 s.a 2x 1 + 3x 2 2x 3 7x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 = 6 x 2, x 3, x 4 0 min z = x 1 x 2 + x 3 s.a 2x 1 + 3x 2 2x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 6 x 3 livre 2
(i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) min z = x 6 s.a 2x 2 + x 3 + x 4 x 5 = 0 3x 1 2x 2 x 3 + 2x 4 15 x 1 + x 3 5 9x 1 + 8x 2 + x 3 2x 4 + x 6 = 0 x 6 livre min z = 2x 1 s.a x 1 x 4 = 3 x 1 x 2 2x 5 = 1 2x 1 + x 3 + x 5 = 7 max z = x 1 + 2x 2 + 3x 3 s.a 2x 1 + x 2 + 2x 3 3 x 1 + x 2 + x 3 5 3x 1 2x 3 = 8 max z = 2x 1 + x 2 + 2x 3 s.a 4x 1 + 2x 2 3x 3 8 x 1 + x 2 2x 3 10 x 1 x 2 + 3x 3 6 max z = 2x 1 x 2 + x 3 s.a 2x 1 + x 2 + 3x 3 9 x 1 x 2 = 6 x 2 2x 3 4 min z = 2x 1 + x 2 + 3x 3 s.a 3x 1 + 2x 2 + 8x 3 5 6x 1 + 5x 2 + 4x 3 5 min z = 9x 1 + 4x 2 + 5x 3 s.a x 1 + 3x 2 + 2x 3 4 2x 1 + x 2 + x 3 7 3
4. Um criador de porcos pretende determinar as quantidades de cada tipo de ração que devem ser dados diariamente a cada animal por forma a conseguir uma certa qualidade nutritiva a um custo mínimo. Os dados relativos ao custo de cada tipo de rações, às quantidades mínimas diárias de ingredientes nutritivos básicos a fornecer a cada animal, bem como as quantidades destes existentes em cada tipo de ração (g/kg) constam do quadro: Ração Quantidade Granulado Farinha mínima Ingredientes nutritivos requirida Carbohidratos 20 50 200 Vitaminas 50 10 150 Proteínas 30 30 210 Custos (euros/kg) 10 5 A formulação deste problema, de acordo com um modelo de P. L., de modo a obter o custo mínimo é dada por: min z = 10x 1 + 5x 2 s.a 20x 1 + 50x 2 200 50x 1 + 10x 2 150 30x 1 + 30x 2 210 em que x 1 e x 2 são as quantidades (em Kg) de granulado e farinha, respectivamente, a fornecer a cada animal. A resolução deste problema através do método simplex fornece o seguinte quadro x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 0 1 1/30 0 1/45 2 x 4 0 0 4/3 1 23/9 120 x 1 1 0 1/30 0 1/18 5 f. o. 0 0 1/6 0 4/9 150 (a) Proceda à interpretação económica da solução correspondente a este quadro. (b) Utilize o método simplex para obter uma nova solução com melhoria da função objectivo justificando do ponto de vista económico qual a actividade a ser activada. (c) Justifique do ponto de vista económico a escolha da actividade a ser substituída. (d) Obtenha a solução óptima e interprete economicamente a solução obtida. 4
5. A empresa JOTA, Lda. produz três artigos. Cada unidade do artigo 1 necessita de 8 Horas-Homem (H-H) e 8 unidades de Matéria-Prima (M-P), cada unidade do artigo 2 necessita de 5 H-H e 6 unidades de M-P, sendo de 6 H-H e 7 unidades de M-P as necessidades por unidade produzida do artigo 3. A Matéria-Prima disponível para o período em análise é de 380 unidades, sendo de 340 as Horas- Homem disponíveis. As previsões de venda são de 15 e 45 unidades para os artigos 1 e 3, respectivamente, enquanto que as margens brutas unitárias respectivas são de 10, 7 e 8 u. m.. Para planeamento da sua produção a empresa serve-se do seguinte modelo de P. L.. max z = 10x 1 + 7x 2 + 8x 3 s.a 8x 1 + 5x 2 + 6x 3 340 8x 1 + 6x 2 + 7x 3 380 x 1 15 x 2 40 (a) Obtenha uma Solução Básica Admissível (SBA) inicial e proceda à interpretação do programa associado. (b) Utilizando o algoritmo simplex, diga qual a actividade que deve ser activada em primeiro lugar. Justifique do ponto de vista económico. (c) Qual a actividade que deve ser substituída? (d) Proceda à iteração respectiva e explicite o seu significado. Qual o programa associado à nova SBA? (e) Obtenha o plano de produção óptimo e interprete economicamente o percurso percorrido. 6. Mostre por recurso ao método simplex que os seguintes sistemas são impossíveis: (a) (b) 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 3x 2 2x 3 3 6x 1 + 8x 2 + 7x 3 9x 4 5x 5 18 2x 1 x 2 x 3 + 2x 4 + x 5 3 3x 1 + x 2 + 4x 3 5x 4 2x 5 4 5
7. Considere os seguintes problemas de programação linear: (i) (ii) (iii) min z = x 1 x 2 s.a x 1 + 2x 2 8 x 1 4 x 1 + x 2 8 x 2 0 max z = x 1 s.a x 1 + x 2 7 8x 1 + x 2 8 x 1 + 8x 2 8 x 1, x 2 livres max z = x 1 s.a x 1 + x 2 2 x 1 + 2x 2 6 x 2 0 (a) Resolva os problemas utilizando o método Simplex. (b) Resolva os problemas graficamente e indique o percurso correspondente às várias iterações do método Simplex. 6
8. Resolva os seguintes problemas de programação linear usando o método Simplex: (a) (b) (c) (d) (e) (f) max z = x 1 x 2 + x 3 + 5x 4 s.a 2x 1 + 3x 2 2x 3 7x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + 3x 4 = 6 x 2, x 3, x 4 0 min z = x 1 x 2 + x 3 s.a 2x 1 + 3x 2 2x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 6 x 3 livre max z = x 6 s.a 2x 2 + x 3 + x 4 x 5 = 0 3x 1 2x 2 x 3 + 2x 4 15 x 1 + x 3 5 9x 1 + 8x 2 + x 3 2x 4 + x 6 = 0 x 6 livre min z = 3x 1 11x 2 9x 3 + x 4 + 29x 5 s.a x 2 + x 3 + x 4 2x 5 4 x 1 x 2 + x 3 + 2x 4 + x 5 0 x 1 + x 2 + x 3 3x 5 1 x 2, x 3, x 4, x 5 0 min x 1 s.a x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 4 x 1 2x 2 x 3 + 2x 4 2 5x 1 4x 2 x 3 + 8x 4 + 2x 5 1 x 2, x 3, x 4, x 5 0 max x 8 s.a x 1 x 3 + x 4 + x 5 = 2 x 1 2x 3 3x 4 + x 6 x 8 = 4 x 1 2x 4 + x 7 = 3 2x 1 + x 2 x 8 = 6 x 8 livre x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 7