Actividade Formativa 2 Resolução 1. Resolva as seguintes inequações, e interprete o resultado geometricamente: a. 3 7x 2. b. 4 5x > 3. c. x + 3 x 4. 3/7 3 7 2 7 3 7 + 2 7 = 1 7 = 5 7 Figura 1: Representação de x 3/7 2/7. a. Tem-se 3 7x 2 7x 3 2 7 x 3/7 2 x 3/7 2/7, e portanto x 3/7 2/7 2/7 x 3/7 2/7 2/7 + 3/7 x 2/7 + 3/7 1/7 x 5/7 x [1/7, 5/7]. De um ponto de vista geométrico podemos pensar em x 3/7 como o valor da distância do ponto x a 3/7, portanto a desigualdade x 3/7 2/7 corresponde aos pontos x cuja distância a 3/7 é menor (ou igual a 2/7, que é exactamente o que está representado na Figura 1. b. Escrevendo a desigualdade 4 5x > 3 como x 4/5 > 3/5, os valores de x que satisfazem esta desigualdade são aqueles cuja distância a 4/5 é maior que 3/5. Os pontos que estão exactamente à distância 3/5 de 4/5 são 4/5 3/5, ou seja os pontos 1/5 e 7/5, e portanto os pontos cuja distância a x é maior que 3/5 são aqueles que estão à esquerda de 1/5 ou à direita de 7/5. Dito de outra forma menores que 1/5 ou maiores que 7/5, ou seja ], 1/5[ ]7/5, + [. c. Neste caso pretendemos os pontos cuja distância a 3 é maior (ou igual que a distância a 4. O ponto médio entre 3 e 4, ou seja 3+4 = 1/2, é aquele que fica exactamente à mesma 2 distância de 3 e 4. -1-
Portanto os pontos cuja distância a 3 é maior (ou igual que a distância a 4 serão aqueles que estão mais perto de 4 que de 3 (ou mais longe de 3 que de 4 o que corresponde aos pontos à direita do ponto médio, ou seja ao conjunto x 1/2. Nota: É aconselhável nas duas alíneas anteriores: fazer um esboço semelhante à Figura 1 e resolver analíticamente as duas inequações. 2. Dada a função y = 7x 3 3: a. Calcule o quociente de diferenças como uma função de x e. b. Calcule a derivada dy/dx. c. Sendo y = f(x, calcule f ( 1 e f (2. a. Tem-se y = f(x + f(x = 7(x + 3 3 (7x 3 3 = 7(x3 + 3x 2 + 3x( 2 + ( 3 7x 3 = 7(3x2 + 3x( 2 + ( 3 = 7(3x 2 + 3x( + ( 2. b. Por definição temos dy dx = f y (x = lim 0 = lim 0 7(3x2 + 3x( + ( 2 = 7(3x 2 = 21x 2. c. Utilizando a expressão obtida na alínea anterior f ( 1 = (21x 2 x= 1 f (2 = (21x 2 = 84 x=2 = 21 e 3. Uma função y = f(x é descontínua num ponto x = x 0 quando qualquer das três condições de continuidade (definidas na pág. 157 não for satisfeita em x = x 0 ; construa três gráficos para ilustrar a violação de cada uma dessas condições. Na Figura 2 estão 3 exemplos de não continuidade num ponto x 0 : 1. No primeiro caso o ponto x 0 não está no domínio da função. 2. No segundo caso o ponto está no domínio, e o valor da função em x 0 está bem definido, mas o valor do limite à esquerda é diferente do valor do limite à direita. -2-
3. No terceiro caso o valor do limite à esquerda é igual ao valor do limite à direita, mas não coincidem com o valor da função no ponto. 4. Dê um exemplo de uma função f : R R contínua, tal que f(0 = 0, e que não seja diferenciável no ponto x = 0. A função f : R R definida por f(x = x = { x se x 0 x se x 0, satisfaz as condições do enunciado, pois tem derivada 1 à esquerda da origem e +1 à direita. É uma função contínua mas não diferenciável na origem. 5. Calcule de duas formas diferentes a derivada d dx e a regra do produto. ( 2x 2 3 x 3, utilizando a regra do quociente 5 Utilizando a regra do quociente tem-se ( d 2x 2 3 = (2x2 3 (x 3 5 (2x 2 3(x 3 5 dx x 3 5 = (4x(x3 5 (2x 2 3(3x 2 Utilizando a regra do produto tem-se = 4x4 20x 6x 4 + 9x 2 = 2x4 + 9x 2 20x = x(2x3 9x + 20. ( d (2x 2 3 1 = (2x 2 3 1 ( 1 dx x 3 5 x 3 5 + (2x2 3 x 3 5 = 4x 1 ( (x 3 x 3 5 + 5 (2x2 3 = 4x x 3 5 + (2x2 3 3x2 = 4x(x3 5 (x 3 5 + 3x 2 2 (2x2 3 = 4x(x3 5 3x 2 (2x 2 3 = 4x4 20x 6x 4 + 9x 2 = x(2x3 9x + 20. -3-
6. Dada a função de custo total C = Q 5 + 3Q 2 + Q + 27 escreva uma função de custo variável (CV. Determine a derivada da função CV e interprete o significado económico desta derivada. Embora a diferença entre custo total e custo variável não esteja explicitamente definida no texto, um exemplo simples consiste no valor do aluguer de um espaço comercial (correspondente a 27 neste caso, que não depende do volume Q (stock de uma dada mercadoria, por exemplo. Assim a função de custo variável seria CV = Q 5 + 3Q 2 + Q e a sua derivada d/(dq(cv = 5Q 4 + 6Q + 1. O significado económico desta derivada é exactamente a função custo marginal (CM. 7. Seja w = 5y 4 3y + 1 onde y = 7 x 3. Calcule dw/dx utilizando a regra da cadeia. Por definição w(x = w(y(x e portanto dw/dx = dw(y(x/dx, logo aplicando a regra da cadeia: dw(y(x dx = dw dy dy dx = (20y3 3( 3x 2 = (20(7 x 3 3 3( 3x 2 = 3x 2 (20(7 x 3 3 3, onde utilizámos o facto de dw/dy = 20y 3 3, dy/dx = 3x 2 e no fim subtituimos y pelo seu valor como função de x. 8. Dada f(x, y = x + y x 2 + y 2, calcule f x, f y e o gradiente de f. Por definição para calcularmos a derivada parcial de f em ordem a x consideramos as outras variáveis fixas, neste caso y, e derivamos em ordem a x, ou seja: f x = f x = ( x + y = (x2 + y 2 (x + y2x = x2 2xy + y 2, x x 2 + y 2 (x 2 + y 2 2 (x 2 + y 2 2 e análogamente para a derivada parcial de f em ordem a y: consideramos a variável x fixa e derivamos em ordem a y: f y = f y = ( x + y = (x2 + y 2 (x + y2y = x2 2xy y 2. y x 2 + y 2 (x 2 + y 2 2 (x 2 + y 2 2 O gradiente de f é um vector, e denota-se habitualmente por grad f ou f, tendo-se ( x 2 2xy + y 2 grad f(x, y = f(x, y = (f x (x, y, f y (x, y =, x2 2xy y 2 (x 2 + y 2 2 (x 2 + y 2 2 ou ainda grad f(x, y = f(x, y = 1 (x 2 + y 2 2 ( x 2 2xy + y 2, x 2 2xy y 2. 9 Dada a função Q = 100 2P + 0, 02Y, onde Q é a procura, P é o preço e Y é a renda, e dados P = 20 e Y = 5000, calcule: a. A elasticidade-preço da procura. b. A elasticidade-renda da procura. -4-
a. A elasticidade-preço da procura é obtida através de ε p = Q ( P P Q = 2 e substituindo pelos valores de P e Y tem-se ( 20 ε p = 2 100 2(20 + 0, 02(5000 P 100 2P + 0, 02Y b. A elasticidade-renda da procura é obtida através de η = Q ( Y = 0, 02 Y Q, = 2 20 160 = 1 4 Y 100 2P + 0, 02Y, = 0, 25. e substituindo pelos valores de P e Y tem-se ( 5000 η = 0, 02 100 2(20 + 0, 02(5000 = 0, 02 5000 160 = 1, 25 4 = 0, 625. 10 Calcule a diferencial total da função z = x2 x + y 2. A diferencial total de uma função de 2 variáveis é dz = z z dx + dy, e portanto como x y z x = x(x + 2y2 e (x + y 2 2 z y = 2x2 y (x + y 2 2 temos dz = x(x + 2y2 (x + y 2 2 dx + 2x2 y (x + y 2 2 dy. 11 Calcule a derivada total dz/dt para z = y 4 2xy + x 2, onde x = t + 2 e y = 4t. A derivada total é obtida à custa das derivadas parciais de z em relação a x, y e a t, e das derivada de x e de y (em relação a t, tendo-se neste caso dz dt = z dx x dt + z dy y dt = ( 2y + 2x(1 + (4y3 2x(4 = 2(8y 3 y 3x, e portanto substituindo x e y pelos seus valores como função de t, obtem-se dz dt = 2(8y3 y 3x = 2(8(64t 3 7t 6 = 2(512t 3 7t 6. -5-
Ponto que não pertence ao domínio x 0 Ponto em que os limites laterais não são iguais x 0 Ponto em que os limites laterais coincidem, mas são diferentes do valor da função x 0 Figura 2: Três exemplos de uma função y = f(x descontínua num ponto x = x 0. -6-