UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul EE - Escola de Engenharia DEMEC - Departamento de Engenharia Mecânica e Superfícies de Resposta (Design of Experiments DOE Response Surfaces - RS) (ENG0304-Análise de Sistemas Mecânicos) Prof. Herbert Martins Gomes Objetivos: Como modelar um fenômeno físico o qual não é completamente entendido ou explicado em termos de equações? Uma Solução: Avaliar o comportamento do fenômeno físico através da experimentação com as variáveis que intervêm no fenômeno (sensibilidade). Observação: Não éa intenção criar modelos que respondam fielmente a todos possíveis comportamentos do fenômeno físico, mas sim às principais características de comportamento do fenômeno.
Entradas Controladas Fatores (k) X X X 3... X k Entradas não controladas (discretas) Máquina com defeito Fenômeno Temperatura Operadores diferentes Umidade Entradas não controladas (contínuas)... Y Y Y 3 Y r Saídas Respostas (r) 3 Passos a serem seguidos: Planejar o experimento para se ter informações suficientes (em termos dos objetivos da pesquisa) com o menor número possível de ensaios. Analisar os dados de forma compatível com o projeto experimental realizado reconhecer, estabelecer e delimitar claramente o problema; identificar os possíveis fatores que podem afetar o problema em estudo; 4
verificar quais fatores que poderão ser mantidos fixos e, portanto, não terão os seus efeitos avaliados no estudo experimental; identificar o intervalo de variação (e os níveis) dos fatores que entrarão no estudo; escolher a resposta adequada, ou seja, a variável Y que mede adequadamente o resultado (a qualidade, o desempenho, etc.) do processo. y i = f i ( x, x, x 3,..., x k ) Modelo empírico 5 Exemplo: Deseja-se avaliar a influência que diâmetros de pneus, tipos de combustíveis e ajustes de suspensão têm na autonomia de determinado veículo. Fatores: A Diâmetro dos pneus B Tipo de Combustível C Ajuste da Suspensão Variável de resposta: autonomia do veículo Fator Níveis dos Fatores Inferior Intermediário Superior A 30 cm 35cm 40cm B % etanol % etanol 5% etanol C,0 cm,0 cm 4,0 cm 6 3
-Chama-se tratamento a uma dada combinação de níveis dos fatores (neste caso, 3 3 =7) -Chama-se replicação ao número de amostras que se tem de determinado tratamento -O projeto de experimentos preocupa-se em gerar formas de otimizar os experimentos de forma a minimizar seu número de avaliações mantendo ou melhorando a incerteza na determinação dos parâmetros estmados e identificando a causa de variabilidade entre diferentes medições (se inerente às grandezas ou se à amostragem) 7 Análise de Variância (ANOVA) Para fator Exemplo:O que afeta a resistência à tração de metais? Fatores: tratamento térmico, composição química, temperatura, etc. Pode-se investigar apenas o efeito de um fator com diversos níveis. Por exemplo, a composição química com percentual de carbono (5%, 0%, 5%, 30%) com cinco replicações para cada nível. Variável de interesse: resistência à tração 8 4
Observações Percentual j= j= j=3 j=4 j=5 Soma Média i= 5 7 7 5 9 T = 49 y = 9,8 i= 0 7 8 8 T = 77 y = 5,4 i=3 5 4 8 8 9 9 T 3 = 88 y 3 = 7,6 i=4 30 9 5 9 3 T 4 = 08 y 4 =,6 Total T= 3 y = 6, O número de tratamentos ou níveis (já que temos apenas um fator) é k=4 O número de observações por tratamento (iguais para cada tratamento) é n i =5 O número total de observações é N=4x5=0 9 O resíduo da observação com respeito à média total é igual à soma dos resíduos da observação com respeito à média de cada nível e o resíduo da média do nível com respeito à média total y y = ( y y ) + ( y y) ij ij i i 6, = (,6) + (,6 6,) Elevando ao quadrado ambos os lados e somando, chega-se a: ( yij y) = ( yij yi) + nj( yi y) ij ij j SQT=SQD+SQE 0 5
Testam-se as seguintes hipóteses: -H0: Os tratamentos não afetam a variável de interesse -H: Os tratamentos de alguma forma afetam a variável de interesse (É necessário investigar de que forma!) Fonte de Soma dos Graus de Média F calculado Variabilidade Quadrados liberdade Entre os SQE k- MQG=SQG/(k-) F calculado =MQG/MQR tratamentos Dentro dos SQD N-k MQR=SQD/( N-k) tratamentos Total SQT N- SQT = y ij ij SQR= y ( T ) j N T j ij ij j n j j j ( T j ) Tj j SQD = n N j 6
Resumo tabela ANOVA para fator Fonte de Soma dos Graus de Média F calculado Variabilidade Quadrados liberdade Entre os 8,4 3,333 5,0945 tratamentos Dentro dos 363,4 6 8,05 Fcrit (0,05;3;6) = tratamentos Total 49,8 9 3,4 3 \ 3 4 5 6 7 8 9 0 6.448 99.500 5.707 4.583 30.6 33.986 36.768 38.88 40.543 4.88 8.53 9.000 9.64 9.47 9.96 9.330 9.353 9.37 9.385 9.396 3 0.8 9.55 9.77 9.7 9.03 8.94 8.887 8.845 8.8 8.786 4 7.709 6.944 6.59 6.388 6.56 6.63 6.094 6.04 5.999 5.964 5 6.608 5.786 5.409 5.9 5.050 4.950 4.876 4.88 4.77 4.735 6 5.987 5.43 4.757 4.534 4.387 4.84 4.07 4.47 4.099 4.060 7 5.59 4.737 4.347 4.0 3.97 3.866 3.787 3.76 3.677 3.637 8 5.38 4.459 4.066 3.838 3.687 3.58 3.500 3.438 3.388 3.347 9 5.7 4.56 3.863 3.633 3.48 3.374 3.93 3.30 3.79 3.37 0 4.965 4.03 3.708 3.478 3.36 3.7 3.35 3.07 3.00.978 4.844 3.98 3.587 3.357 3.04 3.095 3.0.948.896.854 4.747 3.885 3.490 3.59 3.06.996.93.849.796.753 3 4.667 3.806 3.4 3.79 3.05.95.83.767.74.67 4 4.600 3.739 3.344 3..958.848.764.699.646.60 5 4.543 3.68 3.87 3.056.90.790.707.64.588.544 6 4.494 3.634 3.39 3.007.85.74.657.59.538.494 7 4.45 3.59 3.97.965.80.699.64.548.494.450 8 4.44 3.555 3.60.98.773.66.577.50.456.4 9 4.38 3.5 3.7.895.740.68.544.477.43.378 0 4.35 3.493 3.098.866.7.599.54.447.393.348 4.35 3.467 3.07.840.685.573.488.40.366.3 4.30 3.443 3.049.87.66.549.464.397.34.97 3 4.79 3.4 3.08.796.640.58.44.375.30.75 4 4.60 3.403 3.009.776.6.508.43.355.300.55 5 4.4 3.385.99.759.603.490.405.337.8.36 4 7
Como F calculado >F crítico => a Hipótese H0 é rejeitada, ou seja pode-se afirmar que há uma relação entre a resistência do metal com o percentual de carbono com um nível de confiança de 95%. Como então montar um modelo que permita avaliar a influência das variáveis na variável de interesse, inclusive para mais de um fator? 5 Superfícies de Resposta x i (i=,...,n) Variáveis independentes y= f (x, x,..., x n ) + ε Variável dependente y = Modelo de regressão linear (polinomial) β + 0 k i= β x i i + k i= β x ii i + k k i= j> i β x ij i x j + ε Efeito linear Efeito quadrático Efeito da interação 6 8
Para o caso de duas variáveis y = β + β x + β x + β x + β x + β xx E substituindo 0 3 4 5 x = x x = x xx = x 3 4 5 Modelo Linear para cinco variáveis y = β + β x + β x + β x + β x + β x 0 3 3 4 4 5 5 Em forma matricial onde Y = Xβ + ε 7 Y y y M y = n β β0 β M β n = ε ε ε M ε n = X x x L L x x M M O M xn K x n n = nn A idéia é a de minimizar n S = [ y f( x, x,...)] r i= i 8 9
=( T ) T β XX XY A matriz de covariança de β é dada por: C ij T T T YY βxy T = ( XX) N K Para avaliar a qualidade do ajuste, pode-se avaliar o coeficiente de determinação múltipla ajustado T T T YY β XY ( N K ) R ajustado = T YY y N N i 9 Para se avaliar a importância de um determinado coeficiente da regressão feita, usa-se o teste estatístico t-student para um nível de significância pré-estabelecido. t j σ = Com: β j σ C T T T YY β XY = N K jj t = t α tabelado /, N K Se o valor de t calculado for maior que o t tabelado, rejeita-se a hipótese H0 que seria a de que o respectivo coeficiente seja praticamente zero (ou insignificante para o ajuste feito, ou seja, pode-se retirá-lo da regressão sem afetar a qualidade do ajuste!) 0 0
Upper critical values of Student's t distribution with freedom degrees of Probability of exceeding the critical value 0.0 0.05 0.05 0.0 0.005 0.00. 3.078 6.34.706 3.8 63.657 38.33..886.90 4.303 6.965 9.95.37 3..638.353 3.8 4.54 5.84 0.5 4..533.3.776 3.747 4.604 7.73 5..476.05.57 3.365 4.03 5.893 6..440.943.447 3.43 3.707 5.08 7..45.895.365.998 3.499 4.78 8..397.860.306.896 3.355 4.499 9..383.833.6.8 3.50 4.96 0..37.8.8.764 3.69 4.43..363.796.0.78 3.06 4.04..356.78.79.68 3.055 3.99 3..350.77.60.650 3.0 3.85 4..345.76.45.64.977 3.787 5..34.753.3.60.947 3.733 6..337.746.0.583.9 3.686 7..333.740.0.567.898 3.646 8..330.734.0.55.878 3.60 9..38.79.093.539.86 3.579 0..35.75.086.58.845 3.55..33.7.080.58.83 3.57..3.77.074.508.89 3.505 3..39.74.069.500.807 3.485 4..38.7.064.49.797 3.467 5..36.708.060.485.787 3.450 Do mesmo modo que podemos fazer uma Análise de Variância para um fator, também podemos fazer uma Análise de Variância para a Regressão Linear a fim de verificar as hipótese de que: -H0: os coeficientes β da regressão são todos nulos (não significativos para a regressão) -H: todos os coeficientes β da regressão são todos não-nulos (ou seja significativos para a regressão) Caso a Hipótese H0 seja rejeitada, isto confirma a hipótese H, ou seja, a nossa aceitação da superfície de resposta aproximada pela regressão com nível de significância especificado.
Da mesma forma que feito para ANOVA fator, temos: SQT=SQD+SQE SQT=SQres+SQreg onde: SQres residual SQreg -regressão ANOVA fator ANOVA regressão y- predição da RS Y -valores experimentais Graus de Liberdade: N- = (N-K-) N-número de amostras K-número de parâmetros da regressão + (K) 3 Fórmulas para Soma dos Quadrados SQreg = n SQT = ( Y Y) i= n i= ( Yij Y) yij y [ ( )] n i= [( y y)] SQres = SQT SQreg i i ij 4
Resumo tabela ANOVA para regressão Fonte de Soma dos Graus de Média F calculado Variabilidade Quadrados liberdade Da regressão SQreg K MQreg=SQreg/k F calculado=mqreg/m Qres Residual SQres N-k- MQres=SQres/ (N-k-) Total SQT N- 5 O A forma mais simples é fazer variar cada variável uma por vez enquanto mantém-se as outras inalteradas -ineficiente quando existe iteração entre variáveis -custo elevado para diversas variáveis de Taguchi -uma forma de fazer variar mais de um nível em cada fator de uma só vez, diminuindo o número de amostras. Escolha criteriosa dos pontos para minimizar a variância dos resultados e melhorar a qualidade dos ajustes sendo mais insensível a ruídos (incertezas de medições) -fatorial completo p variáveis a L níveis N=L P -fatorial fracional N=L p / -fatorial imcompleto -Box Behken, etc 6 3
fatorial completo (3 variáveis a níveis) 7 fatorial fracional (3 variáveis a níveis) 8 4
Exemplo: Pretende-se avaliar a melhor combinação de a)pneus, b)regulagem da suspensão e c)percentual de metanol a mais ou a menos de um valor médio, de um veículo para maximizar sua autonomia. Atualmente o carro encontra-se operando com a combinação (0,6,-%) e tem uma autonomia de 60,37 min. Começa-se por optar pelo projeto de experimentos tipo Taguchi de três parâmetros a três níveis (Box-Behnken). Serão experimentos + (condição de operação atual) 9 Parâmetros Originais com unautonomia variáveis codificadas adimensionai a b c y x x x3 ponto de operação 0 6-60.40807 0 0 0 8 5.5-7.8333 - - 0 5.5-36.503357-0 8 6.5-77.467969-0 6.5-43.3964 0 8 6-3 78.006667-0 - 6-3 44.4084 0-8 6-69.5837896-0 6-34.46565 0 0 5.5-3 6.9575 0 - - 0 6.5-3 67.654093 0-0 5.5-5.703598 0-0 6.5-58.35503 0 mimimo 8 5.5-3 - - - maximo 6.5 - amplitude 4 valor médio 0 6-0 0 0 Vamos interpolar uma função polinomial (Superfície de Resposta) do tipo quadrática (sem termos cruzados): y = β + β x + β x + β x + β x + β x + β x 0 3 3 4 5 6 3 30 5
A matriz X ficará: X= O vetor Y ficará: Y= 0 6-400 36 4 8 5.5-34 30.5 4 5.5-484 30.5 4 8 6.5-34 4.5 4 6.5-484 4.5 4 8 6-3 34 36 9 6-3 484 36 9 8 6-34 36 6-484 36 0 5.5-3 400 30.5 9 0 6.5-3 400 4.5 9 0 5.5-400 30.5 0 6.5-400 4.5 60.3789676 7.86555 36.486379 77.63387 43.7783 77.97644 44.485639 69.6867 34.48456 6.80796 67.677 5.7436373 58.3836 O vetor β ficará: β= 5.756 3.464 5.44 6.968 0.80 0.734 0.59 3 σ = 0.6 R = C ij = t j =.045 0 3 3.853 63.087 30.6.844 5.55 7.53.69.33.976 6.94 30.57.73 5.589 3.853 63.087 30.6 7.04 4.49.0 0.75.0 0.3 4.49 6.577 5.768 0.36 3.458.44.0 5.768.4 0.03 0.48 0.8.844 0.75 0.36 0.03 4.38 0 3 0.03 7.5 0 3 5.55.0 3.458 0.48 0.03. 0. 7.53 0.3.44 0.8 7.5 0 3 0. 0.07 Podem ser retirados com confiança de 95% de que não afetarão a qualidade da regressão t t 0.05;5 0.0;5 =.05 =.476 adotado Devem ser mantidos com confiança de 90% de que são necessários para a regressão 3 6
Resumo ANOVA p/ validade da regressão H0-todos coeficientes são não significativos H- todos os coeficientes são significativos Fonte de Soma dos Graus de Média F calculado Variabilidade Quadrados liberdade Da regressão 7058 K(7) MQreg=008 F calculado=693 Residual 0.80 N-k-(5) Mqres=0.6 Total 7059 F 0.05; 7 ; 5 =4.876 F calculado >F tabelado Hipótese H rejeitada. A regressão é válida Utilizando programação quadrática para a maximização daquele polinômio ajustado, encontra-se o valor máximo de autonomia de 85.5min para a configuração de (4.6; 0.3; -5.88) 33 A equação real que gerou os dados da tabela de experimentos para a autonomia do carro foi seguinte: 300 0.8 ( u0 5) 0.7 ( u 0) 0.6 ( u + 5) + 0.05 ( u0 5) ( u 0) ( u + 5) A qual possui máximo de 84.8 no ponto ótimo de (5;0;-5) Que é bastante próximo do encontrado pela superfície de resposta. 34 7
Exemplos de Uso da Superfície de Resposta e Projeto de Experimentos Viga de Torção de Um eixo de Suspensão (Laboratórios da Toyota) Variáveis Espessura t Raio r Chanfro - L Funções Objetivo Volume V Rigidez torsional G T Rigidez à flexão - G F 35 Amostras Análise pelo MEF 36 8
37 38 9
Otimização de forma e massa de asas de aviões Variáveis 70 Função objetivo Massa Forma 39 40 0
Programa RADIOSS da FORD e da NASA para Crash Test 4 4