Funções de Uma Variável 3 o quadrimestre - 00 a Lista de Eercícios - Derivadas : Técnicas de Derivação, Taas Relacionadas e Aplicações à Geometria Analítica. Determine o valor de a para que as funções abaio sejam deriváveis em 0. {, se < 0 (a) f() = R. a = a, se 0 { e (b) f() =, se < 0 R. a = + a, se 0 { sin, se < 0 (c) f() = a( ) R. a = a, se 0 Sugestão: Estude os limites laterais lim f() f(0) 0 +, lim f() f(0) 0 0 0 observe que f () def f() f(0) = lim 0. 0. Classifique as funções abaio quanto à continuidade e derivabilidade. Em caso negativo, determine o(s) ponto(s) de não-continuidade e/ou não derivabilidade. { +, se < (a) f() =, se R. f é não-contínua e não derivável em. {, se < 0 (b) f() =, se 0 R. f é contínua e derivável em R. { + 3, se < 3 (c) f() = 3, se 3 R. f é não-derivável em 3. 3. Calcule f () onde f() é dada por (a) log π R. f () = 0 (b) arctan e R. f () = 0 (c) 7 R. f () = 7 6 (d) 0 R. f () = 0 (e) 9 R. f () = 9 9 8 Lista Elaborada pelo Prof. Thomas Ritchie CMCC/UFABC e
(f) log a, onde a > 0 e a. R. f () = log a Sugestão: log a = log log a (g) 3 3 + 5 + 4 R. f () = 9 4 + 5 (h) 4 + 5 R. f () = 4 0 3 (i) 3 + R. f () = 3 3 + (j) 3 +3 5 3 3 + (k) R. f () = 5 8 5 (5 3) R. f () = 3 3 6 (l) sec 3+ R. f sec [3 tan + tan 3] () = (3+) (m) cos + ( + ) sin R. f () = sin [ ] + cos [ + ] (n) cot (o) csc R. f () = cot csc R. f () = (p) e cos + log +e (q) log + cot csc R. f () = log 4. As funções hiperbólicas são definidas por seno hiperbólico: sinh = e e co-seno hiperbólico: cosh = e +e R. f () = e [cos sin ]+ log ++e tangente hiperbólica: tanh = sinh cosh = e e e +e co-tangente hiperbólica: coth = cosh sinh = e +e e e secante hiperbólica: sech = cosh = e +e co-secante hiperbólica: cosech = sinh = e e (a) Demonstre as identidades: i. cosh sinh = ii. tanh = sech iii. coth = cosech (b) Demonstre as regras de derivação: i. [sinh ] = cosh ii. [cosh ] = sinh iii. [tanh ] = sech iv. [coth ] = cosech v. [sech ] = sech tanh vi. [cosech ] = cosech coth Atenção: verifique as semelhanças e diferenças das fórmulas em 4a e 4b com as fórmulas correspondentes para as funções trigonométricas!
5. Calcule f () onde f() é dada por (a) e sin cos R. f () = e [ sin cos + cos sin ] (b) e tan (+ [ ) R. f () = e tan + ( + ] )(tan + sec ) 6. Suponha g derivável e n Z. Verifique as identidades abaio: (a) [ e g()] = e g() g () (b) [log g()] = g () g() (c) [cos g()] = sin g() g () (d) [cosh g()] = sinh g() g () (e) [sin g()] = cos g() g () (f) [sinh g()] = cosh g() g () (g) [tan g()] = sec g() g () (h) [tanh g()] = sech g() g () (i) [(g()) n ] = n (g()) n g () [ ] (j) (g()) n = n (g()) n g () 7. Calcule f () onde f() é dada por (a) e 3 (b) sin 7 (c) sec 5 R. f () = 3e 3 R. f () = 7 cos 7 R. f () = 5 sec 5 tan 5 (d) sin 3 R. f () = 3 cos 3 (e) e sin R. f () = e sin cos ( (f) 3 + R. f 3 + () = 3(+) (g) log( + 3 + 9) R. f () = +3 +3+9 (h) sin cos R. f () = cos cos sin (i) m n, onde m Z e n N. Sugestão: escreva m n (j) α, onde α R ) R. f () = m n m n como n m e aplique a regra da cadeia. R. f () = α α Sugestão: escreva α como e α log e aplique a regra da cadeia. (k) log(sec + tan ) (l) [ log( + ) ] 3 R. f () = sec R. f () = 6[log( +)] + (m) cos 3 3 R. f () = 9 cos 3 sin 3 (n) log log log R. f () = log log log 3
(o) 3 (3 ) (p) e R. f () = (log 3) 3 (3) 3 log(3+) R. f () = e ) (q) tanh ( 4+ 5 (r) cosh 3 R.f () = 3 sinh 3 3 (+) log(3+) 3+ [log(3+)] R.f () = 4 5 sech ( 4+ 5 (s) sinh e R.f () = cosh e e (t) log(tanh ) R.f () = sech cosech 8. Seja f : R R derivável e seja g(t) = f(t + ). Supondo f () = 5, calcule g () R. 0 9. Seja f : R R derivável e seja g() = f(e ). Supondo f () =, calcule g (0) R. 4 0. Seja g : R R derivável e seja f() = g( ). Supondo g() = 4 e g () =, calcule f () R. 8. Seja g : R R derivável e seja f() = e g(3 + ). Supondo g() = e g () = 3, calcule f (0) R.. Sejam f e g deriváveis em I, com f() > 0 para todo I. Mostre que valem as regras de derivação (a) [ f() g()] = f() g() [g() log f()] (b) [ f() g()] = f() g() g () log f() + f() g() g() f () Sugestão: escreva f() g() como e g() log f() e aplique a regra da cadeia. 3. Seja f() = + 3 e seja g = f a função inversa de f. (a) Epresse g () em função de g(). R. g () = +3[g()] (b) Calcule g (0). R. g (0) = 4. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. ) (a) f() = 3, no ponto de abscissa 0. (b) f() = 3, no ponto de abscissa 8. R. y = 3 e y = 3 R. y = + 4 3 e +98 (c) f() =, no ponto de abscissa. R. y = +3 e y = + (d) g() = +, no ponto de abscissa. R. y = e = 5. Seja f() =. Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f e paralela à reta y = + 3. R. y = 6 6. Determine a equação da reta que é perpendicular à reta y + = 3 e tangente ao gráfico de f() = 3. R. y = 5 4 4
7. A reta s passa pelo ponto (3, 0) e é normal ao gráfico de f() = no ponto (a, b). (a) Determine (a, b). R. (, ) (b) Determine a equação de s. R. y = + 3 8. Determine todos os pontos (a, b) sobre a curva y = 4 + 3 +8+ tais que a reta tangente em (a, b) seja paralela à reta 8 y + π = 0. R. (0, ), (, ) e (, ) 53 6 9. Determine a equação de uma reta, não vertical, que passa pelo ponto ( 0, 4 3) e que seja normal ao gráfico de y = 3. R. y = 3 + 4 3 0. determine todos os pontos (a, b) de R tais que por (a, b) passem duas retas tangentes ao gráfico de f() =. R. { (a, b) R b < a }. Sejam A e B os pontos em que o gráfico de f() = α inteercepta o eio. Determine α para que as retas tangentes ao gráfico de f em A e B sejam perpendiculares. R. α = ±. Determine β para que a reta y = β seja tangente ao gráfico de f() = 3 4. R. β = 3. Sabe-se que r é uma reta tangente aos gráficos de f() = e de g() = +. Determine r. R. y = + 4 ou y = + 4 4. Considerando y como a variável independente, calcule d dy. (a) 4 + y 4 = y R. 3 y 3 3 6y (b) 3 y + y 4 4 = 0 R. 3 +8y 3 4 3 3 y 5. Ache a equação da reta tangente à curva 6 4 + y 4 = 3 no ponto (, ). R. + y = 4 6. Ache a equação da reta normal à curva + y + y 3y = 0 no ponto (, 3). R. 5 7y + = 0 7. Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taa de 5 m 3 /min. Qual a taa de crescimento do diâmetro, quando ele medir m? R. 0, 005 m/min 8. Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taa de 8 cm 3 /min. Determine a taa segundo a qual o raio está crescendo, quando a bola de neve tiver 4 cm de diâmetro. R. π cm/min 9. Suponha que, quando o diâmetro da bola de neve do eercício 8 for 6 cm, ela pare de crescer e comece a derreter a uma taa de 4 cm3 /min. Determine a taa segundo a qual o raio estará variando, quando o raio for de cm. R. 64π cm/min 5
30. Uma lâmpada está pendurada a 4, 5 m de um piso horizontal. Se um homen com, 80 m de altura caminhar afastando-se da luz com uma velocidade de, 5 m/s, qual será a velocidade de crescimento da sua sombra? R., 0 m/s e com que velocidade a ponta da sombra do homem se moverá? R., 5 m/s 3. Um tanque com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado a uma taa de 6 m 3 /min. A altura do cone é de 4 m e o raio da base é de m. Ache a velocidade com que o nível da água estará abaiando, quando a água tiver uma profundidade de 0 m. R. 6 5π m/min 3. Um automóvel aproima-se de um cruzamento a uma velocidade de 30 m/s. Quando o automóvel se encontra a 0 m do cruzamento, um caminhão atravessa o cruzamento a uma velocidade de 40 m/s. O automóvel e o caminhão estão em ruas que se cruzam em ângulo reto. Com que velocidade o automóvel e o caminhão estarão se afastando um do outro, s após o caminhão ter passado pelo cruzamento? R. 4 m/s 33. Um avião está voando com velocidade constante a uma altitude de 3 km numa trajetória retilínea que passa eatamente acima de um observador no chão. Num dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de 60 e está aumentando a uma taa de 60 rad/s. Determine a velocidade do avião. R. 00 3 m/s 34. Uma antena de radar está localizada num navio a 6 km de uma praia reta e está girando com 3 rpm. Com que velocidade o feie do radar estará percorrendo a praia, quando o feie formar um ângulo de 45 com a praia? R. 07, 33 km/s 6