MAT0143 - Cálculo para Ciências Biológicas - Farmácia - 2006 Prof. Gláucio Terra 4 a Lista de Exercícios: Integrais, Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias Parte I - Integrais 1-) Calcule as seguintes primitivas (considere cada uma das funções definida num intervalo): (1) (x 2 1) 2 x 3 (2) x 2 3 x (3) (2 x+1) 2 x 2 (4) a x (5) sin x (6) cos x (7) tan x (8) sec x (9) 1 sin 3 x sin 2 x (10) tan 2 x (11) cos 3x (12) sin x 2 (13) cos 2 5x (14) sinh x (15) cosh x (16) 4x 1 (17) 3 5x 6 (18) x x 2 +1 (19) 1 10x (20) x(1+ln x) (21) sin x cos 3 x (22) sin x cos x (23) e x3 x 2 (24) 1 + sin x cos x (25) a 2 +x 2 (26) x 2 a 2 (27) x 2 +a2 (28) a 2 x2 (29) x 2 +4x+5 (30) 4x 5 x 2 +5 (31) ln x (32) arctan x (33) arcsin x (34) x arctan x (35) e x sin x (36) x 2 + 1 (37) sin 5x cos 7x (38) sin 2 3x (39) cos 4 x (40) 4x (1+x)(1+x 2 ) (41) 2x 1 (x 1)(x 2) (42) e 2x 2e x e 2x +1 (43) tan 4 x (44) 5+3 cos x (45) 1 cos x+sin x (46) x arctan 2 x (47) arctan x (48) arctan e x e x 1
2-) Exercícios dos capítulos 10 ( O Cálculo Integral ) e 11 ( Métodos de Integração fazer 11.1 a 11.6) do livro-texto (Ávila, Geraldo, Cálculo das Funções de Uma Variável, Vol. 1, 7a. edição, LTC, 2003). Parte II - Aplicações da Integral Definida 3-) Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f(x) = x 3 2x + 1 e g(x) = x + 1, com 1 x 1. (Resp.: 1 2 ) 4-) Desenhe a região A = B C D e calcule a área de A, onde B = {(x, y) R 2 : y x 2 4}, C = {(x, y) R 2 : y 12 3x 2 } e D = {(x, y) R 2 : y 3x 2 + 12x + 12} (Resp.: 104 3 ) 5-) Desenhe a região A = {(x, y) R 2 : y x 2 1, y x + 1 e y x 2 3x 2} e calcule a sua área. (Resp.: 107 24 ) 6-) Desenhe a região do plano delimitada pela curva y = x 3 x e por sua reta tangente no ponto de abscissa x = 1. Calcule a área desta região. (Resp.: 27 4 ) 7-) Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h. 8-) Calcule o comprimento do gráfico de f(x) = ln(cos x), para 0 x π 4. (Resp.: ln((1 + 2)) 9-) Dados a, b > 0, calcule a área da região do plano cartesiano limitada pela elipse x2 a 2 + y2 b 2 = 1. (Resp.: πab) 10-) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = 3, da região delimitada pelas parábolas y = x e y = 2 x 2. (Resp.: 32 3 π) 11-) O disco x 2 + y 2 a 2 é girado em torno da reta x = b (b > a) para gerar um sólido, com a forma de um pneu. Esse sólido é chamado toro. Calcule seu volume. 12-) Calcule o volume de uma calota esférica de altura h, (h a) de uma esfera de raio a. (Resp.: π (a h3 ) h2 ) 2
13-) Determine o comprimento da curva y = cosh x, 3 x 4. (Resp.: senh4 + senh3) 14-) Um anel esférico é o sólido que permanece após a perfuração de um buraco através do centro de uma esfera sólida. Se a esfera tem raio R e o anel esférico tem altura h, prove o fato notável de que o volume do anel depende de h, mas não de R. 15-) Seja f uma função contínua em um intervalo [a, b] e sejam u(x) e v(x) funções diferenciáveis, cujos valores estão em [a, b]. Prove que: d v(x) u(x) f(t) = f(v(x)) dv f(u(x))du. A fórmula acima é conhecida como Regra de Leibniz. 16-) Calcule g (x) onde (a) g(x) = (b) g(x) = senx cosx 2 x x e t2 sen(t 2 ) 17-) Trabalho. Quando uma força constante de intensidade F é aplicada na direção do movimento de um objeto e esse objeto é deslocado de uma distância d, definimos o trabalho W realizado pela força sobre o objeto por W = F.d, se a força age no sentido do movimento e por W = F.d, se ela age no sentido oposto. Suponha agora que um objeto está se movendo na direção positiva ao longo do eixo x, sujeito a uma força variável F (x) (obs.: se F (x) negativo, a força tem sentido contrário ao do eixo Ox). Defina o trabalho W realizado pela força sobre o objeto quando este é deslocado de x = a até x = b, e encontre uma fórmula para calculá-lo. 18-) Teorema da Energia Cinética. Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox atua uma força que varia com a posição da partícula, dada por uma função f : R R. O trabalho τ realizado pela força quando a partícula se desloca de x = x 0 até x = x 1 é definido por: τ = x1 x 0 f(x) (1) admitindo-se que f seja integrável em [x 0, x 1 ]. Suponha que f seja contínua, que a partícula tenha massa m > 0 e que o seu movimento seja uma função de classe C 2 x = x(t), t [t 0, t 1 ], governado pela lei de Newton: mx (t) = f ( x(t) ). (2) Mostre que o trabalho τ realizado pela força F atuante sobre a partícula quando a mesma se desloca de x 0 = x(t 0 ) até x 1 = x(t 1 ) é igual à variação de energia cinética 1 2 m x (t 1 ) 2 1 2 m x (t 0 ) 2. 3
19-) Velocidade de Escape. De acordo com a lei da gravitação de Newton, a força com que a Terra atrai uma partícula de massa m > 0 é dada por f : [R, ) R (aqui, tomamos o eixo Ox como sendo a vertical que passa pela partícula, com origem no centro da Terra e sentido positivo ascendente), onde: f(x) = G M m x 2, sendo G > 0 a constante gravitacional universal, M > 0 a massa da Terra, R > 0 o raio da Terra e x [R, ) a distância da partícula ao centro da Terra. Admita que a partícula seja lançada com velocidade v > 0 da superfície da Terra, e que o seu movimento x = x(t), t 0, seja governado pela segunda lei de Newton, i.e. ( t 0) mx (t) = f ( x(t) ). F O R x (a) Suponha que a partícula atinja uma altura máxima h max > R e depois retorne à Terra. Calcule h max em função de v. Sugestão: Calcule o trabalho realizado por f quando a partícula se desloca de x = R até x = h max, e aplique o teorema da energia cinética, levando em conta que para x = h max a velocidade x (t) da partícula se anula (veja as duas últimas questões). (b) Encontre o maior intervalo [0, v e [ R no qual é possível definir a função v h max (v), sendo h max como no item anterior (i.e. encontre o maior v e R para o qual faz sentido definir a função no 2 G M referido intervalo). Verifique que lim h max (v) = +. (Resp.: v e = v v e R ) Observação: v e chama-se velocidade de escape do campo gravitacional terrestre; é a menor velocidade inicial para a qual a partícula não retorna à Terra. 20-) Suponha que uma partícula se desloca ao longo do eixo 0x, segundo uma função horária x : [t 0, t 1 ] R e sob ação de uma força f(x), dada f : R R contínua. Admita que a dinâmica da partícula é governada por um modelo relativístico: sua massa m depende da sua velocidade v, segundo a função m : ( c, c) R definida por (dados c > 0 velocidade da luz e m 0 > 0 massa de repouso): m 0 m(v) = 1 ( ), v 2 c e sua função horária x satisfaz a equação diferencial: d ( m(x (t))x (t) ) = f ( x(t) ). Mostre que, se interpretarmos o trabalho x 1 x 0 f(x) realizado pela força f quando a partícula se desloca de x 0 = x(t 0 ) a x 1 = x(t 1 ) como variação de energia E, e se m = m ( x (t 1 ) ) m ( x (t 0 ) ), então: E = m c 2. 4
Sugestão: Use o teorema de mudança de variáveis na integral de Riemann e o teorema fundamental do cálculo. 21-) Sabe-se que a intensidade da força de atração entre duas partículas é dada por F = Cm 1m 2 d 2 onde C é uma constante, m 1 e m 2 são as massas das partículas e d é a distância entre elas. Uma barra linear homogênea de massa M 1 = 18kg e uma massa pontual M 2 = 2kg estão dispostas como na figura. Calcule a intensidade da força de atração entre as duas massas. (Resp.: 4 3 C) 22-) Considere a função: F (x) = x Prove que para todo a > 0 e x > 0 vale: 1 1 para todo x > 0. t (a) F (x) = 1 x (b) F (ax) = F (a) + F (x) (Observe que poderíamos ter definido a função logaritmo natural como sendo essa função F ). 23-) Seja f uma função contínua em um intervalo I contendo a origem e seja y = y(x) = Prove que y + y = f(x), y(0) = y (0) = 0. x 0 sen(x t)f(t) 24-) Uma mangueira está enchendo um tanque de gasolina que tem o formato de um cilindro deitado de diâmetro 2m e comprimento 3m. No instante em que a altura h do líquido é 0, 5m a vazão é de 0, 9m 3 /min. Dê a taxa de variação da altura do líquido nesse instante. 3 (Resp.: 10 m/min) Parte III - Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias 25-) Determine o tempo necessário para se esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2 m e altura 4 m, cheio d água, admitindo que a água se escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio 0.1 m, com uma velocidade v = 2gh, sendo h a altura da água no tanque e g = 10m/s 2 a aceleração da gravidade. Observação. A hipótese sobre a velocidade decorre da equação de Bernoulli (i.e. conservação de energia), admitindo que o fluido seja incompressível e o escoamento quasi-estacionário. Se assumirmos perda de energia por atrito, um possível modelo seria admitir v = c 0 2gh, para uma constante c0 > 0 chamada constante de descarga. 5
26-) Um objeto aquecido a 100 o C é colocado em um quarto a uma temperatura ambiente de 20 o C; um minuto após, a temperatura do objeto passa a 90 o C. Admitindo (lei do resfriamento de Newton) que a temperatura T = T (t) do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do quarto, ou seja: dt = α(t 20), α R constante, determine a temperatura do objeto no instante t (suponha t em minutos). 27-) Em uma reação química elementar, moléculas únicas de dois reagentes A e B formam a molécula do produto C (A + B C). A lei de ação das massas estabelece que a taxa de reação é proporcional d[c] ao produto das concentrações de A e B: = k[a][b]. Então, se as concentrações iniciais forem [A] = a mols/l e [B] = b mols/l, escrevendo x = [C], obtém-se a seguinte equação diferencial: = k(a x)(b x). (a) Encontre x = x(t) assumindo a b e x(0) = 0; (b) Encontre x = x(t) assumindo a = b e x(0) = 0. 28-) Um objeto de massa m está se movendo horizontalmente através de um meio que resiste ao movimento com uma força que é uma função da velocidade; ou seja: m d2 s 2 = mdv = f(v), onde v = v(t) e s = s(t) representam a velocidade e a posição do objeto no tempo t, respectivamente. Por exemplo, pense em um barco se movendo através da água. (a) Suponha que a força de resistência seja proporcional à velocidade, i.e. f(v) = kv, k > 0. Sejam v(0) = v 0 e s(0) = s 0 a velocidade e posição iniciais do objeto, respectivamente. Determine v(t) e s(t). Qual é a distância total que o objeto percorre a partir do tempo t = 0? (b) Suponha que a força de resistência seja proporcional ao quadrado da velocidade, i.e. f(v) = kv 2, k > 0. Sejam v(0) = v 0 e s(0) = s 0. Determine v(t) e s(t). Qual é a distância total que o objeto percorre a partir do tempo t = 0? 29-) Quando uma gota de chuva cai, ela aumenta de tamanho; assim, sua massa em um tempo t é uma função m(t). A taxa do aumento de massa é km(t), para alguma constante positiva k. Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento da gota, obtém-se (mv) = mg, onde v é a velocidade da gota de chuva (dirigida para baixo) e g é a aceleração da gravidade. A velocidade terminal da gota de chuva é lim t v(t). Determine a velocidade terminal em função de g e k. 30-) A idade de um objeto antigo pode ser determinada por um método chamado de datação de carbono- 14. O bombardeamento da atmosfera superior por raios cósmicos converte o nitrogênio em um isótopo radioativo de carbono, 14 C, com uma meia-vida de cerca de 5730 anos. A vegetação absorve o dióxido de carbono através da atmosfera, e os animais assimilam o 14 C através das cadeias alimentares. Quando uma planta ou animal morre, ele para de repor seu carbono, e a quantidade de 14 C diminui através do decaimento radioativo. Um pedaço de tecido foi descoberto tendo cerca de 74% de 14 C em relação às plantas terrestres nos dias de hoje. Estime a idade do pedaço de tecido. 6
31-) Em um hospital veterinário, 8 unidades de sulfato são injetadas em um cão. Depois de 50 minutos, apenas 4 unidades permanecem nesse animal. Seja f(t) a quantidade de sulfato presente após t minutos na corrente sangüínea do cão enfermo. Assuma que, para todo instante t, a taxa de variação de f(t) é proporcional ao valor de f(t). Encontre uma fórmula para f(t). 32-) A população de cardume de atum do Pacífico foi modelado pela equação diferencial: dy = ky( 1 y ), K onde y(t) é a biomassa (massa total dos membros da população) em quilogramas no tempo t (medido em anos), K = 8 10 7 kg é a capacidade de suporte da população, e k = 0, 71 ano 1 é uma constante de proporcionalidade. (a) Se y(0) = 2 10 7 kg, calcule a biomassa um ano depois. (b) Quanto tempo levará para a biomassa alcançar 4 10 7 kg? 33-) A disseminação de uma epidemia de gripe é modelada pela equação diferencial dy = 0, 0002y(5000 y), onde y(t) denota o número de pessoas que contraíram gripe após t dias (aqui, 5000 é o número de pessoas suscetíveis a contrair gripe na população em questão). Suponha que y(0) = 100; determine y(t) e esboce o gráfico desta função. 34-) Quando uma certa substância líquida A é esquentada em um recipiente, ela se decompõe em uma substância B a uma taxa (medida em unidades de A por hora) que, em qualquer instante, é proporcional ao quadrado da quantidade da substância A que ainda não se decompôs (i.e. que ainda resta no recipiente). Seja y = y(t) a quantidade da substância A presente no tempo t (tempo medido em horas). Escreva e resolva uma equação diferencial que seja satisfeita por y(t). 7