Nome: Ao / Trma: N.º: Data: - - Não é permitido o so de corretor. Deves riscar aqilo qe pretedes qe ão seja classificado. A prova icli m formlário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do eciado da prova. CADERNO 1 (É permitido o so de calcladora gráfica.) 1. Na figra estão represetadas as 1 bolas de m bilhar, meradas de 1 a 1, dispostas em triâglo. As bolas foram distribídas ao acaso pelo triâglo. Determia a probabilidade de: 1.1. os úmeros das bolas os vértices do triâglo serem primos. Apreseta o resltado arredodado às milésimas. 1.. o prodto dos úmeros das bolas dos vértices do triâglo ser 0. Apreseta o resltado a forma de fração irredtível.. Nma caia foram colocadas bolas meradas, sedo cico com úmero ímpar e as restates com úmeros pares. O úmero de bolas com úmero ímpar é diferete do úmero de bolas com úmero par. Sabe-se qe se se retirar das bolas, ao acaso, a probabilidade de a soma dos úmeros das bolas retiradas ser ímpar é 9. Determia a probabilidade de, ao retirar três bolas ao acaso, a soma dos úmeros das bolas retiradas ser par. Apreseta o resltado a forma de fração irredtível. 1
. Nma cidade, 1% dos hotéis são de estrelas, 60% são de estrelas e os restates são de estrelas. Foram cosltados os registos dos hóspedes, em todos estes hotéis, drate o último fim de semaa, e chego-se à segite coclsão: 0% dos hóspedes dos hotéis de estrelas são acioais; % dos hóspedes dos hotéis de estrelas são estrageiros; e, os hotéis de estrelas, 70% dos hóspedes são estrageiros. Dos hotéis da cidade escolhe-se m, ao acaso, e selecioa-se, também ao acaso, m dos hóspedes desse hotel. Determia a probabilidade de cada m dos segites acotecimetos:.1. ser escolhido m hóspede estrageiro de m hotel de estrelas. Apreseta o resltado em percetagem... ser escolhido m hóspede de m hotel de estrelas, sabedo qe é acioal. Apreseta o resltado a forma de fração irredtível. FIM (Cadero 1) Cotações Total Qestões Cadero 1 1.1. 1....1... Potos 1 0 0 10 1 80
CADERNO (Não é permitido o so de calcladora.). Uma orgaização de solidariedade social orgaizo m jogo de Raspadiha para apoiar o fiaciameto de algmas iiciativas a época de Natal. Na figra está represetada ma raspadiha com três círclos para raspar. Em cada círclo há ma imagem de m cojto de 10 images diferetes, todas com igal probabilidade de ocorrer. A Raqel compro ma raspadiha. Se, após raspar os três círclos, obtiver três images igais, gaha o 1.º prémio e, se obtiver apeas das images igais, gaha o.º prémio..1. A probabilidade de a Raqel gahar o 1.º prémio é: (A) 0% (B) 10% (C) 1% (D) 0,1%.. Determia a probabilidade de a Raqel gahar o.º prémio, sabedo qe o círclo do meio está a imagem de m Pai Natal. Apreseta o resltado a forma de percetagem.. Seja Ω o espaço amostral associado a ma certa eperiêcia aleatória e A e B dois acotecimetos ( A Ω e B Ω )..1. Se tivermos P( A B) = a e =, mostra qe P( B) 1 ( a b) P A B b = +... Nm cogresso iteracioal, % dos cogressistas falam iglês e ão falam fracês e 0% ão falam qalqer ma das das lígas. Um cogressista é escolhido ao acaso. Determia a probabilidade de o cogressista escolhido falar fracês. Na resolção deves recorrer ao resltado apresetado em.1. e defiir, este coteto, os acotecimetos A e B.
6. Seja f a fção, de domíio [ 0, + [ \{ 1}, defiida por f Cosidera a scessão de úmeros reais ( ) tal qe Qal é o valor de lim f? =. 1 1 =. (A) + (B) 0 (C) (D) 1 + 7. Seja f a fção de domíio 0 f = +. R defiida por Na figra está represetada, m referecial o.. Oy, parte do gráfico da fção f. Para cada úmero real a pertecete ao itervalo ] 1, [, seja C o poto do gráfico de f de abcissa a. Sabe-se qe:. o poto A tem coordeadas ( 1,0 ) ;. B e D são potos do gráfico de f de abcissas, respetivamete, 1 e. Eprime, em fção de a, cada ma das áreas dos triâglos [ABC] e [ADC]. De segida, recorre ao Teorema de Bolzao para mostrar qe eiste m valor de a pertecete ao itervalo ] 1, [, para o qal as medidas das áreas dos triâglos são igais. FIM (Cadero ) Cotações Total Qestões Cadero 1 1.1. 1....1... Potos 1 0 0 10 1 80 Qestões Cadero.1....1... 6. 7. Potos 1 0 0 1 10
FORMULÁRIO GEOMETRIA Comprimeto de m arco de circferêcia: (α : amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r : raio) α r Área de m polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Área de m setor circlar: α r (α : amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r : raio) Área lateral de m coe: (r : raio da base; g : geratriz) π r g Área de ma sperfície esférica: π r (r : raio) Volme de ma pirâmide: 1 Área da base Altra Volme de m coe: 1 Área da base Altra Volme de ma esfera: π r (r : raio) PROGRESSÕES Soma dos primeiros termos de ma progressão (): 1 + Progressão aritmética: Progressão geométrica: 1 r 1 1 r TRIGONOMETRIA si a + b = si a cos b + si b cos a cos a + b = cos a cos b si a si b si A si B si C = = a b c a = b + c bc cos A COMPLEXOS iθ ( ) iθ ρ cis θ = ρ cis θ o ρ e = ρ e θ + kπ θ + kπ iθ cis = cis o e = e ρ θ ρ ρ ρ ( k { 0,..., 1 } e N ) PROBABILIDADES µ = p + + p 1 1 1 1 σ = p µ + + p µ Se X é N ( µ, σ ), etão: ( µ σ < < µ + σ ) 0 687 P X, ( µ σ µ σ ) P < X < + 0, 9 ( µ σ µ σ ) P < X < + 0, 997 REGRAS DE DERIVAÇÃO ( + v )' = ' + v' ( v )' = ' v + v' ' v v' = v v 1 ( )' = ' ( R) ( si ) ( cos ) ' = ' cos ' = ' si ' cos ( ta )' = e = ' e ( a ) = ' a l a ( a R + \{ 1} ) ( I ) ' = = ' R l a + ( log ) a \ { 1} a LIMITES NOTÁVEIS 1 lim 1 + = e si lim = 1 0 e 1 lim = 1 0 l lim = 0 + e lim = + R + p ( p ) ( N)
Proposta de resolção [ovembro 018] CADERNO 1 (É permitido o so de calcladora gráfica.) 1.1. Cojto dos úmeros primos qe aparecem a meração das bolas: {,,,7,11,1 }. Número de casos favoráveis: 6 A 1! Número de casos possíveis: 1! 6 A 1! 6 10 p = = = 1! 1 1 1 70 p 0,0 Resposta: 0,0 1.. Decomposição do úmero 0 em fatores primos: 0 = O úmero 1 é o elemeto etro da mltiplicação. Assim: 0 = 1 Como pretedemos apeas três bolas, ma para cada vértice há qatro escolhas: o 1 6 o 1 10 o 1 1 Número de casos favoráveis:! 1! Número de caso possíveis: 1!! 1! 6 p = = = = 1! 1 1 1 70 Resposta:. Há cico bolas com úmero ímpar e bolas com úmero par. Para a soma de dois úmeros ser ímpar, m é par e o otro é ímpar. A probabilidade de retirar das bolas e a soma dos úmeros ser ímpar é Assim, temos: C 1 1 C ( ) ( ) ( ) ( ) C 1 = = = 9! 9 1 9!! C C 1 1 C. 19 ± 61 60 18( ) = 19 + 90 = 0 = = 9 = 10 1
Proposta de resolção [ovembro 018] Como o úmero de bolas com úmero ímpar é diferete do úmero de bolas com úmero par, cocli-se qe = 9. A caia tem cico bolas com úmero ímpar e qatro bolas com úmero par. Retirar ao acaso três bolas e a soma ser m úmero par ocorre qado há das bolas com úmero ímpar e ma com úmero par o três bolas com úmero par. Número de casos favoráveis: C C + C = Número de casos possíveis: 9 C = 8 11 p = = 8 1 Resposta: 11 1. Cosideram-se os acotecimetos: 1 H : Escolher hotel de estrelas. H : Escolher hotel de estrelas. H : Escolher hotel de estrelas. N : Escolher hóspede acioal. E : Escolher hóspede estrageiro. Sabe-se qe:. P( H ) = 0,1. P( H ) = 0,60. P( H ) = 1 ( 0,1 + 0, 60) = 0,. P ( N H ) = 0,0. Etão,. P ( E H ) = 0,. Etão,. P ( E H ) = 0,70. Etão,.1. P ( H E ) P ( H ) P ( E H ) P E H = 1 0, 0 = 0,8. P N H = 1 0, = 0, 6. P N H = 1 0,70 = 0,0. = = 0,1 0, 80 = 0,1 Resposta: 1%.. P ( H N ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) P H N P H N = = = P N P H N P H N P H N 0, 0,0 = = 0,1 0, 0 + 0, 60 0, 6 + 0, 0,0 Resposta:
Proposta de resolção [ovembro 018] CADERNO (Não é permitido o so de calcladora.).1. Há 10 images diferetes. Assim, há 10 casos favoráveis. O úmero de casos possíveis é: 10 A = 10 10 p = = 0,01 10 p = 1%. Resposta: (C) 1%.. Sedo a imagem do meio m Pai Natal, o.º prémio pode ocorrer se: A primeira imagem é m Pai Natal e a terceira ão é m Pai Natal. O A primeira imagem ão é m Pai Natal e a terceira é Pai Natal. O A primeira e a terceira images são igais e diferetes de m Pai Natal. Número de casos favoráveis: 9 + 9 + 9 = 7 Número de casos possíveis: 10 A = 10 7 p = = 0,7 100 Resposta: 7%.1. Sabe-se qe P ( A B) = a e P A B = b. Como A = A Ω = A ( B B), etão P ( A) P ( A B) P ( A B) P( A) = P( A B) + a (1). Sabe-se qe P ( A B) b =, o seja, 1 Mas, P( A B) = P( A) + P( B) P( A B). Cosiderado (1) e (), tem-se: 1 b = P( A B) + a + P( B) P( A B) Daqi reslta qe P( B) 1 ( a b) = +, o seja, P A B = b () = +, como se qeria demostrar.
Proposta de resolção [ovembro 018].. Sejam A e B os acotecimetos: A: O cogressista fala iglês. B: O cogressista fala fracês. Sabe-se qe P ( A B) = 0, e P ( A B) P ( A B) 0, = =. Pelo resltado de.1.: P( B) = 1 P( A B) + P( A B) Assim, P( B ) = 1 ( 0, + 0, ) = 0,. Resposta: 0, 6. 1 1 = = 1 N, < 1 1 1 lim ( ) = lim = lim 1 = 1 lim f ( ) 1 = lim = = 1 0 Resposta: (C) ( 1) ( 1) AB a a 7. Área do triâglo [ABC]: = Área do triâglo [ADC]: 1 f a a + a = ( a 1) a + a Como se pretede qe as áreas sejam igais, etão =. ( a 1) a + a = a a = 0 Pretede-se provar, recorredo ao Teorema de Bolzao, qe a eqação possível o itervalo ] 1, [. Seja g a fção poliomial defiida por g =. A fção poliomial g é cotía em R, em particlar, o itervalo [ 1, ]. g ( 1) = e g =. Sedo g cotía em [ 1, ] e g ( 1) 0 g ] [ g ( a) a a = 0 é < <, pelo Teorema de Bolzao cocli-se qe a 1, : = 0, o seja, para este valor de a, as medidas das áreas dos dois triâglos são igais.