Notas para Hemodinâmica

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR Notas para Hemodinâmica P.J. Oliveira (Novembro 8) Departamento de Engenharia Electromecânica 6- ovilhã

onteúdo. Noções básicas de mecânica dos fluidos......5. Noções básicas de fluidos não newtonianos..... 3. Equações da mecânica de fluidos....... 37 4. Equações do movimento sob forma geral........ 45 5. Viscosidade do sangue.......... 55 6. Resolução das equações do movimento com método dos volumes finitos 63 7. Escoamento pulsante em tubo 75 8. Utilização de grandezas adimensionais Normalização das equações..83 9. Fluxo de sangue em tubo circular. 9 Este documento reúne algumas notas dispersas que tinham sido preparadas para as unidades curriculares de Hemodinâmica e de Biotransporte do curso de iências Biomédicas e que foram adaptadas para serem estudadas como um todo. A bibliografia indicada na disciplina de Hemodinâmica é a seguinte: Alguns onceitos Básicos de Hemodinâmica, F.T. Pinho, FEUP, Abril 9. Biofluid Mechanics in ardiovascular Systems, Lee Waite, McGraw Hill, 6. Applied Biofluid Mechanics, Lee Waite e Jerry Fine, McGraw Hill, 7. Modelling the Human ardiac Fluid Mechanics, H. Oertel, Univ. Karlsruhe, 5. O Livro de oração, Fernando de Pádua, Academia do Livro, 8. 3

4

. Noções Básicas de Mecânica dos Fluidos. Propriedades materiais básicas Neste estudo iremos considerar materiais que em geral se comportam como fluidos, isto é, que se deformam continuamente quando sujeitos a uma força transversal (força de corte). As propriedades básicas de um material com interesse para a mecânica dos fluidos são a massa volúmica,, e a viscosidade, ou. A massa por unidade de volume da água a temperatura normal (5º) é kg/m 3 ; para o sangue 6 kg/m 3. A viscosidade é a propriedade relacionada com a maior ou menor facilidade de escorregamento de um material, ou seja é uma medida da sua fluidez: quanto mais viscoso, menor é a fluidez do material. Para uma determinada temperatura, a viscosidade é constante quando esse material tem comportamento newtoniano. Neste caso usa se o símbolo para a viscosidade. Quando o comportamento é não newtoniano o coeficiente de viscosidade pode variar com o estado de deformação do material e a viscosidade deixa de ser constante ; neste caso usa se o símbolo para representar a viscosidade. Ar e água são dois exemplos de fluidos newtonianos, sendo amplamente utilizados em aplicações da mecânica de fluidos em áreas da engenharia. Qualquer fluido constituído por moléculas simples e de baixo peso molecular, sem formação de estruturas internas, comportase em condições usuais como um fluido newtoniano (a definição exacta do que é newtoniano é dada pela Eq. abaixo). Por outro lado, materiais com uma microestrutura interna complexa ou formados por constituintes de elevado peso molecular têm tendência a comportar se de 3 forma não newtoniana. A viscosidade da água é Pa.s a 5º, diminuindo para 3 aproximação que só é válida em casos restritos), é 3.5 Pa.s a 37º. A viscosidade do 5 ar, em condições padrão, é aproximadamente Pa.s. 3.695 Pa.s a 37º, e a do sangue, assumido como fluido newtoniano (uma A unidade de viscosidade no sistema internacional (MKS) é o Pascal x segundo: Pa.s = N.s/m = Kg/(m.s). Para evitar a utilização de valores muito pequenos pode usar se o mili Pascal segundo, mpa.s =. Pa.s. Em alternativa usa se com frequência (sobretudo em aplicações biomédicas) a unidade de viscosidade do sistema GS (com base em centímetros, gramas e segundos), o Poise P. Tem se P=. Pa.s, ou Pa.s = P. O centi Poise, cp=. P, é igual ao mpa.s. É fácil recordar que em condições de temperatura normais a viscosidade da água é mpa.s = cp.. Escoamento de ouette A viscosidade é determinada a partir de uma experiência (teórica) em que camadas de fluido deslizam umas sobre as outras ao longo de uma determinada direcção. A este arranjo chamase escoamento de ouette e está representado na Fig. a. O material (um fluido, por exemplo) é colocado entre duas placas paralelas e aplica se uma força constante à placa superior de forma a esta se mover para a direita a uma velocidade constante. A placa inferior mantém se em repouso, e o espaçamento entre as placas, h, mantém se constante. Mostra se (ver abaixo) que neste escoamento a tensão a que cada camada de fluido está submetida é constante, que a taxa de deformação é também constante e que o perfil de 5

velocidades é linear. Pode se assim, através de várias medições com este escoamento, relacionar a tensão com a taxa de deformação. h y F u(y) U y y u(y+y) u(y) (a) x (b) x Fig. (a) Escoamento de ouette plano: perfil de velocidades e definição da deformação de corte. (b) esquema local das camadas de fluido com velocidades diferentes para definir a taxa de corte. Um fluido newtoniano é definido através da lei da viscosidade de Newton:, () Esta equação define a viscosidade como a constante de proporcionalidade entre a tensão e a taxa de deformação de corte. A taxa de corte local é definida como a diferença entre velocidades para duas camadas separadas pela distância y (Fig. b): u u u( yy) u( y) lim y y () y y Para o escoamento de ouette temos: F tensão: = força / área de contacto, [N/m]=[Pa]; (3) A u U taxa de corte: = gradiente de velocidade = y h velocidade placa / espaçamento, [/s]. (4) Demonstrações A taxa de deformação de corte, além de representar o gradiente de velocidades, é também a taxa de variação temporal da deformação de corte ou distorção d / dt. A distorção é o ângulo formado entre uma linha de fluido que no tempo inicial é perpendicular aos planos das paredes (Fig. a) e que após um certo intervalo de tempo t forma uma linha inclinada com a vertical. Nesse intervalo de tempo a camada de fluido colada à parede superior em movimento percorreu uma distância l Ut e a tangente do ângulo é: tan( l Ut ) h h (5) 6

Para intervalos de tempo pequenos, t t, e ângulos pequenos,, temos Ut tan( ) h U lim t (6) t h onde a taxa de deformação, ou deformação por unidade de tempo, é definida como: d / dt. (7) h y u(y) h x U (y) y x Fig. Balanço de forças sobre elemento de fluido (a vermelho) em escoamento de ouette. Para mostrar que neste escoamento a tensão é constante faz se o balanço de forças sobre um elemento de fluido de forma paralelipipédica, com altura y, comprimento x e espessura z, situado entre y e y y (Fig. ). onsiderando que não existem forças normais de pressão, as únicas forças aplicadas são as resultantes das tensões de corte nas faces superior e inferior do paralelipípedo, com componentes segundo x de: yx ( y) x z x z yx ( y) te (8) onde é a tensão constante que a parede inferior exerce sobre o fluido, em y. Fica assim provado que a tensão de corte, que designamos simplesmente por, não depende da posição y, sendo a tensão exercida pela placa superior sobre o fluido h, segundo yx x, igual à tensão, com direcção x. Uma outra forma de verificar a constância da tensão é escrever as equações de movimento para o escoamento de ouette e verificar que se reduzem a yx / y ; por consequência yx é constante. Na análise clássica do escoamento de ouette assume se à partida que o perfil de velocidades é linear, ou seja: uy ( ) Ay B (9) Aplicando as condições de não escorregamento, tem se para a parede inferior estacionária, u para y (a) e para a parede superior em movimento uniforme, u U para y h. (b) 7

o que fornece imediatamente B e A U / h. Por isso o perfil de velocidades vem dado por: y uy ( ) U () h com um gradiente de velocidades du / dy U / h constante e igual à taxa de deformação de corte (ver Eq. 6). Outra forma de se chegar a este resultado é considerando que para cada fluido existe uma relação biunívoca entre tensão e taxa de deformação, f ( ) f ( ) () Assim, se é constante, como se mostrou acima, então é também constante. Logo, por integração da definição u/ y, com as condições fronteira de não escorregamento, temse de imediato: u te u y com U / h. (3) y.3 Viscosidade A viscosidade surge como a constante de proporcionalidade entre a tensão de corte aplicada sobre um elemento de fluido e a sua taxa de deformação de corte. Em geral escreve se (4) onde é o coeficiente de viscosidade. De acordo com os resultados da secção anterior para escoamento de ouette, a viscosidade é, fisicamente, a razão entre a força aplicada por unidade de área da placa superior, e a velocidade a que esta se move dividida pela separação entre placas: Viscosidade = (força/área) / (velocidade/separação). (5) Se o coeficiente de viscosidade for constante, não dependendo do estado de deformação do fluido, diz se que se trata de um fluido newtoniano e usa se a letra para indicar a viscosidade. Uma generalização óbvia do fluido newtoniano é tomar como uma função genérica da taxa de deformação, isto é (6) Estes fluidos denominam se fluidos não newtonianos de tipo GNF (Generalized Newtonian Fluids), ou fluidos newtonianos generalizados. O caso mais comum é o de fluidos em que a viscosidade diminui quando a taxa de corte aumenta com (7) que se designam como fluidos reofluidificantes (shear thinning, em inglês). O sangue é deste tipo, assim como as soluções poliméricas, por exemplo. A designação antiga para esta classe de materiais era de pseudoplásticos. 8

O caso inverso é o de fluidos em que a viscosidade aumenta com a taxa de corte, com (8) que são designados como fluidos reoespessantes. A designação antiga era de fluidos dilatantes. O exemplo clássico é o de uma suspensão de grãos de areia em água líquida (areia movediça). Bingham reofluidificante newtoniano reoespessante Fig. 3 omportamentos reológicos típicos no diagrama tensão deformação.. Portanto, para um material newtoniano a tensão aumenta linearmente com a taxa de deformação, sendo nula quando esta é nula. Para um material não newtoniano reofluidiciante a tensão de corte apresenta um aumento com a taxa de deformação que é inferior a linear. Para um material reoespessante o aumento é superior a linear. Tanto o reofluidificante como reoespessante têm tensão nula para taxa de deformação nula. A Fig. 3 ilustra graficamente este comportamento. Inclui ainda um outro tipo de material designado como plástico de Bingham, ou material com tensão de cedência. Nestes materiais (por vezes designados como viscoplásticos), o comportamento é de sólido indeformável enquanto a tensão é inferior à tensão de cedência ( ), e de líquido newtoniano para valores superiores da tensão. O sangue apresenta este tipo de comportamento, embora seja pequeno; outros exemplos são a pasta de dentes e a maionese. A ciência que estuda o escoamento e a deformação dos materiais chama se Reologia. Daí as designações de reofluidificante e reoespessamte para materiais que ficam mais fluidos, ou mais espessos, quando sujeitos a deformação. À Reologia cabe a medição da viscosidade, e de outras propriedades materiais que servem para caracterizar o escoamento e a deformação dos vários materiais..4 Medição de viscosidade Na prática a utilização do escoamento de ouette plano, como o da Fig., para medir a viscosidade de um material não é viável porque se torna impossível limitar o dispositivo. No entanto, um escoamento semelhante em coordenadas cilíndricas é já susceptível de realização prática. Um viscosímetro de copos rotativos consiste em dois cilindros verticais concêntricos que podem ser submetidos a um movimento de rotação, em simultâneo ou só um deles. Estes cilindros estão separados por um espaçamento muito pequeno em relação ao seu raio. O material cuja viscosidade se pretende medir é colocado no espaço entre os cilindros, no arranjo mais comum o cilindro exterior é submetido a uma rotação com velocidade angular, 9

e o binário necessário para manter o cilindro interior fixo é medido T. A relação entre o binário e a velocidade de rotação permite obter a viscosidade. separação rotação fluido testado r U u(r) R R (a) R R (b) R (c) R Fig. 4 Viscosímetro de copos concêntricos (a), escoamento de ouette circular (b), detalhe do perfil de velocidades (c). A Fig. 4 mostra esta geometria. Quando a separação entre cilindros é pequena, h R R R, as fórmulas dadas acima para a geometria plana de ouette continuam a ser válidas. Relembramos que um binário é uma força multiplicada pelo braço ou raio de rotação, T Fr (9) e que velocidade linear e velocidade angular estão relacionada por: u r () em movimento rotativo circular de corpo sólido. hama se a atenção de que a velocidade do fluido contido no espaço anular da Fig. 4 (c) não segue esta expressão simples, mas a velocidade da cilindro exterior pode ser calculada com base nesta equação: U R. No escoamento de ouette circular (Fig. 4 b) o binário conserva se, ou seja o binário aplicado no cilindro exterior é igual ao binário que o fluido exerce sobre o cilindro interior: T F R e T FR com T T () Para que o cilindro interior fique estacionário (não se mova), é necessário que lhe seja aplicado um binário igual a T mas de sentido contrário. Este será o binário medido pelo aparelho e relaciona se com a viscosidade da seguinte forma. A taxa de corte é aproximadamente constante sendo obtida de: U R () R R h Da Eq. (4), a viscosidade vem: F / A T /LR Th U h R h R R L / / E a expressão final, com diâmetros em lugar de raios, é

4Th 4Th h ( ) DL 3 D 3 D L (3) onde a aproximação na igualdade da esquerda se baseia em h/ D e se usam valores nominais para o diâmetro D, o binário T (torque) e a velocidade angular. Esta é relacionada com a frequência f [ s ]=[Hz] através de: nrpm [ ] f (4) 6 onde n é o número de rotações por minuto impostas ao cilindro exterior..5 Escoamento laminar em tubos Uma aplicação biomédica óbvia da mecânica dos fluidos é o estudo do movimento do sangue nas artérias e veias do corpo humano. Se modelarmos estes vasos como tubos de secção circular, e se considerarmos que as velocidades são relativamente baixas de forma ao regime de escoamento ser laminar (definição abaixo) então será útil obtermos expressões que permitam calcular o caudal volumétrico que existe para uma certo gradiente de pressões aplicado ou, por exemplo, calcular a tensão de corte na parede. Em capítulos posteriores estes resultados serão obtidos novamente a partir das equações diferenciais básicas que regem os movimento dos fluidos. r parede D O u(r) z eixo simetria Fig. 5 Detalhe do escoamento em tubo circular. A Fig. 5 mostra o esquema da geometria com simetria cilíndrica. O tubo tem diâmetro D R /, onde R é o raio, e assume se que o escoamento está completamente desenvolvido, não havendo por isso variações das propriedades ao longo da direcção axial do tubo, z. omo se verá, o perfil de velocidades ur () é então parabólico, isto é ur () r.

p -dp/dz=te h z z U z reservatório tubo circular u(r) Fig. 6 Geração de escoamento completamente desenvolvido em tubo circular. O perfil de velocidades parabólico acontece quando o decaimento da pressão é linear ao longo do tubo. A Fig. 6 mostra um dispositivo que permitiria criar um escoamento completamente desenvolvido num tubo. A pressão na secção à entrada do tubo é igual ao peso da coluna de água desde esse ponto até à superfície livre do tanque, p p gh. Se o tanque for considerado de grandes dimensões comparativamente ao tubo, essa pressão irá manter se constante durante o escoamento. O líquido dentro do tubo é submetido ao um diferencial de pressões e começa a movimentar se. O perfil de velocidades é inicialmente de tipo tampão (perfil uniforme), evoluindo para uma forma parabólica à medida que a secção onde o perfil é obtido se afasta da secção de entrada. A partir de determinada distância z o perfil de velocidades deixa de mudar de forma, e mantém se constante. A variação da pressão é então linear, isto é dp / dz te P. Diz se que se atingiu o desenvolvimento completo. D=R r O parede u(r) r z A=r z Elemento fluido A t =rz eixo simetria força z: F z =Ap-A t = p=p -p p p z Fig. 7 Balanço de forças sobre elemento de fluido (a azul). Um balanço de forças a uma porção cilíndrica de fluido de raio r e comprimento mostrado a azul na Fig. 7, dá: A pa p r t com p p p e z z z z,

A área de contacto onde a tensão de corte (assumida como positiva na direcção aplicada é A r z e o balanço reduz se a: t z ) está p r z Pr (5) Pr onde P dp/ dz é a magnitude do gradiente de pressão aplicado, a força motriz para gerar o movimento. P é constante e tem valor positivo para escoamento a processar se na direcção z. Esta expressão permite desde logo calcular a tensão de corte na parede, w ( r R) : PR (6) w Para se obter o perfil de velocidades integra se a expressão anterior, após substituir pela lei de Newton da viscosidade, com du / dr (para que seja positivo): du Pr dr du P r dr du P rdr que dá: P 4 u r Usando a condição fronteira de não escorregamento na parede, temos: P R 4 P R 4 e o perfil fica: PR r u 4 R r u U R (7) onde a velocidade máxima, no eixo do tubo, é dada por: U PR (8) 4 A forma do perfil é parabólica (variação em r ) com velocidade nula na parede e valor máximo no eixo, como é mostrado esquematicamente na Fig. 7. O caudal é calculado integrando o perfil de velocidades sobre a secção transversal do tubo: que dá: R R r Q u() r rdr U rdr R 3

4 R R QU R 4 R U A velocidade média está relacionada com o caudal através de Q U R e vem dada por U U ou PR U. (9) 8 Esta equação representa a lei de Hagen Poiseuille, que permite relacionar o caudal, ou velocidade média no tubo, com o gradiente de pressão aplicado. Veja se que a velocidade máxima é o dobro da velocidade média. A velocidade média é directamente proporcional ao quadrado do raio e ao gradiente de pressão, e inversamente proporcional à viscosidade. O caudal volumétrico é directamente proporcional ao raio (ou diâmetro) levantado à quarta potência. O perfil de tensão de corte é linear como mostrado pela Eq. (5). O valor máximo da tensão de corte, em valor absoluto, ocorre na parede, e a Eq. (6) pode agora escrever se como: U U w 4 ou w 8 (3) R D O coeficiente de atrito na parede é definido como: f w (3a) U vindo dado por: f 6 (3b) Re onde o número de Reynolds foi definido como: UD Re (3).6 Regimes de escoamento e comprimentos para desenvolvimento completo O regime dinâmico de escoamento é: Laminar, Re (33a) Turbulento, Re 4 (33b) 4

Transição, Re 4. (33c) O escoamento do sangue ocorre tipicamente em regime laminar, excepto por vezes na aorta descendente em situações de esforço (treino de atletas, por exemplo), ou pontualmente em vasoconstrições de natureza patológica (estenoses), onde o escoamento é localmente turbulento. Para escoamento turbulento a velocidade oscila localmente de forma aleatória e só faz sentido, do ponto de vista de engenharia ou em aplicações biomédicas, considerar valores médios no tempo. O perfil da velocidade média (não confundir com a média na secção dada pela Eq. 9) deixa de ser dado pela Eq. (7) (de facto segue uma variação do tipo /7 u U ( r/ R) ), a tensão na parede aumenta substancialmente, assim como o factor de atrito f que fica muito maior do que o dado pela Eq. (3). O comprimento necessário para se atingir a condição de desenvolvimento completo a partir de uma entrada com perfil de velocidades uniforme (ver Fig. 6) é dado, em função do número de Reynolds, por: z.6re D (34) Por exemplo, para um número de Reynolds típico de, é necessário um comprimento de tubo de diâmetros para se atingir a situação de desenvolvimento completo. Na prática, é difícil no sistema circulatório satisfazer esta condição porque existem ramificações consecutivas dos vasos, separadas por distâncias inferiores a esse comprimento..7 Equação de Bernoulli Esta equação exprime a conservação de energia mecânica em escoamento invíscido (sem viscosidade) e permite relacionar variações de pressão p, velocidade u, e altura (cota) h : p u gh p u gh (35) Os valores destas propriedades são obtidos nos pontos e ao longo de uma linha de corrente. Esta equação não toma em conta perdas de carga, devidas a atrito nas paredes duma conduta ou presença de obstruções ou variações de área transversal, uma vez que estas perdas são fenómenos irreversíveis relacionados intimamente com a existência de viscosidade. É no entanto fácil generalizar a equação de Bernoulli por forma a contabilizar perdas de carga e trabalho produzido: p p u gh u gh w ev (36) onde: ev energia por unidade de massa [J/kg] dissipada devido a viscosidade; w trabalho específico produzido pelo fluido (a sair do sistema). A perda de carga no escoamento completamente desenvolvido em tubo circular de comprimento L e diâmetro D calcula se a partir de 5

L D pv ev 4 f U (36a) onde f é o coeficiente de atrito definido pela Eq. (3) e U é a velocidade média na secção (na Eq. 36, u u U ). As velocidades que aparecem na Eq (35) são valores locais quando os índices e correspondem a localizações pontuais no seio do campo de velocidades, pontos ligados por uma linha de corrente, a situação mais comum quando se aplica a equação de Bernoulli. Por outro lado, quando a equação é aplicada como um balanço de energia mecânica a um volume de controlo, essas velocidades são valores médios, com os índices e a referirem se às secções de entrada e de saída duma conduta (Fig. 8). Neste segundo caso os valores médios são obtidos por integração na secção transversal do cubo da velocidade a dividir pela 3 respectiva velocidade média ( u u ()/ r u () r ). Deve referir se que esses valores não são em geral iguais ao cubo da média (isto é, introduzir um factor correctivo, u U ou u 3 3 3 () () u r u r U ), pelo que se deve U, (37) com (perfil de velocidades uniforme; válido para escoamento turbulento) laminar). (perfil de velocidades parabólico, Eq 7; válido para escoamento u p u h w p e v h Fig. 8 Volume de controlo para aplicação do balanço de energia mecânica (Eq. Bernoulli). omo indicado acima, usa se a notação da subsecção anterior para indicar a média calculada segundo a Eq. (9), R U u () r u () r rdr (38) R ilustrada para uma secção circular de raio R. 6

.8 Exemplos de aplicação da equação de Bernoulli: p p U Fig. 9 Esquema do venturi (i) Venturi Um venturi consiste numa contracção relativamente suave do escoamento numa conduta que permite fazer a medição do caudal que circula nessa conduta, através de duas medições de pressão. A Fig. 9 mostra esquematicamente o dispositivo, com as pressões a serem medidas nas secções (seio da conduta) e (garganta do venturi). onsiderando que o venturi é horizontal, a equação de Bernoulli dá: p U p U U U p p Resolvendo para a velocidade no ponto, e usando a conservação de massa (ver abaixo) U/ U A/ A, onde A e A são as áreas das secções na conduta e na parte mais estreita do venturi, temos: U A p p A As pressões em e são medidas com um manómetro diferencial, e a razão entre as áreas na conduta e na garganta do venturi é conhecida. Finalmente, o caudal vem dado por: Q AU onde é um factor correctivo, a ser obtido por calibração, e que faz o ajuste para o facto do fluido não ser perfeito (na verdade, o fluido possui viscosidade). U L. Q h a b Fig. Manómetro diferencial. 7

(ii) Medição de pressão A Fig. mostra um manómetro diferencial, cuja leitura dá o desnível h do líquido manométrico ( liq ), permitindo obter a perda de pressão no escoamento de um fluido, com massa volúmica, numa conduta. Assumindo que as velocidades nos tubos que fazem a ligação ao manómetro são desprezáveis, a aplicação da Eq. de Bernoulli (Eq. 35) entre o ponto e o ponto a dá: p gh p gh a a entre o ponto e o ponto b : p gh p gh b b e entre o ponto a e o ponto b : p gh p gh a liq a b liq b ombinando estas equações tem se: e ou seja, p p pa pb g( ha hb) (uma vez que h h) p p g( h h ) a b liq b a p p gh( liq ). com hhb ha. O desnível h é lido do manómetro, a diferença liq entre as massas volúmicas do líquido manométrico e do fluido que se pretende medir é conhecida, e a perda de pressão na conduta vem imediatamente de p gh. Se o escoamento na conduta estiver completamente desenvolvido, o gradiente de pressão (uma constante) vem P p/ L (onde o p é o pv da Eq (36a) que resulta duma perda de carga de natureza viscosa)..9 onservação de massa Para um volume de controlo (Fig. ) com várias entradas e várias saídas de massa tem se: entradas m m (39) in saídas out uma vez que a massa é uma propriedade extensiva que se conserva. 8

in out. m. m i vol. controlo m e Fig. Volume de controlo e conservação de massa. Esta equação de conservação de massa é válida em regime permanente. O símbolo m i representa o caudal mássico através da conduta i, relacionado com a velocidade média através de: m AU [kg/s] (4) i i i i onde: i massa volúmica na secção i [kg/m 3 ] Ai área da secção transversal [m ] (para tubo circular, Ui velocidade média na secção i [m/s] A ) i i D /4. Q 3. Q. Q Fig. Ramificação de conduta Por exemplo, para a Fig. a conservação de massa escreve se: m m m (4) 3 Os escoamentos de líquidos (água; sangue; etc) podem normalmente ser considerados como incompressíveis, com volume específico constante te. Neste caso pode ser conveniente dividir a Eq. (4) pela massa volúmica ( 3) e trabalhar com o caudal volumétrico: m Q AU [m 3 /s]. (4) i i i i i Para a bifurcação ilustrada na Fig tem se 3 AU AU AU 3 3 Q Q Q (43) 9

Sabendo o caudal de entrada Q, e a percentagem de caudal que segue pela conduta 3, por exemplo (fracção extraída, Q3/ Q), podemos facilmente obter as velocidades médias nos ramais de saída, U ( ) Q/ A e U3 Q/ A3... Q Q Fig. 3 Expansão em tubo redondo. omo segundo exemplo de ilustração da conservação de massa, veja se o caso do escoamento numa expansão, Fig. 3. O caudal Q circula num tubo circular de diâmetro D e subitamente passa para um tubo de maior dimensão D (razão de expansão D / D). A relação entre velocidades médias nas duas secções é obtida através da conservação de caudal, Q AU AU Q A D U U U A D ou seja, U U (44) Se a razão de expansão for de, a velocidade no tubo maior será 4 vezes mais pequena do que a velocidade à entrada. onsiderando que o fluido é perfeito e não há perdas de carga, pode aplicar se Eq. de Bernoulli entre as secções e para obter a variação de pressão: que se escreve, p U p U p p U U U U/ U p p U 4 (45) Na realidade o escoamento na expansão (ou numa contracção, se o escoamento fosse no sentido inverso) irá implicar uma perda de carga localizada e por isso a equação de Bernoulli deveria ser aplicada com o termo de perda (Eq. 36). Mesmo assim esta relação é útil por mostrar um facto corrente: quando a velocidade aumenta, a pressão diminui (e vice versa).

. Noções Básicas de Fluidos Não Newtonianos Este capítulo inclui a segunda parte de um relatório feito para a disciplina de Biotransporte e trata de modelos reológicos para suspensões e para líquidos não newtonianos. Em particular, são fornecidas e discutidas fórmulas que representam vários modelos de viscosidade válidos para suspensões e para líquidos com características de reofluidificação (diminuição da viscosidade com a taxa de corte) e de tensão de cedência (comportamento sólido a tensões inferiores a um determinado limiar).. Suspensões Uma suspensão é um material líquido composto por uma mistura de duas fases, uma fase líquida pura, o meio contínuo, e uma fase discreta formada por partículas sólidas em movimento no seio da fase líquida, sem se dissolverem nela. A noção de partícula é aqui usada num sentido lato com uma entidade que se distingue da fase contínua na qual está suspensa, podendo ser de facto uma partícula sólida (um grão de areia, por exemplo) ou uma cápsula de um líquido delimitada por uma membrana elástica. O sangue, por exemplo, é uma suspensão de glóbulos vermelhos, glóbulos brancos e plaquetas em plasma. O plasma é a fase contínua da suspensão, comportando se aproximadamente como um líquido newtoniano, e os glóbulos vermelhos constituem a parte preponderante da fase discreta, tendo a forma de um disco bicôncavo e sendo formados por um líquido no interior (solução de hemoglobina) envolvido numa membrana elástica. A massa volúmica da fase sólida p (índice p para partículas) difere normalmente da massa volúmica da fase contínua f (índice f para fluido), sendo no entanto importante que não seja muito superior para evitar a completa sedimentação das partículas, com separação completa entre as duas fases e deixando de facto de existir uma suspensão. Por exemplo, no caso do sangue, para o plasma f 35 [kg/m 3 ] e para os glóbulos vermelhos f 8 [kg/m 3 ], o que dá um valor de f 6 [kg/m 3 ] para o sangue. Uma suspensão, como mistura bifásica, é caracterizada pela concentração ou fracção volumétrica da fase discreta, V p () V onde V p é o volume total ocupado pelas partículas que existem num determinado volume V. Para partículas esféricas de diâmetro d, temos V 3 p Np d /6 onde N p é o número total de partículas no volume V. Para outras formas geométricas define se um diâmetro equivalente d e como o diâmetro da uma esfera que tenha volume igual ao da partícula em causa, e a concentração volumétrica fica relacionada com a concentração em número ( n N / V = nº de partículas por unidade de volume da suspensão) por p p n d 3 /6 p e

A fracção volumétrica em percentagem dos glóbulos vermelhos no sangue chama se hematócrito, H. Para uma pessoa saudável o hematócrito é cerca de 45%, ou seja 45 % em volume do sangue é ocupado pelos glóbulos vermelhos.. Viscosidade de suspensões A viscosidade de uma suspensão depende da concentração de partículas, tendendo a aumentar quando a concentração aumenta. Quando a concentração volumétrica é baixa, inferior a 5%, a viscosidade da suspensão pode ser estimada pela seguinte fórmula deduzida por Einstein (Ann. Phy 9 (96) 89): f () com: f viscosidade da fase fluida; constante que depende da forma das partículas; para esferas 5/; fracção volumétrica das partículas. Mostra se que para partículas com a forma de disco o valor da constante mantém se: 3.5. Por exemplo, tomando a viscosidade do plasma como f.6 [Pa.s], a viscosidade do sangue para uma concentração muito pequena de glóbulos vermelhos, de 3 somente 5 %, vem.44 [Pa.s]; ou seja, há um aumento de 4 % na viscosidade devido à introdução das partículas na suspensão. Para valores maiores da fracção volumétrica, deixa de ser uma constante e passa a depender da própria concentração. Para o sangue, por exemplo, obteve se a seguinte correlação, que integra ainda a dependência com a temperatura (T [K]): 7.76 exp.49 e T.69 (3) válida para.5.6. Em condições normais, T 37º 3K e.45, obtém se.37 (inferior ao.5 3 da equação de Einstein), que dá uma viscosidade do sangue de.84 [Pa.s], um aumento de 5 % relativamente à viscosidade do fluido (o plasma) no qual as partículas (os glóbulos vermelhos) estão suspensas. A viscosidade dada pela Eq. () aumenta rapidamente com a concentração, de acordo com a Eq. (3). O efeito da temperatura, por outro lado, é de fazer diminuir a viscosidade. Estes efeitos são ilustrados na Fig..

.5 viscosidade(pa.s)..4.3. T=37º T=4º.. 4 6 Hematócrito(%) Fig. Viscosidade do sangue em função da concentração de glóbulos vermelhos e temperatura (Eqs. 3)..3 Tensão de cedência de suspensões Quando a densidade do material da fase sólida é superior à densidade da fase fluida, isto é p f, haverá tendência para sedimentação desde que as velocidades e taxas de corte aplicadas sejam suficientemente baixas. Em repouso, a suspensão tenderá a separar se nas fases sólida e líquida, e poderá ocorrer ainda formação de estruturas entre as partículas da fase sólida que estão em contacto directo. A ruptura dessas estruturas para se iniciar de novo o escoamento do material pode requerer que a tensão aplicada seja superior a um limiar mínimo abaixo do qual não há movimento. Diz se então que o material apresenta uma tensão de cedência, sendo uma situação típica no caso das suspensões. Para o caso do sangue foi desenvolvida a seguinte correlação empírica (Merrill et al., Biophy. J. 3(963)99) que fornece a tensão de cedência, em unidades no sistema GS, em função do hematócrito (fracção volumétrica dos glóbulos vermelhos): 3 AH H [din/cm ] (4) m onde: A.8., constante; H hematócrito, em percentagem; H hematócrito mínimo para existir tensão cedência, H 5 a 8. m m Por exemplo, para 45.8 45 5.38 [din/cm ] 3.8 [mpa]. Quando se varia a constante A entre os limites de validade, verifica se que a tensão de cedência do sangue poderá variar entre.4 e 6.4 [mpa] em condições de hematócrito normais. H, obtém se 3 3

.4 Efeito de Fahraeus Lindqvist A viscosidade de uma suspensão parece ainda depender do diâmetro do tubo onde circula, quando esse diâmetro é suficientemente pequeno (inferior a cerca de vezes a dimensão das partículas em suspensão, mas superior à dimensão das partículas). Este efeito resulta do facto de se formar uma zona junto à parede do tubo que fica livre de partículas, onde localmente a viscosidade cai para o valor da viscosidade da fase fluida da suspensão, e que age como se tratasse duma camada de lubrificação. O efeito só é relevante quando a espessura da camada sem partículas, que é da ordem da dimensão das partículas, começa a não ser muito inferior ao diâmetro do tubo. No caso do sangue esse efeito, de redução da viscosidade para diâmetros dos vasos inferiores a cerca de 3 m, chama se de efeito de Fahraeus Lindqvist, os autores que primeiro o relataram. A camada de plasma junto às paredes vasculares tem uma espessura de cerca de a 5 m (os glóbulos vermelhos têm cerca de 8 m de diâmetro). A medição da viscosidade foi feita com um viscosímetro capilar, que no fundo usa a equação de Poiseuille (Eq. 9 da Parte I) para determinar a viscosidade a partir de medições da queda de pressão p num comprimento L : pr 4 / L8Q ( R raio do vaso; Q caudal volumétrico de sangue). Esta expressão só é válida para fluido newtoniano e deve ser modificada para permitir a medição da viscosidade com fluidos não newtonianos. Este efeito ocorre sobretudo nas arteríolas e nos vénulos com diâmetros inferiores a mm; nos capilares, quando o diâmetro fica inferior a cerca de m, os glóbulos começam a interagir com as paredes, precisando de se deformar para circularem, e a viscosidade volta a subir..5 Escoamento pulsante Um escoamento ocorre em regime variável cíclico quando o gradiente de pressão que o gera varia no tempo de forma sinusoidal, com frequência f [s ] = [Hz] e frequência angular [rad/s] ( f ). Por exemplo, o escoamento do sangue é pulsante, com uma frequência imposta pelo ritmo de batida do coração de cerca de 7 por minuto, o que dá uma frequência de. [s ]. O escoamento pulsante de fluido newtoniano em tubo circular foi analisado num relatório para disciplina de Hemodinâmica, que deve ser consultado para se estudar os detalhes do que é aqui apresentado de forma breve. A caracterização do escoamento continua a ser feita com o número de Reynolds, que mede a relação entre forças inerciais (de convecção) e forças viscosas (de difusão), existindo agora um parâmetro sem dimensões adicional, o número de Womersley (ou de Stokes) definido como R (5) Este parâmetro mede a proporção das forças inerciais devidas à oscilação temporal, relativamente às forças viscosas. Pode ser visto como a raiz quadrada de um número de Reynolds oscilante: ( R) R/ UoR/ Reo, onde Uo R é uma velocidade 4

característica da oscilação. Quando é pequeno ( ), o escoamento oscilante num tubo comporta se como um escoamento de Poiseuille, com o caudal a oscilar em fase com o gradiente de pressão imposto e o perfil de velocidade a manter se basicamente parabólico, com uma velocidade máxima que também oscila com frequência. Quando é grande ( ), a frequência imposta é alta e o campo de velocidades não tem tempo para acompanhar a oscilação do gradiente de pressão que gera o movimento. Na zona central do tubo o perfil de velocidades ficam basicamente uniforme (perfil tampão ), com magnitudes pequenas, podendo haver uma zona estreita de velocidades superiores junto à parede do tubo. A oscilação das velocidades fica desfasada relativamente à frequência imposta pelo gradiente de pressão, havendo um atraso de cerca de 9 graus. Ou seja, o máximo de velocidade ocorre cerca de ¼ de período depois do máximo da pressão (o período é o inverso da frequência, T / f [s]). No sistema circulatório humano a frequência de pulsação é a mesma (imposta pelo coração) e por isso o número de Womersley vai diminuindo com o raio dos vasos por onde o sangue circula, ou seja, é elevado nas grandes artérias, e vai diminuindo à medida que se progride para artérias pequenas, arteríolas e capilares. Na microcirculação ( R 5 m) a influência da pulsação é praticamente desprezável. Valores típicos de : 6 (aorta); 3. (artéria pequena, 4 mm diâmetro)..6 Fluidos não newtonianos Nas secções anteriores tratou se o caso das suspensões, ou seja a influência sobre a viscosidade da presença de uma fase com partículas sólidas suspensas numa fase fluida. Admitiu se que a viscosidade da fase fluida era newtoniana, sendo portanto uma constante para uma dada temperatura. No entanto muitos líquidos apresentam efeitos de fluidificação, ou seja diminuição da viscosidade com o aumento da taxa de corte, e efeitos de tensão de cedência, só escoam quando a tensão é superior a um valor mínimo. Nesta secção serão tratados modelos reológicos para fluidos não newtonianos do tipo GNF (Generalizad Newtonian Fluids), cuja equação de estado é muito semelhante à newtoniana, (6) a única diferença consistindo no facto da viscosidade poder ser agora uma função da taxa de deformação de corte, isto é ( ). Na Eq. (6) assume se que e são as magnitudes da tensão e da taxa de deformação, sendo por isso valores positivos..7 Fluidificação.7. Modelo de lei de potência O modelo GNF mais simples que contabiliza o efeito de fluidificação ou espessamento (shear thinning ou shear thickening) é o modelo da lei de potência: 5

n K ou n K (7) onde: K consistência [Pa.s n ] n índice da lei de potência Quando n a viscosidade diminui com o aumento da taxa de corte e o fluido é reofluidificante, o caso mais comum. Usava se anteriormente a designação de fluido pseudoplástico. Quando n a viscosidade aumenta com e o fluido é reoespessante (designação antiga, fluido dilatante). Quando n e viscosidade é constante e temos de novo o caso newtoniano com K. O sangue é fluidificante quando [s ] e algumas propostas para ajuste entre a lei de potência e viscosidades efectivamente medidas foram (unidades MKS): K.34, n.785 (.498 [Pa.s]) (8a) de Walburn e Schneck (Bioreology 3 (976) ); e K.6, n.63 (.93 [Pa.s]) (8b) de Owen et al. (artigo de conferência 5). Os valores de viscosidade indicados acima dentro dos parêntesis são para [s ]. Normalmente tanto K como n variam com o hematócrito e modelos de lei de potência para o sangue mais sofisticados deveriam incluir esses efeitos..7. Modelo de arreau Yasuda Uma variação realista da viscosidade com a taxa de deformação ( versus ) deve apresentar um patamar para taxas de corte elevadas, igual à viscosidade do solvente no caso de uma suspensão ou solução, e outro patamar para taxas de corte muito baixas,. Nesses limites o modelo da lei de potência não tem um comportamento correcto (resulta em quando, e quando ). O modelo de arreau Yasuda dado pela seguinte equação resolve esse problema, à custa de um número maior de parâmetros: n a a (9) Onde: n índice [ ] a constante de Yasuda [ ] viscosidade para nulo [Pa.s] viscosidade para infinito [Pa.s] constante de tempo [s] 6

O índica n tem um significado semelhante ao índice da lei de potência, com ( n) a representar a taxa de decaimento da viscosidade na zona de variação em potência, as viscosidades para e têm um significado físico imediato, o inverso da constante de tempo corresponde ao valor de a partir do qual a viscosidade começa a diminuir, e a é obtido por ajuste a dados experimentais. onjunto de valores usados para a viscosidade do sangue (ho e Kensey, Biorheology 8 (99) 4): a, n.3568, 3.33 [s],.56 [Pa.s] e.345 [Pa.s]. (a) om estes parâmetros obtém se.47 [Pa.s] para [s ]. No caso do escoamento num tubo circular com diâmetro D [mm] para um número de Reynolds de ( 6 [kg/m 3 ]), obtém se uma taxa de corte efectiva de ef U / R4.7 [s ] e uma viscosidade efectiva de ( ).777 [Pa.s]. ef Não se fique com a ideia que os parâmetros dados acima são únicos. Outro conjunto de valores obtidos da literatura (Gijsen et al, J Biomechan. 3 (999) 6) para representar com o modelo arreau Yasuda a viscosidade do sangue é: a.644, n.39,. [s],. [Pa.s] e. [Pa.s] (b) Neste caso, para escoamento em tubo com Re= obtém se: ef 9. [s ] e uma viscosidade efectiva de ( ef ). [Pa.s], um pouco superior à do exemplo anterior. Para [s ] estes parâmetros dão.64 [Pa.s]..8 Tensão de edência.8. Modelo de Bingham onsiste na sobreposição de uma tensão de cedência a uma tensão newtoniana, vindo definido pelas equações: (para ) (a) (para ) (b) com parâmetros: tensão de cedência (yield stress) [Pa] = [N/m ] coeficiente de viscosidade, constante [Pa.s] Fisicamente, corresponde a um material que se comporta como um sólido indeformável quando a tensão aplicada é inferior à tensão de cedência ( ) e flui como um fluido newtoniano para tensões superiores. A viscosidade de corte do modelo, após o inicio do escoamento, é dada por: 7

() e só fica constante (igual a ) quando a taxa de corte é suficientemente elevada..8. Modelo de Herschel Bulkley No sentido de integrar alguma fluidificação no modelo de Bingham, considerou se que a resposta do material à tensão de corte aplicada é do tipo de lei de potência após se iniciar o escoamento. Assim, este modelo consiste na sobreposição de uma tensão de cedência a uma tensão dada pela lei de potência: n K (para ) (3a) (para ) (3b) com 3 parâmetros,, K e n, que já foram explicados. A viscosidade de corte é: n K (4) seguindo a lei de potência para valores de suficientemente elevados..8.3 Modelo de asson Este modelo foi desenvolvido para representar as características materiais de tintas de impressão sendo também muito utilizado em hemodinâmica para modelar a viscosidade do sangue. Tem algum suporte teórico e permite obter analiticamente a solução para escoamento completamente desenvolvido em tubo (ver relatório de Hemodinâmica). A equação do modelo é: (para ) (5a) (para ). (5b) e tem só parâmetros independentes: tensão de cedência [Pa] e coeficiente de viscosidade de asson (constante) [Pa.s]. Desenvolvendo a expressão da tensão de corte vem.5 Bingham Newt. Lei _ Potencia (6) mostrando de forma mais clara a tensão de cedência (º termo), termo linear newtoniano (º termo), e termo não linear de lei de potência com n (3º termo). A viscosidade de corte é dada por: 8

. (7).5 Valores ilustrativos dos parâmetros do modelo de asson quando aplicado ao caso do sangue (harm e Kurland, Nature 6 (965) 67): 3.76 [Pa.s],.8 [Pa] (8) Para [s ] este modelo de asson dá.396 [Pa.s]. A tensão de cedência pode também ser obtida com a correlação discutida acima quando se tratou de suspensões (Eq. 4) que tende a dar valores algo inferiores ao da Eq. (8). A Fig. compara a variação da viscosidade do sangue tal como prevista por 3 modelos newtonianos generalizados: arreau Yasuda (parâmetros da Eq. a), asson (parâmetros da Eq. 8) e Lei de Potência (parâmetros da Eq. 8b). Verifica se que na zona de taxas de corte entre e [s ] as viscosidades não são muito diferentes, mas fora dessa gama surgem discrepâncias significativas. Para o modelo de asson com valores de.5 [s ] a viscosidade aumenta muito mas isso não deverá influenciar a tensão de corte pois entra se então na zona de não cedência (sem deformação). Já o modelo da lei de potência mostra os problemas de falta de realidade física para muito pequenos e muito altos, sendo de facto válido numa zona de bastante restrita (os autores referem. s ). [Pa.s]... arreau-yasuda asson Lei Potencia.... [/s] Fig. Viscosidade em função da taxa de corte para três modelos GNF com parâmetros ajustados ao caso do sangue (Eqs. a, 8 e 8b). 9

.9 Escoamento em Tubo para Modelo de Lei de Potência Nesta secção faz se a dedução do perfil de velocidades para escoamento completamente desenvolvido em tubo circular quando a viscosidade varia segundo o modelo da lei de potência, e obtêm se ainda expressões para a velocidade média (caudal), velocidade máxima, tensão e taxa de deformação na parede. A dedução segue os mesmos passos usados no relatório anterior para fluido newtoniano. A equação de partida é a Eq (5) (Biotransporte Parte I) que representa o balanço de forças num elemento de fluido cilíndrico e que é independente do modelo de viscosidade: Pr Igualando à Eq (6) que define o modelo da lei de potência, tem se n Pr K n Pr du (9) K dr Usou se du / dr porque o gradiente de velocidade é negativo e deve ser positivo por definição. Integrando esta última equação e usando a condição de não escorregamento na parede, obtém se: n n P R r n u K R n om velocidade máxima no eixo: r u U R n () U n n P R K n () A velocidade média vem da integração do perfil de velocidades sobre a secção circular: R 3 n r n U R R U U rdr U n R R R, n ( 3) R 3 n n ou seja: U U 3 n n U 3n U n () 3

e a relação entre caudal e gradiente de pressão (o equivalente da lei de Poiseuille) fica: n P n U R K 3n n PR K U R ou 3 n n (3) É útil verificar que para n se recuperam as fórmulas válidas para fluido newtoniano, com K : P PR U R K 3 8K e U 3. (3a) U Por fim, deduzem se fórmulas para a tensão na parede e a respectiva taxa de corte. Da Eq. (3) e do balanço de forças tem se imediatamente: w PR U w K (3 ) R n n (4) Derivando o perfil de velocidades (Eq. ) e calculando para r R, obtém se ou n du R U w U dr w n n R n (5a) R U w 3. (5b) n R De facto esta equação podia ter sido obtida imediatamente das Eqs. 9 (com r R) e 3. Para n tem se a taxa de corte na parede válida para fluido newtoniano, w 4 U / R. A Fig. 3 mostra uma comparação entre perfis de velocidade em tubo circular obtidos com a lei de potência (Eq. ) e com a lei newtoniana. Quando o índice da lei de potência diminui e o fluido se torna mais fluidificante, o perfil fica mais cheio e plano na zona junto ao eixo, e a velocidade máxima diminui. Repare se que todos estes perfis transportam o mesmo caudal, ou seja a velocidade média é igual para todos (em termos normalizados, tem se U e R ). A influência da fluidificação torna se mais clara representando sob forma dimensional o gradiente de pressão em função do caudal. A Fig. 4 mostra um gráfico desse tipo para o caso 3

.8 r/r.6.4. n= n=.8 n=.6 n=.4.4.8..6 u(r)/u Fig. 3 Perfis de velocidade: Newtoniano, n=; Lei Potência n=.8,.6 e.4. do escoamento de sangue numa artéria de diâmetro igual a 5 [mm], tendo o sangue sido modelado como fluido newtoniano (.35 [Pa.s]) ou fluido de lei de potência (Eq. 8b). Observa se que a relação P versus Q é linear para o fluido newtoniano, como seria de esperar pela lei de Poiseuille (Eq. 3a), mas é não linear, com tendência a diminuir a inclinação, para o fluido que segue a lei de potência. Ou seja, este fluido tenderá a necessitar um gradiente de pressão inferior ao caso newtoniano para mover o mesmo caudal. Para valores de caudal baixos, a Fig. 4 mostra valores superiores de P para o caso não newtoniano, porque este fluido apresenta uma viscosidade bastante superior à viscosidade newtoniana. Neste exemplo a velocidade média foi variada de a [cm/s], que corresponde à variação de caudal de a cerca de [ml/s] da Fig. 4, e a taxa de corte efectiva ( U / R) varia entre e 4 [s ]. omo foi já referido, esta gama encontra se na zona onde os efeitos não newtonianos são importantes no caso do sangue ( [s ]). 5 4 newtoniano lei potência, n=.63 P [Pa/m] 3.4.8...6 Q [ml/s] Fig. 4 Gradiente de pressão versus caudal: escoamento em tubo. 3

. Número de Reynolds efectivo O número de Reynolds é definido pela Eq. (3) da Parte I. Para modelos de viscosidade não newtonianos, a viscosidade varia com a taxa de deformação e torna se necessário especificar como deve ser obtida a viscosidade que aparece na definição do número de Reynolds. Para isso usa se uma viscosidade efectiva, calculada a uma taxa de deformação efectiva: UD Re com ef ( ef ) (6) ef A escolha da taxa de deformação efectiva depende do escoamento. Para escoamento em tubo uma escolha adequada seria a taxa de corte na parede: (7a) ef w Esta é dada por 4 U / Rpara fluido newtoniano e pela Eq. (5b) para lei de potência. No entanto, para fluidos não newtonianos que seguem modelos de viscosidade mais complexos pode não ser fácil obter a taxa de corte na parede. Uma forma alternativa e mais simples de definir uma taxa de corte efectiva é: U ef (7b) R No exemplo anterior, a variação do número de Reynolds (Eqs. 6 e 7b) com a velocidade média imposta à partida, é mostrada na Fig. 5 a. Re aumenta linearmente no caso newtoniano e tem valores algo menores no caso da lei de potência. Os valores menores resultam do facto da taxa de corte efectiva da Eq (7b) ser inferior à taxa de corte representativa do escoamento em tubo do fluido de lei de potência, o que por sua vez resulta em viscosidades maiores (ver Fig. 5 b). Veja se como a viscosidade do fluido de lei de potência é sempre superior ao valor de.35 [Pa.s] do fluido newtoniano. 6 newtoniano lei potência, n=.63. lei potência, n=.63 newtoniano.8 Re 8 [Pa.s].6 4.4. (a) 4 6 8 U [cm/s] (b) 3 4. [s ] Fig. 5 (a) Variação do número de Reynolds efectivo com a velocidade média e (b) da viscosidade com a taxa de corte efectiva Eq. (7b) (mesmo caso da Fig. 4). 33

Em geral, sendo usada a definição da Eq. (7b) para a taxa de corte efectiva, é necessário inverter por iteração a equação: ef R Re ( ) ef ef ef R ( ) Re (resolver por iteração) (8) por forma a obter ef (e U R ef ) quando Re é dado. Quando se usa o modelo de arreau Yasuda, por exemplo, este procedimento tem de ser seguido para se saber que velocidade média deve ser imposta por forma a simular um determinado número de Reynolds. Os valores dados acima, nos parágrafos que seguem as Eqs. (a) e (b), foram calculados desta forma, usando o programa em Anexo. 34

ANEXO Programa para calcular a velocidade média quando o número de Reynolds é dado, para modelo arreau Yasuda MODELO ARREAU-YASUDA ALULAR VALOR DA VELOIDADE MEDIA PARA REYNOLDS DADO - VIS, VISINF, LAMBDA E N ONSTANTES PROGRAM VISGNF AN=.3568 DEN=6. VIS=.56 VISI=.345 AL=3.33 AA=. H: largura canal ou diametro tubo H=. PRINT *,' LARGURA ANAL OU DIAM TUBO=',H ITMAX= ITER= TOL=.E-4 U=.745 PRINT *,' RE?' READ(*,*) RE PRINT *,' n' READ(*,*) AN ONTINUE ITER=ITER+ UN=U GAM=U/(.5*H) VIS=VISI+(VIS-VISI)*(.+(AL*GAM)**AA)**((AN-)/AA) U=VIS*RE/DEN/H WRITE(*,*) ITER,U IF(ITER.GT.ITMAX) THEN PRINT *,' ITER GT ITMAX, STOP' STOP END IF IF(ABS(U-UN)/UN.GT.TOL) GO TO VIS=VISI+(VIS-VISI)*(.+(AL*GAM)**AA)**((AN-)/AA) RE=DEN*U*H/VIS PRINT *,' VIS EFF=',VIS,' (PA.S) RE=',RE PRINT *,' U=',U,' M/S' PRINT *,' GAM=',GAM print *,' GAMA WALL canal=',3.*gam,' tubo=',4.*gam STOP END 35