Cálculo a uma Variável Sinésio Pesco CAP - Expansão Decimal e Aproximações de Números Reais Exercícios Resolvidos Exercício : Obter um truncamento até a 9o casa decimal da expansão decimal de Para obter truncamentos de usamos a propriedade que se 0 < a < b então a < b Assim no primeiro passo observamos que < < e portanto < < < < Portanto a parte inteira de é Para determinarmos os dígitos restantes, iniciamos dividindo o intervalo [,) em 0 subintervalos de mesmo tamanho e devemos encontrar qual dos subintervalos, contém for x from by 0 to do x, " ao quadrado = ", x^; Assim observamos que para temos que 96 < < 5 e portanto < < 5 e determinamos que o truncamento até a primeira casa de é Prosseguindo: > for x from by 00 to 5 do x, x^; E analogamente temos que 988 < < 06 e portanto = > for x from by 000 to do x, x^; Você pode voltar com o cursor e editar o for, trocando para os novos valores e sem ser necessario digitar novamente
Ao final de 6 passos teremos: > for x from 3 by 0000000 to do x, x^; Após algumas casas decimais, será necessário alterar o número de dígitos desejados na precisão numérica: > Digits:=0: for x from 356 by 000000000 to 357 do x, x^; Assim o truncamento na nona casa decimal será:,356 Exercício : Outro método de se obter aproximações para Outro método de se obter aproximações para x = xx= x = x inicia: Considerando c uma boa aproximação para x (desconhecido), então também será c Neste caso, uma melhor aproximação poderia ser a média entre estes dois valores: m = c + c Assim podemos montar um pequeno programa para verificar a convergência de : c:=; c:=/*(c+/c) Numericamente (note a substituição de /c por /c) c:=; c:=/*(c+/c)
Digits := 00; c:= ; for i from to 3 do c:=05*(c+0/c); d:=evalf(sqrt()); Exercício 3: Aproximações para π (Arquimedes) Um dos métodos de estimar π é devido a Arquimedes Usando polígonos inscritos e circunscritos, ele estimou o comprimento do circulo por aproximação do perímetro dos polígonos Vamos estimar π usando o perímetro de polígonos inscritos em uma circunferência de raio 05, assim o comprimento será C = π 05 = π O algoritmo consiste em partir de um polígono regular qualquer (no nosso exemplo o hexágono), e depois seguir subdividindo cada aresta gerando um novo poligono de lados (dodecágono) conforme a figura e assim por diante A cada passo, partindo de um polígono de n lados, geramos um novo polígono que terá n lados Queremos determinar o valor de y em função de x Podemos usar Pitágoras, porém falta determinar a dimensão do cateto b Por pitágoras podemos obter o cateto a em azul: a x + =
a = x segue que: a = x Como a + b = b = a b = x Agora aplicamos Pitágoras no triângulo: y = b x + y = x + x y = x + x y = x x := 05; h := 6; Digits := 00; y:= sqrt((-sqrt(-x^))/0); w := y/(sqrt(-y*y)); x := y; " Pi estimado = ", * h * y; "Pi estimado = ", *h*w; " Pi = ", evalf(pi);
" Erro = ", abs(evalf(pi)-*h*y); h := *h; Exercício : Outras formulas: ) Jonathan and Peter Borwein (9 dígitos após iterações segundo os autores) Digits := 50; y:=/sqrt(0); a:=/0; for n from 0 to 3 do y := (-sqrt(-y*y))/(+sqrt(-y^)); a:= (a*(+y)^)-y*(^(n+)); /a; erro := evalf(pi-/a); ) Jonathan and Peter Borwein (69 dígitos após iterações segundo os autores) Em 997, o recorde era de 5 539 600 000 de digitos para π Digits := 700; y:=sqrt(0)-; a:=6-*sqrt(0); for n from 0 to 3 do y := (-sqrt(sqrt(-y^)))/(+sqrt(sqrt(-y^))); a := (a*(+y)^)-y*(+y+y^)*^(*n+3); /a; evalf(pi-/a); Exercícios Propostos Exercício : Obtenha o truncamento até a 5o casa decimal da expansão decimal de 5 Exercício : Determine um intervalo I = (a,b), tal que se um número real α pertence a I, então α é uma aproximação para 7 com erro menor do que 0 ( 8 ) Exercício 3: Determine uma aproximação para 3 9 com erro menor do que 0 ( 5 )