1 Cálculo Numérico Profº Ms Ademilson Teixeira Email: ademilson.teixeira@ifsc.edu.br IFSC
2 Cálculo Numérico Introdução O que é o Cálculo Numérico?
Cálculo Numérico Introdução 3 O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.
Cálculo Numérico Introdução 4 Exemplos de Aplicação dos Métodos Numéricos
Cálculo Numérico Introdução 5 Exemplo: Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e um resistor. V i R V R i = 0 i = V R Solução exata Introdução de um diodo no circuito: kt ( i) = ln + 1 q I s i kt i v V R i ln + 1 = 0 q I s V i D R Solução utilizando métodos numéricos
Cálculo Numérico Introdução 6 Exemplo: Realizar a simulação do processo de transferência de calor em uma placa com as condições de contorno mostradas. Determinar o campo de temperatura em regime permanente.
Cálculo Numérico Introdução 7 1. Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Exemplo: solução de sistemas de equações lineares.
Cálculo Numérico Introdução 8 2. A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente). Exemplos: a) e x2 dx não tem primitiva em forma simples; b) 2 2 y = y + t não pode ser resolvido analiticamente; c) equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.
Cálculo Numérico Introdução 9 Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas. Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição. Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio.
10 Cálculo Numérico Introdução Função do Cálculo Numérico na Engenharia Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos modelo matemático
Cálculo Numérico Introdução 11 Passos para a resolução de problemas MODELAGEM REFINAMENTO RESULTADO DE CIÊNCIAS AFINS PROBLEMA RESULTADO NUMÉRICO MENSURAÇÃO ESCOLHA DE MÉTODOS TRUNCAMENTO DAS ITERAÇÕES ESCOLHA DE PARÂMETROS
Cálculo Numérico Introdução 12 Fluxograma Solução Numérica MODELO PROBLEMA MATEMÁTICO modelagem SOLUÇÃO resolução PROBLEMA LEVANTAMENTO DE DADOS CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO ESCOLHA DO MÉTODO NUMÉRICO IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL ANÁLISE DOS RESULTADOS VERIFICAÇÃO
Cálculo Numérico Introdução 13 Influência dos Erros nas Soluções Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis (25/02/1991 Guerra do Golfo míssil Patriot) Limitação na representação numérica (24 bits) Erro de 0,34s no cálculo do tempo de lançamento 28 mortos, 98 feridos
Cálculo Numérico Introdução 14 Influência dos Erros nas Soluções Exemplo 2: Explosão de foguetes (04/06/1996 Guiana Francesa foguete Ariane 5) Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits) A causa do acidente foi um erro numérico no cálculo da velocidade horizontal do foguete Erro de trajetória 36,7s após o lançamento Prejuízo: U$ 7,5 bilhões
15 Cálculo Numérico Introdução Aplicações de cálculo numérico na engenharia. Determinação de raízes de equações Interpolação de valores tabelados Integração numérica, entre outros.
16 Cálculo Numérico Plano de Ensino Objetivos Ementa Metodologia, Técnicas de Ensino Recursos Didáticos Avaliação Bibliografia
17 Cálculo Numérico Objetivos do Curso Fornecer condições para que os alunos possam conhecer, calcular, utilizar e aplicar métodos numéricos na solução de problemas de engenharia. Estudar a construção de métodos numéricos, analisar em que condições se pode ter a garantia de que os resultados computados estão próximos dos exatos, baseados nos conhecimentos sobre os métodos.
Cálculo Numérico Ementa 18 1. Noções básicas sobre erros. 2. Zeros reais de funções reais. 3. Resolução de sistemas de equações lineares. 4. Interpolação. 5. Ajuste de curvas. 6. Integração Numérica. 7. Solução numérica de eq. diferenciais ordinárias.
Metodologia & Técnicas de Ensino 19 Aulas Expositivas; Atividades individuais e em grupo.
20 Cálculo Numérico Recursos Didáticos Quadro; Data show; Programas de Simulação (Matlab, Mapple, Mathematica).
Cálculo Numérico Avaliação 21
Cálculo Numérico Bibliografia 22 RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2.ed. São Paulo, Makron, 1997. BURDEN, R.L.; FAIRES, J.D. Análise numérica. 8ª ed., São Paulo: Cengage Learning, 2008. CANALE, R.P.; CHAPRA, S.C. Métodos numéricos para engenharia. 5ª ed. Porto Alegre: McGraw Hill (Grupo A), 2008. BARROSO, L. C., BARROSO, M. A., CAMPOS, F. F., CARVALHO, M. L. B. & MAIA, M. L. Cálculo Numérico (Com Aplicações), 2.ed. São Paulo, Editora Arbra, 1987. CUNHA, M.C.C. Métodos Numéricos. 2 Ed. São Paulo: Editora da UNICAMP, 2009.
23 Cálculo Numérico Noções Básicas sobre Erros Profº Ms Ademilson Teixeira
24 1 Noções básicas sobre Erros Fenômenos da natureza podem ser descritos através do uso de modelos matemáticos. MODELAGEM: é a fase de obtenção de um modelo matemático que descreve o comportamento do problema que se quer estudar. RESOLUÇÃO: é a fase de obtenção da solução do modelo matemático através da aplicação de métodos numéricos.
25 1.1 Erros Para se obter a solução do problema através do modelo matemático, erros são cometidos nas fases: MODELAGEM e RESOLUÇÃO. EXEMPLO: Calcular a área da superfície terrestre usando a formulação A = 4.p.r². Resolução: Aproximações (ERROS): MODELAGEM: a Terra é modelada como uma esfera, uma idealização de sua forma verdadeira. O raio da Terra é obtido por medidas empíricas e cálculos prévios. RESOLUÇÃO: o valor de π requer o truncamento de um processo infinito; os dados de entrada e os resultados de operações aritméticas são arredondados pelo computador.
26 OBS. 1: Características do planeta Terra. --Características Físicas: Diâmetro Equatorial: 12756Km; Diâmetro Polar: 12713Km; Massa: 5,98x10 24 Kg; Perímetro de Rotação Sideral: 23h 56min 04seg; Inclinação do Equador Sobre a Órbita: 23o 27. --Características Orbitais: Raio da Órbita, isto é, 1U.A. (unidade astronômica): 149897570Km; Distância Máxima do Sol: 152100000Km; Distância Mínima do Sol: 147100000Km; Período de Revolução Sideral: 365dias 6h 9min 9,5seg; Velocidade Orbital Média: 29,79Km/seg.
27 1.2 Erros Absolutos e Relativos 1.2.1 Erro Absoluto Geralmente não se conhece o valor exato x. Assim, o que se faz é obter um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto.
28 1.2 Erros Absolutos e Relativos 1.2.2 Erro Relativo ou Taxa de Erro
29 Exemplo Calcular os erros absoluto e relativo, nos itens a) e b).
30 1.3 Erros de Arredondamento e Truncamento 1.3.1 Erro de Arredondamento Arredondar um número na casa di é desconsiderar as casas di+ j ( j =1,, ) de tal forma que: di seja a última casa se di+1<5; di +1 seja a última casa se di+1 5. Exemplo: Arredondar p na quarta casa decimal, sendo que p = 3,1415926535 di =5 e di+1=9>5 di +1=5+1=6. Logo: p = 3,1415.
31 1.3 Erros de Arredondamento e Truncamento 1.3.2 Erro de Truncamento Truncar um número na casa di é desconsiderar as casas di+ j ( j =1,, ). Exemplo: Aproximar p truncando na quarta casa decimal, sendo que p=3,1415926535 di =5 p=3,1415.
32 Exemplo: 1.3 Erros de Arredondamento e Truncamento Truncando-se após quatro termos, tem-se:
1.4 Aritmética de Ponto Flutuante 33
34 1.4 Aritmética de Ponto Flutuante Exemplo: Considerando no sistema de base 10, b=10, represente os seguintes números, em aritmética de ponto flutuante: a) 0,34510 b) 31,41510 Obs.: Os números assim representados estão NORMALIZADOS, isto é, a mantissa é um número entre 0 e 1.
35 1.4 Aritmética de Ponto Flutuante Exemplo: Considerando no sistema binário, b=2, represente o número 1012em aritmética de ponto flutuante.
36 1.5 Conversão de Bases 1.5.1 Conversão da Base b para a Decimal (b 10) Um número na base b pode ser escrito, na base decimal, como: Para a conversão, faz-se a operação entre a mantissa do número normalizado e a base β exp.
37 1.5 Conversão de Bases Nos exemplos a seguir, faça a conversão da base indicada para a decimal, determinando o valor da variável x. a) 10112 = x10 b) 11,012 = x10
38 1.5 Conversão de Bases Nos exemplos a seguir, faça a conversão da base indicada para a decimal, determinando o valor da variável x. c) 403,125 = x10
39 1.5 Conversão de Bases 1.5.2 Conversão da Base Decimal para a b (10 b) Aplica-se um processo para a parte inteira e um outro para a parte. a) PARTE INTEIRA ( N ): a.1) N <b N10 = Nb.
40 1.5 Conversão de Bases Exemplo: Converta 5910 para a base 2.
41 1.5 Conversão de Bases Exemplo: Converta 5910 para a base 3.
42 1.5 Conversão de Bases b) PARTE FRACIONÁRIA ( F ): O processo consiste em separar o número decimal na parte inteira e na fracionária. O método das divisões sucessivas é aplicado a parte inteira, conforme estudado anteriormente. Para a parte fracionária aplica-se o método das multiplicações sucessivas até que se atinja zero. Para exemplificar, será convertido o número decimal 8,375 em binário.
1.5 Conversão de Bases
1.5 Conversão de Bases 44
1.5 Conversão de Bases 45
46 1.5 Conversão de Bases Observação Importante: existem casos em que o método das multiplicações sucessivas encontra novamente os números já multiplicados e o processo entra em um loop infinito. Isto equivale a uma dízima periódica. Como exemplo, tem-se:
47 1.6 Operações de Pontos Flutuantes 1.6.1 Representações Precisão dupla: dobra a mantissa (2* t ); O zero em ponto flutuante é em geral representado com o menor expoente (exp=i ) possível na máquina; Ao converter um número para determinada aritmética de ponto flutuante, emprega-se sempre o arredondamento; Não é possível representar todos os números reais em determinada aritmética de ponto flutuante (reta furada). OBS. 3: Um exemplo da reta furada é: Considere a aritmética de pontos flutuantes com parâmetros b=10 e t =3. Tome os números consecutivos 3,57 e 3,58. Existem infinitos números reais entre 3,57 e 3,58 que não podem ser representados nesta aritmética de pontos flutuantes. Por exemplo: 3,571 ou 3,57437.
1.6 Operações de Pontos Flutuantes OBS.: Deve-se converter os valores para a aritmética de ponto flutuante com 3 algarismos significativos.
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